1. Grundbegriffe - iks.hs

1. Grundbegri¤e
Raum der Ereignisse. Die einelementigen Teilmengen f!g heiß
en auch Elementarereignisse.
Das Ereignis A tritt ein, wenn ein ! 2 A eintritt.
A ist ein geeignetes System von Teilmengen A von .
B Operationen mit Ereignissen A; B; A1 ; A2 ; : : : 2 A
A [ B Ereignis A oder B tritt ein
A \ B Ereignisse A und B treten ein
AnB Ereignis A tritt ein, nicht aber B
A B Ereignis B schließ
t A ein
Sn
Ai mindestens eines der Ereignisse Ai tritt ein
Tni=1
i=1 Ai alle Ai treten ein
nA = A das zu A komplementäre Ereignis; tritt ein, wenn A nicht eintritt.
A \ B = ; bedeutet Ereignisse A und B sind unvereinbar.
Axiome: P (A) heiß
t Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses, falls
(1) Für alle A 2 A gilt: 0 P (A) 1.
Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1.
(2) P ( ) = 1:
(3) Für unvereinbare Ereignisse A1 ; : : : ; An 2 A (Ai \ Aj = ; für i 6= j) gilt:
P
n
[
i=1
Ai
!
=
n
X
P (Ai ).
i=1
B Daraus lassen sich weitere Formeln ableiten:
(4) P (;) = 0
(5) Falls A \ B = ; erfüllt ist, =) P (A [ B) = P (A) + P (B)
(6) P (A) = 1 P (A)
(7) Falls A B =) P (A) P (B)
(8)
P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B)
(9) P (A [ B) P (A) + P (B)
(10) P (A) = P (A \ B) + P (A \ B)
1
Definition: Es seien A; B 2 A mit P (B) > 0. Dann heiß
t
P (A j B) =
P (A \ B)
P (B)
die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B.
Formeln:
P (A j C) = 1
P (A j C)
P (A j C) = P (A \ B j C) + P (A \ B j C)
Definition: Die Ereignisse A und B 2 A heiß
en unabhängig, wenn
P (A \ B) = P (A)P (B):
B Die Ereignisse A und B sind genau dann unabhängig, wenn P (A j B) = P (A):
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit - Bayessche Formel
B Gegeben seien Ereignisse A; B 2 A.
P (A) = P (A j B) P (B) + P (A j B) P (B)
P (B j A) =
P (A j B)P (B)
P (A)
B Gegeben seien Ereignisse A; B1 ; : : : ; Bn 2 A, P (Bi ) > 0.
S
Die Bi bilden ein vollständiges System von Ereignissen:
= ni=1 Bi , Bi \ Bj = ; für
i 6= j, d.h. die Bi sind unvereinbar und schöpfen alle Möglichkeiten in
aus. Das
bedeutet, dass immer genau ein Bi eintritt.
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
P (A) =
n
X
i=1
P (A j Bi )P (Bi )
Bayessche Formel
P (Bi j A) =
P (A j Bi )P (Bi )
P (A j Bi )P (Bi )
= n
X
P (A)
P (A j Bj )P (Bj )
j=1
2
2. Zufallsgröß
en
Diskrete Zufallsgröß
en
Verteilungstabelle:
Wert
x1
x2
Wahrscheinlichkeit p1
p2
:::
xr
evtl. unendlich viele Werte
pr
pi = P (X = xi )
Bedingungen:
X
0 < pi < 1;
pi = 1
i
B Wahrscheinlichkeiten im Fall xi = i:
P (m
X
n) =
X
pi
i:m xi n
Diskrete Verteilungen
Gleichverteilung auf f1; 2; : : : ; ng
pi =
1
n
(i = 1; : : : ; n):
Poisson-Verteilung mit Parameter
i
pi =
i!
e
(i = 0; 1; : : :)
Binomialverteilung mit Parameter n; p
pi =
n i
p (1
i
p)n
i
(i = 0; : : : ; n)
Kenngröß
en diskreter Verteilungen
Erwartungswert:
E (X) =
r
X
xi pi
i=1
Varianz (Streuung):
Var (X) =
r
X
(xi
E (X))2 pi =
i=1
r
X
i=1
3
x2i pi
(E (X))2
Standardabweichung:
(X) =
p
Var (X)
Kenngröß
en spezieller diskreter Verteilungen
Gleichverteilung
1
n+1
; Var (X) = n2
2
12
E (X) =
1
12
Binomialverteilung
E (X) = np;
Var (X) = np(1
p)
Poissonverteilung
E (X) = ;
Var (X) =
Stetige Zufallsgröß
en
B Verteilungsfunktion:
F (x) = P (X
x)
f (x) = F 0 (x)
Die Funktion f (x) heiß
t Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) der Zufallsgröß
e.=)
P (a
P (X
P (X
X
a) =
b) =
b) =
Z a
Z
1
1
Z
b
f (x) dx = F (b)
a
f (x) dx = F (a)
f (x) dx = 1
F (b)
b
B Eine Funktion f (x) ist Dichte einer Zufallsgröß
e, falls
1) f (x)
0, 2)
Z
1
f (x) dx = 1:
1
Stetige Verteilungen
Normalverteilung mit Parameter ;
f (x) = p
F (x) =
2
, Symbol N ( ;
1
2
exp
x
4
1 (x
2
2
)
)2
2
F (a)
N (0; 1) ist die standardisierte Normalverteilung
(x) ist Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung
Beachte:
( x) = 1
(x);
(0) = 0:5
B Wahrscheinlichkeiten der Normalverteilung: X
P (X
P (a
Satz: Ist X
b
b) =
X
2
N( ;
;
P (X
)
a
a) = 1
b
b) =
2
N( ;
a
), dann Y = aX + b
;
;
N (a + b; a2
2
):
stetige Gleichverteilung auf [a; b]
f (x) =
(
1
b a
für a x b
0 für x < a oder x > b:
8
>
< 0 für x < a
x a
F (x) =
für a x
b a
>
:
1 für x > b:
b
Exponentialverteilung mit Parameter
f (x) =
F (x) =
(
(
x
für x
0 für x < 0:
e
1 e x für x
0 für x < 0:
0
0
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung mit Hilfe der Normalverteilung:
X bin(n; p)
P (k
X
l)
l np + 0:5
p
np(1 p)
!
