Einführung - Didaktik der Mathematik
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Elemente der Arithmetik, Algebra und des Sachrechnens –– WS 2010/2011 Studienplan • Elemente der Arithmetik, Algebra und des Sachrechnens: jeweils im Wintersemester 3-stündig (ggf. 2-stündige Übung) – Di 9.45-11.15 – Do 14.00-15.30 – Do 15.45-17.15 Abschlussklausur (50% der Examensnote) • Elemente der Schulgeometrie: jeweils im Sommersemester 3-stündig (ggf. 2-stündige Übung) Abschlussklausur (50% der Examensnote) Achtung: Reihenfolge der Module ist beliebig! student ewf Einige Ziele der Veranstaltung • Vertraut machen mit den Inhalten des GrundschulMathematikunterrichts (Arithmetik, Sachrechnen …) • Eigenes Experimentieren mit Aufgaben – – – – Muster (Phänomene) entdecken durch Explorieren Operatives Prinzip Phänomene begründen Phänomene schülergemäß erklären • Aufgaben produzieren – „Produktive Rechenübungen“ – Aufgabenformate – Aufgabenvariation • Fachliche und didaktische Aspekte anwenden – – – – Fachliche und didaktische Analysen Materialverwendung/Veranschaulichungen Unterrichtliche Umsetzungen ……. • ………. Aus dem Bayerischen Lehrplan - Fachprofil Mathematik • Alle Schüler erhalten Gelegenheit, in Einzel-, Partneroder Gruppenarbeit selbstständig Lösungsideen zu entwickeln und Lösungswege zielgerichtet zu suchen und zu erproben. • Die unterschiedlichen Ansätze werden eingehend betrachtet, diskutiert und begründet. • Fehler und nicht zum Erfolg führende Wege lassen sich dabei produktiv bei der Erarbeitung erfolgreicher Lösungsverfahren nutzen. • Die Lehrkraft koordiniert die Schülerbeiträge und ergänzt sie gegebenenfalls durch gezielte Anregungen. Aus dem Bayerischen Lehrplan - Fachprofil Mathematik (Forts.) • Daneben kann eine gut durchdachte Lehrererklärung die Effektivität des Unterrichts sicherstellen. • Abwechslungsreiche Übungsaufgaben dienen sowohl der Automatisierung und der Sicherheit als auch der vertieften Einsicht in Zusammenhänge und der Flexibilität. • Dabei muss es für die Schüler zur Selbstverständlichkeit werden, die Ergebnisse selbst zu kontrollieren. • Zunehmend erstellen die Schüler Lern- und Arbeitsmaterialien auch selbst. Wie Kinder rechnen • Sarah (5J.) sagt die Zahlwörter bis 95 auf und fährt fort: 96, 97, 98, 99, hundert, einhundert, zweihundert, dreihundert ..... • Aufgabe: Von 63 Kindern schickt jedes einen Luftballon weg. 37 bekommen Antwort. Wie viele bekommen keine Antwort? Patrick sagt: “Das habe ich ganz einfach gemacht. Ich habe erst 63 minus 20 gerechnet, das waren 43. Und dann habe ich erst plus 5 gerechnet, das waren 38. Noch plus 1 waren 37.” Wie Kinder rechnen • Eine Aufgabe in einer 4. Klasse: Ein Apotheker füllt 1,750 kg Salmiakpastillen in Tüten zu je 50g. Wie viele Tüten erhält er? 1,750 kg : 50 g 2 ⋅ 7 = 14 1⋅1 = 1 2 ⋅ 10 = 20 35 • Es sind die Bewertungspunkte für 12 Fußballspieler zu addieren: Die Punkte: 9, 12, 10, 11, 8, 10, 9, 8, 12, 11, 10, 12 Sven (2.Kl.) findet eine Methode. Er spricht: 119, 121, 121, 122, 120, 120, 119, 117, 119, 120, 120, 122 Muster erkennen Aufgaben variieren 1 8 15 22 29 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 4 11 18 25 5 12 19 26 6 13 20 27 7 14 21 28 Aufgaben variieren 1 9 17 25 33 41 2 10 18 26 34 42 3 11 19 27 35 43 4 12 20 28 36 44 5 13 21 29 37 45 6 14 22 30 38 46 7 15 23 31 39 47 8 16 24 32 40 48 Zählen • Grundinhalt: 1:1-Zuordnung • Allgemein: Einem Element einer Menge wird genau ein Element einer zweiten Menge zugeordnet. Beispiel: Kokosnüsse – Hölzer (Zählen ohne Zahlen) • Speziell: Eine Menge wird durch die geordneten Zahlwörter gebildet • Zählprinzipien • • • • • Eindeutigkeitsprinzip Prinzip der Irrelevanz der Anordnung Abstraktionsprinzip Prinzip der stabilen Ordnung Kardinalzahlprinzip Niveaustufen des Zählens • 1. Stufe: Zahlwörter werden als Zeichenkette ("einszweidreivier...") gelernt. Hier besteht kein Eindeutigkeitsprinzip. • 2. Stufe: Hier werden die Zahlwörter klar unterschieden und Gegenstände gezählt. Jedoch ist das Weiterzählen von einer Zahl aus noch nicht möglich. Lässt man z.B. 4 Gegenstände zählen und gibt 3 hinzu, so kann das Kind nicht von 4 aus weiterzählen, sondern muss wieder von 1 aus anfangen. • 3. Stufe: Jetzt kann das Kind von einer Zahl aus weiterzählen (und auch rückwärts zählen). • 4. Stufe: Parallel zum Weiterzählen wird auch die Anzahl der Zählschritte mitgezählt. Z.B. zählt das Kind bei der Frage "Um wie viel muss man weiter zählen, um von 6 auf 10 zu kommen?": 7,8,9,10 und gleichzeitig die Zählschritte 1,2,3,4. • 5. Stufe: Geläufiges Vor- und Rückwärtszählen von verschiedenen Zahlen aus; Mitzählen der Zählschritte. Zählen • Vorkenntnisse von Schulanfängern (Untersuchung von Schmidt 1982, Stichprobenumfang: 1138 Schüler) • Leistungen der Schüler im verbalen Zählen: – „Zähle, so weit du kannst.“ – Sobald die Schüler (Schulanfänger) einen Fehler machen - egal aus welchem Grund wird abgebrochen. Es gilt die letzte, richtig genannte Zahl. Erreichte Zahl Proz. d. Kinder mindestens 5 99 mindestens 10 97 mindestens 15 84 mindestens 20 70 mindestens 30 45 mindestens 40 33 mindestens 50 28 mindestens 60 23 mindestens 70 20 mindestens 80 18 mindestens 90 16 mindestens 100 15 Kommentar Praktisch alle Kinder können bis 10 zählen Es erfolgen hier kaum Abbrüche. In diesem Abschnitt erfolgt jeweils ein steiler Abfall. Es gibt hier viele Abbrüche beim Zählen. Wer beim Zählen bis hierhin gelangt, hat das Prinzip erfasst. Daher gibt es hier nur noch relativ wenige Abbrüche. Vergleich der Zählfähigkeit 1909 / 1982 Es konnten zählen (in %) 1909 1982 bis mind. 5 91 99 bis mind. 10 78 97 bis mind. 20 45 70 bis mind. 30 21 45 bis mind. 40 13 33 bis mind. 50 9 28 bis mind. 100 5 15 Techniken bei der Anzahlbestimmung Augen 5 Würfel Richtig Falsch Berührung 84 Wegnehmen Gesamt 11 0 95 5 5 12 Würfel Richtig Falsch 23 16 37 11 14 0 74 26 18 Würfel Richtig Falsch 11 32 25 5 28 0 63 37 Abzählen von Gegenständen mit dem Finger Zahlwortreihe Koordination Fingerbewegung Koordination Gegenstände Abzählen von Gegenständen mit dem Finger Zahlwortreihe Koordination Fehler zumindest im Bereich bis 10 eher selten Fingerbewegung Koordination Gegenstände Abzählen von Gegenständen mit dem Finger Zahlwortreihe Fingerbewegung Koordination Typische Fehler: Fingerbewegung: Gesprochen: 1 2 Fingerbewegung: Gesprochen: 5 6 Sie-ben 8 3 4 5 Verletzung des 1:1-Prinzips 6 Koordination Gegenstände Abzählen von Gegenständen mit dem Finger Zahlwortreihe Koordination Fingerbewegung Typische Fehler: Auslassung: Doppeltzählung: Koordination Gegenstände Abzählen von Gegenständen mit dem Finger Zahlwortreihe Koordination Fingerbewegung Koordination Typische Fehler: Auslassung: Doppeltzählung: Vor allem, wenn Gegenstände unstrukturiert, in Bewegung, nicht sortierbar, ununterscheidbar … Gegenstände Probleme der Zahlwortbildungen: Beispiel 18 (acht-zehn) engl. 8_10 bretonisch 3_6 deutsch 8_10 walisisch 2_9 französisch 10_8 mexikanisch 15_3 griechisch 8 und 10 finnisch 2 von 10 im zweiten lateinisch 1 10 und 8 ainu (afr.) 2 steigen herab zu 10 lateinisch 2 2 vor 20 yoruba (afr.) 2 bis 20 litauisch 8 über suaheli 10 und 4_4 irisch 8_2_5 makhuwa 10 und 5 und 3 Falsche Zahlwortbildungen • Weiterzählen mit falscher Zehnerzahl: 38, 39, 20, 21, 22, … oder: neunundneunzig, hundert, einhundert, zweihundert, … • Unkonventionelle Zahlwortbildungen: neunundzwanzig, zehnundzwanzig, elfundzwanzig … • Weiterzählen nur noch mit Zehnern: … 19, 20, 30, 40, 50, … • Verwechseln der Endsilben „-zehn“ und „-zig“: vierzehn, fünfzehn, sechzig, siebzig, … Übungen zur Zählfähigkeit: Strukturen nutzen! Strukturieren! Material nutzen! Wie viele Plättchen sind das?
