Wachstum von Funktionen
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Wachstum von Funktionen
Θ-Notation
Θ(g(n)) bezeichnet die Menge der Funktionen
Θ(g(n)) = {f (n) : ∃c1 > 0, c2 > 0, n0 ∈ N : 0 ≤ c1 g(n) ≤ f (n) ≤ c2 g(n) ∀n ≥ n0 }
Als Analogie zu zwei reellen Zahlen a, b gilt hier
f (n) = Θ(g(n)) ≈ a = b
Ausserdem:
lim
n→∞
f (n)
= c ∈ R+
g(n)
O-Notation
O(g(n)) bezeichnet die Menge der Funktionen
O(g(n)) = {f (n) : ∃c > 0, n0 ∈ N : 0 ≤ f (n) ≤ cg(n) ∀n ≥ n0 }
Als Analogie zu zwei reellen Zahlen a, b gilt hier
f (n) = O(g(n)) ≈ a ≤ b
o-Notation
o(g(n)) bezeichnet die Menge der Funktionen
o(g(n)) = {f (n) : ∀c > 0∃n0 ∈ N : 0 ≤ f (n) < cg(n) ∀n ≥ n0 }
Als Analogie zu zwei reellen Zahlen a, b gilt hier
f (n) = O(g(n)) ≈ a < b
Ausserdem:
lim
n→∞
f (n)
=0
g(n)
Ω-Notation
Ω(g(n)) bezeichnet die Menge der Funktionen
Ω(g(n)) = {f (n) : ∃c > 0, n0 ∈ N : 0 ≤ cg(n) ≤ f (n) ∀n ≥ n0 }
Als Analogie zu zwei reellen Zahlen a, b gilt hier
f (n) = Ω(g(n)) ≈ a ≥ b
1
ω-Notation
ω(g(n)) bezeichnet die Menge der Funktionen
ω(g(n)) = {f (n) : ∀c > 0∃n0 ∈ N : 0 ≤ cg(n) < f (n) ∀n ≥ n0 }
Als Analogie zu zwei reellen Zahlen a, b gilt hier
f (n) = ω(g(n)) ≈ a > b
Ausserdem:
lim
n→∞
f (n)
=∞
g(n)
Logarithmen
Notationen
lg n = log2 n
ln n = loge n
log n = log10 n
k
logb n = (logb n)k
Eigenschaften
Für geeignete a, b, c, n gilt:
Die Funktion logb n ist streng monoton steigend. Ausserdem ist
a = blogb a
logc (ab) = logc a + logc b
logb an = n logb a
logc a
logb a =
logc b
1
logb ( ) = − logb a
a
1
logb a =
loga b
alogb c = clogb a
2
