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Propädeutikum Mathematik
Wintersemester 2016/2017
Prof. Dr. Dieter Leitmann
Abteilung WI
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WiSe 2016/17
Seite 1
Literaturhinweise
Cramer, E., Neslehova, J.: Vorkurs Mathematik, Springer,
2004
Piehler, Sippel, Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg,
Springer, 1995
Schäfer, W. et. Al.: Mathematikvorkurs, Teubner,
Wiesbaden, 2002
Kemnitz, A.: Mathematik zum Studienbeginn, Vieweg,
Wiesbaden, 2001
van de Craats, J. / Bosch, R.: Grundwissen Mathematik,
Springer, 2009
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Literaturhinweise
Ein großer Teil der Übungsaufgaben ist dem Buch von
Karl Bosch: Brückenkurs Mathematik, Oldenbourg Verlag
München
entnommen. Dieses Buch deckt auch inhaltlich
weitgehend (aber nicht vollständig!) den im Propädeutikum
behandelten Stoff ab.
Hilfen findet man auch im Internet, z.B. unter
www.mathe-online.at
Hier gibt es auch Links zu weiteren Internetseiten.
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Inhalt
1.
Mengen
2.
Zahlbereiche
3.
Rechenregeln für reelle Zahlen
4.
Bruchrechnen
5.
Summen und Produkte
6.
Binomische Formeln
7.
Potenzen und Wurzeln
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Inhalt
8.
Logarithmen
9.
Gleichungen mit einer Unbekannten
10.
Prozentrechnung, Dreisatz
11.
Ungleichungen mit einer Unbekannten
12.
Gleichungssysteme
13.
Grundlagen der ebenen Geometrie
14.
Trigonometrische Funktionen
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1. Mengen
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten
unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen.
Ein Objekt gehört entweder zu einer Menge oder nicht.
• Für jedes Objekt x gilt entweder x ∈ A oder x ∉ A.
Die Objekte einer Menge heißen Elemente dieser Menge.
• Falls x Element der Menge A ist schreibt man:
x∈A
• Falls x nicht Element von A ist schreibt man:
x∉A
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Zur Darstellung einer Menge A gibt es folgende Möglichkeiten:
1.
Beschreibung der Elemente von A durch Angabe der
charakterisierenden Eigenschaften
A = {x | x ist eine Grundfarbe }
2.
Aufzählung der Elemente von A
A = { rot, gelb, blau }
3.
Zeichnen eines Mengendiagramms von A
rot
A
gelb
blau
Grundmenge: Menge aller zulässigen Objekte (Universum)
leere Menge: Menge, die kein Element enthält
• Schreibweisen für die leere Menge: ∅ oder { }
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Zwei Mengen A und B sind gleich, in Zeichen A = B, wenn
sie die gleichen Elemente besitzen.
Eine Menge A heißt Teilmenge der Menge B, wenn jedes
Element von A auch Element von B ist.
Schreibweise: A ⊆ B
B
A
Mengenoperatoren: Schnittmenge ∩, Vereinigungsmenge ∪
A ∩ B = { x | x ∈ A und x ∈ B }
A ∪ B = { x | x ∈ A oder x ∈ B }
A
A
B
B
Hierbei wird „oder“ im nichtausschließenden Sinn verwendet, d.h. zu A ∪ B gehören auch diejenigen Elemente,
die sowohl Element von A als auch Element von B sind.
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2. Zahlbereiche
Menge der natürlichen Zahlen ℕ
ℕ = { 1, 2, 3, ... }
Menge der ganzen Zahlen ℤ
ℤ = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
Menge der rationalen Zahlen (Bruchzahlen) ℚ
ℚ={
x ∈ ℤ, y ∈ ℤ, y ≠ 0 } (x: Zähler, y: Nenner)
(Menge der periodischen Dezimalbrüche)
Menge der reellen Zahlen ℝ
(Menge der unendlichen Dezimalbrüche)
(Punkte auf der Zahlengeraden) (ℚ und irrationale Zahlen)
Beispiele für irrationale Zahlen:
= 2,718 … ;
Für die Zahlbereiche gilt: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
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= 3,14 … ; 2 ;
3
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3. Rechenregeln für reelle Zahlen
Für die Addition + und die Multiplikation ∙ von reellen Zahlen
a, b, c gelten die Regeln:
a + b = b + a;
ab = ba;
Kommutativgesetze
(a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc); Assoziativgesetze
a + 0 = 0 + a = a;
0 ist neutrales Element der Addition
1 ∙ a = a ∙ 1 = a; 1 ist neutrales Element der Multiplikation
a + (-a) = a - a = 0;
-a ist inverses Element der Addition
a∙(1/a) = 1, falls a≠0; 1/a ist inverses El. der Multiplikation
a(b + c) = ab + ac; (a+b)c = ac + bc; Distributivgesetze
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3. Rechenregeln für reelle Zahlen (Fortsetzung)
a∙0=0∙a=0
a ∙ b = 0 gilt genau dann, wenn a = 0 oder b = 0.
