Mathe I § 1 Grundlagen

Dies’ ist kein Selbstlernskript, sondern lediglich als Hilfe
für die Vorlesung gedacht. Es enthält u.a. etliche Lückentexte.
Mathe I
Modul: Grundlagen Rechnungswesen
Zudem ist es nur für die Vorlesungen in Costs für den Bachelor
gedacht, die ich halte.
Studiengänge: BBA/BGS
Alle Angaben sind (wie immer) ohne Gewähr. D.h. Fehler sind
menschlich und bitte ich somit zu entschuldigen...
Ingo Manfraß (TEAM Dr. Kowalski)
19. April 2015
Ingo Manfraß
§1
Grundlagen
§ 1.1 Mengen
Beispiel für Zahlenmengen
Natürliche Zahlen N
A, B, C, . . .
N = {1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . }
N0 = {0, 1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . }
Elemente
Ganze Zahlen Z
a, b, c, . . .
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Elementzugehörigkeit
a∈A
bzw.
A∋a
1
2
Mengenverknüpfungen
Rationale Zahlen Q
Q={
m
| m ∈ Z und n ∈ N}
n
Seien A, B Mengen
Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen ( 1
4 =
0.25) oder mit unendlich vielen periodischen Nachkommastellen ( 1
3 = 0.333 . . . ).
Durchschnittsmenge
A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}
Reelle Zahlen R
Alle rationalen Zahlen und die Zahlen, die unendlich viele nicht-periodische Nachkommastellen haben.
√
(z.B. 2, π, e ≈ 2.718 . . . )
3
Vereinigungsmenge
4
Differenzmenge
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B oder x ∈ A ∩ B}
A \ B = {x | x ∈ A und x ∈
/ B}
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Mengeninklusionen
Logische Operatoren
• A ist Teilmenge von B
• oder: ∨
d.h.: x ∈ A ⇒ x ∈ B
• und: ∧
A⊆B
• A ist gleich B
• Negation: ¬
A=B
• Implikationspfeil/Folgerungspfeil: ⇒
Wenn x in A ist, dann ist auch x in B:
d.h.: x ∈ A ⇔ x ∈ B
x∈A ⇒ x∈B
• Äquivalenzpfeil: ⇔
(x ∈ A ⇒ x ∈ B) und (x ∈ B ⇒ x ∈ A):
x∈A ⇔ x∈B
• A ist echte Teilmenge von B
A⊂B
bzw.
A(B
d.h.: A ⊆ B und A 6= B
7
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Für festes G mit A ⊆ G heißt
Ā = {x ∈ G | x ∈
/ A}
das Komplement von A (bzgl. G).
Ein Fazit für die obigen Zahlenmengen:
N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R
9
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Ebenfalls zu den Grundlagen gehört die Benutzung von
Quantoren:
• Für alle Elemente x der Menge A gilt die Aussage a:
∀ x ∈ A : a(x) gilt
• Es existiert ein Element x in A, für das die Aussage a
gilt:
Definition Es seien A, B zwei Mengen.
Das kartesische Produkt (auch Kreuzprodukt) A × B ist
die Menge aller geordneter Paare (a, b) mit a ∈ A und
b ∈ B:
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
∃ x ∈ A : a(x) gilt
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Beispiel X = Y = R und f : R → R mit x 7→ x2
§ 1.2 Funktionsbegriff
Definition Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Zuordnung zwischen den Elementen von X und Y .
Dann heißt f eine Funktion (oder Abbildung), wenn gilt:
∀x, x′ ∈ X :
x = x′ ⇒ f (x) = f (x′ )
13
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Definition Seien X, Y Mengen, f : X → Y . Dann heißen
Beispiel X = Y = [−1, 1], x2 + y 2 = 1
a) Definitionsbereich von f
Df := {x ∈ X | ∃y ∈ Y : f (x) = y}
b) Wertebereich von f
Wf := {y ∈ Y | ∃x ∈ X : f (x) = y}
c) Graph von f
Gf := {(x, y) ∈ X × Y | f (x) = y}
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§2
Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Beispiel einmaliger Würfelwurf
Ergebnis = Ausgang eines Zufallsexperimentes
§ 2.1 Grundlagen
Ω = Ergebnisraum
Zufallsexperiment = reproduzierbarer Vorgang, dessen Ausgang vom Zufall abhängig ist.
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= {alle Ergebnisse}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Aus Ereignissen A, B lassen sich neue Ereignisse konstruieren:
A ∩ B = A und B treten gleichzeitig ein.
Eine Teilmenge A ⊆ Ω heißt Ereignis“.
”
Speziell heißen Ereignisse, die nur aus einem Ergebnis bestehen Elementarereignisse“.
”
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Beispiel Zufallsexperiment: einmaliger Würfelwurf
C = Ereignis: gerade Augenzahl größer als 2
A ∪ B = A oder B oder beide treten ein.
Aufsplitten in kleinere“ Ereignisse
”
A=
=
B=
=
⇒
C=
21
22
Beispiel Zufallsexperiment: dreimaliger Münzwurf
C = Ereignis: mindestens 2 Wappen
Für einander ausschließende Ereignisse A, B gilt also
Ω=
A ∩ B = ∅ = {}
Stelle C als Vereinigung von Elementarereignissen dar.
( Primfaktorzerlegung“)
”
⇒
wobei ∅ das unmögliche“ Ereignis ist.
”
Dual dazu ist (ganz) Ω das sichere Ereignis“.
”
C=
24
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Definition Das Ereignis Ā heißt das zu A bzgl. Ω komplementäre Ereignis oder Gegenereignis“.
”
Dabei gilt offensichtlich:
A ∪ Ā = Ω
(Tautologie)
A ∩ Ā = ∅
(Kontradiktion)
Bezeichnung
|A| =Anzahl der Ergebnisse in A
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26
Es gibt 4 mögliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe
1) subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff
Ein Maß für die Sicherheit des Eintretens eines Ereignisses
A ist die Wahrscheinlichkeit:
