Magnetische Felder - Physik Uni Rostock
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24a Magnetismus 1 Magnetismus im Alltag Materialien lassen sich magnetisieren Ein Magnet erzeugt keine Ladung auf einem Elektroskop 2 Magnetismus im Alltag Form des Magneten spielt eine Rolle Elektrostatik Elektrischen Ladungen lassen sich trennen (Elektron und Proton) Magnetostatik Magnetische Ladungen treten dagegen nie isoliert auf oder wissenschaftlich ausgedrückt Es gibt keine magnetischen Monopole es wird aber danach gesucht! egal wie oft man einen Magneten teilt, man findet immer einen Nord und Südpol Direkter Vergleich zwischen elektrostatischer und magnetischer Kraft 3 Magnetische Felder Kräfte zwischen Stabmagneten Analog zu Kapitel Elektrostatik Kräfte zwischen magnetischen Polen werden durch Feldlinien beschrieben Man kann das magnetische Feld B an einem Punkt im Raum durch die magnetische Kraft FB auf ein Testteilchen definieren das sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt Magnetische Feldlinien kreuzen sich nicht Abstand der Feldlinien gibt Stärke des magnetischen Feldes an Magnetische Feldlinen sind geschlossen 4 Statik versus Bewegung 1. Eine ruhende Ladungsverteilung erzeugt ein elektrisches Feld E in seiner Umgebung 2. Ein elektrisches Feld übt eine Kraft Fe=qE auf eine andere Ladung aus, die sich in seinem Feld befindet 1. Eine bewegte Ladung oder ein Strom erzeugt zusätzlich zum elektrischen ein magnetisches Feld B in seiner Umgebung 2. Ein magnetisches Feld übt eine Kraft FM auf eine andere bewegte Ladung oder einen Strom aus, wenn er sich in seinem Feld befindet damit geht’s los Wie das elektrische Feld ist auch das magnetisches Feld ein Vektorfeld jeder Punkt im Raum ist definiert durch einem B-Vektor mit Betrag und Richtung 5 Experimentelle Beobachtungen 1. Stärke der magnetischen Kraft, die auf das Teilchen einwirkt, ist proportional zur Ladung q und der Geschwindigkeit v des Testteilchen. 2. Größenordnung und Richtung der Kraft FB hängt von der Geschwindigkeit des Teilchens und der Stärke und Richtung des magnetischen Feldes ab. 3. Wenn sich ein Teilchen parallel zur Richtung des magnetischen Feldvektors bewegt, erfährt es keine Kraftwirkung. 4. Wenn der Geschwindigkeitsvektor des Teilchens einen Winkel ungleich NULL mit der Richtung des magnetischen Feldes, dann wirkt die magnetischen Kraft senkrecht zur Richtungen von sowohl v als auch B. F steht senkrecht auf der Ebene aufgezogen aus v und B. 5. Die Richtung der magnetischen Kraftwirkung hängt vom Vorzeichen der Ladung ab. 6. Die Größenordnung der magnetischen Kraft auf ein geladenes Teilchen ist proportional zum Sinus des Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor und magnetischem Feld.. rLorentzkraft r r FM = q v × B ( Rechte-Hand Regel ) FM = q (v ⋅ B sin Θ ) Hendrik Lorentz (1853-1928) 6 Drei Unterschiede Elektrische Kraft vs