Terme sind sinnvolle Ausdrücke bestehend aus Konstanten
(Zahlen), Variablen, Rechenoperationen und Klammern.
Die Reihenfolge der Auswertung (Berechnung) eines Terms
wird durch Klammersetzung bzw. Vorrangregeln
verschiedener Rechenoperatoren bestimmt, z.B.
„Punktrechnung geht vor Strichrechnung“
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Teiler und Vielfache
Seien a und b natürliche Zahlen.
Falls es eine natürliche Zahl q mit b = q ∙ a gibt, nennt man
a Teiler von b. Man sagt auch a teilt b ohne Rest.
Die Zahl b wird dann Vielfaches von a genannt.
Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl a kann
man formal so beschreiben:
Va = { b ∈ ℕ | b = q ∙ a, wobei q ∈ ℕ}
Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl b ist
Tb = { a ∈ ℕ | a teilt b ohne Rest}
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Teiler und Vielfache (Fortsetzung)
Seien a und b natürliche Zahlen.
Der größte gemeinsame Teiler von a und b, kurz ggT(a, b),
ist die größte natürliche Zahl, die sowohl Teiler von a als
auch Teiler von b ist.
ggT(a, b) = Maximum(Ta ∩ Tb)
Gilt ggT(a, b) = 1, so heißen a und b teilerfremd.
Das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b, kurz
kgV(a, b), ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl
Vielfaches von a als auch Vielfaches von b ist.
kgV(a, b) = Minimum(Va ∩ Vb) =
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∙
ggT( , )
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4. Bruchrechnen
Erweitern und Kürzen von Zähler und Nenner eines
Bruches mit der gleichen Zahl c ≠ 0 ändert den Wert des
Bruches nicht:
∙
∙
=
:
=
:
Zwei Brüche a/b und c/d sind gleich, wenn ad = bc gilt.
Um zwei Brüche zu addieren, müssen die Nenner der
Brüche gleich sein:
+
=
+
Das gilt auch für die Subtraktion zweier Brüche.
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Um zwei Brüche zu multiplizieren, rechnet man „Zähler
mal Zähler und Nenner mal Nenner“:
∙
!
∙
∙!
=
Dividieren durch einen Bruch bedeutet multiplizieren mit
dem Kehrwert des Bruches:
:
!
=
∙
!
=
Darstellung als Doppelbruch:
!
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=
∙!
∙
:
!
=
∙
!
=
∙!
∙
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5. Summen, Produkte, Binomialkoeffizienten
Falls viele Summanden addiert werden, verwendet man
oft folgende Schreibweise mit dem griechischen
Buchstaben Sigma als sogenanntem Summenzeichen:
$
"
#%&
#
=
&
+
&'(
+
&')
+ …+
$*)
+
$*(
+
$
Analog verwendet man für das Produkt mehrerer
Faktoren das Produktzeichen:
$
+
#%&
#
=
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&
∙
&'(
∙
&')
∙ …∙
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$*)
∙
$*(
∙
$
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Für eine natürliche Zahl n wird n! (sprich: n Fakultät)
definiert als das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen:
n! = 1 · 2 · 3 · 4 ·...· (n-1) · n
Zusätzlich wird definiert
0! = 1.
Für zwei natürliche Zahlen n und k mit k ≤ n wird der
Binomialkoeffizient
$
#
(sprich: n über k) definiert als:
$ $ − ( $ − ) ∙. . .∙ ($ − # + ()
$
$!
=
=
#
#! $ − # !
#!
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Kombinatorische Bedeutung:
n!
