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Freie Universität Berlin
Institut für Mathematik
Stochastik 1
Winter Semester 2015/16
29 Oktober 2015
Dozent: Prof. Tibor Szabó,
Tutoren: Jan Corsten, Fabian Fumagalli, Yizheng Yuan
Material
Jede Woche sollten Sie die entsprechende Abschnitte von dem Buch ”Elementare
Stochastik” nachlesen und verstehen. Dies ist sehr wichtig, damit Sie Unklarheiten
aus der Vorlesung klären können und Ihre Kenntnis des Materials festigen. Für
die jenigen die mehr wissen wollen, ist das Lesen aller Ergänzungsabschnitte und
Anhänge empfohlen.
Für die Klausur müssen Sie die Definitionen und Sätze auswendig können, und die
Beweise so gut verstehen, dass Sie diese wirklich selbst ausführen können (Idealerweise lernen Sie den Beweis nicht auswendig, sondern verstehen die Ideen und
Methoden, so dass Sie in der Lage sind, den Satz selbst zu beweisen.). Sie sollten
mit dem Lernen jetzt anfangen, andernfalls schaffen Sie das am Ende nicht.
Woche 1 Abschnitt 3.4, 3.5; Ursprung: Glückspiele; Menge Ω der mögliche
Ausgänge ist endlich; Urnemodellen: n Kugeln sind von einem Urne mit N numerierter Kugeln gezogen (geordnet/ungeordnet, mit/ohne Zurücklegen) Beispiele:
Kennzeichnen, Vereinwahl/Geburtstagsparadox, Lotto/Anzahl der Teilmengen einer
n-elementigen Menge, Teilchen in “Fächern”
Woche 2. Lesen und verstehen: Abschnitt 1.1, 1.2, 1.3 Zufallsexperimenten (Beispiele); Definitionen: Elementareignis, Ereignis, Menge der Elementarereignisse, σAlgebra, Beispiele (die kleinste, die größte σ-Algebra auf einer Menge, Partitionerzeugte σ-algebra); Wahrscheinlichkeitsmaß(disjunkte Folge von Teilmengen einer
Menge), Wahrscheinlichkeitsraum, Beispiele (Laplace Raum, Punktmaß) Satz über
Eigenschaften von σ-Algebren (∅, endliche Vereinigung, endliche/unendliche Schnitt,
Differenz); Satz über Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen (∅, “Additivität,
“Monotonität”, “Subadditivität” (“Union bound”), “Stetigkeit nach oben”, “Stetigkeit nach unten”)
Woche 3. (Abschnitt: 2.1, 3.5, 5.1, 5.2, 5.3)
Characterizierung von W-Räume
auf einer höchstens abzählbaren Menge Ω (BijekP
tion zu Folgen (pω )ω∈Ω , pω ). Beispiele: Laplaceraum (nur für endliche Ω), Bernoulliraum, Hypergeometrische Verteilung, Binomial Verteilung (Notationen abweichen von Buch); Approximation der hypergeometrische Verteilung durch die binomial Verteilung, Poisson Verteilung (Approximation der binomial Verteilung durch
die Poisson Verteilung; Anwendung: Anzahl der Erfolgen unter viele unabhängige
Bernoulli Versuchen mit winziger W-keit; Wahlen den λ); Maximum-likelyhoodschätzung;
Woche 4. (Abschnitt: 2.1, 4.1, 4.2, 4.3) Geometrische Verteilung; bedingte Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter Ereignis B (Beispiele: Die W-keit von A kann
steigen, sinken, und gleich bleiben wenn man sie unter eine Bedingung stellt.) Einfache Eigenschaften der bedingten W-keit (W-Maß auf der Spur σ-algebra) Unabhängigket von zwei Ereignisse, Die Ereignisse die von einem fixierten Ereignis A
unabhängig sind, formen einen Dynkin-system. (Was ist ein Dynkin-system?); Satz
der totalen Wahrscheinlichkeit; Satz von Bayes, Beispiel aus der Medizin (Krankheitstest). Beispiel: Ein Ereignis A, das von B und auch von C unabhängig ist
aber B und C zusammen bestimmen A. Unabhängigkeit eines Ereignisses A von
einer Menge von Ereignissen. (Bem: Definition weicht vom Buch ab, vergleiche Satz
4.3.2) Unabhängigkeit einer Menge von Ereignissen A1 , . . . An , Satz: Äquivalenz zur
Unabhängigkeit aller Ereignisse von den anderen.
