Mathematik

Hans-Jochen Bartsch
Kleine
Formelsammlung
Mathematik
6., neu bearbeitete Auflage
Mathematische Zeichen und Symbole (x , y ∈ R)
N, N
Z, Z
Q, Q
R, R
C, C
Menge der natürlichen Zahlen, N = {0, 1, 2, . . . }
Menge der ganzen Zahlen, Z = {. . . , −2, 1, 0, 1, 2, . . . }
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Menge der komplexen Zahlen
Herausnahme der Null durch ∗ , z. B. positive ganze Zahlen N∗ = {1, 2, . . . }
R>0
Rn
Rm×n
x≈y
x≪y
x≤y
def
x = y, x := y
m|n
a ≡ b mod m
(x)n
[x]
à !n
x
n
⌊x⌋, [x]
⌈x⌉
int x
frac x
(a, b), ]a, b[
[a, b]
g = lim f (x)
x→a
x → a+
a, b, x, y, . . .
a, b, x, y, . . .
o, ⃗
o
a ·b
|a| = a
ea
Menge der positiven reellen Zahlen
Menge der n-dimensionalen Vektoren, n ∈ N∗
Menge der (m × n)-Matrizen, m, n ∈ N∗
x ungefähr gleich y
x wesentlich kleiner y, analog x ≫ y (wesentlich größer)
x kleiner gleich y, analog x ≥ y (größer gleich)
x ist definitionsgemäß gleich y
m teilt n, es gibt eine ganze Zahl k mit m · k = n, m, n ∈ Z
a kongruent b modulo m, m|(a − b), a, b, m ∈ Z
steigende Faktorielle, (x)n = x(x +1)·. . . ·(x +n −1), n ∈ N∗
∗
fallende Faktorielle, [x]n = x(x − 1) · . . . · (x − n
à +!1), n ∈ N
x
[x]n
,
x über n, Binomialkoeffizient von x und n,
=
n!
n
∗
n∈N
größte ganze Zahl kleiner oder gleich x, n ≤ x < n + 1
kleinste ganze Zahl größer oder gleich x, n − 1 < x ≤ n
ganzzahliger Anteil von x, int x := sgn x · ⌊|x|⌋
gebrochener Anteil von x, frac x := x − int x
offenes Intervall von a bis b, {x | a < x < b}, a, b ∈ R
abgeschlossenes Intervall von a bis b, {x | a ≤ x ≤ b}
g ist Limes von f (x) für x gegen a
x von rechts gegen a, auch x → a + 0, analog x → a −
Zeichen für Vektoren, auch ⃗
a, ⃗
b, ⃗
x, ⃗
y, ...
Zeichen für Skalare
Nullvektor, neutrales Element der Vektoraddition
a mal b, Skalarprodukt von a und b
p
Betrag des Vektors a, |a| = a · a, auch |a| = a (Norm)
(normierter) Einheitsvektor in Richtung a vom Betrag 1,
a ̸= o
1
Logik, Arithmetik, Algebra
13
2
Lineare Algebra
46
3
Elementare und analytische Geometrie
77
4
Funktionen
121
5
Analysis
149
6
Gewöhnliche Differenzialgleichungen
201
7
Reihen, Integral-Transformationen
218
8
Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung 241
9
Integraltabelle
272
S
Sachwortverzeichnis
277
Kleine Formelsammlung
Mathematik
Hans-Jochen Bartsch
bearbeitet von Michael Sachs
6., neu bearbeitete Auflage
Mit 143 Bildern
Fachbuchverlag Leipzig
im Carl Hanser Verlag
Autor
Dr.-Ing. Hans-Jochen Bartsch
Bearbeiter
Prof. Dr. Michael Sachs
Hochschule München
Fakultät für angewandte Naturwissenscha!en und Mechatronik
www.hm.edu/fb06
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen
Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://
dnb.d-nb.de abrufbar.
ISBN 978-3-446-43860-6
E-Book-ISBN 978-3-446-43734-0
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt.
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Buches oder Teilen daraus, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schri!liche
Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder
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werden.
Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag
© 2015 Carl Hanser Verlag München
www.hanser-fachbuch.de
Lektorat: Christine Fritzsch
Herstellung: Katrin Wulst
Satz: Dr. Steffen Naake, Brand-Erbisdorf
Einbandrealisierung: Stephan Rönigk
Druck und Bindung: Friedrich Pustet, Regensburg
Printed in Germany
Vorwort
Mit Wissen des im Frühjahr 2008 verstorbenen Verfassers der ersten vier
Auflagen dieser Formelsammlung, Dr.-Ing. Hans-Jochen Bartsch, wurde
mir vom Verlag die Fortführung des Werkes anvertraut. Nachdem ich in
der fünften Auflage im Wesentlichen nur bekannte Druckfehler verbessert
hatte, lege ich nun eine völlige Neubearbeitung der Formelsammlung
vor. Dabei sind die Auswahl und Grobgliederung des Stoffes weitgehend
gleich geblieben, ebenso habe ich die meisten Bilder und Tabellen aus
den Vorgängerauflagen übernommen. Bei der Gestaltung der einzelnen
Kapitel war mir ein Hauptanliegen, dass diese in sich logisch aufgebaut und
weitgehend unabhängig von anderen Kapiteln lesbar sind. Erforderliche
Querverweise habe ich ergänzt.
