ZAHLENFOLGEN Teil 2

ZAHLENFOLGEN
Teil 2
Geometrische Folgen
Auch Wachstumsfolgen
Viele Aufgaben
Lösungen nur auf der Mathe-CD
Hier nur Ausschnitte
Datei Nr. 40012
Friedrich Buckel
März 2002
Internetbibliothek für Schulmathematik
40012
Geometrische Folgen
1
4 Geometrische Folgen
4.1
Definition und erste Beispiele
Eine Zahlenfolge heißt geometrisch, wenn der Quotient
aufeinanderfolgender Glieder konstant ist.
an+1
= q (1)
an
Beispiele
a)
3 →
48 →
⋅2 6 →
⋅2 12 →
⋅2 24 →
⋅2
⋅2 ...
Die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder sind stets 2:
b)
1
1
8 
⋅0,5 → 4 
⋅0,5 → 2 
⋅0,5 → 1 
⋅0,5 → 2 
⋅0,5 → 4 ...
Die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder hier
c)
a
a2
a
= 2 = 3 = 4 = ...
a1
a 2 a3
1
2
:
a 2 1 a3 a 4
= =
=
= ...
a1 2 a2 a3
Für die Aufgabe „Prüfe nach, ob eine geometrische Folge vorliegen kann“
a1 = 94 ; a2 = 34 ; a3 = 4 ; a4 = 12 ; ...
müssen diese Quotienten berechnet werden:
4
a
a
4
3
4 9
q = 2 = 34 = ⋅ = 3 ; q = 3 = 4 = 4 ⋅ = 3 ;
a2 3
4
a1 9 3 4
q=
a 4 12
=
= 3 ; ...,
a3
4
Weil diese Quotienten gleich sind, kann eine geometrische Folge vorliegen.
Man sagt „kann“, weil es zahllose weitere Folgen gibt, die z. B. ab a5 oder später
abweichen und keine geometrische Folge bilden.
d)
Die Folge
Lösung:
{ 12 ; − 6
}
2 ; 6 ; − 3 2 ; 3 ; − 32 2 ; ... ist zu untersuchen.
a 2 −6 2
2
1
=
=−
=−
;
a1
12
2
2
a 4 −3 2
2
1
=
=−
=−
;
a3
6
2
2
a3
6
1
=
=−
;
a 2 −6 2
2
a5
3
1
=
=−
a 4 −3 2
2
a6 − 32 2
1
1
=
=−
2 =−
;
a5
3
2
2
Da alle möglichen Quotienten aufeinander folgender Zahlen gleich
1
sind, liegt eine geometrische Folge vor.
groß, nämlich q = −
2
40012
4.2
Geometrische Folgen
2
Die innere Struktur von geometrischen Folgen
an+1
= q konstant sein sollen, folgt diese
an
Aus der Definition, wonach die Quotienten
an+1 = an ⋅ q
Gleichung:
(2)
Sie zeigt, wie man vorgehen muß, um eine arithmetische Folge zu erzeugen.
Beispiel 1:
Man wählt ein erstes Glied der Folge, etwa a1 = 3 und z.B. q = 5
Dann folgt nach (2):
a2
a3
a4
a5
= a1 ⋅ q = 3 ⋅ 5 = 15
= a2 ⋅ q = 15 ⋅ 5 = 75
= a3 ⋅ q = 75 ⋅ 5 = 375
= a4 ⋅ q = 375 ⋅ 5 = 1875
usw.