Woche 5. (Abschnitt: 1.7, 1.4, 1.5, 1.6 (erste Teil)) Warum braucht man die Begriff von einer σ-algebra? Eine “verrückte Menge”(Es existiert keine “sinnvollen”
“gleichverteilte” W-Maß (d.h. Translationinvariant) auf Ω = [0, 1] die misst die
Wahrscheinlichkeit von alle Teilmengen. (Auswahlaxiom!)). Satz: Existenz und eindeutigkeit der von M erzeugte σ-algebra; Beispiele: Explizite Beschreibung der erzeugten σ-Algebra von endlichen Mengensystemen (Hausaufgabe) und der erzeugten
σ-Algebra von einelementigen Teilmengen einer beliebigen Menge Ω. (Bemerkung:
Beschreibung wenn M beliebig ist.) Definition von Borelmengen in R. Beispiele
von Borelmengen. (abgeschlossene, halboffene Intervalle, rationale Zahlen, Urbilder
von Intervallen unter stetigen Funktionen ...) Die σ-Algebra der Borelmengen wird
von dem Mengensystem der offenen Intervalle erzeugt. Verschiedene abzählbare Erzeugern von der σ-Algebra der Borelmengen (Hausaufgabe) Borelmengen auf einen
Interval, Borelmengen auf Rn . Eigenschaften von Borelmengen (Urbilder von Borelmengen sind Borelmengen. Korolläre.)
Woche 6. (Abschnitt 2.2, 2.4, 1.6) Dichtefunktion, durch eine Dichtefunktion definierter W-Raum (Satz 2.2.1, ohne genauen Beweis), Gleichverteilung auf einem beschränkten Interval; Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 vs. unmögliche Ereignisse.
Gleichverteilung auf beschränkten Teilmengen von R2 und Rn (Flächeninhalt- und
Volumenverhältnis). Die Wahrscheinlichkeit von einem gleichverteilt ausgewählten
zufälligen Punkt in der Nähe des Randes eines Hyperquadrates zu sein. “Rein
zufällige” Sehne in einem Kreis: drei Varianten. Definition der Exponentialverteilung
und der Normalverteilung (Eigenschaften der Dichtefunktion beweisen) Die Tabelle
der Normalverteilung um die Wahrscheinlichkeiten auszurechnen (Warum braucht
man eine Tabelle?) Zu einem W-Maß P gehörige Verteilungsfunktion. Wie kann
man Verteilungsfuktionen von W-Maßen auf beliebigen Borelmengen in R auf ganz
R auffassen? Beispiele: Würfel, Gleichverteilung auf [0, 3]. Zuordnung P → FP ist
injektiv (Beweis: allgemeine Satz über die Eindeutigkeit einer W-Maß (Satz 1.6.5))
Woche 7. (Abschnitt 1.6, 2.4, 3.1, 3.2) Existenz einem eindeutigen kleinsten
Dynkin-system das von einem Mengensystem M erzeugt ist. Das erzeugten Dynkin
system eines schnitt-stabiles Mengensystem ist ein σ-Algebra. (Satz 1.6.4), Eigenschaften von Verteilungsfunktionen (Hausaufgabe), Die Dichte einem Maß P mit
stetig differenzierbare Verteilungsfunktion FP (Lemma 2.4.2) (In Beweis: Hauptsatz
der Differenzial- und Integralrechnung), Angenommen, man kann die Gleichvertei-
lung simulieren, wie kann man dann einen Raum mit Dichtefunktion simulieren
(Satz 2.4.3)? Beispiele: wie simuliert man die Verteilung mit Dichtefunktion 23 x + 32
auf [0, 1]? Wie simuliert man die Exponentialverteilung? Definition: Zufallsvariable.
Beispiele: Lotto, zwei Würfel, Abstand zum Nullpunkt. Warum muß man die eher
technische Bedingung an die Urbilder der Elemente der Bild-σ-Algebra fordern?
