2. Kinematik - physik.fh

2. Kinematik
Inhalt
2. Kinematik
2.1 Arten der Bewegung
2.2 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional)
2.3 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional)
2.4 Beschleunigung (1-dimensional)
2.5 Bahnkurve
2.6 Bewegung in 3 Dimensionen
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
2.8 Relativbewegungen
2.9 Spezielle Relativitätstheorie
Punktmasse
2. Kinematik
Punktmasse
Kinematik:
Lehre von Bewegung (beschreibt nur)
Bewegung:
Änderung des Ortes (y) mit der Zeit (t),
y = f(t) = y(t)
Beispiele:
y = k oder y = k` t
Problem:
Physikalische Probleme sind meist kompliziert.
(Hund, Katze, Maus,...)
Lösung:
Idealisierung ausgedehnter Körper zur
PUNKTMASSE
(k, k` = Konstanten)
Denkmodell Punktmasse:
Körper, dessen Masse man sich in einem Punkt konzentriert denkt
Punktmasse
2. Kinematik
Punktmasse
Modell Punktmasse anwendbar, falls …
1. der Körper nahezu punktförmig ist,
z.B. e- in einem Fernsehröhre,
2. die Körperabmessungen klein gegenüber dem Abstand sind,
z.B. Erde um Sonne,
3. man einen repräsentativen Punkt wählt.
z.B. Schwerpunkt einer Kugel
Punkt auf Autostoßstange
Beschreibung von Bewegung in
1. Koordinatensystem
2. Bezugssystem
r = Ortsvektor r = (x0, y0, z0)
Punkte sind durch Koordinatensystem und Koordinaten bestimmt.
Koordinatensystem
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Koordinatensystem
Wahl des Koordinatensystems bestimmt durch:
Notwendigkeit, Zweckmäßigkeit
Wahl des Bezugssystems bestimmt durch:
Notwendigkeit, Zweckmäßigkeit
Man unterscheidet
ruhende,
gleichförmig bewegte und
beschleunigte Bezugssysteme.
Bahnkurve ist beschrieben
durch:
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
Beispiel: r(t) = (0, 0, 0) m
[Animation]
2.1 Arten der Bewegung
2. Kinematik
2.1 Arten der Bewegung
2.1 Arten der Bewegung
Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten (für ausgedehnte
Körper).
1. Translation
[Animation]
Jeder Punkt des Körpers hat die gleiche Bahnkurve
= Änderung der Position
2. Rotation (Drehung)
[Animation]
Punkte bewegen sich auf Kreisbögen
= Änderung der Orientierung
2.1 Arten der Bewegung
2. Kinematik
Allgemein gilt:
2.1 Arten der Bewegung
Jede Bewegung ist eine Überlagerung von
[Animation]
Translation und Rotation.
Beispiel:
Bahnkurven
von Punkten auf dem
Rad
eines Fahrzeugs
[Animation]
[Animation]
Beachte: Bahnkurve = f (Bezugs- und Koordinatensystems)
2.2 Mittlere Geschwindigkeit
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2.2 Mittlere Geschwindigkeit
2.2 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional)
Annahme:
Bewegung: 1-dimensional (z.B. x-Achse)
Modell:
Punktmasse
x
[Animation]
Def.: Mittlere Geschwindigkeit <v>
Beispiel:
[Animation]
2.2 Mittlere Geschwindigkeit
2. Kinematik
2.2 Mittlere Geschwindigkeit
Beispiele:
negative
Geschwindigkeit
Typische mittlere Geschwindigkeiten:
Schnecke
10-3 m/s
Spaziergang
2 m/s
Schnellste Mann
11 m/s
Gasmoleküle
500 m/s
Mond um Erde
1000 m/s
e- in Fernsehröhre
107 m/s
Lichtgeschwindigkeit (Vakuum)
3x108 m/s
2.3 Momentane Geschwindigkeit
2. Kinematik
2.3 Momentane Geschwindigkeit
Problem:
Keine Aussagen
• über v zu einem
bestimmten Zeitpunkt
• über eine Bahnkurve
2.3 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional)
Def.: momentane Geschwindigkeit
2.3 Momentane Geschwindigkeit
2. Kinematik
2.3 Momentane Geschwindigkeit
Beispiele:
2.4 Beschleunigung
2. Kinematik
2.4 Beschleunigung
2.4 Beschleunigung
Annahme:
Fragen:
Bewegung ist 1-dimensional.
Wie schnell wird man schnell ?
Wie schnell wird man langsam ?
Def.:
Mittlere Beschleunigung
Def.:
Momentane Beschleunigung
2.5 Bahnkurve
2. Kinematik
2.5 Bahnkurve
2.5 Bahnkurve aus v und a (1-dimensional)
Es gilt:
Beispiele:
1. v(t) = konst. = v0
2. a(t) = konst. = a0
x(t) = ?
v(t) = ? , x(t) = ?