Dieses Vorgehen läßt sich sehr gut graphisch darstellen:
a1
→
⋅q
a2
→
⋅q
a2 = a1 ⋅ q
a3
→
⋅q
a4
→
⋅q
a5
→
⋅q
a6
→
⋅q
a 4 = a3 ⋅ q
a3 = a1 ⋅ q2
a7 = a5 ⋅ q2
a 4 = a1 ⋅ q3
a2 = a5 / q3
a6 = a1 ⋅ q5
a 3 = a 7 / q4
Folglich kann man a4 auch direkt aus a1 berechnen:
a4 = a1 ⋅ q3
Oder a6 aus a1 :
a6 = a1 ⋅ q5
Oder a7 aus a5 :
a7 = a7 ⋅ q2
Oder a12 aus a5 :
a12 = a5 ⋅ q7
Oder an aus am (n>m): an = am ⋅ qn−m
Oder an aus a1 :
an = a1 ⋅ qn−1
Oder an aus a2 :
an = a2 ⋅ qn−2
Oder in umgekehrter Richtung: a2 aus a5 :
Oder a3 aus a7 :
Bei unserer Beispielfolge gilt somit
an = 3 ⋅ 5n−1 .
a5
3
q
a
a3 = 74
q
a2 =
usw.
a7
40012
Geometrische Folgen
Beispiel 2: Gegeben ist die Folge
3
{ 81 ; 41 ; 21 ; 1; 2 ; 4 ; ...}
Zeige, daß es sich um eine arithmetische Folge handeln kann.
Stelle eine Berechnungsformel für an auf.
Lösung:
a2
=
a1
1
4
1
8
a3
=
a2
= 41 ⋅ 8 = 2 ;
1
2
1
4
= 21 ⋅ 4 = 2 ;
a5 2
= = 2;
a4
1
a4 1
= 1 = 2;
a3
2
a6 4
= =2.
a5
2
Da alle möglichen Quotienten aufeinander folgender Zahlen gleich
groß, nämlich q = 2 sind, liegt eine geometrische Folge vor.
Berechnung von an :
an = a1 ⋅ qn−1 = 81 ⋅ 2n−1
Dies läßt sich umformen:
an = 2−3 ⋅ 2n−1 = 2n−4
1 2n
1 n
⋅ =
⋅ 2 usw.
8 2 16
1
1
Beispiel 3: Von einer geometrischen Folge kennt man a3 =
und a6 = .
64
8
Berechne q, a1 und a15 .
an =
Oder:
Lösung:
a6
=
a3
1
8
1
64
1 64
⋅
= 8 ⇒ q = 3 8 = 2.
8 1
1
a
1
1
Also wird a1 = 32 = 642 =
=
q
2
64 ⋅ 4 256
1
Und schließlich:
⋅ 2n−1
an = a1 ⋅ qn−1 =
256
Mit den Regeln der Potenzrechnung kann man diesen Term verändern:
2n
1 2n
1
2n
213
n −1
n
⇒ an =
⋅
=
⋅ 2 = 9 z.B. für a13 = 9 = 24 = 16
2 =
2
256 2 512
2
2
q3 =
=
Beispiel 4: Von einer geometrischen Folge kennt man a2 = 9 und a7 =
1
.
27
Berechne q , a1 und an .
q5 =
a
9
a7
1
1
1
1
=
= 3 2 = 5 ⇒ q=
ergibt a1 = 2 = 1 = 9 ⋅ 3 = 27 .
2
q
a
27 ⋅ 9 3 ⋅ 3
3
3
3
n −1
an = a1 ⋅ q
 1
= 27 ⋅  
3
n −1
n
n
1 81
 1 1
 1
= 27 ⋅   : = 81⋅   = 81⋅ n = n = 81⋅ 3 −n
3
3
3 3
3
40012
Geometrische Folgen
4
Beispiel 5: Von einer geometrischen Folge kennt man a3 = 4 und a6 = 8 2 .
Berechne a9 und an .
q3 =
3
a6 8 2
=
=2 2 = 2 ⇒ q= 2
3
a
4
a9 = a6 ⋅ q3 = 8 2 ⋅ 2 2 = 16 ⋅ 2 = 32
Die Formel für an kann man von a1 aus bestimmen, also so an = a1 ⋅ qn−1
Aber dazu muß man zuerst a1 kennen. Gut, wer will, kann dies berechnen:
a1 =
a3 4
= = 2 . Dann erhält man
2
2
q
n −1
an = a1 ⋅ q
= 2⋅ 2
n −1
2
= 2⋅
n
n
= 2 2 = 2
2
n +1
Man kann aber genauso von a3 aus rechnen, das geht dann so:
n −3
an = a3 ⋅ q
Daraus folgt dann
= 4⋅ 2
an = 2
n −3
n +1
2
= 2 ⋅2
2
( )
= 2
n −3
2
1 n +1
2
=2
n 3
2+ −
2 2
=2
1 n
+
2 2
= ( 2)
n +1
Beispiel 6: Von einer geometrischen Folge kennt man a4 = 3 und a8 = 27
Berechne alle Glieder von a1 bis a7 und an.