Das Buch enthält keine Beweise und auch keine Beispiele, sondern nur mathematische Definitionen, Sätze und Verfahren. Dadurch konnten Umfang
und Preis niedrig gehalten werden, außerdem wird die Zulassung als Hilfsmittel in Prüfungen erleichtert, wenn keine durchgerechneten Aufgaben
enthalten sind. Das Buch kann daher als Kompaktskript zur Mathematik
eingesetzt werden, welches die Studierenden vom lästigen Mitschreiben
von Definitionen und Sätzen befreit. Aufgaben können und sollen der einschlägigen und reichhaltigen Fachliteratur entnommen und hinzugezogen
werden.
Der Stoff umfasst etwa die Gebiete der Mathematik, die an einer technischen Fakultät einer Hochschule für angewandte Wissenschaften (früher
Fachhochschule) in den ersten drei bis vier Semestern gelehrt wird. Aber
auch Studierende der Wirtschaftswissenschaften werden das Buch mit
Gewinn als Nachschlagewerk und zur Begleitung des Unterrichts einsetzen
können. Der Inhalt reicht von der Elementarmathematik der Gebiete Arithmetik, Algebra und Geometrie bis zu der Analysis mehrerer Veränderlicher,
gewöhnlichen Differenzialgleichungen, den wichtigsten Integraltransformationen und der Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik.
6
Vorwort
Um den Umfang nicht zu sprengen, habe ich nur einige wenige numerische
Verfahren (z. B. Newton-Verfahren, Trapezregel, Runge-Kutta-Verfahren)
aufgenommen, die im Grundstudium eine Rolle spielen. Hier sei auf die
numerische Fachliteratur hingewiesen.
Mein Dank gebührt den Mitarbeiterinnen des Fachbuchverlages Leipzig,
allen voran Frau Christine Fritzsch, die durch Korrekturlesen und viele
Vorschläge zur Neuauflage des Buches beigetragen haben, sowie Herrn Dr.
Steffen Naake für die mühevolle Arbeit des Umbruchs.
Eine Formelsammlung darf nie als abgeschlossen oder fehlerfrei gelten.
Für konstruktive Hinweise aufmerksamer Leser sind Verlag und Bearbeiter
daher stets aufgeschlossen und dankbar.
München, im März 2015
Michael Sachs
Inhalt
1
...................
Mathematische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Ein- und zweistellige B OOLEsche Funktionen . . . . .
1.1.2 Rechengesetze (B OOLEsche Algebra) . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Rechenregeln für Mengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Standard-Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Grundoperationen für reelle Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Potenzen, Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Binomischer Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Menge der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Grundrechenarten mit komplexen Zahlen . . . . . . . . .
1.4.4 Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen. . . . . . . . . .
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Schranken, Grenzwert und Monotonie einer
Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Arithmetische und geometrische Folgen . . . . . . . . . . .
1.6.4 Zins-, Zinseszins-, Renten- und Tilgungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logik, Arithmetik, Algebra
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
13
13
13
15
15
15
16
17
18
18
19
19
21
24
25
26
28
28
29
30
31
31
33
33
33
34
36
8
Inhalt
1.7
2
Gleichungen und Ungleichungen, Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Nichtlineare Gleichungen, Polynome . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Wurzelgleichungen, transzendente Gleichungen .
1.7.5 Numerische Verfahren für Gleichungen . . . . . . . . . . . .
38
38
39
40
43
43
Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Skalarprodukt im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Vektoren im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Matrizengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 n-reihige quadratische Matrizen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Rang, Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.6 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Lösbarkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Grundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Spezielle lineare Abbildungen in der Ebene . . . . . . . .
Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Koordinatentransformationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Koordinatentransformationen in der Ebene . . . . . . .
2.6.2 Koordinatentransformationen im Raum . . . . . . . . . . .
46
46
50
52
55
55
56
57
60
61
63
65
65
66
67
69
69
70
71
71
72
72
73
74
75
Inhalt
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
4
......
Planimetrie, ebene Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Teilungen, Ähnlichkeit, Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrische Körper (Stereometrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Ebenflächig begrenzte Körper (Polyeder, Vielflache) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Krummflächig begrenzte Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Punkt, Gerade, Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Punkt, Strecke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Gerade in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Gerade im Raum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Mehrere Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Flächeninhalt, Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Gemeinsame Charakterisierungen aller Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementare und analytische Geometrie
4.3
77
77
77
79
80
82
84
85
87
88
89
92
92
93
95
97
99
102
102
102
104
105
109
111
114
119
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Grenzwerte, unbestimmte Ausdrücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.1 Grenzwerte einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.2 Unbestimmte Ausdrücke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Eigenschaften reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Funktionen
4.1
4.2
9
10
Inhalt
4.4
4.5
4.6
4.7
5
Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nichtrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.5 Winkelfunktionen, trigonometrische Funktionen .