Beispiel: Der freie Fall
2. Kinematik
2.6 Bewegung in 3 Dimensionen
2.6 Bewegung in 3 Dimensionen
Ort einer Punktmasse durch Ortsvektor
r = (x,y,z) = | r | ^r
Mittlere
Geschwindigkeit
Momentane
Geschwindigkeit
Mittlere
Beschleunigung
Μomentane
Beschleunigung
Beispiel: Der freie Fall
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Beispiel: Der schiefe Wurf
Der schiefe Wurf
Beispiel einer 2-dimensionalen Bewegung:
Tennisball im Gravitationsfeld
Annahmen:
1. Tennisball ist punktförmig
2. Ball hat Anfangsgeschwindigkeit v0
3. Abwurfwinkel = α
4. Erdbeschleunigung a = g = konstant
5. Reibung wird vernachlässigt
Frage: Wie sieht y = f(x) aus ?
Bahnkurve
Beispiel: Der schiefe Wurf
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Beispiel: Der schiefe Wurf
Zum Zeitpunkt t = 0 gilt:
Für Bewegung in x-Richtung gilt:
Auflösen nach der Zeit ergibt:
Beispiel: Der schiefe Wurf
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Beispiel: Der schiefe Wurf
Für Bewegung in y-Richtung gilt:
mit
y
Parabel: y(x) = ax + bx2
x
Beispiel: Parabelflug
2. Kinematik
Achtung
Achtung !!!!
Ändert sich Geschwindigkeit in Betrag und /oder Richtung
liegt beschleunigte Bewegung vor !!!!
Βeweis:
mit
folgt nach
Produktregel
!!!!!
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung (|v| konst.)
Im Punkt p gilt:
Im Punkt q gilt:
Für ∆t von p à q
pq = Länge des Kreisbogens von p à q
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
x - Richtung
Für mittlere Beschleunigung < ax > gilt:
y – Richtung
Für mittlere Beschleunigung < ay > gilt:
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
Wir haben:
Frage:
Momentane Beschleunigung in Punkt P = ?
Antwort:
Man mache Grenzübergang θ à 0
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
Momentane Beschleunigung in P
Betrag
)
Zentripetalbeschleunigung
F = m
v2/r
= Zentripetalkraft
Ursache für
Kreisbewegungen
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
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Zentripetalbeschleunigung:
• ⊥ zur Tangentialgeschwindigkeit
• Richtung zum Kreismittelpunkt
• Ursache für Kreisbewegung
Fragen:
(gleichförmige Kreisbewegung)
1. Bleibt die Geschwindigkeit konstant ?
2. Ist jede Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung ?
3. Ist die Beschleunigung konstant ?
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
2.8 Relativbewegungen
2.8 Relativbewegungen
Es gilt:
• Die Bahnkurve eines Objektes ist nicht eindeutig.
• Die Geschwindigkeit eines Objektes ist nicht eindeutig.
Sie sind Funktion des Bezugssystems.
Beispiel:
• Ein Zug hat eine konstante Geschwindigkeit vZg.
• Im Zug bewegt sich Fahrgast mit Geschwindigkeit vFg.
Frage:
Wie groß ist vFahrgast ?
Antwort: Das hängt vom
Bezugssystem ab.
2.8 Relativbewegungen
2. Kinematik
2.8 Relativbewegungen
Für den Beobachter, der im Zug ruht, gilt:
vFahrgast = vFg
Für den Beobachter, der am Bahndamm ruht, gilt:
vFahrgast = vFg + vZg
v = f (Bezugssystem)
2.8 Relativbewegungen
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2.8 Relativbewegungen
Die Galilei-Transformation
Allgemeine (abstrakte) Betrachtung (1-dimensional)
Annahmen:
1. Man hat zwei Bezugssysteme A und B.
2. Bezugssystem A ruht.
3. Bezugssystem B bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
vB/A relativ zu A entlang der positiven x-Richtung.
4. In B ist Punktmasse P, die sich in x-Richtung bewegt.
2.8 Relativbewegungen
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2.8 Relativbewegungen
Es gilt für Bahnkurve xP/A (t) von P in A:
xP/A = xB/A + xP/B
xP/B (t) = Bahnkurve von P
in Bezugssystem B
xB/A (t) = Bewegung
von B relativ zu A
Es gilt für Geschwindigkeit vP/A:
Es gilt für Beschleunigung aP/A:
2.8 Relativbewegungen
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2.8 Relativbewegungen
Konsequenz
In Bezugssystemen, die sich relativ zueinander
mit konstanter Geschwindigkeit bewegen,
ist die Beschleunigung
UNABHÄNGIG
vom Bezugssystem.
