Ein Schwimmer, der sich mit konstanter Geschwindigkeit vs = 1.25 m

1. Geschwindigkeiten (8 Punkte)
Ein Schwimmer, der sich mit konstanter Geschwindigkeit vs = 1.25 m/s im Wasser
vorwärts bewegen kann, möchte einen mit Geschwindigkeit vf = 0.75 m/s fließenden
Fluß der Breite b = 100 m überqueren.
a) Wie lange braucht er zur Überquerung, wenn seine Schwimmrichtung relativ
zum Wasser immer senkrecht zur Flußrichtung bleibt? Wie weit wird er längs
des Flußes abgetrieben, wenn er am anderen Ufer ankommt?
b) Unter welchem Winkel α muß er relativ zur Flußrichtung schwimmen, damit er genau gegenüber am Ufer ankommt? Welche Bedingung muß dabei im
Allgemeinen erfüllt werden? Geben Sie in diesem Fall an, wie lange er zur
Überquerung braucht.
Hinweis: Geben Sie für den Winkel α keinen konkreten Wert, sondern nur für sin α
und/oder cos α an.
2. Münzwurf (20 Punkte)
Eine horizontale Platte bewegt sich, durch einen Motor angetrieben, harmonisch in
der vertikalen Richtung im Schwerefeld der Erde. Für ihre z-Koordinate gilt z =
−z0 cos (ω t), wobei z0 > 0. Zur Zeit t = 0, wenn die Platte im untersten Punkt
angelangt ist, wird eine Münze auf sie gelegt. Die Münze beeinflußt die Bewegung
der Platte nicht.
a) Welche Bedingung müssen z0 und ω erfüllen, so dass die Münze sich von der
Platte abhebt?
b) Zu welcher Zeit t = t1 , bei welchem Wert von z(t1 ) = z1 und mit welcher
Geschwindigkeit v(t1 ) = v1 hebt die Münze von der Platte ab, wenn die Bedingung aus a) erfüllt ist?
c) Welche maximale Höhe zm erreicht die Münze bei Vernachlässigung der Luftreibung?
3. Arbeit und Potenzial (15 Punkte)
Ein Körper befindet sich in eiz
nem Kraftfeld, das von seiner
Position ~r = (x, y, z) wie
A
 2 
R
x
F~ (x, y, z) = κ  y 2 
z2
abhängt. Der Körper kann sich
auf der x ≡ 0 Ebene zwischen
~ = (0, 0, R) und
der Punkten A
~ = (0, R, 0) entlang zwei
B
Pfaden, entweder γ1 , bestehend
~ zum
aus zwei Strecken von A
x
~
~
~
Ursprung O und von O nach B,
oder einem Viertelkreis γ2 , bewegen.
γ2
γ1
R
O
γ1
B
y
a) Geben Sie jeweils eine mögliche Wegparametrisierung für γ1 und γ2 an.
b) Berechnen Sie explizit die Arbeit, die F~ entlang der beide Pfade entrichtet.
c) Ist F~ konservativ? Wenn ja, geben Sie das zugehörige Potenzial U (x, y, z) an;
~ nach B
~ über das Potenzial.
berechnen Sie dann die entsprechende Arbeit von A
d) Ist F~ ein Zentralkraftfeld?
4. Schwingungen (5 Punkte)
Ein m = 10 g schweres Teilchen führt eine harmonische Schwingung mit einer
Amplitude A = 1.0 · 10−2 m und einer maximalen Beschleunigung vom Betrag
aM = 4.0 · 102 m/s2 aus. Die maximale Amplitude wird zur Zeit tM mit ω tM = π/3
erreicht, wobei ω die Kreisfrequenz der Schwingung ist.
a) Geben Sie den Betrag der maximalen Kraft an, die auf das Teilchen ausgeübt
wird.
b) Wie groß ist die Kraft, die auf das Teilchen zur Zeit t = 0 wirkt?
c) Welche Periode hat die Schwingung?
d) Wie groß ist die maximale Geschwindigkeit, die das Teilchen erreicht?
e) Wie groß ist die Gesamtenergie des schwingenden Teilchens?