magnetische Kraft Elektrostatik r r Fe = qE Magnetismus r r r FM = q v × B ( Nicola Tesla 1856–1943 FM = q (v ⋅ B sin Θ ) Fe = q E cos Θ Elektrische Kraft wirkt in Richtung des elektrischen Feldes ) Unterschied 1 Magnetische Kraft wirkt senkrecht zur Richtung des magnetischen Feldes Unterschied 2 Elektrische Kraft wirkt auf ruhende und bewegte geladene Teilchen Magnetische Kraft wirkt nur auf bewegte und geladene Teilchen Unterschied 3 Elektrische Kraft verrichtet Arbeit, wenn eine Ladung verschoben wird Magnetische Kraft verrichtet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht zur Verschiebung. Konsequenz: Die Energie des Teilchens ändert sich nicht. typische Werte für magnetische Felder Dimensionsanalyse [B] = ⎡⎢ FB ⎤⎥ = ⎡⎢ Ns ⎤⎥ ⎣ qv ⎦ ⇓ [B] = ⎡⎢ ⎣ Cm ⎦ C A= s N ⎤ ⎥ = [1 T ] ⎣A ⋅m⎦ SI Einheit des Magnetfeldes Tesla 7 Kraft auf einen Leiter Im magnetischen Feld erfährt ein Leiter eine Kraftwirkung wenn ein Strom fließt Ursache Bahn der Elektronen im Leiter wird durch das Magnetfeld beinflußt Lorentzkraft Die Richtung der Auslenkung hängt von der Richtung des Stromes in Bezug auf die Richtung des magnetischen Feldes ab. 8 Kraft auf einen Leiter Magnetische Kraft auf einzelne Ladung r r r FB = qv d × B Lorentzkraft ne : Anzahl der Ladungen pro Volumen vd Driftgeschwindigkeit der Elektronen im Leiter l Volumen=Fläche x Länge = A x l ( r r r FB = ne As qv d × B r Gleichung gilt nur in einem homogenen magnetischen Feld ) ⇓ I = ne qv d A r r r FB = I l × B Magnetische Kraft auf alle Elektronen im Volumen Vektor l zeigt in Stromrrichtung 9 Kraft auf einen Leiter vom Allgemeinen zum Speziellen differentielle Form r r r dFB = Ids × B In der Realität: Summation über alle unterschiedlichen Einzelbeiträge r r b r FB = I ∫ ds × B Spezialfall 1 homogenes Magnetfeld a Magnetische Kraft entlang eines beliebige Weges innerhalb eines homogenen magnetischen Feldes ist gleich der eines geraden Leiters, der die beiden Endpunkte verbindet Entscheidend ist nur die Komponente senkrecht zur Feldrichtung Spezialfall 2: geschlossener Weg in homogenem Magnetfeld r r r FB = I ∫ ds × B Kreisintegral Magnetische Kraft entlang eines geschlossenen Weges innerhalb eines homogenen magnetischen Feldes ist NULL 10 Magnetohydrodynamik Magnetische Kraft auf stromdurchflossenen Leiter elektrische Energie mechanische Arbeit Vorteil magnetische Kraft pumpt Flüssigkeiten ohne mechanische Komponenten Strom Magnetfeld Kraft Anwendung Heiße oder chemisch reaktive Substabnzen Beispiel 1: Natrium in Kernreaktoren Beispiel 2: Bluttransport Möglicher Nachteil in einigen Anwendungen hohe magnetische Felder notwendig (z.B. supraleitende Spulen) 11 Silent Running Friday, Sep. 23, 1966 Run Silent, Run Electromagnetic like a well-trained dolphin, the miniature experimental submarine maneuvered docilely around the waters of California's Santa Barbara yacht basin. No propellers, no jets were visible along its sleek, 10-ft.