Wissensbasierte Systeme 6. Aussagenlogik

Wissensbasierte Systeme
6. Aussagenlogik
Rationales Denken, Logik, Resolution
Michael Beetz
Plan-based Robot Control
1
Inhalt
6.1 Motivation
6.2 Die Wumpus-Welt
6.3 Rational denkende Agenten
6.4 Aussagenlogik: Syntax & Semantik
6.5 Logische Folgerbarkeit
6.6 Logische Ableitungen: Resolution
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6.1.1 Motivation
• bisher:
–
–
–
–
Agenten mit 1 Ziel
Weltzustand zugänglich
Aktionen deterministisch
⇒ einfache Suchprogramme ausreichend
• Suchprogramme
– allgemeine Algorithmen
aber: spezielle Problemräume
aber: heuristische Schätzfunktion
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6.1.2 Motivation (2)
• Frage: wie kann man allgemeinere Problemlösungsprogramme realisieren?
• Idee: ein Programm das lernt, indem man ihm Fakten über eine Problemklasse und
deren Lösung erzählt
– Advice Taker (McCarthy)
• Wir benötigen eine Sprache zur Repräsentation
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6.1.3 Wissensbasierter Ansatz
• Um kompetent zu agieren muss ein Agent unter Umständen nachfolgende Arten von
Wissen benutzen.
Wissen über:
–
–
–
–
–
den aktuellen Weltzustand
noch nicht wahrgenommene Eigenschaften der Umgebung
die Veränderungen der Umgebung
Ziele des Agenten
die Effekte der Aktionen in verschiedenen Situationen
• Bisherige Suchtechniken werden weiter benutzt
– aber in anderen Problemräumen
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6.2.0. Die Wumpus-Welt
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6.2.1 Die Wumpus-Welt (1)
• Ein 4×4 Feld.
• Im Kästchen, in dem der Wumpus sich befindet, und in den direkten Nachbarkästchen
nimmt man einen üblen Geruch wahr (Stench).
• In den Kästchen neben einer Fallgrube (Pit) nimmt man einen Luftzug wahr (Breeze).
• Im Kästchen mit dem Gold glitzert es (Glitter).
• Wenn der Agent in eine Wand läuft, bekommt er einen Schlag.
• Wenn der Wumpus getötet ist, hört man es überall. (Todesschrei)
• Wahrnehmungen werden als 5-Tupel dargestellt. Z.B. [Stench, Breeze, Glitter, None,
None] bedeutet, dass es stinkt, zieht und glitzert, aber es gab weder einen Schlag noch
einen Todesschrei. Der Agent kann seinen Standort nicht wahrnehmen!
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6.2.2. Die Wumpus-Welt (2)
• Aktionen: gehe vorwärts, 90o nach rechts drehen, 90o nach links drehen, greife ein Objekt
im selben Kästchen, schiee (es gibt nur einen Pfeil), verlasse die Höhle (funktioniert nur
in Kästchen [1,1]).
• Der Agent stirbt, wenn er in eine Fallgrube fällt oder dem lebenden Wumpus begegnet.
• Anfangszustand: Agent in [1,1] nach Osten schauend, irgendwo 1 Wumpus, 1 Haufen
Gold und 3 Fallgruben.
• Ziel: Hole das Gold und verlasse die Höhle.
