M a th e I

Ingo Manfraß
Alle Angaben sind (wie immer) ohne Gewähr. D.h. Fehler sind
menschlich und bitte ich somit zu entschuldigen...
Zudem ist es nur für die Vorlesungen in Costs für den Bachelor
gedacht, die ich halte.
Dies’ ist kein Selbstlernskript, sondern lediglich als Hilfe
für die Vorlesung gedacht. Es enthält u.a. etliche Lückentexte.
19. April 2015
Ingo Manfraß (TEAM Dr. Kowalski)
Studiengänge: BBA/BGS
Modul: Grundlagen Rechnungswesen
Mathe I
bzw.
a, b, c, . . .
A∋a
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
Ganze Zahlen Z
N0 = {0, 1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . }
N = {1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . . }
Beispiel für Zahlenmengen
Natürliche Zahlen N
a∈A
Elementzugehörigkeit
Elemente
A, B, C, . . .
Grundlagen
§ 1.1 Mengen
§1
2
1
m
| m ∈ Z und n ∈ N}
n
A ∩ B = {x | x ∈ A und x ∈ B}
Durchschnittsmenge
Seien A, B Mengen
Mengenverknüpfungen
4
3
Alle rationalen Zahlen und die Zahlen, die unendlich viele nicht-periodische Nachkommastellen haben.
√
(z.B. 2, π, e ≈ 2.718 . . . )
Reelle Zahlen R
Zahlen mit endlich vielen Nachkommastellen ( 1
4 =
0.25) oder mit unendlich vielen periodischen Nachkommastellen ( 1
3 = 0.333 . . . ).
Q={
Rationale Zahlen Q
A \ B = {x | x ∈ A und x ∈
/ B}
Differenzmenge
A ∪ B = {x | x ∈ A oder x ∈ B oder x ∈ A ∩ B}
Vereinigungsmenge
6
5
x∈A ⇒ x∈B
A=B
A⊆B
d.h.: A ⊆ B und A 6= B
A⊂B
bzw.
• A ist echte Teilmenge von B
d.h.: x ∈ A ⇔ x ∈ B
• A ist gleich B
d.h.: x ∈ A ⇒ x ∈ B
• A ist Teilmenge von B
Mengeninklusionen
A(B
8
7
• Äquivalenzpfeil: ⇔
(x ∈ A ⇒ x ∈ B) und (x ∈ B ⇒ x ∈ A):
x∈A ⇔ x∈B
• Implikationspfeil/Folgerungspfeil: ⇒
Wenn x in A ist, dann ist auch x in B:
• Negation: ¬
• und: ∧
• oder: ∨
Logische Operatoren
N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R
Ein Fazit für die obigen Zahlenmengen:
das Komplement von A (bzgl. G).
Ā = {x ∈ G | x ∈
/ A}
Für festes G mit A ⊆ G heißt
10
9
11
A × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
12
Definition Es seien A, B zwei Mengen.
Das kartesische Produkt (auch Kreuzprodukt) A × B ist
die Menge aller geordneter Paare (a, b) mit a ∈ A und
b ∈ B:
∃ x ∈ A : a(x) gilt
• Es existiert ein Element x in A, für das die Aussage a
gilt:
∀ x ∈ A : a(x) gilt
• Für alle Elemente x der Menge A gilt die Aussage a:
Ebenfalls zu den Grundlagen gehört die Benutzung von
Quantoren:
x = x′ ⇒ f (x) = f (x′ )
Beispiel X = Y = R und f : R → R mit x 7→ x2
∀x, x′ ∈ X :
14
13
Definition Seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Zuordnung zwischen den Elementen von X und Y .
Dann heißt f eine Funktion (oder Abbildung), wenn gilt:
§ 1.2 Funktionsbegriff
15
Gf := {(x, y) ∈ X × Y | f (x) = y}
c) Graph von f
Wf := {y ∈ Y | ∃x ∈ X : f (x) = y}
b) Wertebereich von f
Df := {x ∈ X | ∃y ∈ Y : f (x) = y}
a) Definitionsbereich von f
16
Definition Seien X, Y Mengen, f : X → Y . Dann heißen
Beispiel X = Y = [−1, 1], x2 + y 2 = 1
Wahrscheinlichkeitsrechnung
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {alle Ergebnisse}
Ω = Ergebnisraum
Ergebnis = Ausgang eines Zufallsexperimentes
Beispiel einmaliger Würfelwurf
18
17
Zufallsexperiment = reproduzierbarer Vorgang, dessen Ausgang vom Zufall abhängig ist.
§ 2.1 Grundlagen
§2
A ∩ B = A und B treten gleichzeitig ein.
20
Aus Ereignissen A, B lassen sich neue Ereignisse konstruieren:
19
Eine Teilmenge A ⊆ Ω heißt Ereignis“.
”
Speziell heißen Ereignisse, die nur aus einem Ergebnis bestehen Elementarereignisse“.
”
⇒
A ∪ B = A oder B oder beide treten ein.
C=
=
B=
=
Aufsplitten in kleinere“ Ereignisse
”
A=
C = Ereignis: gerade Augenzahl größer als 2
Beispiel Zufallsexperiment: einmaliger Würfelwurf
22
21
C=
wobei ∅ das unmögliche“ Ereignis ist.
”
Dual dazu ist (ganz) Ω das sichere Ereignis“.
”
A ∩ B = ∅ = {}
Für einander ausschließende Ereignisse A, B gilt also
⇒
24
23
Stelle C als Vereinigung von Elementarereignissen dar.
( Primfaktorzerlegung“)
”
Ω=
C = Ereignis: mindestens 2 Wappen
Beispiel Zufallsexperiment: dreimaliger Münzwurf
(Kontradiktion)
A ∩ Ā = ∅
|A| =Anzahl der Ergebnisse in A
Bezeichnung
(Tautologie)
A ∪ Ā = Ω
Dabei gilt offensichtlich:
26
25
Definition Das Ereignis Ā heißt das zu A bzgl. Ω komplementäre Ereignis oder Gegenereignis“.
”
A Ereignis
⇒
W (A) =
28
Anzahl der Günstigen
Anzahl aller Möglichkeiten
|A|
=
|Ω|
3) klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach Laplace)
2) statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach von Mises)
1) subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff
Es gibt 4 mögliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe
27
W (A) = Wahrscheinlichkeit dafür, dass A eintritt
Ein Maß für die Sicherheit des Eintretens eines Ereignisses
A ist die Wahrscheinlichkeit:
mit
⇒
29
W (A∪B) = W (A)+W (B)
0 ≤ W (A) ≤ 1
⇒
n
[
Ai )
n
[
Ai )
n
[
Ai )
=
i=1
n
X
W (Ai)
30
= W (A1) + W (A2) + · · · + W (An)
i=3
= W (A1) + W (A2) + W (
i=2
= W (A1) + W (
i=1
W (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) = W (
A1, A2, . . . , An paarweise einander ausschließend
③ läßt sich auf endlich viele (sogar abzählbar unendlich
viele) paarweise einander ausschließende Ereignisse übertragen:
A, B einander ausschließend
③ spezieller Additionssatz
② W (Ω) = 1
W (A) ∈ R
① Jede Wahrscheinlichkeit ist eine eindeutig bestimmte reelle Zahl:
4) axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff (nach Kolmogorov )
32
Vorgehensweise A als Vereinigung von Elementarereignissen darstellen und die Wahrscheinlichkeit W (A) mit
Laplace (und Kolmogorov) ausrechnen.
31
Beispiel Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl
= 4 ist?
W (A) = 1 − W (Ā)
34
Allgemein gilt für das Gegenereignis Ā eines Ereignisses A:
33
Für das Gegenereignis Ā = Augensumme 6= 4 ergibt sich:
35
W (A ∪ B) =
36
Der allgemeine Additionssatz für beliebige (nicht notwendig einander ausschließende) Ereignisse: A, B beliebige Ereignisse
Begründung
W (∅) = 0
Insbesondere gilt für die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ∅:
W (A ∪ B) = W (A) + W (B) − W (A ∩ B)
37
38
Man sieht“: Es müssen Multiplikationssätze“ her!
”
”
Problem
W (A ∪ B ∪ C) =
A, B, C beliebige Ereignisse
39
Abk.:
W (B/A)
40
apriori-Ereignis
aposterioriEreignis
W (B unter der Bedingung A) = ?
Gesucht: Die Wahrscheinlichkeit beim 2. Zug eine brauchbare Birne zu entnehmen (B) unter der Voraussetzung
(Bedingung), dass bereits die erste Birne brauchbar war
(A).
Stichprobe:
Fallbeispiel 6 Glühbirnenbeispiel, 1. Evolutionsstufe
Grundgesamtheit:
§ 2.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
(6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5)
(5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4);
1. und 2. Birne sind ( gleichzeitig“) brauchbar
”
2. Birne ist brauchbar
(5, 6);
(4, 5); (4, 6);
(3, 4); (3, 5); (3, 6);
(2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6);
(4, 1); (4, 2); (4, 3);
(3, 1); (3, 2);
(2, 1);
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6);
1. Birne ist brauchbar
Ω=
42
41
Vereinbarung: Die Glühbirnen sind durchnumeriert. 5 und
6 sind defekt.
43
44
Im Sinne von Laplace ist also die Anzahl aller möglichen
Ergebnisse nicht mehr |Ω| = 30, sondern lediglich |A| = 20.
Da man beim 2. Zug voraussetzt, dass die erste Birne ok
ist (Bedingung A), steht für den 2. Zug nicht mehr der
ganze Ergebnisraum Ω zur Verfügung.
1. oder 2. Birne brauchbar
W (A ∩ B) = W (A) · W (B/A)
Satz allgemeiner Multiplikationssatz
Es ergibt sich:
=
=
W (B/A) =
Also hat man gemäß Laplace:
46
45
⇒
A, B stochastisch unabhängig
⇒
48
W (A∩B) = W (A)·W (B)
47
W (B/A) = W (B)
Korrolar (Folgerung) spezieller Multiplikationssatz
A, B stochastisch unabhängig
Lemma (Hilfsatz)
W (B/Ā) = W (B/A)
Definition A, B heißen stochastisch unabhängig, wenn das
Eintreten von A nicht vom Eintreten von B und das
Eintreten von B nicht vom Eintreten von A abhängig
ist.
Übersetzung“:
”
Bi = brauchbar im i-ten Zug
Bezeichnung:
(i ∈ {1, 2})
Fallbeispiel 6 Glühbirnenbeispiel, 2. Evolutionsstufe
§ 2.3 Binäre Entscheidungsbäume
Wahrscheinlichkeit = Maßbegriff für Ereignisse
50
49
W (B1/B2) =
Allgemein:
W (/∆) =
Entscheidungsbaum
W ( ∩ ∆)
W (∆)
52
51
⑤
ges.:
② geg.:
①
54
53
⑤ Gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren/ermitteln
④ Baum vervollständigen
③ Baum so verzweigen, dass alle Wahrscheinlichkeiten
direkt eingetragen werden können
② Alle gegebenen Wahrscheinlichkeiten hinschreiben;
gesuchte Wahrscheinlichkeit formulieren
① Z = Zug verspätet
S = Schiff verspätet
Musterklausur, Aufgabe 2 Zuerst die Checkliste“:
”
⑤
ges.:
② geg.:
①
Fallbeispiel 5b)
③,④ Entscheidungsbaum
56
55
⑤
ges.:
② geg.:
①
Fallbeispiel 5a)
③,④ Entscheidungsbaum
58
57
n