$
#
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, eine Menge
von n Objekten in verschiedenen Reihenfolgen darzustellen.
gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer
Menge von n Objekten k Objekte ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen, d. h. aus einer
n-elementigen Menge k-elementige Teilmengen zu
bilden.
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6. Binomische Formeln
( + )) =
( – )) =
)
)
+ )
+
–)
( + )( – ) =
)
+
)
–
)
)
Allgemeiner Binomischer Lehrsatz für reelle Zahlen a
und b und natürliche Zahl n:
( +
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)$ =
$
$
"
#
$*# #
#%0
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7. Potenzen und Wurzeln
Für n ∈ IN und a ∈ IR ist an die n-te Potenz der Zahl a,
d.h. das n-fache Produkt der Zahl a mit sich selbst, also
$ =
·
· ⋯· .
a heißt Basis und n Exponent.
Es gelten die Potenzgesetze:
·
(
$ )&
$
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&
$
·
$
=
=
$'&
$∙&
= ( · )$
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Für a ≠ 0 und n ∈ IN definiert man
0
= ( und
*$
=
(
$
.
· & = $'&
( $ )& = $∙&
$ ·
$ = ( · )$
$
Damit gelten die Potenzgesetze
auch für beliebige ganzzahlige Exponenten und
außerdem gilt
$
&
=
$*&
Für
> 0 ist $ , d. h. die n-te Wurzel aus , diejenige
positive reelle Zahl, deren n-te Potenz gleich ist. Das
ist somit die positive Lösung der Gleichung
6$ =
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.
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Weitere Definitionen:
(
$
=
$
;
&
$
$=
&
;
Damit gelten die Potenzgesetze
&
*$
$
$
=
·
=
&
( $ )&
$
·
(
&
$
&
=
=
$
(
&
$'&
$*&
= $∙&
$ = ( · )$
auch für beliebige rationale Exponenten, wenn a > 0 ist
und dann auch für alle reellen Exponenten.
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8. Logarithmen
Für 7, 8 ∈ ℝ mit 7 ≠ 1 und 8 > 0 heißt die Lösung der
Gleichung 6 = der Logarithmus von 8 zur Basis 7,
geschrieben:
6 = ;<=
logab ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren muss,
um b zu erhalten.
Rechenregeln:
;<= (6 · >) = ;<= 6 + ;<= >
;<= (6/>) = ;<= 6 − ;<= >
;<= (6 ) =
;<= ( = 0;
Umformungsregel:
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· ;<= 6
;<=
= (
;<= 6
;<= 6 =
;<=
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9. Gleichungen mit einer Unbekannten
Für eine lineare Gleichung der Form
1. Fall:
2. Fall:
3. Fall:
· 6 =
gilt
falls 7 ≠ 0, ist @ = 8/7 die einzige Lösung
falls 7 = 0 und 8 ≠ 0, gibt es keine Lösung
falls 7 = 0 und 8 = 0, ist jedes @ ∈ ℝ Lösung.
Bemerkung: Oft müssen gegebene Gleichungen erst durch
so genannte Äquivalenzumformungen in diese Form gebracht werden.
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Eine quadratische Gleichung der Form 6) + A6 + B = 0 hat,
falls A) − CB > 0 ist, die Lösungen
A
6( = − +
)
A
)
)
−D
;
A
6) = − −
)
A
)
)
−D
Falls A) − CB = 0, gibt es die eindeutige Lösung – A/).
Falls A) − CB < 0, hat die quadratische Gleichung keine
Lösung in der Grundmenge der reellen Zahlen.
Faktorisierung von quadratischen Termen 6) + A6 + B :
Sind x1 und x2 die Lösungen der quadratischen Gleichung
6) + A6 + B = 0, so gilt
6) + A6 + B = (6 – 6()(6 – 6))
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Eine normiertes Polynom n-ten Grades der Form
A 6 = 6$ + $*( 6$*( + ⋯ + ( 6 + 0
hat höchstens n Nullstellen.
Für n > 4 gibt es keine allgemeine Lösungsverfahren.
In Spezialfällen können Ausklammern, Substitution oder
Polynomdivision hilfreich sein.
Ist x0 eine Nullstelle des Polynoms p(x), so ist
A(6) = 6 – 60 B(6) ,
wobei q(x) ein normiertes Polynom vom Grade n-1 ist.