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6.2.3 Die Wumpus-Welt (3): Eine Beispielkonfiguration
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6.2.4 Die Wumpus-Welt (4)
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• In (a): (Position = [1,1])
Perzept = { ¬Stench, ¬Breeze, ¬Glitter, ¬Bump, ¬Scream }
• mögliche Überlegungen:
da ¬Stench: Wumpus 6∈ {[1, 2], [2, 1]}
da ¬Breeze: Pit 6∈ {[1, 2], [2, 1]}
• Schlussfolgerungen: [1,2] ist sicher; [2,1] ist sicher
⇒ Action = forward (nach [1,2])
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6.2.5 Die Wumpus-Welt (5)
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• In (b): (Position = [2,1])
Perzept = { ¬Stench, +Breeze, ¬Glitter, ¬Bump, ¬Scream }
• mögliche Überlegungen:
da ¬Stench: Wumpus 6∈ {[1, 1], [3, 1], [2, 2]}
da Breeze: Grube ∈ {[1, 1], [3, 1], [2, 2]}
ferner gilt: Grube befindet sich nicht in [1,1] (Agent war dort ohne reinzufallen
der einzige sichere Ort ist
⇒ Action = kehre nach [1,1]
(turn left, turn left, forward)
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6.2.6 Die Wumpus-Welt (6)
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• In (c): (Position = [1,2])
Perzept = { +Stench, ¬Breeze, ¬Glitter, ¬Bump, ¬Scream }
• mögliche Überlegungen:
da Stench: Wumpus ∈ {[1, 1], [1, 3], [2, 2]}
da ¬Breeze: Grube ∈ {[1, 1], [1, 3], [2, 2]}
– Wumpus ist nicht an der Stelle [1,1] (Agent war dort)
– Wumpus ist nicht an der Stelle [2,2] (sonst Gestank in [2,1])
⇒ Wumpus muss in [1,3] sein!
• die einzige nicht explorierte benachbarte Zelle, die sicher ist, ist [2,2]
⇒ Action = gehe nach [2,2]
(turn right, forward)
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6.2.7 Die Wumpus-Welt: andere Schlussfolgerungsmuster
Luftzug in [1,2] und [2,1]
⇒ keine sichere Aktion
Annahme: Gruben sind uniform verteilt
Grube ist wahrscheinlich in [2,2]
Gestank in [1,1]
⇒ Agent kann sich nicht fortbewegen
Planung:
schiesse geradeaus
Falls der Wumpus dort ist ⇒ stirbt er ⇒
sicher
Falls der Wumpus nicht dort ist ⇒ sicher
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6.3.1 Kandidaten für die Repräsentation von Wissen
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6.3.2 Warum nicht ...
LISP?
• prozedurale, implizite Kodierung
• einseitige Benutzung
natürliche Sprache?
• Ausdrucksstärke
• Mehrdeutigkeit
• Kontextabhängigkeit
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6.3.3 “Wissensrepräsentationshypothese”
Any mechanically embodied intelligent process will be comprised of structural ingredients
that
• we as external observers naturally take to represent a propositional account of the
knowledge the overall process exhibits, and
• independent of such external semantical attribution, play a formal and essential role in
determining the behavior that manifests that knowledge.
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6.3.4 Komponenten der Agentenfunktion eines
wissensbasierten Agenten
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6.3.5 Rational denkende Agenten
• Bisher lag das Schwergewicht auf rational handelnden Agenten.
• Oft setzt rationales Handeln aber rationales (logisches) Denken durch den Agenten selbst voraus.
• Dazu müssen Teile der Welt symbolisch in einer Wissensbasis (knowledge base oder KB) repräsentiert sein:
– KB enthält Sätze in einer Sprache mit einer Wahrheitstheorie (Logik), d.h. wir (als Auenstehende)
können Sätze als Aussagen über die Welt interpretieren. (Semantik)
– Die Sätze haben allein durch ihre Form einen kausalen Einfluss auf das Verhalten des Agenten in einer
Weise, die in Korrelation zum Inhalt der Sätze steht. (Syntax)
• Interaktion mit der KB durch ASK und TELL (vereinfacht):
ASK(KB,α) = JA
gdw. α folgt aus der KB
TELL(KB,α) = KB’,
so dass α aus KB’ folgt.
FORGET(KB,α) = KB’, nicht monoton (wird nicht behandelt)
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6.3.6 3 Ebenen
Im Kontext der Wissensrepräsentation unterscheidet man 3 Ebenen [Newell 1990]:
Wissensebene: abstrakteste Ebene; umfasst das gesamte Wissen, dass in der KB steckt; z.B. automatische
DB-Auskunft wei, dass die eine Fahrt Ulm-Freiburg DM 88,– kostet.
Symbolische Ebene: Kodierung des Wissens in einer formalen Sprache:
Preis(Ulm, Freiburg, 88.00)
Implementierungsebene: Die interne Darstellung der Sätze, z.B.:
• als String Preis(Ulm,Freiburg,88.00)“
”
• als Wert in einer Matrix.