W (A) = Wahrscheinlichkeit dafür, dass A eintritt
2) statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach von Mises)
3) klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach Laplace)
A Ereignis
⇒
Anzahl der Günstigen
Anzahl aller Möglichkeiten
|A|
=
|Ω|
W (A) =
28
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4) axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach Kolmogorov )
③ läßt sich auf endlich viele (sogar abzählbar unendlich
viele) paarweise einander ausschließende Ereignisse übertragen:
A1, A2, . . . , An paarweise einander ausschließend
① Jede Wahrscheinlichkeit ist eine eindeutig bestimmte reelle Zahl:
W (A) ∈ R
mit
0 ≤ W (A) ≤ 1
⇒
W (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) = W (
n
[
Ai )
i=1
= W (A1) + W (
② W (Ω) = 1
n
[
Ai )
i=2
= W (A1) + W (A2) + W (
③ spezieller Additionssatz
n
[
Ai )
i=3
A, B einander ausschließend
⇒
W (A∪B) = W (A)+W (B)
= W (A1) + W (A2) + · · · + W (An)
=
n
X
W (Ai)
i=1
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Vorgehensweise A als Vereinigung von Elementarereignissen darstellen und die Wahrscheinlichkeit W (A) mit
Laplace (und Kolmogorov) ausrechnen.
Beispiel Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl
= 4 ist?
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Für das Gegenereignis Ā = Augensumme 6= 4 ergibt sich:
Allgemein gilt für das Gegenereignis Ā eines Ereignisses A:
W (A) = 1 − W (Ā)
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Insbesondere gilt für die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ∅:
W (∅) = 0
Der allgemeine Additionssatz für beliebige (nicht notwendig einander ausschließende) Ereignisse: A, B beliebige Ereignisse
Begründung
W (A ∪ B) =
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A, B, C beliebige Ereignisse
Problem
W (A ∪ B) = W (A) + W (B) − W (A ∩ B)
Man sieht“: Es müssen Multiplikationssätze“ her!
”
”
W (A ∪ B ∪ C) =
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§ 2.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Gesucht: Die Wahrscheinlichkeit beim 2. Zug eine brauchbare Birne zu entnehmen (B) unter der Voraussetzung
(Bedingung), dass bereits die erste Birne brauchbar war
(A).
Fallbeispiel 6 Glühbirnenbeispiel, 1. Evolutionsstufe
Grundgesamtheit:
W (B unter der Bedingung A) = ?
Abk.:
W (B/A)
Stichprobe:
apriori-Ereignis
aposterioriEreignis
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1. Birne ist brauchbar
Vereinbarung: Die Glühbirnen sind durchnumeriert. 5 und
6 sind defekt.
Ω=
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6);
(2, 1);
2. Birne ist brauchbar
(2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6);
(3, 1); (3, 2);
(3, 4); (3, 5); (3, 6);
(4, 1); (4, 2); (4, 3);
(4, 5); (4, 6);
(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4);
(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5)
(5, 6);
1. und 2. Birne sind ( gleichzeitig“) brauchbar
”
41
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1. oder 2. Birne brauchbar
Da man beim 2. Zug voraussetzt, dass die erste Birne ok
ist (Bedingung A), steht für den 2. Zug nicht mehr der
ganze Ergebnisraum Ω zur Verfügung.
Im Sinne von Laplace ist also die Anzahl aller möglichen
Ergebnisse nicht mehr |Ω| = 30, sondern lediglich |A| = 20.
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Also hat man gemäß Laplace:
Es ergibt sich:
W (B/A) =
Satz allgemeiner Multiplikationssatz
W (A ∩ B) = W (A) · W (B/A)
=
=
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Definition A, B heißen stochastisch unabhängig, wenn das
Eintreten von A nicht vom Eintreten von B und das
Eintreten von B nicht vom Eintreten von A abhängig
ist.
Korrolar (Folgerung) spezieller Multiplikationssatz
W (B/Ā) = W (B/A)
A, B stochastisch unabhängig
⇒
W (A∩B) = W (A)·W (B)
Lemma (Hilfsatz)
A, B stochastisch unabhängig
⇒
W (B/A) = W (B)
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§ 2.3 Binäre Entscheidungsbäume
Wahrscheinlichkeit = Maßbegriff für Ereignisse
Fallbeispiel 6 Glühbirnenbeispiel, 2. Evolutionsstufe
Bezeichnung:
Bi = brauchbar im i-ten Zug
(i ∈ {1, 2})
Übersetzung“:
”
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Entscheidungsbaum
Allgemein:
W (/∆) =
W ( ∩ ∆)
W (∆)
W (B1/B2) =
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Musterklausur, Aufgabe 2 Zuerst die Checkliste“:
”
① Z = Zug verspätet
S = Schiff verspätet
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①
② geg.:
② Alle gegebenen Wahrscheinlichkeiten hinschreiben;
gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren
③ Baum so verzweigen, dass alle Wahrscheinlichkeiten
direkt eingetragen werden können
ges.:
④ Baum vervollständigen
⑤ Gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren/ermitteln
53
⑤
54
Fallbeispiel 5b)
③,④ Entscheidungsbaum
①
② geg.:
ges.:
⑤
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55
Fallbeispiel 5a)
③,④ Entscheidungsbaum
①
② geg.:
ges.:
⑤
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§ 2.4 Kombinatorik
③,④ Entscheidungsbaum
Binomialkoeffizient