-long hull, yet the sub was obviously moving under its own power, gliding silently at about 2 m.p.h. 3 ft. under the surface. There was not a motor on board, but the odd little boat was being propelled by the same electrical phenomenon that causes rotors in electric motors to turn: electromagnetic force. Yamato 1 Baujahr 1992 Erstes U-Boot mit magnetohydrodynamischem Antrieb maximale Geschwindigkeit 15 km/h (8 Knoten) 12 Drehmoment r r r r L || B ⇒ L × B = 0 In 2 fließt der Strom nach unten In 4 fließt der Strom nach oben r r L⊥B F1 = F3 = 0 Maximales Drehmoment Unterschiedliche Richtung des Stromes in Bezug auf das Magnetfeld liefert ein Drehmoment F2 = F4 ≠ 0 Winkel zwischen Leiter und Feld b b τ max = F2 sin Θ + F4 sin Θ 2 2 b b τ max = IaB sin Θ + IaB sin Θ 2 2 τ max = IabB sin Θ = IAB sin Θ τ = IAB sin Θ r rr τ = IAB Definition Magnetisches Dipolmoment ⇓ r r µ = IA r r τ = µ× B r b b + F4 2 2 b b τ max = IaB + IaB 2 2 τ max = IabB = IAB τ max = F2 D Magnetisches Dipolmoment r r τ = µ× B Elektrisches Dipolmoment r r r τ = p× E 13 d‘Arsonval Galvanometer Problem in einem homogenen Magnetfeld Auslenkung hängt von Strom und Winkel ab τ = µB sin Θ τ mag = µB Torsion Jacques-Arsène d'Arsonval (1851-1940) τ torsion = −κφ ⇓ Gesamtdrehmoment µ = nIA τ mag + τ torsion = µB − κφ n; Anzahl Windungen I: Strom A: Fläche Gleichgewicht der Kräfte magnetisch 0 = nIAB − κφ φ =n Zeigerausschlag proportional dem Strom AB κ φ≈I n AB κ I und unabhängig vom Auslenkungswinkel Designparameter des Instruments 14 Geladenes Teilchen im magnetischen Feld Bewegung eines Teilchens mit einem Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Magnetfeld FB = qvB = mv ² r ⇓ mv ² r= qB v qB Winkelgeschwindigkeit ω = = in diesem Fall auch r m Zyklotronfrequenz genannt 2πr m = 2π T= v qB Kräftegleichgewicht inhomogenes Feld Magnetische Flasche Bewegung eines Teilchens mit einem beliebigem Geschwindigkeitsvektor Annahme B-Feld zeigt in x-Richtung a x = 0 ⇒ v x = const v y , vz ≠ 0 v ⊥ = v 2y + v 2z Magnetisches Feld wirkt nur auf die Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zu vx Komponenten von vy und vz ändern sich mit der Zeit Bewegung des Teilchens im Magnetfeld ist eine Spiralbahn 15 Erdmagnetfeld William Gilbert (englischer Physiker) behaupted im Jahr 1600, die Erde selbst sei ein Magnet und magnetische Pole besitzt “On the Magnet, Magnetic Bodies, and the Great Magnet of the Earth” William Gilbert (1544 1603) 16 Erdmagnetfeld Wanderung des magnetischen Nordpols Magnetische Deklination 17 Van Allen Gürtel Magnetfeld der Erde Geladene Teilchen aus dem Sonnenwind oder der kosmischen Strahlung werden im inhomogenen Magnetfeld der Erde gespeichert Bewegung geladener Teilchen im Magnetfeld typisch Zeiten für den Weg von Pol zu Pol nur wenige Sekunden An den Polen können die Teilchen in die