4.5.6 Zyklometrische Funktionen (Arkusfunktionen) . . .
4.5.7 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.8 Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ausgewählte ebene Kurven. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.1.1 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen. . . . 149
5.1.2 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.1.3 Extrema und Wendepunkte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.1.4 Differenzialgeometrie ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1.5 Differenzialgeometrie von Raumkurven und
Raumflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2.1 Unbestimmtes und bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . 167
5.2.2 Grundintegrale und Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.3 Integrationstechniken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.2.4 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.2.5 Gebietsintegrale, Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.2.6 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.1 Vektorwertige Funktionen, Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.2 Gradient eines skalaren Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3.3 Divergenz eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3.4 L APLACE-Operator eines skalaren Feldes . . . . . . . . . . . 191
Analysis
5.1
5.2
5.3
127
127
129
130
131
131
132
132
133
134
140
141
144
146
148
Inhalt
5.3.5
5.3.6
5.3.7
5.3.8
6
192
193
196
199
. . . . . . . . 201
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Ausgewählte Differenzialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . 203
Ausgewählte Differenzialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . 207
6.3.1 Homogene lineare Differenzialgleichung
2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.3.2 Inhomogene lineare Differenzialgleichung
2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung . . . . . . . 212
Numerische Verfahren für Differenzialgleichungen
1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.5.1 Polygonzugverfahren von E ULER-C AUCHY . . . . . . . . . 214
6.5.2 Verfahren 4. Ordnung von R UNGE-K UTTA . . . . . . . . . . 215
Lineare Differenzialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Gewöhnliche Differenzialgleichungen
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
7
Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integralsätze von G REEN, G AUSS und S TOKES . . . . .
11
. . . . . . . . . . . 218
Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.1.1 Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.1.2 Konvergenzkriterien für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
7.1.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.1.4 T AYLOR-Formel und T AYLOR-Reihen. . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.1.5 Zusammenstellung fertig entwickelter T AYLORReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
7.1.6 F OURIER-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
F OURIER-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
L APLACE-Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.3.1 Rechenregeln der L APLACE-Transformation . . . . . . . 235
7.3.2 Lösung von gewöhnlichen linearen Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.3.3 Korrespondenztabelle der L APLACE-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Reihen, Integral-Transformationen
7.1
7.2
7.3
12
8
Inhalt
8.2
8.3
8.4
9
. . . . . . 241
Beschreibende (deskriptive) Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.1.1 Grundbegriffe, Darstellungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
8.1.2 Lagemaße (Mittelwerte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8.1.3 Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.1.4 Korrelationsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
8.1.5 Regressionsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
8.1.6 Fehlerrechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
8.2.2 Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . 252
8.2.3 Zufällige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
8.2.4 Diskrete zufällige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
8.2.5 Stetige zufällige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Schließende (induktive) Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.3.1 Schätzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
8.3.2 Intervallschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8.3.3 Signifikanztests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.4.1 Verteilungsfunktion Φ(x) der Standard-Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
8.4.2 Quantile der t -Verteilung (S TUDENT-Verteilung) . 270
8.4.3 Quantile der χ2 -Verteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung
8.1
Integraltabelle
...............................
272
.............................
277
Sachwortverzeichnis
1
1.1
Logik, Arithmetik,
Algebra
Mathematische Logik
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde mit dem Wahrheitswert wahr
oder falsch.
Ein aussagenlogischer Ausdruck (eine Aussageform) ist eine Aussage, bestehend aus
■
B OOLEschen Variablen (Aussagenvariablen): ϕ, ψ, ϑ, ϕ1 , . . .
■
Junktoren (logischen Zeichen): ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
■
technischen Zeichen
Er ist bei jeder Belegung der Variablen entweder wahr (w, 1) oder falsch
(f, 0).
Eine Wahrheitsfunktion (B OOLEsche Funktion) F ordnet jeder Belegung
der k Variablen x 1 bis x k mit 0 oder 1 einen Wahrheitswert zu.
