Übungen zur Klausurvorbereitung 2

Übungen zur Klausurvorbereitung 2 1. Folgen und Reihen Wir wollen die periodische Dezimalzahl 0, 531 mit Hilfe einer geometrischen Reihe in einen Bruch verwandeln. a. (Wissenskonserve) Für (sofort-­‐)periodische Dezimalbrüche gilt: a
ab
abc
0, a = , 0, ab =
, 0, abc =
, u.s.w. Dabei stehen die Buchstaben für Ziffern 9
99
999
und das Aneinanderhängen ist hier das Bilden von Zahlen (also keine Multiplikation). Verwandeln Sie mit diesem Formalismus die Zahl 0, 531 in einen Bruch. b. (1. Rechnung „zu Fuß“) Wir zerlegen 0, 531 = 0, 5005005... + 0, 03003003... + 0, 001001001... i. Schreiben Sie 0,5005005... über das Dezimalsystem in eine Summe von Brüchen. Erkennen Sie hier eine geometrische Reihe, insbesondere die charakteristischen Größen a1 und q. Berechnen Sie die geometrische Reihe über die Formel 1
S = a1 + a1q + a1q 2 + a1q 3 ... = a1
für −1 < q < 1 1− q
ii. Verfahren Sie analog mit 0,03003003... und 0,001001001... Addieren Sie nun die Teilergebnisse zu einem endgültigen Ergebnis (das hoffentlich mit dem aus a. übereinstimmt). c. (2. Rechnung „zu Fuß“) Zerlegen Sie 0, 531 = 0, 531 531 531... in die sich periodisch wiederholenden Abschnitte und schreiben Sie diese Abschnitte als Brüche. Erkennen Sie auch hier eine geometrische Reihe, insbesondere die charakteristischen Größen a1 und q. Berechnen Sie nun die geometrische Reihe. Auch hier sollte das bereits bekannte Ergebnis herauskommen. d. Finden Sie zur (nicht sofort-­‐)periodischen Dezimalzahl 0, 4563 einen Lösungsweg für die Umwandlung in einen Bruch. 2. Abbildungen geometrisch und analytisch
 ⎛ 0,6 0,8 ⎞  ⎛ 2 ⎞
Gegeben ist die Abbildung mit der Gleichung x ' = ⎜
⎟ x + ⎜
⎟.
⎝ −4 ⎠
0,8 −0,6 ⎠
⎝
a. Weisen Sie nach, dass die Abbildung zu sich selbst invers (involutorisch) ist.
b. Berechnen Sie mit der Abbildungsgleichung die Bilder der Punkte A(2;1), B(8;-1) und
C(3,4).
c. Zeichnen Sie die Punkte A, B und C mit ihren Bildpunkte A’, B’ und C’ in ein
Achsenkreuz. Ermitteln Sie aus der Zeichnung die Spiegelachse.
 ⎛ 0,6 0,8 ⎞ 
d. Betrachten Sie die Abbildung mit der Gleichung x ' = ⎜
⎟ x , d.h. die
0,8 −0,6 ⎠
⎝
ursprüngliche Abbildung ohne die Verschiebung. Begründen Sie, dass es sich um eine
Achsenspiegelung handelt und bestimmen Sie den Winkel zwischen x1-Koordinatenachse
und Spiegelungsachse. Prüfen Sie, ob die in c. ermittelte Spiegelachse mit der x1Koordinatenachse den gleichen Winkel einschließt.
⎛ a
a
e. Allgemein: Welche Bedingungen müssen die vier Elemente der Matrix ⎜ 11 12
⎜⎝ a21 a22
erfüllen, damit die zugehörige Abbildung involutorisch ist?
⎞
⎟
⎟⎠
3. Funktionen
In der 3. Grundaufgabe zu Funktionen überprüft man, ob ein gegebener Punkt auf dem Graph
einer Funktion liegt.
a. Liegt A(2,4 ; 2,88) auf dem Graph von f(x) = 0,2x2 – 1,8x + 5 ?
Sie werden feststellen, dass er es nicht tut. Das liegt daran, dass ich mich bei der 5 verschrieben habe. Nur weiß ich nicht mehr, welche Zahl dort ursprünglich stand. Helfen Sie mir. b. Wie muss in f(x) = 0,2x2 – 1,8x + c die Zahl c lauten, damit der Punkt A(2,4 ; 2,88) auf
dem Graph von f liegt?
c. Wie müssen in g(x) = 0,2x2 – ax + b die Zahlen a und b lauten, damit die Punkte B(1; 2)
und C(3; -1) auf dem Graph von g liegen?
d. Die Abbildung zeigt die Graphen zweier Parabeln. Die Scheitelpunkte haben ganzzahlige Koordinaten und können aus der Abbildung abgelesen werden. Zusätzlich kann man noch sehen, dass ein Schnittpunkt der beiden Parabeln (0;1) ist. Wie lauten die Koordinaten des anderen Schnittpunkts?