Atmosphäre eindringen und mit Gasatomen kollidieren 18 Wienfilter Magnetfeld senkrecht auf elektrischem Feld Magnetisches Feld Ablenkung nach oben Elektrisches Feld Ablenkung nach unten ( r r r r r FB = qv × B v ⊥ B r r r r Elektrische Kraft F = qE v ⊥ E E ( ⇓ Kräftegleichgewicht qE = qvB Geschwindigkeitsfilter v= E B ) ) Experimentelle Ausführung Magnetische Kraft Wiegen von Atomen und Molekülen 1 1 ⎛E⎞ KE = mv² = m⎜ ⎟ 2 ⎝B⎠ 2 ⇓ Massenspektrometer 2 B2 m = 2 KE 2 E 19 Massenspektrometer Joseph John Thomson (1856-1940) Thomson-Massenspektrometer Magnetisches Feld Ablenkung horizontal Impulsrichtung Resultierende Bahnen sind Parabeln Elektrisches Feld Ablenkung vertikal Energierichtung Magnetisches Feld Radius der Kreisbahn entspricht dem Impuls des Teilchens Auflösung Magnetisches Sektorfeld Massenspektrometer m typisch 20000 Δm 20 Hall-Effekt Bewegung der Ladungsträger in einem Leiter unter Einfluss eines magnetischen Feldes Edwin Herbert Hall (1855-1938) Ladungsträger bewegen sich mit ihrer Driftgeschwindigkeit Das magnetische Feld lenkt Elektronen nach links ab Überschuss negativer Ladungsträger auf dieser Seite Überschuss positiver Ladungsträger aufr dieser Seite qE H = qv d B EH = v d B ⇓ ΔVH = EH d = v d Bd IBd IB = nqA nqh IB ΔVH = RH h vd = I nqA A = d⋅h ΔVH = Hallkoeffizient Potentialdifferenz Hallspannung RH = 1 nq 21 Missing link Hans Christian Oersted (1777-1851) Bei der Erhitzung eines Leiters für einen Demonstrationsversuch entdeckt Oersted, dass eine Kompassnadel abgelenkt wird Vorherige Annahme: Elektrizität und Magnetismus haben nichts miteinander zu tun! Missing link ist der elektrische Strom 22 Magnetisches Feld eine bewegte Ladung P Quellpunkt q Feldpunkt Fragestellung Wie sieht das magnetische Feld einer Ladung aus? 1 B ~ q,B = 2 r r r B⊥v Erinnerung elektrisches Feld E ~ q,E = 1 r2 B-Feld Vektor steht nicht auf der Verbindungslinie zwischen Quellpunkt und Feldpunkt E-Feld Vektor vom Quellpunkt der Ladung zum Punkt wo das Feld gemessen wird B ~ v sin φ Magnetische Feldlinien umgeben die bewegte Ladung Feld einer Punktladung, das sich ⇓ Magnetisches mit konstanter Geschwindigkeit v durch ein µ qvsinφ B= 0 4π r² c r v µ0 q(v × r ) B= 4π r² c² = 1 ε 0 µ0 magnetische Feld bewegt Dimensionsanalyse μ0 [B ] = [T ] = ⎡⎢ N s ⎤⎥ = ⎡⎢ N ⎤ ⎣ A m ⎥⎦ ⎣C m ⎦ [µ0 ] = ⎡⎢ N s²2 ⎤⎥ = ⎡⎢ N2 ⎤⎥ = ⎡⎢ Wb ⎤⎥ = ⎡⎢ Tm ⎤⎥ ⎣ C ⎦ ⎣ A ⎦ ⎣ Am ⎦ ⎣ A ⎦ Tm µ0 = 4π ⋅10 −7 A 23 Magnetfeld zwischen Protonen proton r v r v Coulomb-Wechselwirkung repulsiv q2 FC = 4πε 0 r² 1 r r v << c proton Magnetische Wechselwirkung sin φ = 1 ⇓ µ0 qv 4π r² r r r FM = q (− v )× B r µ0 q 2 v 2 FM = 4π r² B= ( ) Das Verhältnis r FM ⎛ µ0 q 2 v 2 ⎞⎛ r2 ⎞ ⎟⎟⎜⎜ 4πε 0 2 ⎟⎟ r = ⎜⎜ q ⎠ FC ⎝ 4π r² ⎠⎝ r FM r = ε 0 µ0 v 2 FC r FM v 2 r = 2 FC c r r FM << FC , für v << c (nichtrelativistische Bedingungen ) Magnetische Kraft in der Regel deutlich geringer als das elektrische Feld Vorgriff auf Thema elektromagnetische Wellen : Es gibt einen Zusammenhang zwischen dem elektrischen Feld, dem magnetischem Feld und der Lichtgeschwindigkeit!!! 