Allquantor (Generalisator): ∀x: A(x) „Für alle x gilt A(x).“
Existenzquantor:
∃x: A(x) „Es gibt (wenigstens) ein x mit A(x).“
1.1.1
Ein- und zweistellige Boolesche Funktionen
(ϕ, ψ Aussageformen)
Negation, Komplement (nicht, NOT)
ϕ = ¬ϕ = 1 genau dann wenn ϕ = 0
häufig auch Durchstreichen des Zeichens gebräuchlich, z. B. a ̸= b für
¬(a = b)
14
1 Logik, Arithmetik, Algebra
Konjunktion (logisches Produkt, und zugleich, AND)
(ϕ ∧ ψ) = 1 genau dann wenn ϕ = 1 und zugleich ψ = 1
auch ϕψ, ϕ · ψ, ϕ&ψ
NAND (S HEFFERsche Funktion), negiertes AND: ¬(ϕ ∧ ψ)
Disjunktion (logische Summe, oder, OR)
(ϕ ∨ ψ) = 1 genau dann wenn ϕ = 1 oder ψ = 1
auch ϕ + ψ
NOR (N ICODsche Funktion), negiertes OR: ϕ∨ψ = ϕ ∨ ψ = ϕ ↓ ψ
Implikation (logische Folgerung, wenn-dann)
(ϕ ⇒ ψ) = 0 genau dann wenn ϕ = 1 und zugleich ψ = 0
Äquivalenz
(ϕ ⇔ ψ) = 1 genau dann wenn ϕ = ψ
Antivalenz (ausschließliches Entweder-Oder, exclusive-or, EXOR, XOR)
¬(ϕ ⇔ ψ) = 1 genau dann wenn ϕ ̸= ψ
Ein- und zweiwertige Wahrheitstafel
ϕ
0
0
1
1
ψ
0
1
0
1
¬ϕ
1
1
0
0
ϕ∧ψ
0
0
0
1
ϕ∨ψ
0
1
1
1
ϕ⇒ψ
1
1
0
1
ϕ⇐ψ
1
0
1
1
ϕ⇔ψ
1
0
0
1
¬(ϕ ⇔ ψ)
0
1
1
0
Notwendige und hinreichende Bedingung
Gilt für zwei Aussagen ϕ und ψ die Implikation ϕ ⇒ ψ, so heißt
ϕ hinreichende Bedingung für ψ und
ψ notwendige Bedingung für ϕ.
Im Falle ϕ ⇔ ψ heißt ϕ hinreichende und notwendige Bedingung für ψ.
1.2 Mengen
1.1.2
15
Rechengesetze (Boolesche Algebra)
kommutativ: ϕ ∧ ψ = ψ ∧ ϕ
ϕ∨ψ = ψ∨ϕ
ϕ⇔ψ=ψ⇔ϕ
assoziativ: ϕ ∧ (ψ ∧ ϑ) = (ϕ ∧ ψ) ∧ ϑ = ϕ ∧ ψ ∧ ϑ (analog mit ∨ und ⇔)
distributiv: ϕ ∧ (ψ ∨ ϑ) = (ϕ ∧ ψ) ∨ (ϕ ∧ ϑ) (bzw. ∧ und ∨ vertauschen)
D E M ORGANsche Regeln
ϕ∧ψ = ϕ∨ψ
ϕ∨ψ = ϕ∧ψ
Die Regeln können auf mehr als zwei Variable verallgemeinert werden.
Involutionsregel (doppelte Verneinung): ¬(¬ϕ) = ϕ = ϕ
Tautologie (ausgeschlossenes Drittes):
ϕ ∨ ¬ϕ = ϕ ∨ ϕ = 1
Kontradiktion (Widerspruch):
ϕ ∧ ¬ϕ = ϕ ∧ ϕ = 0
Idempotenz:
ϕ∧ϕ = ϕ
ϕ∨ϕ = ϕ
neutrale Elemente 0 und 1:
ϕ ∨ 0 = ϕ ϕ ∧ 1 = ϕ 0 = ¬1
Kontraposition:
1.2
1.2.1
(ϕ ⇒ ψ) = (¬ψ ⇒ ¬ϕ)
Mengen
Grundlagen
Eine Menge ist eine ungeordnete Sammlung von inhaltlich zusammengehörigen Objekten (Elementen).
Mengenbezeichnung: A, B, M , . . .
A = {a 1 , . . . , a n } (aufzählende Form)
Elementebezeichnung: a, b, x 1 , . . .
Zuordnung zur Menge: x ∈ M („x Element M “) bzw. x i ̸∈ M („x kein Element M “)
Mengenbildungsoperator: {x ∈ G|A(x)}
„Menge aller x Element G, für die gilt: A(x).“
©
ª
Angabe einer charakteristischen Eigenschaft: B = x|x = k 3 ∧ k ∈ N
Zweiermenge (ungeordnete Reihenfolge): {a, b}
Paar (geordnete Reihenfolge): (a, b)
Stets gilt {a, b} = {b, a}, für a ̸= b ist jedoch (a, b) ̸= (b, a).
1
16
1 Logik, Arithmetik, Algebra
Geordnetes Tripel: (x, y, z)
geordnetes n-Tupel: (x 1 , x 2 , . . . , x n )
Leere Menge: ;, {}
(enthält kein Element, auch nicht die Null)
Endliche Menge: {a 1 , a 2 , a 3 } unendliche Menge: {a 1 , a 2 , . . .}
Ist eine Menge M ⊂ R nach unten (oben) beschränkt, so hat sie mindestens
eine untere (obere) Schranke S.