Beispiel: Indikatorfunktion eines Ereignisses. Definition: Zufallsvariable induzierte
Wahrscheinlichkeitsmaß, Wahrsheinlichkeitsraum (Satz 3.2.1). Was ist zu eine reelwertige Zufallsvariable gehörige Verteilungsfunktion? Beispiele: Lotto, Augensumme
von zwei Würfeln, Indikatorfunktion, Abstand zum Nullpunkt.
Woche 8. (Abschnitt 3.1, 3.2, 3.3) Durch welche einfache Bedingung sind reellwertige Zufallsvariables und Zufallsvariables mit höchstens abzählbar viele Werten charakterisiert (Satz 3.1.2)? Linear Kombinationen, Produkte, und Quotiente
von Zufallsvariablen, Suprema, und punktweise Limites von Folgen von Zufallsvariblen sind wieder Zufallsvariable (Satz 3.1.4). Beispiele von Zufallsvarible auf ein
abgeschlossene Interval die eine diskrete Raum induzieren, und die weder eine diskrete Raum noch eine Raum mit Dichte induzieren (Teil Hausaufgabe); Wie kann
man die Dichtefunktion von einem W-Maß berechnen welches von einer “schönen”
(stetig differenzierbare mit positive derivative) Zufallsvariable induziert ist auf einem W-Raum mit stetiger Dichtefunktion (Satz 3.2.3)? Beispiele für Dichtefunktion
der induzierte W-Raum: (konkretes; Simulationssatz); Erwartungswert für diskrete
Räume (Motivation und Definition) Beispiel für Zufallsvariable wobei Erwartungswert nicht existiert (Warum?) Erwartungswert von Gleichverteilung, Bernoulliverteilung, Poissonverteilung, geometrische Verteilung, Erwartungswert für Räume mit
Dichten (Motivation und Definition)
Woche 9. (Abschnitt 3.3, 4.4) Erwartungswert von Exponentialverteilung und Normalverteilung (Hausaufgabe)? Einfache Eigenschaften von Erwartungswert. (Linearität, Monotonität, Indikator Zufallsvariable) Beispiel: Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung. (Hausaufgabe)
Wie kann man den Erwartungswert von X durch PX ausdrücken? (diskrete, und
mit Dichte) Definition von Varianz und Streuung einer Zufallsvariablen. Beispiele:
Laplaceverteilung, Exponentialverteilung.
Einfache Eigenschaften von Varianz und Streuung (Satz 3.3.9).
Unabhängigkeit von zwei Zufallsvariablen. Wie kann man das nachprüfen (Lemmas
4.4.1)?
Woche 10. (Abschnitt 4.4, 2.4 (Normalverteilung)), 4.6) Wie kann man die Unabhängigkeit von zwei diskreten Zufallsvariablen einfach nachprüfen? (Satz 4.4.3)
Wie ist Unabhängigkeit von X und Y durch die Dichtefunktionen von X, Y , und
(X, Y ) charakterisierbar? Wie kann man die Normalverteilung simulieren? Definition: Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn sind unabhängig. Unabhängigkeit von Zufallsvariablen die von disjunkten Teilmengen einer unbhängigen Menge von Zufallsvariablen
bestimmt sind. (Satz 4.4.8, ohne Beweis). Beispiel. Was weiß man über den Erwartungswert eines Produkts zweier unabhängigen Zufallsvariablen? Was folgt daraus
für die Varianz der Summe von unabhängigen Zufallsvariablen? Was ist das Wurzel-n
Gesetz?
Woche 11. (Abschnitt 4.5, 4.6, 5.1) Wie kann man das Produkt von unendlich vielen
Zufallsvariable definieren? Satz (Eigenschaften der Projektionen in Produkt) Was
besagt der Klonsatz? Beispiele, Bernoulliraum, endliche Produkten, Binomialverteilung; die negative Binomialverteilung; Was versteht man unter der diskrete Faltung
zwei diskrete Zufallsvariablen auf N0 ? Beispiel: Faltung von zwei unabhängige Zufallsvariable mit Poissonverteilung. Wie ist die Faltung zweier Funktionen definiert?
