Lineare Algebra für Physiker Blatt 2
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Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
Prof. Dr. W. Schirotzek / Dr. H.-P. Scheffler
WS 2010/2011
Lineare Algebra für Physiker
Blatt 2
Matrizen
14. Gegeben seien folgende Matrizen:
2 4
1
0 −1
1 −2
4
3 −1 .
A :=
, B := 3 6 , C := −2
−2
3 −5
1 2
1 −1
0
Überlegen Sie sich, welche dieser Matrizen (eventuell nach Transponieren) durch
Multiplikation bzw. Addition verknüpft werden können. Betrachten Sie auch mehrfache Anwendungen dieser Operatoren. Berechnen Sie die entstehenden Matrizen
und geben Sie deren Typ an.
15. Gegeben seien die Matrizen
1 0 0
a11 a12 a13
P := 0 0 1 , A := a21 a22 a23 .
0 1 0
a31 a32 a33
a) Berechnen Sie PA und AP. Interpretieren Sie die Ergebnisse.
a31 a32 a33
b) Geben Sie eine Matrix Q an, so dass QA = a11 a12 a13 .
a21 a22 a23
c) Sei B nun eine (5, 5)-Matrix. Gesucht ist analog zu b) eine Matrix R, so dass
RB die Zeilen von B in der Reihenfolge 3, 2, 5, 1, 4 enthält.
16. Gegeben sei eine (3, 3)-Matrix A = (aik ) mit a11 6= 0. Weiter seien
a11
0
0
a11 0
0
1
1
−a21 a11 0 und H =
a21 a11 0
G=
a11
a11
−a31 0 a11
a31 0 a11
a) Berechnen Sie GA. Was wird durch diese Multiplikation erreicht?
b) Sei nun a11 = 0 und a21 · a31 6= 0. Wie kann man zu einem Resultat analog zu
a) gelangen?
c) In welcher Beziehung stehen die Matrizen G und H?
17. Lösen Sie die folgenden Gleichungssysteme durch Überführen in Zeilenstufenform:
x1 + x2 − 2x3 = 1
2x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 + 2x2 − x3 = 2 , b)
x1 − 2x2 − x3 = 1 .
a)
x2 + x3 = 1
−x1 + x2 − x3 = 1
18. Prüfen Sie, ob die beiden folgenden linearen Gleichungssysteme äquivalent sind:
x1 + x2 − 2x3 = 0
x1 + 3x2 − 3x3 = 0
,
.
2x2 − x3 = 0
x1 − 3x2
= 0
19. Ermitteln Sie die allgemeine Lösung von A x = b für
2
1 −2
2
2 1 −2
u
a) A = 1 −2 −1 , b = −1 , b) A = 1 2 −1 , b = v .
1 −1
1
4
0 1
1
w
Gruppen und Körper
20. Es sei (G, ◦) eine Gruppe. Eine nichtleere Menge U ⊆ G heißt Untergruppe von
G, falls (U, ◦) selbst eine Gruppe ist.
a) Seien U1 := {2n | n ∈ Z} und U2 := {2n + 1 | n ∈ Z}. Zeigen Sie, dass (U1 , +)
eine Untergruppe von (Z, +) ist, (U2 , +) jedoch nicht.
b) Zeigen Sie, dass die Menge G := {z ∈ C | |z| = 1} bez. der komplexen
Multiplikation eine Gruppe bildet.
c) Sei Un := {z ∈ C | z n = 1}, n ∈ N. Zeigen Sie, dass Un bez. der komplexen
Multiplikation eine Untergruppe von G aus b) ist. Wie viele Elemente enthält
Un ? Geben Sie das neutrale Element und zu z ∈ Un das inverse Element an.
21. Es sei (G, ·) eine Gruppe und A eine nichtleere Teilmenge von G. Die von A
erzeugte Untergruppe G(A) von G ist definitionsgemäß die „kleinste“ Untergruppe von G, die A enthält, d.h.,
– es ist G(A) eine Untergruppe von G und
– ist U Untergruppe von G mit A ⊆ U , so folgt G(A) ⊆ U .
a) Charakterisieren Sie die Elemente von G(A).
b) Es sei a ∈ G. Stellen Sie die zyklische Untergruppe G({a}) von G dar und
zeigen Sie, dass diese stets kommutativ ist.
1 2 3 4
22. Die Permutation σ :=
gehört zur Gruppe (S4 , ◦).
2 3 4 1
a) Bestimmen Sie das Vorzeichen von σ.
b) Berechnen Sie σ 2 , σ 3 , σ 4 , σ 5 ; hierbei ist σ k := σ ◦ σ k−1 für k ∈ N mit σ 0 := IS4 .
Geben Sie die zugehörigen inversen Elemente an.
c) Wie viele Elemente enthält die zyklische Untergruppe G({σ})?
d) Es sei τ ∈ S4 eine Transposition, d.h., eine Permutation, die genau zwei
Zahlen vertauscht. Wie viele Elemente enthält G({τ })? Wie viele solcher Untergruppen gibt es?
23. Es sei (G, +) eine Gruppe. Zeigen Sie: Gilt a + a = o für jedes a ∈ G, so ist (G, +)
eine abelsche Gruppe.
24. Es seien (G, ·) und (H, ) Gruppen. Eine Abbildung ϕ : (G, ·) → (H, ) heißt
Gruppenhomomorphismus, wenn ϕ(a·b) = ϕ(a) ϕ(b) für alle a, b ∈ G. Untersuchen Sie, welche der folgenden Abbildungen Gruppenhomomorphismen sind:
ϕ1 : (Z, +) → (Z, +), z 7→ 2z,
ϕ3 : (C, +) → (R, +), z →
7 |z|,
ϕ2 : (Z, +) → (Z, +), z 7→ z + 2,
ϕ4 : (C \ {0}, ·) → (R \ {0}, ·), z 7→ |z|.
√
25. Die Menge K := {a + b 2 | a, b ∈ Q} sei versehen mit der auf dem Körper der
reellen Zahlen definierten Addition und Multiplikation. Zeigen Sie, dass (K, +, ·)
ein Körper ist.