=
=
=
 N 

=

N!
(N − n)! · n!
Binomialkoeffizient
§ 2.4 Kombinatorik
③,④ Entscheidungsbaum
60
59
• Ziehen ohne Zurücklegen (ZoZ)
• Merkmal ist diskret
• Merkmal ist dichotom
Voraussetzungen:
Die hypergeometrische Verteilung
62
61
Beispiel Wie Wahrscheinlich sind 6 Richtige im Lotto?
: Anzahl der Merkmalsträger in der Grundgesamtheit
M
f (x) = W (X = x) =
Wahrscheinlichkeitsfunktion
x

n−x
n
 N 



 

 M   N −M 

·


64
63
: Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe
: Stichprobenumfang
n
x
: Grundgesamtheitsumfang
N
Variablen:
b) Mindestens 1 brauchbare zu ziehen.
a) Genau 7 brauchbare zu ziehen.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten:
X = Anzahl brauchbarer Birnen
Fallbeispiel 6 Glühbirnenbeispiel, 3. Evolutionsstufe
66
65
Beispiel Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit im Lotto (6
aus 49) 3 bzw. 4 Richtige zu tippen.
Lineare Algebra
Pro Stuhl wird 1 Lehne benötigt
⇒
5 Stühle:
5 Stühle:
68
Lehnen
Beine
67
(Matrizenrechnung)
Pro Stuhl werden 4 Beine benötigt
⇒
x = Anzahl Stühle
y = Anzahl Hocker
Motivation: Möbelproduktion
§ 3.1 Matrizen
§3
Stuhl
→
Pro Hocker werden 0 Lehnen benötigt
⇒
5 Hocker:
Pro Hocker werden 3 Beine benötigt
⇒
5 Hocker:
Lehnen
Beine
Tabelle:
70
Lehnen
Beine
69