Höhere Analysis SS 06 Lösungshinweis Aufgabe 1+3 Blatt 1

Höhere Analysis
Lösungshinweis
SS 06
Blatt 1
Aufgabe 1+3
A1
Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Zeigen Sie, dass
{N ∈ A : µ(N ) = 0 ∨ µ(N c ) = 0}
eine σ-Algebra bildet.
Lösung:
Sei M = {N ∈ A : µ(N ) = 0 ∨ µ(N c ) = 0}.
∅ ∈ M. Mit N ∈ M gilt N c ∈ M (trivial).
Z.z. : Mit A ∈ M und B ∈ M gilt A ∪ B ∈ M.
1) µ(A) = µ(B) = 0 ⇒ µ(A ∪ B) = 0
2) µ(Ac ) = 0 ∨ µ(B c ) = 0. Es gilt: µ((A ∪ B)c ) = µ(Ac ∩ B c ) = 0.
S
3) Mit dem selben Argument gilt µ( Nk ) ∈ M.
Die abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist Nullmenge.
T
Gibt es ein Nk mit µ(Nkc ) = 0, dann ist µ( Nkc ) = 0.
k
A3
Konstruieren Sie zu jedem ² > 0 eine offene Umgebung von Q ⊂ R, deren Maß kleiner als ² ist.
Lösung:
Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, also Q = {q1 , q2 , q3 , . . .}. Wir wählen zu ² > 0
¡
In = qn −
und N² =
S
n
In . Mit
∞
P
1
n=1
2n+1
=
²
2
, qn +
n+1
² ¢
2n+1
1
gilt offensichtlich Q ⊂ N² und µ(N² ) < ².
2
1
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Aufgabe 4
SS 06
Blatt 1
Sei (X, A, µ) ein Maßraum, und f : Y → R. Zeigen Sie:
a) f ist messbar genau dann, wenn das Urbild jeder offenen Menge in R messbar ist.
b) f ist messbar, falls {f > α} messbar ist für alle α in einer dichten Teilmenge von R.
c) Verschwindet f nirgends, so ist auch 1/f messbar.
d) Ist φ : R → R stetig, so ist auch φ ◦ f messbar.
Lösung:
a) ’⇒’: Sei
Intervalle:
S G eine offene Menge in R. Damit ist G abzählbare Vereinigung offener
S
G = k (ak , bk ). {ak < f < bk } ist messbar, und damit ist auch f −1 (G) = k f −1 ((ak , bk ))
messbar.
’⇐’: Sei G = (a, ∞). Nun ist f −1 (G) = {f > a} messbar.
b) Sei a ∈ T. Dann existiert eine Folge αk mit αk >≥ a, lim = a.
k→∞
S
Nun gilt {f > a} = k {f > αk }, und damit ist f messbar.
c) Wir müssen zeigen: {1/f > a} ist messbar.
Sei a > 0: {1/f > a} = {0 < f < a1 }.
Sei a < 0: {1/f > a} = {f > 0} ∪ {f < a1 }
Sei a = 0: {1/f > 0} = {f > 0}.
Da alle auftretenden Mengen messbar sind, ist 1/f messbar.
d) Da φ stetig ist, ist für jede offene Menge G auch φ−1 (G) offen.
Nun gilt: {x : φ(f (x)) ∈ G} = {f (x) ∈ φ−1 (G)}. Damit folgt aus a) die Behauptung.
| {z }
offen
2
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SS 06
Blatt 1
Aufgabe 5
Der Limes superior einer Folge von Mengen (Ei ) ist definiert als
\ [
lim sup Ei =
Em .
n m≥n
Zeigen Sie: Sind die Ei messbar mit
Sei Mn =
¡ S
m≥1
P
i
µ(Ei ) < ∞, so ist lim sup Ei eine µ-Nullmenge.
¢ ¡ S
¢
¡ S
¢
Em ∩
Em ∩ . . . ∩
Em .
m≥2
Mn ist messbar und es gilt Mn ⊂
¡ S
m≥n
¢
P
Em ⇒ µ(Mn ) ≤
µ(Em ) → 0 für n → ∞.
m≥n
m≥n
3