q4 =
a8 27
=
= 9 ⇒ q = ±4 9 = ± 3
4
a
3
ACHTUNG:
Mit a1 =
Es gibt zwei passende geometrische Folgen,
a4
3
1
=
=
3
q
3 3
3
Daraus folgt:
und mit a1 * =
a2 = a1 ⋅ q = ±
1
3
a4
3
1
=
=−
3
q
−3 3
3
⋅ ( ± 3 ) = +1
(eindeutig!)
a 3 = a 2 ⋅ q = 1⋅ ( ± 3 ) = ± 3
a 4 = a3 ⋅ q = ± 3 ⋅ ( ± 3 ) = 3
(eindeutig!)
a6 = a5 ⋅ q = ±3 3 ⋅ ( ± 3 ) = 9
(eindeutig!)
a5 = a4 ⋅ q = 3 ⋅ ( ± 3 ) = ±3 3
a7 = a6 ⋅ q = 9 ⋅ ( ± 3 ) = ±9 3
40012
Geometrische Folgen
n −1
an = a1 ⋅ q
und
=±
1
5
⋅ (± 3 )
3
Diese beiden Folgen kann man so darstellen:
1
3
3 3
3
1
3
1
−
− 3
−3 3
3
n −1
=±
1
3
⋅
(±
3)
n
± 3
=
n
1
(± 3 )
3
9 3
9
27
−9 3
Man beobachtet, daß hier zwei Folgen verknüpft sind. Sie treffen sich immer
bei jedem übernächsten Glied, weil bei eben bei q2 der Vorzeichenunterschied
weg fällt. Die untere Folge ist wegen negativem q alternierend (d.h. sie wechselt
ständig das Vorzeichen.
Aufgaben
(1)
Untersuche, ob eine geometrische Folge vorliegt. Wenn ja, erstelle den
Funktionsterm für an .
(a)
(b)
(c)
(d)
(2)
a3 = 15 ; a5 = 375 ; a8 = 46875
a3 = 18 ; a6 = 94 ; a8 = 329
a2 = 36 ; a4 = 81; a7 = 2187
8
a1 = −27 ; a3 = −3 ; a4 = 1
Gegeben ist eine geometrische Folge durch 2 Glieder. Berechne die
angegebenen Glieder der Folge sowie den Funktionsterm für an .
= 54 ; a3 = 252 ; a1 = ? ; a4 = ?
= 1 ; a6 = 81 ; a10 = ? ; a1 = ?
= 24 ; a6 = 323 ; a8 = ? ; a11 = ?
= 144 ; a7 = 729
; a 2 = ? ; a5 = ?
16
(a)
(b)
(c)
(d)
a2
a3
a4
a3
(e)
a3 = 4 ; a 6 = 8 2 ; a 4 = ? ; a5 = ?
(f)
a5 = 3 3 ; a8 = 27 ; a2 = ? ; a6 = ?
40012
4.3
Geometrische Folgen
6
Exponentialfolgen sind Geometrische Folgen
In all unseren Beispielen enthielt der Term für an die Variable n im Exponenten. Es
lag also stets eine Exponentialfunktion vor. Dies zeigt ja schon die hergeleitete Formel
an = a1 ⋅ q
n −1
Wir wollen nun einige solche Exponentialfolgen untersuchen.
2n
Gegeben ist die Folge an durch an =
.
Beispiel 7:
32
Zeige, daß eine geometrische Folge vorliegt.