Wenn ASK und TELL korrekt funktionieren, reicht es, sich auf der Wissensebene zu bewegen. Vorteil: sehr
komfortable Benutzerschnittstelle. Benutzer hat selbst mentales Weltmodell (Aussage über die Welt) und teilt
dies einfach dem Agenten mit (TELL).
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6.3.7 Ein wissensbasierter Agent
Ein wissensbasierter Agent benutzt seine Wissensbasis um
•
•
•
•
sein Hintergrundwissen zu repräsentieren
seine Beobachtungen zu speichern
und seine durchgeführten Aktionen zu speichern
. . . um daraus Handlungen abzuleiten
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6.3.8 Formeln und Fakten
Eine Logik ermöglicht die Axiomatisierung von Domänwissen und das Schlussfolgern auf
der Basis dieses Wissens.
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6.3.9 Was ist eine Logik?
Logik = Syntax + Semantik + Kalkül
Syntax = wie man Information kodiert
•
•
•
•
on(a,b)
on(a,b) ∨ on(c,b)
∀x,y,z. on(x,y) ∧ on(y,z) → on(x,z)
∀n. ∃m. natural(n) → natural(m) ∧ >(m,n)
Semantik = Was die Ausdrücke bedeuten
Kalkül = Wie man mit den Ausdrücken rechnet
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6.3.10 Was ist eine Logik? (2)
• eine formale Sprache
– Syntax
– Semantik
– Ausdrucksstärke
• Schlussfolgerungsprobleme (z.B. logische Folgerung)
– Entscheidbarkeit
– Berechnungskomplexität
• Inferenzprozedur
– Korrektheit und Vollständigkeit
– Komplexität des Verfahrens
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6.3.11 Warum Logik?
1. KI als Ingenieurs- und wissenschaftliche Disziplin. Andere Disziplinen benutzen mathematische Apparate um ihre wissenschaftlichen Grundlagen zu beschreiben. Hat die KI
mathematische Grundlagen?
2. Genesereth, Nilsson: Fortschritt in Ingenieurs- und wissenschaftlichen Disziplinen erfordert einen geeigneten mathematischen Apparates mit dem man gute Ideen ausdrücken
und vereinheitlichen kann.
3. Wir wollen KI Programme in einer mathematischen Sprache (physikalische Systeme:
Differentialgleichungen) formalisieren.
4. Dann können wir Eigenschaften von KI Programmen wie ihre Korrektheit und ihre
Vollständigkeit, etc., beweisen.
Logik = mathematischer Apparat der KI
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6.3.12 Meinungen
PRO There is no convincing sense of “works” without an independent account of what the
system should be doing. (Brachman)
PRO Anyone who attempts to develop theoretical apparatus relevant to systems that use
and manipulate declaratively represented knowledge, and does so without taking into
account the prior theoretical results of logicians on these topics, risks (at best) having
to repeat some of the work done by the brightest minds of the twentieth century an (at
worse) getting it wrong. (Genesereth, Nilsson)
CONTRA To summarize: The logistic project of expressing “naive physics” in first-order
logic has not been successful. One reason may be that the basic argument was flawed.
You cannot write down axioms independent of a program for manipulating them if the
inferences you are interested in are not deductions. Unfortunately, very few interesting
inferences are deductions. (McDermott)
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6.3.13 Perspektive des Problemlösens mit Logik (McDermott)
1. AI programs or systems must be based on a substantial body of knowledge.
2. We can and should express that knowledge before we write the programs themselves.
This will often involve making what is implicit explicit. Furthermore, the knowledge
should guide the writing of the programs.
3. We should choose one or another formal logical language for expressing the knowledge.
advantage: meaning of the sentences.
4. The knowledge must be represented somehow in the program.
5. The right way to do this is to conceive the datastructures of the system as formulae of
a logical language, aand to conceive the basic algorithm as a realization of a provably
sound deductive apparatus.
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6.4.1 Deklarative Sprachen
Bevor man ein System konstruiert, das lernen, denken, planen, erklären, . . . kann, muss
man in der Lage, sein Wissen auszudrücken.