5. Oszillator mit externer Kraft (20 Punkte)
Auf einen Körper der Masse m, dessen Bewegung auf die x−Richtung beschränkt
ist, wirken eine harmonische Kraft F~H und eine zeitabhängige Kraft F~t der Form:
F~H = −k x êx = −m ω 2 x êx ,
F~t = m Φ0 t2 êx ,
wobei m, k, Φ0 und ω Konstante sind. Der Körper ruht zur Zeit t = 0 am Punkt
x = 0.
a) Lösen Sie die Bewegungsgleichung des Körpers mit den gegebenen Anfangsbedingungen.
Hinweis Verwenden sie für die Suche nach einer speziellen Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung eine Funktion in Gestalt eines Polynoms endlichen
Grades.
b) Betrachten Sie die Grenzfälle ω t 1 und ω t 1. Geben Sie in beiden Fällen
eine nichtverschwindende Näherung für x(t) an.
c) In welchem der beiden Grenzfällen spielt die harmonische Kraft eine relevante Rolle? Vergleichen Sie zu diesem Zweck die oben gefundenen Näherungen
mit der Lösung der Bewegungsgleichung des Körpers, bei der die harmonische
Kraft ausgeschaltet ist und die gleichen Anfangsbedingungen gelten.
6. Gravitation einer Massenverteilung (8 Punkte)
Ein stellares Objekt besitzt eine durch die radialsymmetrische Dichte
r3
ρ(r) = ρ0 e− R3
gegebene Massenverteilung.
a) Zeigen Sie, dass die Masse, die sich innerhalb einer Kugel des Radius r befindet,
sich mit
3
4
− r3
3
M (r) = π ρ0 R 1 − e R
3
ausdrücken läßt. Betrachten Sie insbesondere die Fälle r R und r R.
b) Berechnen Sie aus M (r) das Gravitationspotential, welches in Distanz r vom
Zentrum des Objektes wirkt. Geben Sie dessen Form für die oben berechneten
Grenzfälle an.
c) Berechnen Sie die Größenordnung der Gesamtmasse des Objektes, wenn ρ0 '
103 kg/m3 und R = 109 m.
7. Keplerbahnen (8 Punkte)
Ein Komet beschreibt eine Bahnkurve
um einen Stern S der Masse M . Im
Scheitel beträgt der kürzeste Abstand
zwischen Komet und Stern r; die Bahngeschwindigkeit an diesem Ort sei v.
Welche Beziehung muss zwischen v und
r bestehen, damit der Komet tatsächlich
periodisch wiederkehrt?
8. Impulserhaltung (16 Punkte)
Eine Scheibe der Fläche A und Masse m0
fliegt ungestört durch das Weltall mit Geschwindigkeit v0 senkrecht zu ihrer Fläche.
Zur Zeit t = 0 trifft sie auf eine Staubwolke homogener Dichte des Volumes V und der
Masse M . Bei jedem Stoß mit der Scheibe
bleiben die Staubkörner, die man als ruhend
betrachten kann, an ihr hängen. Nachdem die
Scheibe eine Länge L durchgeflogen ist, verlässt sie die Wolke.
a) Berechnen Sie die Masse m(t) der Scheibe, nachdem sie nach einer Zeit t eine
Strecke x(t) durch die Wolke geflogen ist.
b) Geben Sie eine Beziehung zwischen der Masse der Scheibe m(t) und ihrer
Geschwindigkeit ẋ(t) nach einer Zeit t an. Welche Geschwindigkeit hat die
Scheibe beim Verlassen der Wolke?
c) Wie viel länger braucht die Scheibe, um die Strecke L zurückzulegen, im Vergleich zu dem Fall, wenn die Wolke nicht da gewesen wäre?
Hinweis Verwenden Sie die Ergebnisse aus Punkt a) und b), um eine Differenzialgleichung für x(t) abzuleiten. Lösen Sie sie dann am besten für t(x).