k np 0:5
p
np(1 p)
Kenngröß
en stetiger Verteilungen
Erwartungswert:
E(X) =
Z
1
1
5
xf (x) dx
!
Varianz :
Z
Var(X) =
(X) =
sZ
Schiefe:
(X) =
1
1
Z
=
Standardabweichung:
1
Z
E(X))2 f (x) dx
(x
x2 f (x) dx
(E(X))2
1
1
E(X))2 f (x) dx
(x
1
1
(x E(X))3 f (x) dx
1
p
(Var (X))3
Modalwert: Maximalstelle von f (x), Symbol mod(X)
(X) > 0 bedeutet rechtsschiefe Verteilung, Modalwert liegt links neben E(X)
(X) < 0 bedeutet linksschiefe Verteilung, Modalwert liegt rechts neben E(X)
(X) = 0 symmetrische Verteilung
Kenngröß
en spezieller stetiger Verteilungen
Normalverteilung N ( ;
2
)
E(X) = ;
Var(X) =
2
;
(X) = ;
(X) = 0
Exponentialverteilung Exp( )
E(X) =
1
;
Var (X) =
1
2;
(X) =
1
;
(X) = 2
stetige Gleichverteilung auf [a; b]
E(X) =
a+b
;
2
Var(X) =
(b
a)2
;
12
b a
(X) = p ;
12
Definition: Eine Zahl q heiß
t Quantil der Ordnung
mit der Verteilungsfunktion F , falls
F (q ) = :
Dies bedeutet:
P (X
q )=
Z
6
q
f (x) dx = :
1
(X) = 0
der stetigen Zufallsgröß
eX
Das Quantil m der Ordnung
1
2
heiß
t Median:
1
F (m) = :
2
Quantile der Standard-Normalverteilung werden mit z( ) bezeichnet:
Quantile der N ( ; 2 )-Verteilung: q = + z( )
(z( )) = :
Unabhängige Zufallsgröß
en
Definition: Zwei Zufallsgröß
en X und Y heiß
en unabhängig, falls gilt:
P (X 2 A; Y 2 B) = P (X 2 A) P (Y 2 B)
für alle geeigneten Mengen A; B
R.
Satz: Die Summe von unabhängigen normalverteilten Zufallsgröß
en ist wieder normalverteilt.
N (a + b; 21 + 22 );
N (b; 22 ) unabhängig =) X + Y
X N (a; 21 ); Y
rX N (ra; r2 21 )
Diskrete Zufallsvektoren
Zufallsvektor (X; Y ),
X nimmt Werte x1 ; : : : ; xr an
Y nimmt Werte y1 ; : : : ; ys an
Darstellung als Verteilungstabelle (Kreuztabelle):
X
x1
..
.
xr
..
.Y
y1
ys
p11
..
.
p1s
..
.
p1:
..
.
pr1
prs
pr:
p:1
p:s
1
pij = P (X = xi ; Y = yj );
pi: = P (X = xi );
p:j = P (Y = yj )
p1: ; : : : ; pr: nennt man die Randverteilung von X, p:1 ; : : : ; p:s die Randverteilung von Y .
7
Es gilt:
pi: = pi1 + : : : + pis
(Zeilensumme)
p:j = p1j + : : : + prj
(Spaltensumme)
r X
s
X
pij = 1
i=1 j=1
Unabhängigkeit von X und Y bedeutet:
für alle i; j
pij = pi: p:j
X und Y sind abhängig, falls
pij 6= pi: p:j
für ein Paar i; j
B Abhängigkeitsmaßzweier Zufallsgröß
en X und Y : Korrelationskoe¢ zient
cov(X; Y )
= corr(X; Y ) = p
Var(X) Var(Y )
Kovarianz für diskrete Zufallsgröß
en:
cov(X; Y ) =
r X
s
X
xi yj pij
i=1 j=1
xi ; yj ; pij aus Tabelle oben
1
1
Interpretation:
unkorreliert (praktisch unabhängig): = 0
schwache Abhängigkeit: j j 0:5
mittlere Abhängigkeit: 0:5 < j j 0:8
starke Abhängigkeit: j j > 0:8
8
E(X)E(Y )