Supremum: sup X , kleinste obere Schranke, obere Grenze der Menge X
Infimum: inf X , größte untere Schranke, untere Grenze der Menge X
1.2.2
Mengenoperationen
Inklusion, A ist Teilmenge (Untermenge) von B (Obermenge)
A ⊆ B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B
echte Teilmenge: A ⊂ B
Gleichheit
A = B ⇔ ∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B
A = B ⇔ A ⊆ B ∧B ⊆ A
Vereinigung, Disjunktion
A ∪ B := {x|x ∈ A ∨ x ∈ B }
Durchschnitt, Konjunktion
A ∩ B := {x|x ∈ A ∧ x ∈ B }
A und B sind disjunkt (elementefremd): A ∩ B = ∅
A
B
Vereinigung A ∪ B
A
B
Durchschnitt A ∩ B
Differenz zweier Mengen
A \ B := {x|x ∈ A ∧ x ̸∈ B }
A \ B ̸= B \ A
A \B = A ∩B
A \ (B \C ) ̸= (A \ B ) \C
A
B
A \ B Differenzen B \ A
17
1.2 Mengen
Komplement einer Menge B in Bezug auf Grundmenge
G (Bild)
B
B
B := G \ B = {x ∈ G|x ̸∈ B }
Potenzmenge, Menge aller Teilmengen von A
P (A) := {X |X ⊆ A}
A, ∅ ∈ P (A)
kartesisches Produkt zweier Mengen (Menge von geordneten Paaren)
©
ª
A × B := (x, y)|x ∈ A ∧ y ∈ B
für A ̸= B gilt A × B ̸= B × A
Produktmenge, Menge aller n-Tupel (x 1 , . . . , x n ) : M 1 ×· · ·×M n
Mengenpotenz: M n := |M × M {z
× . . . × M}
n≥1
xi ∈ Mi
n
1.2.3
Rechenregeln für Mengen
(G Grundmenge)
Reflexive Beziehung:
Komplementgesetze:
Transitive Beziehung:
Teilmengenbeziehung:
Kommutativgesetze:
Assoziativgesetze:
Absorptionsgesetze:
Distributivgesetze:
A⊆A
A=A
G = ∅ ∅ = G A∩A = ∅ A∪A = G
A ⊆ B ∧B ⊆ C ⇒ A ⊆ C
A ∩ B ⊆ A ∪ B, A \ B ⊆ A, ∅ ⊆ A, A ⊆ G
A ∩B = B ∩ A
A ∪B = B ∪ A
(A ∩ B ) ∩C = A ∩ (B ∩C )
desgl. mit ∪
A ∩ (A ∪ B ) = A
A ∪ (A ∩ B ) = A
A ∩ (B ∪C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩C )
A ∪ (B ∩C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪C )
D E M ORGANsche Regeln: M 1 ∩ M 2 = M 1 ∪ M 2
M1 ∪ M2 = M1 ∩ M2
Produktbeziehungen
(A ∪ B ) ×C = (A ×C ) ∪ (B ×C )
(A ∩ B ) ×C = (A ×C ) ∩ (B ×C )
C × (A ∪ B ) = (C × A) ∪ (C × B )
C × (A ∩ B ) = (C × A) ∩ (C × B )
Es gilt: A × B = ∅ ⇔ A = ∅ ∨ B = ∅
A ⊆ C ∧B ⊆ D ⇒ A ×B ⊆ C ×D
1
18
1 Logik, Arithmetik, Algebra
1.2.4
Relationen
Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge des
kartesischen Produktes A × B : R ⊆ A × B
Infix-Schreibweise: xR y für (x, y) ∈ R
Definitionsbereich sind alle Elemente x, für die ein y mit xR y existiert.
Mächtigkeit
Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge ist ihre Elementeanzahl.
Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive (eineindeutige)
Abbildung zwischen den beiden Mengen gibt.
Eine Menge, die zur Menge der natürlichen Zahlen N gleichmächtig ist,
heißt abzählbar unendlich oder kurz abzählbar.
y1
y1
y2
y2
x1
x1
y1
x1
y3
y3
x2
x2
y1
y2
x1
x2
y4
y4
x3
x3
y2
y3
x2
x3
y5
y5
y3
x3
x4
mehrdeutig
nacheindeutig
eineindeutig
voreindeutig
1.2.5
Zahlensysteme
Heute gebräuchliche Zahlensysteme sind polyadische oder Positionssysteme.
Dualsystem (Zweiersystem, dyadisches System)
Grundziffern: a k ∈ {0, 1}, k ∈ Z
Stellenwert: Potenzen von 2
a=±
n
X
¡
¢
a k · 2k = ± a n 2n + . . . + a 0 20 + a −1 2−1 + . . .
k=−∞
Dezimalsystem (dekadisches System)
Grundziffern: a k ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}
a=±
n
X
Stellenwert: Potenzen von 10
a k · 10k = ± a n 10n + . . . + a 0 100 + a −1 10−1 + . . .
¡
¢
k=−∞
Endlicher Dezimalbruch: ∃a k ̸= 0 für k < 0, alle folgenden Ziffern sind Null
Periodischer Dezimalbruch: unendliche Wiederholung einer Ziffernfolge
1.3 Menge der reellen Zahlen
19
Normalisierte Gleitkommadarstellung einer reellen Zahl
a = ∓m · 10k
a∈R
1
Mantisse: 1 ≤ m < 10 (auch 0,1 ≤ m < 1 ist üblich), Exponent: k ∈ Z
Hat die Mantisse t tragende Ziffern, heißt sie t -stellig.