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10. Dreisatz und Prozentrechnung
Einfacher Dreisatz: Zwei Größen A und B stehen in konstantem
Verhältnis zueinander (sind proportional, „je mehr von A, umso mehr von
B“). Hat man a Einheiten von A und b Einheiten von B gegeben und
sucht die Anzahl x Einheiten von A, die in demselben Verhältnis zu d
Einheiten von B stehen, so gilt:
6
=
!
D. h. der Quotient der Größen ist konstant.
Umgekehrter Dreisatz: Zwei Größen A und B stehen in umgekehrt
proportionalem Verhältnis zueinander („je mehr von A, umso weniger
von B“). Hat man a Einheiten von A und b Einheiten von B gegeben und
sucht die Anzahl x Einheiten von A, die zu d Einheiten von B gehören,
so gilt:
6∙!=
∙
D. h. das Produkt der Größen ist konstant.
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Prozent bedeutet „von Hundert“,
d.h. p % sind p Hundertstel, also p/100.
Hat man einen prozentualen Anteil p gegeben und sucht die
zugehörige absolute Zahl, so multipliziert man die absolute
Größe der Grundgesamtheit (den Grundwert) mit p/100
(entspricht dem einfachen Dreisatz).
Zinssätze werden üblicherweise in Prozent angegeben.
Bei der sogenannten Verzinsung mit Zinseszins lautet der
fundamentale Zusammenhang zwischen Anfangskapital K0,
A
jährlichem Zinssatz F =
, Anlagezeitraum n in Jahren und
(00
Endkapital Kn :
A
G$ = G0 ∙ ( +
(00
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$
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= G0 ∙ ( + H
$
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11. Ungleichungen mit einer Unbekannten
Für zwei beliebige reelle Zahlen a und b gilt genau eine der
drei Beziehungen
a<b
a ist kleiner als b, falls a auf dem Zahlenstrahl
links von b liegt
a
a=b
b
a ist gleich b, falls a und b denselben Punkt
auf dem Zahlenstrahl darstellen
a=b
a>b
a ist größer als b, falls a auf dem Zahlenstrahl
rechts von b liegt.
b
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a
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Lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten
löst man analog linearen Gleichungen durch
Äquivalenzumformungen, wobei zu beachten ist, das bei
Multiplikation bzw. Division der Ungleichung mit einer
negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umgekehrt wird.
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Zur Lösung quadratischer Ungleichungen kann man
folgendermaßen vorgehen:
1. Schritt:
Ungleichung in Normalform x2 + px + q > 0
(bzw. < 0) bringen
2. Schritt:
Faktorisierung in (x – x1)(x – x2) > 0 (bzw. < 0)
(siehe Kapitel 9)
3. Schritt:
Ermittlung der Lösungsmenge durch
Fallunterscheidung
Im 3. Schritt verwendet man:
Ein Produkt ist genau dann > 0, wenn beide Faktoren > 0
sind oder wenn beide Faktoren < 0 sind,
bzw. ein Produkt ist genau dann < 0, wenn ein Faktor > 0 ist
und ein Faktor < 0 ist.
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12. Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
kann man mit der Einsetzungsmethode
(Substitutionsmethode) oder mit der Additionsmethode
lösen.
Die Einsetzungsmethode lässt sich folgendermaßen
skizzieren:
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1. Auflösen einer der beiden Gleichungen nach einer
Variablen.
2. Einsetzen des für diese Variable erhaltenen Ausdrucks in
die andere Gleichung.
3. Auflösung dieser Gleichung nach der (verbliebenen)
Variablen.
4. Einsetzen dieser Variablen in 1.
Falls in 3. ein Widerspruch entsteht, hat das System keine
Lösung.
Falls in 3. eine Identität entsteht hat das System unendlich
viele Lösungen, die durch die Gleichung in 1.
beschrieben werden können.
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13. Grundlagen der ebenen Geometrie
Jeder Punkt P in der Ebene lässt sich durch ein Paar
(xP | yP) reeller Zahlen beschreiben, wobei xP die x-Koordinate von P ist
und yP die y-Koordinate von P.
Die Punktmenge einer Geraden g in der Ebene lässt sich durch eine
lineare Gleichung y = mx + n beschreiben,
>=&∙6+
g = { (x | y) | x∈IR, y∈IR, y = mx + n}.
Hierbei ist m die Steigung von g und
n der Schnittpunkt von g mit der
y-Achse des Koordinatensystems.