 N 
=


n
N!
(N − n)! · n!
=
=
=
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Beispiel Wie Wahrscheinlich sind 6 Richtige im Lotto?
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Die hypergeometrische Verteilung
Voraussetzungen:
• Merkmal ist dichotom
• Merkmal ist diskret
• Ziehen ohne Zurücklegen (ZoZ)
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Wahrscheinlichkeitsfunktion
Variablen:
N
n
M
x

: Grundgesamtheitsumfang
: Stichprobenumfang
f (x) = W (X = x) =
: Anzahl der Merkmalsträger in der Grundgesamtheit
 

 M   N −M 

·

x
n−x


 N 

: Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe
n

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Fallbeispiel 6 Glühbirnenbeispiel, 3. Evolutionsstufe
X = Anzahl brauchbarer Birnen
Beispiel Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit im Lotto (6
aus 49) 3 bzw. 4 Richtige zu tippen.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten:
a) Genau 7 brauchbare zu ziehen.
b) Mindestens 1 brauchbare zu ziehen.
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§3
Lineare Algebra
(Matrizenrechnung)
Pro Stuhl werden 4 Beine benötigt
⇒
5 Stühle:
Beine
§ 3.1 Matrizen
Motivation: Möbelproduktion
Pro Stuhl wird 1 Lehne benötigt
⇒
x = Anzahl Stühle
y = Anzahl Hocker
5 Stühle:
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Pro Hocker werden 3 Beine benötigt
⇒
5 Hocker:
Tabelle:
Lehnen
Beine
Stuhl
Beine
→
Pro Hocker werden 0 Lehnen benötigt
⇒
5 Hocker:
Lehnen
69
Lehnen
70