Übersicht über häufig verwendete Zahlensysteme
(BCD-Code: Jede Ziffer einer Dezimalzahl wird einzeln binär codiert)
dezimal
dual
BCD
oktal
hexadezimal
0
1
2
3
4
5
6
7
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
0000 0000
0000 0001
0000 0010
0000 0011
0000 0100
0000 0101
0000 0110
0000 0111
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
0000 1000
0000 1001
0001 0000
0001 0001
0001 0010
0001 0011
0001 0100
0001 0101
10
11
12
13
14
15
16
17
8
9
A
B
C
D
E
F
16
usw.
10000
..
.
0001 0110
..
.
20
..
.
10
..
.
1.3
1.3.1
Menge der reellen Zahlen
Standard-Zahlenmengen
Menge der nichtnegativen ganzen (natürlichen) Zahlen
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
Herausnahme der Zahl 0 durch Anfügen des Sternchens:
N∗ = {1, 2, 3, . . .}
20
1 Logik, Arithmetik, Algebra
Kardinalzahlen: Anzahl der Elemente einer abzählbaren Menge
Ordinalzahlen: Stelle eines Elements in einer geordneten Menge
Menge der Primzahlen
Eine Primzahl p ist eine natürliche Zahl ≥ 2, die ohne Rest nur durch sich
selbst oder durch 1 teilbar ist:
©
ª
P = p ∈ N | p prim = {2, 3, 5, 7, 11, . . .}
Menge der ganzen Zahlen
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Menge der rationalen Zahlen
n ¯
o
a
¯
Q = x ¯ x = , a ∈ Z, b ∈ N∗
b
Sind a und b teilerfremde ganze Zahlen, d. h. ist ihr größter gemeinsamer
Teiler gleich 1, so spricht man von der Normaldarstellung.
Q ist abzählbar, d. h. es gibt genauso viele rationale Zahlen wie natürliche.
Rationale Zahlen liegen überall dicht auf der Zahlengeraden. Rationale
Zahlen sind
■
Brüche von ganzen Zahlen
■
endliche Dezimalbrüche
■
unendliche periodische Dezimalbrüche
Menge der reellen Zahlen
R = Q ∪ Menge der irrationalen Zahlen
Irrationale Zahlen sind nichtperiodische, nicht abbrechende Dezimalbrüp
che, z. B. π, 2, e. Als Näherungswerte benutzt man endliche Dezimalbrüche, etwa π ≈ 3,1415927.
Menge der positiven reellen Zahlen: R>0 = {x ∈ R | x > 0}.
R ist nicht abzählbar (überabzählbar). Die reelle Zahlengerade und R sind
gleichmächtig.
Anordnungsaxiome für reelle Zahlen (a, b, c ∈ R)
Stets gilt eine der drei Beziehungen zwischen zwei reellen Zahlen a und b:
a<b
oder a = b
oder a > b
1.3 Menge der reellen Zahlen
21
Für a, b > 0 gilt
1
a + b > 0 und ab > 0
Daraus: a < b ∧ b < c ⇒ a < c
a<b
⇒ a +c < b +c
a < b ∧c > 0 ⇒ a ·c < b ·c
(Transitivität)
(Monotonie der Addition)
(Monotonie der Multiplikation)
Intervalle
Offenes Intervall:
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
Abgeschlossenes Intervall: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Halboffene Intervalle:
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
Statt (a, b) ist auch die Schreibweise ]a, b[ gebräuchlich.
1.3.2
Grundoperationen für reelle Zahlen
Klammern auflösen, Ausklammern, Produkte von Summen
a + (b + c − d ) = a + b + c − d
ac + bc = c(a + b)
a(b − c) = ab − ac
a − (b + c − d ) = a − b − c + d
ac − bc = c(a − b)
−ac − bc = −c(a + b)
„Punkt vor Strich“
Bruchrechnung
Echter Bruch:
Stammbruch:
Erweitern:
a
< 1 mit 0 < a < b, a, b ∈ N∗
b
1
(Kehrwert von a)
a
a
a ·c
=
b
b ·c
Addieren/Subtrahieren:
Multiplizieren:
Kürzen:
Gemeiner Bruch: für b ̸= 10n
Kehrwert von
a
a/c
=
b
b/c
a
b
ist
b
a
b, c ̸= 0
a c
a ±c
a c
ad ± bc
± =
± =
b b
b
b d
bd
(Hauptnenner bd )
a c
ac
· =
b d
bd
a, b ̸= 0
b, d ̸= 0
22
1 Logik, Arithmetik, Algebra
a
a.c
a d
b
Dividieren: c =
= ·
b, c, d ̸= 0
b d
b c
d
a
Nullsetzen: = 0 ⇔ a = 0 ∧ b ̸= 0
b
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Produkt der Potenzen der Primfaktoren mit den höchsten Exponenten der
beteiligten Zahlen bzw. Variablen (z. B. bei Hauptnennerbestimmung).
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Größte natürliche Zahl, die gemeinsamer Teiler aller beteiligten Zahlen ist.
