3 Messbare Abbildungen und Bildmaße

3 Messbare Abbildungen und Bildmaße
a) Allgemeines
Definition 3.1. (Ω, A) und (Ω′ , A′ ) seien Messräume , T : Ω → Ω′ eine
Abbildung . Dann heißt T (A - A′ - ) messbar , wenn gilt :
T −1 (A′ ) ∈ A
Schreibweise :
∀ A′ ∈ A ′ .
T : (Ω, A) → (Ω′ , A′ ) .
Satz 3.1. In der Situation von Definition 3.1 sei E ′ ein Erzeuger von A′ . Dann
gilt :
T (A - A′ -) messbar
⇐⇒
T −1 (E ′ ) ∈ A
∀ E′ ∈ E ′ .
Beispiel 3.1.
a) Jede konstante Abbildung T : Ω → Ω′ ist A - A′ - messbar.
b) Jede stetige Abbildung T : Rk → Rℓ ist Bk - Bℓ - messbar ( kurz : Borel-messbar ) .
Satz 3.2. (Zusammensetzen messbarer Abbildungen )
Seien T1 : (Ω1 , A1 ) → (Ω2 , A2 ) und T2 : (Ω2 , A2 ) → (Ω3 , A3 ) messbar
=⇒
T3 := T2 ◦ T1 ist A1 - A3 - messbar .
Messbarkeit von Produkt-Abbildungen :
Für eine Familie {Ti }i∈I von Abbildungen Ti : Ω → Ωi ist die Produkt-Abbildung“
”
N
T0 :=
Ti wie folgt definiert :
i∈I
T0 : Ω → Ω0 :=
Y
Ωi , ω 7→ T0 (ω) :=
i∈I
Seien pi : Ω0 → Ωi , ω0 :=
O
Ti (ω) .
i∈I
N
ωj 7→ ωi , die Projektionen (i ∈ I) .
j∈I
21
Dann wird durch
A0 := A (pi ; i ∈ I) := A
[
p−1
(A
)
,
i
i
i∈I
wobei Ai σ-Algebra in Ωi ist , eine σ-Algebra in Ω0 definiert , die (so genannte)
N
Q
Produkt- σ-Algebra
Ai . Sie ist die kleinste σ-Algebra in
Ωi derart , dass alle
i∈I
i∈I
pi A0 - Ai - messbar sind , und heißt die von den Abbildungen pi erzeugte σ-Algebra .
Falls I = {1, . . . , k} :
A0 = A(p1 , . . . , pk ) .
Beispiel 3.2. Seien (Ω, A) ein Messraum und Xi : Ω → R1 reelle Zufallsvariablen
(i = 1, . . . , k) , d.h. Xi−1 (B) ∈ A ∀ B ∈ B1 (i = 1, . . . , n) .
Die Produkt-Abbildung X :=
k
N
Xi ist die gemeinsame Abbildung X = (X1 , . . . , Xk )
i=1
mit X(ω) := (X1 (ω), . . . , Xk (ω)) .
Satz 3.3. (Messbarkeit von Produktabbildungen ) In der obigen Situation sei A
eine σ-Algebra in Ω . Dann gilt :
O
T0 =
Ti ist A - A0 - messbar
⇐⇒
Ti A - Ai - messbar ∀ i ∈ I .
i∈I
Bemerkung 3.1. A(pi ) = p−1
i (Ai )
∀ i ∈ I , da p−1
i (Ai ) bereits eine σ-Algebra ist .
Beispiel 3.2 (Fortsetzung) X = (X1 , . . . , Xk ) ist k-dimensionale ZV.
⇐⇒
Xi
reelle ZV.
∀ i = 1, . . . , k .
Man verifiziert sofort den folgenden
Satz 3.4. Seien T : (Ω, A) → (Ω′ , A′ ) eine messbare Abbildung und µ ein Maß
auf A . Dann wird durch
µ′ (A′ ) := µ T −1 (A′ ) ,
A′ ∈ A ′ ,
ein Maß µ′ auf A′ definiert .
22
Definition 3.2. Das Maß µ′ aus Satz 3.4 heißt das Bildmaß von µ (unter der
Abbildung T ) .
Schreibweise :
µ′ = T (µ) .
Beispiel 3.3.
a) (Ω, A, P ) sei ein W-Raum , X : Ω → X eine ZV. [ d.h. X ist A - B - messbar ,
B σ-Algebra in X ] . Die Verteilung PX ist das Bildmaß von P unter X ,
also PX = X(P ) .
b) Seien (Ω, A) = (Ω′ , A′ ) = (Rk , Bk ) , µ = λk ,
Ta : Rk → Rk , x 7→ x + a ( a ∈ Rk , fest ) , die Translation um a .
Dann gilt :
Ta (λk ) = λk
( Translationsvarianz von λk ) .
c) In der Situation von b) sei
Sr : Rk → Rk , x 7→ rx ( r ∈ R1 , fest , r 6= 0 ) , die Streckung um r .
Dann gilt :
Sr (λk ) =
1
λk .
|r|k
Für r = −1 ist S−1 die Spiegelung am Nullpunkt ,
also S−1 (λk ) = λk ( Spiegelungsinvarianz von λk ) .
Der Vollständigkeit halber skizzieren wir kurz (ohne Beweis) weitere
b) Abbildungseigenschaften des Lebesgue-Borel-Maßes
Hyperebenen im Rk sind Nullmengen unter λk :
Lemma 3.1. Sei H eine Hyperebene im Rk , d.h. H = a+L , wobei a ∈ Rk (fest )
und L ein höchstens (k − 1) - dimensionaler (linearer ) Teilraum von Rk ist .
Dann gilt :
λk (H) = 0 .
23
Zum Beweis kann das folgende Lemma benutzt werden, das von eigenständigem Interesse
ist :
Lemma 3.2. Seien µ ein σ - endliches Maß auf einer σ-Algebra A und Ai ∈ A
(i ∈ I) paarweise disjunkt . Dann gilt µ(Ai ) > 0 für höchstens abzählbar viele
i∈I.
Das Verhalten von λk unter linearen Abbildungen T : Rk → Rk , x 7→ Cx , C eine
reguläre k × k - Matrix , beschreibt der
Satz 3.5. Sei T : Rk → Rk , x 7→ Cx , C ∈ Rk×k , det C 6= 0
=⇒
T (λk ) =
1
λk
| det C |
λk T (B)
= | det C | λk (B)
bzw.
∀ B ∈ Bk .
Bemerkung 3.2. Satz 3.5 liefert zusammen mit Beispiel 3.3 b) die Bewegungsinvarianz von λk , d.h. T (λk ) = λk für alle linear affinen Abbildungen T : Rk → Rk ,
x 7→ Cx + a , a fest , C ∈ Rk×k mit | det C | = 1 .
24