24 Magnetfeld eines Leiters Anwendung des Superpositionsprinzip für magnetische Felder Das totale magnetische Feld hervorgerufen durch mehrere Ladungen ist die Vektorsumme der Felder aller Einzelladungen r dB betrachte kurzes Segment r ds r̂ r ds n Ladungen q pro Volumeneinheit dQ = nqAds Driftgeschwindigkeit r vd Volumen dieses Leiterstücks Fläche x Länge des Segments Ads µ0 dQ v d Ads sin Θ 4π r2 µ0 n q v d Ads sin Θ dB = 4π r2 dB = ⇓ dB = n q v d A= I µ0 Ids sin Θ 4π r2 25 Biot-Savart Gesetz Jean-Baptiste Biot (1774-1862) Magnetfeld, das durch ein kleines stromdurchflossenes Leiterstück erzeugt wird r P dB Feldpunkt hier soll das Feld berechnet werden Eigenschaften Der Vektor dB steht sowohl senkrecht auf der Richtung des Stroms als auch senkrecht zum Einheitsvektor der auf den Punkt P zeigt r̂ r ds Der Betrag von dB ist proportional zu 1/r², wobei r der Abstand zwischen ds und P ist Der Betrag von dB ist proportional zum Strom und zum Betrag von ds Der Betrag von dB ist proportional zum sin des Winkels zwischen ds und r Bemerkung: Biot-Savat Gesetz gilt auch für Ladungsträger, die sich im freien Raum bewegen (z.B. Fernsehröhre) Félix Savart (1791-1841) r μ 0 Idsr × rˆ dB = 4π r 2 −7 T ⋅ m μ 0 = 4π ⋅10 A Integration r μ 0 I ds × rˆ B= 4π ∫ r 2 Biot-Savart Gesetz Gemeinsamkeiten und Unterschiede elektrischen Feld einer Punktladung 1/r² Abhängigkeit aber radiales Feld isolierte Ladung 26 Magnetisches Feld endlos langer Leiter kleine Umformung um diesen Term auszuwerten r ds × rˆ ⊥ Fläche r r ds × rˆ = ds × rˆ kˆ = (dx sin Θ )kˆ Vektor k zeigt in Richtung senkrecht zu dieser Fläche ⇓ einsetzen in die Gleichung r µ I dx sin Θ ˆ k dB = (dB ) kˆ = 0 4π r2 µ I dx sin Θ dB = 0 r2 4π µ0 I sin ΘdΘ 4πa Integration Θ1 bis Θ 2 ⇓ dB = B= µ0 I Θ 2 µ0 I (cos Θ1 − cos Θ 2 ) Θ Θ = sin d 4πa ∫Θ1 4πa x →∞ Θ1 = 0 ,Θ 2 =π ⇓ unendlich langer Leiter ⇓ cos 0 −cos π = 2 µI B= 0 2πa Magnetfeld fällt mit 1/Abstand ab Rechte-Hand-Regel 27 Überlandleitung schneller Abfall des magnetischen Feldes durch günstiges Schalten der drei Phasen Vergleich 28 Amperesches Gesetz Erinnerung Zusammenhang zwischen dem Strom durch einen geraden Leiter und dem damit erzeugten Magnetfeld Andre-Marie Ampere (1775-1836) Wie sieht das Magnetfeld für einen beliebig geformten Leiter aus? Allgemein Summation oder Integration über einen geschlossenen Weg! ∑ B||Δl = μ0 I Amperesches Gesetz Komponenten von B die parallel zu dl ist oder r v ∫ Bdl = μ 0 I 29 Magnetfeld einer Leiterschleife (BΔl1 ) + (BΔl2 ) + ... + (BΔlm ) B (Δl1 + Δl2 + ... + Δlm ) = B(2πR ) B= Summation über den Kreis Feld eines Stabmagneten Feld eines Leiterschleife µ0 I (auf der Achse bei x = 0) 2πR µ0 IR 2 (für x >> R ) B= 2 2πx große Abstände 30