Polynomdivision
■
Ordnen von Dividend und Divisor nach fallenden Potenzen der Variablen
■
1. Glied Dividend durch 1. Glied Divisor ergibt 1. Glied Quotient
■
Rückmultiplikation mit Divisor
■
Subtraktion, bis die Differenz null wird bzw. ein Rest bleibt
Proportionen, Verhältnisgleichungen (b, d ̸= 0)
a
c
=
⇔ a · d = b · c „über Kreuz multiplizieren“
b
d
a
c
=
⇔ a = k ·c ∧b = k ·d
b
d
k Proportionalitätsfaktor, k ∈ R
Direkte Proportionalität (Graph: Gerade): y ∼ x ⇔ y = kx
Indirekte Proportionalität (Graph: Hyperbel): y ∼
1
1
⇔y =k
x
x
Mittelwerte
Arithmetisches Mittel
x=
a +b
2
Mittlere Proportionale, geometrisches Mittel (a, b ≥ 0)
p
x g = ab
1.3 Menge der reellen Zahlen
23
Harmonisches Mittel
xh =
2ab
a +b
·
a
·
M
1
xh
x
xg
·
b
Ungleichung der Mittelwerte:
Für a, b > 0 gilt x h ≤ x g ≤ x. Gleichheit herrscht genau dann, wenn a = b
ist.
Näherung, Rundungsregeln
Abrunden: Ziffer a i bleibt, wenn die folgende Ziffer a i +1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4}
Aufrunden: Ziffer a i wird um 1 erhöht, wenn a i +1 ∈ {5, 6, 7, 8, 9}
absoluter Fehler ε: |ε| ≤ 0, 5 · 10−i , i sichere (gültige) Stellen/Dezimalen
Betrag einer reellen Zahl
(
x
für x ≥ 0
|x| :=
−x für x < 0
Regeln: |x| ≥ 0, |x| = 0 ⇔ x = 0
|x · y| = |x| · |y|
|x + y| ≤ |x| + |y| Dreiecksungleichung
Signum einer reellen Zahl


für x > 0

1
sgn x :=
für x = 0
0



−1 für x < 0
x
für x ̸= 0
|x|
sgn(x · y) = sgn x · sgn y
Regeln: sgn x =
Summen- und Produktzeichen (i , m, n ∈ Z)
m ≤ n:
n
X
x i := x m + x m+1 + . . . + x n
i =m
i Laufvariable, Index
n
Y
i =m
x i := x m · x m+1 ·. . .· x n
24
1 Logik, Arithmetik, Algebra
n
X
m > n:
n
Y
x i := 0 (leere Summe)
i =m
Regeln:
n
X
n
X
(x i + y i ) =
i =m
n
X
n
X
cx i = c
i =m
n
X
xi +
i =m
n
X
n
Y
yi
i =m
i =1
n
Y
n
Y
i =1
c = cn
c = n ·c
i =1
Im Allgemeinen ist aber
n
X
a i · b i ̸=
i =m
n
X
i =m
ai ·
n
X
bi .
i =m
Potenzen, Wurzeln
Natürliche Exponenten (a ∈ R)
a n :=


|a · a · a
{z· . . . · a}
für n ≥ 1


für n = 0
n Faktoren
1
a Basis, n Exponent
Speziell 0n = 0 für n ∈ N∗ , aber 00 ist nicht definiert.
Gebrochene Exponenten (a ∈ R>0 )
p
p
1
a n := n a, wobei b = n a ⇔ b n = a
¡p
¢m
m
n
a n :=
a
a Radikand, n Ordnung der Wurzel
Negative Exponenten (a ∈ R>0 )
a −x :=
1
ax
speziell Kehrwert: a −1 =
xi ·
i =m
c xi = c n
xi
i =m
n
Y
(x i · y i ) =
i =m
n
Y
i =1
1.3.3
x i := 1 (leeres Produkt)
i =m
1
a
Wurzelgesetze (m, n ∈ N)
p
p
p
n
n
0=0
1 = 1 n a > 1 falls a > 1
r
p
q
q
n
p
p
p
p
a
n m
m p
n
n
n
n
n a
a · b = a ·b p
=
a
=
a=
n
b
b
p
m·n
a
xi
n
Y
i =m
yi
1.3 Menge der reellen Zahlen
25
p
¡ p ¢m k·np
n
am = n a
a k·m = a m
p
p
Statt 2 a schreibt man kurz a.
p
p
Beachte: a ist stets nichtnegativ, also z. B. 4 = 2, und nicht −2 oder gar
±2.
p
n
Potenzgesetze (x, y ∈ R, a, b ∈ R>0 )
a x · a y = a x+y
a x · b x = (a · b)x
³ a ´x
ax
=
bx
b
ax
= a x−y
ay
(a x ) y = (a y )x = a x·y
1.3.4
Logarithmen
b Basis, b ∈ R>0 , b ̸= 1
a Numerus, Logarithmand, a ∈ R>0
x Exponent, x ∈ R
logb a = x ⇔ b x = a
In Worten: Der Logarithmus von a zur Basis b ist diejenige reelle Zahl x,
mit der man b potenzieren muss, um a zu erhalten.