Wir brauchen eine präzise, deklarative Sprache.
• deklarativ: System glaubt P gdw. es P für wahr hält (man kann P nicht glauben ohne
eine Vorstellung, was es bedeutet, dass die Welt P erfüllt).
• präzise: Wir müssen wissen,
– welche Zeichenketten als Sätze gelten,
– was es bedeutet, dass ein Satz wahr ist und
– wann ein Satz aus anderen Sätzen folgt.
Eine Möglichkeit: Aussagenlogik
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6.4.2 Grundideen der Aussagenlogik
Aussagen: Die Grundbausteine der Aussagenlogik sind nicht weiter zerlegbare, atomare Aussagen (atomare
Propositionen), wie z.B.
• Der Block ist rot“
”
• Der Wumpus ist in [1,3]“
”
und logische Konnektoren und“, oder“, nicht“, mit denen wir Formeln aufbauen können.
”
”
”
Uns interessiert:
• Wann ist eine Aussage wahr?
• Wann folgt eine Aussage aus einer Wissensbasis KB , symbolisch: KB |= ϕ ?
• Können wir einen (syntaktischen) Ableitungsbegriff, symbolisch
KB ` ϕ , so definieren, dass er mit
dem Folgerungsbegriff übereinstimmt?
; Bedeutung und Implementierung von ASK
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6.4.3 Syntax der Aussagenlogik
Abzählbares Alphabet Σ von atomaren Aussagen: P, Q, R, . . ..
Aussagenlogische Formeln:
ϕ, ψ
−→
|
|
|
|
|
|
|
P
⊥
>
¬ϕ
ϕ∧ψ
ϕ∨ψ
ϕ⇒ψ
ϕ⇔ψ
atomare Formel
Falschheit
Wahrheit
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
Operatorpräzedens: ¬ > ∧ > ∨ >⇒=⇔. (Ggf. muss geklammert werden. )
Atom: atomare Formel
Literal: (u.U. negierte) atomare Formel
Klausel: Disjunktion von Literalen
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6.4.4 Semantik: Intuition
Atomare Aussagen können wahr (T oder true) oder falsch (F oder false) sein.
Der Wahrheitswert von Formeln ergibt sich aus den Wahrheitswerten der Atome (Wahrheitsbelegung oder Interpretation).
Beispiel:
(P ∨ Q) ∧ R
• Wenn P und Q falsch sind und R wahr ist, ist die Formel nicht wahr.
• Wenn dagegen P und R wahr sind (Q egal), ist die Formel wahr.
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6.4.5 Semantik – formal
Eine Wahrheitsbelegung der Atome in Σ oder Interpretation über Σ ist eine Funktion I :
I : Σ ⇒ {T, F}.
Interpretation I(ϕ) bzw. ϕI einer Formel ϕ:
I |= >
I 6|= ⊥
I
I |= P
gdw.
P
I |= ¬ϕ
gdw.
I 6|= ϕ
I |= ϕ ∧ ψ
gdw.
I |= ϕ und I |= ψ
I |= ϕ ∨ ψ
gdw.
I |= ϕ oder I |= ψ
I |= ϕ ⇒ ψ
gdw.
wenn I |= ϕ, dann I |= ψ
I |= ϕ ⇔ ψ
gdw.
I |= ϕ, genau dann, wenn I |= ψ
=T
I erfüllt ϕ (I |= ϕ) oder ϕ ist wahr unter I , falls I(ϕ) = T.
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6.4.6 Beispiel

P




 Q
R
I:


S



7−→
7−→
7−→
7−→
..
T
F
F
T
ϕ = ((P ∨ Q) ⇔ (R ∨ S)) ∧ (¬(P ∧ Q) ∨ (R ∧ ¬S)).
Frage: I |= ϕ?
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6.4.7 Terminologie
Eine Interpretation I heit Modell von ϕ, falls I |= ϕ
Eine Interpretation ist Modell einer Menge von Formeln, falls sie alle Formeln der Menge
erfüllt.