2n+1
a
2n+1 32
q = n+1 = 32n =
⋅
= 2 ist konstant.
2
an
32 2n
32
3n−4
Gegeben ist die Folge an durch an = n+1 .
7
Zeige, daß eine geometrische Folge vorliegt.
Beweis:
Beispiel 8:
Lösung auf CD
(
Gegeben ist die Folge an durch an = − 3 2
Beispiel 9:
)
n−2
.
Zeige, daß eine geometrische Folge vorliegt.
Lösung auf CD
2− 1n
Gegeben ist die Folge an durch an = 4 2 .
Zeige, daß eine geometrische Folge vorliegt.
Beispiel 10:
Lösung auf CD
Liegt bei an = 12 − 2n eine geometrische Folge vor ?
Beispiel 11:
Lösung auf CD
SATZ:
Jede Folge der Bauart
an = a ⋅ bn oder an = b r⋅n+s
ist eine geometrische Folge.
Beweis:
auf CD
40012
Geometrische Folgen
7
Aufgaben
(3)
(4)
Berechne die ersten 5 Glieder dieser Folgen:
(a)
an = 23n
(b)
an = 3 ⋅ 2n+1
(d)
an = 3 ⋅ 24−n
(e)
an = 10 ⋅ ( 32 )
(g)
an = ( 52 )
(h)
an =
n −1
2
3n
(f)
(i)
an = 3 − 2n + 2
3
an = n−1
2
2n−2
an = 48 ⋅ n+1
3
Schalte zwischen die beiden gegebenen Zahlen die passenden Zahlen, so daß
eine geometrische Folge entsteht.
(a)
(5)
1−n
(c)
a1 = 8 ; a5 = 64
(b)
a1 = 5 ; a4 = 6
Schalte zwischen diese Zahlen so wenig wie möglich neue, so daß eine
geometrische Folge entsteht.
(a)
a3 = 2 ; b = 2 2 ; c = 8
(b)
b = 12 ; a5 =
(c)
b = 21 ; c = 4 ; a7 = 128 2
4
3
;c =
4
81
40012
4.4
Geometrische Folgen
8
Logarithmen für Geometrische Folgen
Grundaufgaben:
(G1) Gegeben ist die Folge an = 2n .
Ist b = 131 072 ein Glied dieser Folge ?
Lösung:
Es muß also gelten:
an = 2 = 131072
n
2 = 131072
n
(1)
Die Unbekannte n steht im Exponenten. Es gibt nur eine Möglichkeit, diese
von dort herunter zu holen, das ist die Anwendung des 3. Logarithmengesetzes.
Dieses heißt:
logb an = n ⋅ logb a
Demnach gilt auch
logb 2n = n ⋅ logb 2 .
Man nimmt nun eine solche Basis, deren Logarithmen im Taschenrechner
eingearbeitet sind. Beispielsweise die Zehnerlogarithmen, also die Logarithmen
zur Basis 10. Diese schreibt man entweder so: log10 2 oder nach alter
Tradition kurz lg 2 . Auf den Taschenrechnern trägt die Taste dafür den
Aufdruck „log“ . Die Taste ln x ist ein andere Logarithmusfunktion, nämlich
zur Basis e = 1,71828... , das ist die Eulersche Zahl. Man könnte sie auch
verwenden.
Wir logarithmieren also die Gleichung (1), d.h. wir nehmen von beiden Seiten
den Logarithmus:
lg 2 n = lg 131072
Nun wenden wir auf die linke Seite das 3. Logarithmengesetz an:
n ⋅ lg 2 = lg 131072
und dividieren durch lg 2:
n=
Ergebnis:
lg 131072
= 17
lg 2
2 = 131072 , also ist b = a17 .
17
Viel mehr auf CD
40012
Geometrische Folgen
9
AUFGABE 6
(a)
(b)
(c)
Ist z = 17.294.403 ein Glied der Folge an = 3 ⋅ 7n ?
1
Ist z =
ein Glied der Folge an = 3 −n
531 441
Ist z = 358 271 148 ein Glied der Folge an = 21 ⋅ 4n ?