Regeln:
b logb x = x
logb b x = x
logb 1 = 0
logb b = 1
Logarithmengesetze (u, v ∈ R>0 )
logb (u · v) = logb u + logb v
logb
u
v
= − logb
v
u
logb
u
= logb u − logb v
v
1
= − logb v
v
p
1
logb n u = logb u
n
logb
logb u c = c logb u, c ∈ R
Dekadische (gemeine, B RIGGSsche) Logarithmen
lg a := log10 a
lg a = x ⇔ 10x = a
lg 10x = x
10lg a = a
x ∈ R, a > 0
n≥2
1
26
1 Logik, Arithmetik, Algebra
Gleitkommadarstellung einer reellen Zahl: a = m · 10k mit m ∈ [1; 10),
daraus lg a = lg m + k mit lg m ∈ [0; 1), a > 0
m Mantisse, k ∈ Z Kennzahl
Natürliche Logarithmen
ln a := loge a
ln a = x ⇔ ex = a
z
a =e
z ln a
ln ex = x
eln a = a
x ∈ R, a > 0
a > 0, z ∈ R
Basis: e = lim (1 + 1/n)n = 2,718 281 828 459 . . . E ULERsche Zahl
n→∞
Zweierlogarithmen, binäre Logarithmen
lb a := log2 a
lb a = x ⇔ 2x = a
lb 2x = x
2lb a = a
x ∈ R, a > 0
Basiswechsel der Logarithmensysteme (b, c ∈ R>0 , b, c ̸= 1)
logb a =
1.3.5
logc a
logc b
speziell c = 10: logb a =
lg a
lg b
Binomischer Satz
Fakultät (rekursive Definition, n ∈ N)
(
n! :=
1
für n = 0
(n − 1)! · n
für n ≥ 1
Für n ≥ 1 ist n! (lies: „n-Fakultät“) also gleich dem Produkt aller natürlichen
Zahlen von 1 bis n: n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n. Speziell: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6
usw.
Binomialkoeffizient (n, k ∈ N)

à !
n!

n
:= k!(n − k)!

k
0
für 0 ≤ k ≤ n
für k > n
(lies: „n über k“ oder „k aus n“)
1.3 Menge der reellen Zahlen
Für 1 ≤ k ≤
n
effiziente Berechnung möglich durch
2
1
à !
n(n − 1)(n − 2) · . . . · (n − k + 1)
n
=
,
k
k(k − 1)(k − 2) · . . . · 1
n
< k ≤ n verwende man zunächst den Symmetriesatz
2
à ! Ã
!
à ! à !
n
n
n
n
=
, speziell
=
=1
k
n −k
0
n
für
Rekursionsformel zur Berechnung:
à ! Ã
!
n −k +1
n
n
=
·
k
k
k −1
Additionssatz:
à ! Ã
! Ã
!
n
n
n +1
+
=
k
k +1
k +1
P ASCALsches Dreieck zur Bestimmung der Binomialkoeffizienten
n=0
1
Zeilensumme 20
n=1
1
1
21
n=2
1
2
1
22
|
{z
}
n=3
1
3
3
1
23
|
{z
}
n=4
1
4
6
4
1
24
Binomische Formeln
(a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b 2
3
27
3
2
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
2
(a ± b) = a ± 3a b + 3ab ± b
a, b ∈ R
3
Allgemeiner binomischer Satz für natürliche Exponenten
(n ∈ N, a, b ∈ R)
à !
à !
à !
à !
n n
X
n n
n n−1
n n
n
(a + b) =
a +
a
b +...+
b =
a n−k b k
0
1
n
k=0 k
28
1 Logik, Arithmetik, Algebra
1.4
1.4.1
Menge der komplexen Zahlen
Grundlagen
C = z = a + j · b | a, b ∈ R, j2 = −1
©
ª
Realteil:
Re z = a
Imaginärteil: Im z = b
In C ist im Gegensatz zu R keine Ordnungsrelation erklärbar.
C ist nullteilerfrei: Aus z 1 · z 2 = 0 folgt stets z 1 = 0 oder z 2 = 0.
Imaginäre Einheit:
0 + j · 1 = j mit j2 = −1
Rein imaginäre Zahl: 0 + j · b = jb
Reelle Zahl:
a +j·0 = a
Reine Mathematik: i
Damit ist R ⊂ C.
Komplexe Zahlen in der G AUSSschen Zahlenebene
Die komplexe Zahl a + jb wird dargestellt durch einen Pfeil (Vektor, Zeiger)
vom Nullpunkt der x y-Ebene zum Punkt P (a, b).
Konjugiert komplexe Zahl z ∗ , z
z = a + jb ⇒ z ∗ = z = a − jb
Im
−z ∗
=
P(a, b)
×
b
−a
+
z=
jb
jb
a+
r
=
|z |
4
−a
=
−z
−a
b
−j
0
−4
z∗
−b
1
1
a = (z + z ∗ ) b = (z − z ∗ )
2
2j
(z 1 ± z 2 )∗ = z 1∗ ± z 2∗
(z ∗ )∗ = z
a
=
a−
jb
Re