2.8 Relativbewegungen
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2.8 Relativbewegungen
Ein merkwürdiges Beispiel:
Zug mit vZg = 90 % der Lichtgeschwindigkeit c
relativ zum Bahndamm:
vZg = 0,9 c = 0,9 . 3 . 108 m/s
Fahrgast mit vFg = 30 % der Lichtgeschwindigkeit
relativ zum Zug:
vFg = 0,3 c = 0,3 . 3 . 108 m/s
Am Bahndamm ruhender Beobachter
sollte messen:
vFahrgast = (0,3 +0,9) c = 1,2 c > c
Widerspruch zu tatsächlichen Beobachtungen!
Es gilt:
• Lichtgeschwindigkeit c kann nicht überschritten werden.
• Obige Transformation der Geschwindigkeiten (Galilei-Transformation)
v << c
ist nur gültig, falls
2.9 Spezielle Relativitätstheorie
2.9. Spezielle Relativitätstheorie
2. Kinematik
2.9 Spezielle Relativitätstheorie (SRT) (1905)
Wir hatten: Galilei-Transformation
- 2 Inertialsysteme S, S‘
- S‘ bewegt sich mit
u = konstant relativ zu S in x
- Zur Zeit t = t‘ = 0 gilt O = O‘
Annahme: P bewegt sich in die + x-Richtung
Für Punkt P gilt:
Keine zusätzlichen Kräfte, Newton gilt,
Erhaltungssätze (E, p, L) gelten
2.9.1 Experimente
2.9.1 Experimente
2. Kinematik
2.9.1 Experimente
1. Zugexperiment
Theorie:
Experiment:
2. Teilchenexperiment (1964 CERN)
Zerfall neutraler Pionen
Mittlere Lebensdauer der Pionen
Prinzip:
π0 à γ γ
τ = 10−8 s
Man bringe π0 auf v ca. c
Man messe vγ
(vπ0 = 0,99975 c)
Theorie: (Galilei) vγ = vπ0 + c = 1,99975 c
Messung:
vγ = c !!!!
Widerspruch !!!!!!!
2.9.1 Experimente
2.9.1 Experimente
2. Kinematik
Einstein hilft mit SRT
Basiert auf zwei Postulaten (nicht beweisbar):
1. Die physikalischen Gesetze sind unabhängig vom betrachteten
Inertialsystem
2. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht
(elektromagnetische Welle) ist in allen Inertialsystemen gleich,
unabhängig von der Bewegung der Sender (bzw. Empfänger):
cVakuum = 300 000 km/s
Einstein ersetzt Galilei-Transformation durch Lorentz-Transformation
Für Punkt P (1-dim)
mit
2.9.2 Konsequenzen der SRT
2.9.2 Konsequenzen der SRT
2. Kinematik
2.9.2 Konsequenzen der SRT
1 Transformation von Geschwindigkeiten
Annahme:
Masse bewegt sich entlang der x-Richtung.
in Zeit dt wird in S‘ Strecke dx‘ zurückgelegt.
Division 1. Gl. durch 2. Gl.
und Multiplikation mit
dt/dt = 1 (rechte Seite)
Analog:
Beispiele:
v << c
v = c
v‘ = v – u
v‘ = c
Die Zeitdilatation
Die Zeitdilatation
2. Kinematik
Die Zeitdilatation
S‘ mit u relativ zu S
B‘eo in S‘ misst: ∆t‘ = 2d/c
(1)
Beo in S
misst:
mit
(2)
Die Zeitdilatation
2. Kinematik
(1) in (2) eingesetzt:
Die Zeitdilatation
Quadrieren und
nach ∆t auflösen :
Tests zur Zeitdilatation
1. Makroskopische Uhr
1971 Atomuhr in Flugzeug 1 x um die Welt: ∆t = 200 ns
2. Mikroskopische Uhr (z.B. Myon) µ− à e− + 2ν
Mittlere Lebensdauer
τ = 2,2 10−6. s (Eigenzeit)
1968 CERN:
vµ = 0,9966 c .
Theorie: ∆t = 26,7 µs
Messung: ∆t = 26,2 +- 0,5 µs
Längenkontraktion
Längenkontraktion
2. Kinematik
Längenkontraktion
Gedankenexperiment
Beobachter in S‘
mit Eigenlänge l0
l
Beobachter in S
Länge Lineal = l
Zeit: Quelle – Spiegel = ∆t1
Zeit: Spiegel − Quelle = ∆t2
Längenkontraktion
2. Kinematik
Längenkontraktion
Hinweg: (Quelle-Spiegel)
Rückweg: (Spiegel-Quelle)
Gesamtweg:
Es gilt:
Längenkontraktion: von S aus erscheint Lineal kürzer als in S‘
Längenkontraktion