AUFGABE 7
(a)
Ab welcher Nummer sind die Glieder der Folge bn größer als die der Folge an ?
Dabei ist gegeben:
an = 758 ⋅ 4n und bn = 5 ⋅ 6n .
(b)
Ab welcher Nummer sind die Glieder der Folge bn kleiner als die der Folge an ?
n
n
Dabei ist gegeben:
an = 2,5 und bn = 890 ⋅ 2 .
(c)
Ab welcher Nummer sind die Glieder der Folge bn größer als die der Folge an ?
an = 412− n und bn = 2 ⋅ 3− n .
Dabei ist gegeben:
AUFGABE 8
(a)
Die Folge an = 3−n besteht aus lauter positiven Gliedern und fällt.
Wird die Folge kleiner als 10-12 ? Und wenn ja, ab welcher Nummer ?
(b)
Ab welchem n ist an = 25−3n
(c)
Ab welchem n ist an = ( 54 )
(d)
Ab welchem n ist an =
n
kleiner als 10 –20 ?
kleiner als 10 –10 ?
240
4n
kleiner als 10 –12 ?
AUFGABE 9
(a)
Ab welcher Nummer n ist an = 8n größer als 10 Milliarden ?
(b)
Ab welcher Nummer n ist an = 34 ⋅ 2n größer als 10 15 ?
(c)
Zeige, daß jede noch so große Zahl M ab einer bestimmten Nummer n
überschritten wird:
(d)
an = ( 32 ) .
n
Zeige, daß jede noch so große Zahl M ab einer bestimmten Nummer n
5n+1
überschritten wird:
an = n−2 .
2
40012
4.5
Geometrische Folgen
10
Geometrische Folgen aus der Geometrie
AUFGABE 10
Nebenstehende Streckenschnecke entsteht,
indem man von 4 Geraden ausgeht, die
a3
miteinander jeweils 45o bilden.
A3
A2
Dann beginnt man mit einem Punkt A1, der
a1
vom Mittelpunkt M die Entfernung (z.B. z = 8)
A4
hat. Von A1 aus fällt man das Lot im
Uhrzeigersinn auf die nächste Gerade bis A2.
A1
Von dort aus fällt man wieder das Lot bis A3
usw. So entsteht eine Folge von Strecken
a1 , a2 , .....
Berechne a1 bis a5 sowie an . Zeige, daß eine geometrische Folge vorliegt.
Berechne a20. Was läßt sich vermuten ?
a2
AUFGABE 11
Z
Nebenstehende Abbildung erzeugt eine
geometrische Punktfolge P1, P2 , P3 , ...
In ihr entsteht so die Streckenfolge
P1P2 , P2P3 , P3P3 , usw.
Berechne die zugehörigen Streckenlängen
und stelle einen Funktionsterm für das
allgemeine Glied der Folge auf.
b
a
P1 P2
P3
P4
P2 '
P3 '
c
P1 '
Wähle z. B: a = 3 cm, b = 6 cm und
c = 1 cm.
AUFGABE 12
k
h
A3
A2
A1
B3
Die Gerade g bildet mit h einen 45o Winkel,
g und k dagegen 60o .
Wir wählen einen beliebigen Punkt A1 auf k
und konstruieren der Reihe nach die Punkte
B1 , A2 , B2 , A3 , B3 usw.
Es sei a1 = A1B1 , an = A nBn .
Stelle eine Berechnungsformel für an auf,
wenn a beliebige groß sein kann.
B2
B1
Zeige, daß eine geometrische Folge
vorliegt.
Z
g
40012
Geometrische Folgen
11
AUFGABE 13
D1
D2
In ein Quadrat werden fortgesetzt
C1 weitere Quadrate eingezeichnet,
deren Ecken auf den Seiten des
vorgehenden Quadrats liegen, und
deren Seiten mit den vorgehenden
Seiten jeweils einen Winkel von 30O
bilden. So entsteht eine Folge von
C2 Quadraten mit den Seitenlängen
a1 , a2 , ... , an , ... .