∆> >( − >0
& = I $(J) =
=
∆6 6( − 60
$ = >( − & ∙ 6 (
$
Zwei Geraden g und h mit den Steigungen m1 bzw. m2 sind parallel,
falls m1 = m2. Die Geraden stehen senkrecht zueinander, falls
&( ∙ &) = −(. Die Schnittpunkte der Geraden bestimmt man durch
Lösen des linearen Gleichungssystems (der Geradengleichungen).
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$
C
O
A
α
β
B
Drei Punkte A, B und C, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen,
bilden ein Dreieck. Die den Punkten gegenüberliegenden Seiten (und ihre
Längen) werden mit a, b und c bezeichnet, die Winkel mit α, β, γ. Für die
Summe der Winkel im Dreieck gilt α + β + γ = (L0<. Für die
Seitenlängen gelten die Dreiecksungleichungen
<
+ ;
<
+ ;
<
+ .
Ist hc die zur Seite c gehörige Höhe des Dreiecks, so gilt für den
Flächeninhalt F des Dreiecks:
M =
(
)
∙ ∙N .
(Entsprechende Formeln gelten für die Seiten a und b).
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C
∙
Gegenkathete zu β
Ankathete zu α
Gegenkathete zu α
Ankathete zu β
γ = P0°
hc
β
α
A
B
Hypotenuse
Sind a und b die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks
mit Hypotenuse c (also γ = 90o), so gilt der
Satz des Pythagoras:
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)
+
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)
=
).
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Ein Viereck mit vier rechten Winkeln heißt Rechteck.
Gegenüberliegende Seiten sind gleichlang und parallel.
Sind a und b die Seitenlängen des Rechtecks, so berechnet
sich sein Flächeninhalt F nach der Formel
M =
∙
.
Für den Umfang U gilt
R = )
+ ) .
Ein Rechteck mit vier gleichen Seitenlängen heißt Quadrat.
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M
d
r
Die Menge aller Punkte der Ebene, die zu einem Punkt M
den gleichen Abstand r haben, bilden einen Kreis. Der
Punkt M ist dann der Mittelpunkt des Kreises, der Abstand r
ist der Radius des Kreises. Der doppelte Radius d heißt
Durchmesser des Kreises.
Für den Flächeninhalt F und den Umfang U eines Kreises
mit Radius r gelten folgende Formeln:
M = S ∙ T)
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R = )S ∙ T
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14. Trigonometrische Funktionen
Im rechtwinkligen Dreiecken
C
Gegenkathete zu β
Ankathete zu α
mit γ = 90o gilt:
∙
Gegenkathete zu α
Ankathete zu β
γ = P0°
b
a
hc
β
α
A
UFV J =
=
WX=X$# INXIX
Y>A<INX$Z[X
\][ J =
=
^$# INXIX
Y>A<INX$Z[X
Hypotenuse
_`V J =
B
c
=
WX=X$# INXIX
^$# INXIX
Winkelmessungen lassen sich im Kreis in Grad (eine volle Umdrehung
entspricht 360o) oder in Bogenmaß (eine volle Umdrehung entspricht
dem Kreisumfang 2πr) durchführen.
r
Ein Winkel α entspricht der
Kreisbogenlänge
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b
α
J
= )ST ∙
ab0
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Der Einheitskreis hat Radius r = 1 und Mittelpunkt im
Nullpunkt des Koordinatensystems.
[H$ I
<[ I
Ein Kreisbogen der Länge t definiert einen Punkt auf dem
Einheitskreis, dessen Koordinaten mit cos t und sin t
definiert werden. Dies erweitert die Definition der
trigonometrischen Funktionen sinus und cosinus im
rechtwinkligen Dreieck auf beliebige reelle Zahlen t.
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Gemäß Definition sind diese Funktionen periodisch mit
Periode 2π, d.h. es gilt:
[H$(6 + )π) = [H$ 6 und
<[(6 + )π) = <[ 6
für alle reellen Zahlen x.
Aus dem Satz des Pythagoras ergibt sich direkt die
Gleichung
[H$) 6 + <[) 6 = (
für alle reellen Zahlen x.
Weitere nützliche Beziehungen zwischen den
trigonometrischen Funktionen sind
[H$ 6
_`V 6 =
und
<[ 6
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S
<[ 6 = [H$ 6 +
)
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