Eine Formel ϕ heit
• erfüllbar, wenn es I gibt, die ϕ erfüllt,
• unerfüllbar, wenn ϕ nicht erfüllbar ist,
• falsifizierbar, wenn es I gibt, die ϕ nicht erfüllt, und
• allgemeingültig (Tautologie), wenn für alle I gilt, dass I |= ϕ.
Zwei Formeln heien
• logisch äquivalent (ϕ ≡ ψ), wenn für alle I gilt, dass I |= ϕ gdw. I |= ψ.
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6.4.7 Die Wahrheitstabellenmethode
entscheiden wir, ob eine Formel erfüllbar, allgemeingültig usw. ist?
; Wahrheitstabelle aufstellen
Beispiel: Ist ϕ = ((P ∨ H) ∧ ¬H) ⇒ P allgemeingültig?
P
F
F
T
T
H
F
T
F
T
P ∨H
F
T
T
T
(P ∨ H) ∧ ¬H
F
F
T
F
((P ∨ H) ∧ ¬H) ⇒ P
T
T
T
T
Da die Formel unter allen möglichen Wahrheitsbelegungen wahr ist (von allen Interpretationen erfüllt wird), ist ϕ allgemeingültig.
Erfüllbarkeit, Falsifizierbarkeit, Unerfüllbarkeit entsprechend.
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6.4.8 Normalformen
Eine Formel ist in konjunktiver Normalform (KNF), wenn die Formel aus einer Konjunktion
von Disjunktionen von Literalen li,j besteht, d.h. wenn sie die folgende Gestalt hat:
mi
n _
^
(
li,j ).
i=1 j=1
Eine Formel ist in disjunktiver Normalform (DNF), wenn die Formel eine Disjunktion von
Konjunktionen von Literalen ist:
mi
n ^
_
(
li,j ).
i=1 j=1
Zu jeder Formel existiert mindestens eine äquivalente Formel in KNF und eine in DNF.
Eine Formel in DNF ist erfüllbar gdw. ein Disjunkt erfüllbar ist.
Eine Formel in KNF ist allgemeingültig gdw. wenn jedes Konjunkt allgemeingültig ist.
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6.4.9 Erzeugen der KNF
1.
2.
3.
4.
Eliminiere ⇒ und ⇔:
Schiebe ¬ nach innen:
Verteile: ∨ über ∧
Vereinfache:
α ⇒ β ; (¬α ∨ β) usw.
¬(α ∧ β) ; (¬α ∨ ¬β) usw.
((α ∧ β) ∨ γ) ; ((α ∨ γ) ∧ (β ∨ γ))
(α ∨ α) ; α usw.
Ergebnis ist eine Konjunktion von Disjunktionen von Literalen
• Ein analoges Verfahren überführt eine beliebige Formel in eine äquivalente Formel in
DNF.
• Formeln können bei der Transformation exponentiell aufgebläht werden.
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6.5.1 Folgerbarkeit: Intuition
Eine Menge von Formeln (eine KB) beschreibt die Welt u.U. nur unvollständig, d.h. lässt
die Wahrheitswerte einiger Aussagen offen.
Beispiel: KB = {P ∨ Q, R ∨ ¬P, S}
Ist definitiv bzgl. S, lässt aber P, Q, R offen (allerdings nicht beliebig).
Modelle von KB:
P
F
F
T
T
Q
T
T
F
T
R
F
T
T
T
S
T
T
T
T
In allen Modellen von KB ist Q ∨ R wahr, d.h. Q ∨ R folgt logisch aus KB.
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6.5.2 Logische Folgerbarkeit – formal
Die Formel ϕ folgt aus KB, wenn ϕ in in allen Modellen von KB wahr ist (symbolisch
KB |= ϕ):
KB |= ϕ gdw. I |= ϕ für alle Modelle I von KB
Beachte: Auch hier ist |= wieder ein Metasymbol; diesmal werden andere Objekte in Beziehung zueinander
gesetzt!
Einige Eigenschaften der Folgerungsbeziehung:
• Deduktionssatz: KB ∪ {ϕ} |= ψ gdw. KB |= ϕ ⇒ ψ
• Kontrapositionssatz: KB ∪ {ϕ} |= ¬ψ gdw. KB ∪ {ψ} |= ¬ϕ
• Widerspruchssatz: KB ∪ {ϕ} ist unerfüllbar gdw. KB |= ¬ϕ
Frage: Können wir KB |= ϕ entscheiden, ohne alle Interpretationen betrachten zu müssen (die Wahrheitstabellenmethode)?