D3
A4
A5
D4
A3
D5
B5
α
B4
A2
a1 ''
a2
Zeige, daß die Folge der Seiten und der
Quadratinhalte geometrisch ist.
Berechne zu a1 = 8 cm a2 bis a5 .
C3
C5
α
C4
Es sei A1B1 = a1 und A1B2 = a1 '
B3
α = 30
A1
a1 '
o
a1 B 2
a1 ''
B1
AUFGABE 14
a3
a2
a1
In ein gleichseitiges Dreieck der
Seitenlänge a1 = a wird auf die
dargestellte Art eine Folge von
gleichseitigen Dreiecken
einbeschrieben. Berechne die Folge
der Dreiecksseiten a1 , a2 , ... an , ..
und der Flächeninhalte F1 , F2 , ... , Fn .
AUFGABE 15
In ein Quadrat der Seite a wird ein
Kreis einbeschrieben. In diesen
wiederum ein Quadrat, das parallel
zum äußeren Quadrat liegt usw.
Berechne die Folge der Flächeninhalte
der Quadrate Q1 , Q2 , ... , Qn , ...
und der Kreise: F1 , F2 , ... , Fn , ...
a1 = a
40012
4.6
Geometrische Folgen
12
Arithmetische Wachstumsfolgen
Beispiel 1
Eine Maschine produziert pro Minute 25 Klinkersteine. Zur Zeit t = 0 sind n(0) = 450
Klinker im Lager. Wie viele sind dort nach 1 Minute, 2 Minuten, 30 Minuten, 2 Stunden
und n Minuten ?
Lösung auf CD
Beispiel 2:
n ( t ) sei die Anzahl von Objekten irgendeiner Art. Ihre Anzahl genüge der Gleichung
n ( t ) = 2450 − 28 ⋅ t
Beschreibe die Situation.
Lösung auf CD
40012
4.7
Geometrische Folgen
13
Geometrische Wachstumsfolgen
Musterbeispiel 1:
Ein Bakterienstamm vermehrt sich so, daß pro Minute 15% neue Bakterien entstehen,
Die Startmenge sei z(0) = 40
Lösung auf CD
Musterbeispiel 2:
Von zwei Bakterienstämmen sind ihre Wachstumsgesetze bekannt.
n ( t ) sei die Anzahl der Bakterien des Stammes 1 zur Zeit t (in Minuten)
m ( t ) sei die Anzahl der Bakterien des Stammes 2 zur Zeit t (in Minuten).
Es gelte:
n ( t ) = 40 ⋅ 1,05 t
und m ( t ) = 1,02 t + 288 .
a)
(1) Beschreibe das Wachstumsverhalten des ersten Bakterienstammes.
(2) Wie viele Bakterien sind nach 30 Minuten vorhanden ?
(3) Nach welcher Zeit sind 100 Bakterien vorhanden ?
(4) In welcher Zeitspanne ∆t hat sich die Startmenge verdoppelt ?
(5) Zeige daß sich in dieser Zeitspanne ∆t jede Menge n(t) verdoppelt.
b)
(1) Beschreibe das Wachstumsverhalten des zweiten Bakterienstammes.
(2) Nach welcher Zeit sind 500 Bakterien vorhanden ?
(3) In welcher Zeitspanne ∆t hat sich die Startmenge verdreifacht ?
(4) Zeige daß sich in dieser Zeitspanne ∆t jede Menge m(t) verdreifacht.
c)
Zu welchem Zeitpunkt t sind von beiden Stämmen gleich viele Individuen
vorhanden ?
Lösung auf CD
40012
Geometrische Folgen
Allgemeine Untersuchungen zu Wachstumsfolgen
CD …
Der Zunahmefaktor ist von Zeitpunkt unabhängig !
CD …
Als nächstes wollen wir klären, daß dieses exponentielle Wachstum
ein prozentuales Wachstum ist:
Lösung auf CD
In welcher Zeitspanne gehen diese Funktionswerte auf die Hälfte
zurück ?
Lösung auf CD
14