Woche 12. (Abschnitt 4.6, 5.1, 6.1, 6.3) Was ist die Dichtefunktion von der Summe zweier unabhängigen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion? Beispiel: Gleichverteilung. Unter welchem heuristischen Voraussetzungen kann man das Warten auf
Anrufen in einem Versicherungsbüro modellieren? Was folgt davon für die Zeitpunkt des erste Anruf? (Exponentialverteilung) Kontinuierliche Wartezeiten, Charakterisierung als Exponential-Verteilungen (Satz 6.1.3), Beispielen, Wartezeiten
diskreter Fall, Charakterisierung als geometrische Verteilungen (Satz 6.3.2), Summen/maximum/minimum von unabhängigen diskreten Zufallsvariablen, alles mit
Beispielen. Summen von unabhängige Wartezeiten mit Dichtefunktion. (Beispielen,
Gammaverteilung (Definition))
Woche 13. (Abschnitt 6.2, 7.1, 7.2, 8.1, 8.2) Minimum (Satz 6.2.4) und Maximum
(Satz 6.2.3) (auch Erwartungswert) von Wartezeiten mit Dichtefunktion. Beispiele.
Motivation: die Durchschnitt von n unabhängige Münzwürfen wenn n sehr gross
ist. Was versteht man unter “Konvergenz in Wahrscheinlichkeit”? Beispiele. Erinnerung: punktweise Konvergenz. Beispiel: Folge die in Wahrscheinlichkeit konvergiert,
aber an keiner Stelle punktweise. Fast sichere Eindeutigkeit des Limes, Schwaches
Gesetz der großen Zahlen. Beispiel: Ehrenfest-Modell. Beispiel: Warum ist man mit
dem schwachen Gesetz nicht zufrieden? Was versteht man unter “punktweiser fast
sicherer Konvergenz”? Fast sicher Konvergenz impliziert Konvergenz in Wahrscheinlichkeit, Starkes Gesetz der großen Zahlen,
Woche 14. (Abschnitt 8.1, 8.3, Skript, Ergänzung: Buch Abschnitte 5.4, 8.4) Was
versteht man über dem Limes Superior A∞ einer Ereignisfolge A1 , A2 , . . . ,? Wie
kann man A∞ formal mit Vereinigungen und Durchschnitten von der Ai ausdrücken?
Was sagen die zwei Borel-Cantelli Lemmas? Beispiel dafür, dass die Unabhängigkeit
in Teil (ii) notwendig ist. Anwendungen: Urnbeispiel für 0/1-Gesetz, Affe an der
Schreibmaschine. Anwendung des starken Gesetzes: Normale Zahlen. Stirling Formel (ohne Beweis), Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Satz von de Moivre-Laplace. Konvergenz in Verteilung (definiert durch Verteilungsfunktionen, siehe Skript). Konvergenz in Verteilung folgt aus Konvergenz
in Wahrscheinlichkeit (ohne Beweis), Zentraler Grenzwertsatz als veralgemeinerung
des Satzes von de Moivre-Laplace, Bedeutung.
Woche 15-16 Skript (4.1-4.5), (Ergänzung: Buch Abschnitte 10.1-10.5 und 11.111.3)
Orangeimporteurbeispiel: Parameter schätzen, Konfidenzinterval, Hypothesetesten;
Parameterschätzen: Stichprobenraum, Was ist ein parametrisches statistisches
Modell? Was versteht man unter einem Schätzer? Was ist ein erwartunswerttreuschätzer? Ein bester Schätzer? Beispiele. Maximum likelyhood Schätzer; Beispiele;
Konfidenzintervalle: Was ist eine Konfidenzabbildung zum Irtummsniveau α. Beispiele (Münzwurf, Wahlprognose)
Testen von Hypothesen: Wie verhalten sich Nullhypothese und Alternativehypothese
zueinander? Was ist ein Fehler erster bzw. zweiter Art? Was ist ein deterministischer, bzw. randomisierter Test? Was versteht man unter Annahme-, bzw. Ablehnungsbereich? Wie ist die Gütefunktion eines Tests definiert? Was versteht man
unter einem Test, bzw. besten Test zum Irrtumsniveau α? Beispiel (Medium-test
(Georgii)) Durch welche Bedingung ist ein Neyman-Pearson -Test definiert? Was
sagt der Satz von Neyman-Pearson?