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6.5.3 Beweis des Deduktionssatzes
⇒“ Annahme: KB ∪ {ϕ} |= ψ, d.h. jedes Modell von KB ∪ {ϕ} ist auch Modell von ψ.
”
Sei I ein beliebiges Modell von KB. Ist I auch Modell von ϕ dann folgt daraus, dass I
auch Modell von ψ.
Damit ist aber auch I ein Modell von ϕ ⇒ ψ, d.h. KB |= ϕ ⇒ ψ.
⇐“ Annahme KB |= ϕ ⇒ ψ. Sei I ein beliebiges Modell von KB, welches auch Modell
”
von ϕ, d.h. I |= KB ∪ {ϕ} .
Aufgrund der Annahme ist I auch Modell von ϕ ⇒ ψ und damit auch von ψ, d.h.
KB ∪ {ϕ} |= ψ.
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42
6.5.4 Beweis des Kontrapositionssatzes
KB ∪ {ϕ} |= ¬ψ
⇔
KB |= ϕ ⇒ ¬ψ
⇔
KB |= (¬ϕ ∨ ¬ψ)
⇔
KB |= (¬ψ ∨ ¬ϕ)
⇔
KB |= ψ ⇒ ¬ϕ
⇔
KB ∪ {ψ} |= ¬ϕ
(1)
(2)
Hinweis: (1) und (2) sind jeweils Anwendungen des Deduktionssatzes.
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6.5.5 Inferenzregeln, Kalküle und Beweise
Oft können wir aus Formeln in der KB wei tere Formeln erzeugen (oder ableiten), die auf
Grund der syntaktischen Struktur der KB-Formeln logisch folgen müssen.
Beispiel: Falls KB = {. . . , (ϕ ⇒ ψ), . . . , ϕ, . . .}, dann gilt immer KB |= ψ.
; Inferenzregeln, z.B. ϕ,ϕ⇒ψ
ψ
Kalkül: Menge von Inferenzregeln (und u.U. sogenannten logischen Axiomen)
Beweisschritt: Anwendung einer Inferenzregel auf eine Menge von Formeln.
Beweis: Sequenz von Beweisschritten, wobei die jeweils neu abgeleiteten Formeln hinzugenommen werden und im letzten Schritt die Zielformel erzeugt wird.
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6.5.6 Korrektheit und Vollständigkeit
Falls es im Kalkül C einen Beweis für eine Formel ϕ ∈ KB gibt, schreiben wir
KB `C ϕ
(u.U. ohne Subskript C).
Ein Kalkül C heit korrekt, wenn alle aus einer KB ableitbaren Formeln auch tatsächlich
logisch folgen:
KB `C ϕ impliziert KB |= ϕ.
Folgt normalerweise aus der Korrektheit der Inferenzregeln und der logischen Axiome.
Ein Kalkül heit vollständig, falls jede Formel, die logisch aus KB folgt, auch aus KB
ableitbar ist:
KB |= ϕ impliziert KB `C ϕ.
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6.6.0 Inferenzregeln
• Modus Ponens:
α → β, α
β
• Konjunktionseliminierung:
α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αn
αi
• Konjunktionseinführung:
α1, α2, ..., αn
α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αn
• Disjunktionseinführung:
αi
α1 ∨ α2 ∨ ... ∨ αn
• Unit Resolution:
α ∨ β, ¬α
β
• Resolution:
α ∨ β, ¬β ∨ γ
α∨γ
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46
6.6.1 Resolution: Idee
Wir wollen jetzt ein Ableitungsverfahren studieren, das nicht darauf beruht, dass man alle
Interpretationen durchprobiert.
Idee: Man versucht zu zeigen, dass eine Formelmenge unerfüllbar ist.
Allerdings: Es wird vorausgesetzt, dass alle Formeln in KNF vorliegen.
Aber: In den meisten Fällen sind die Formeln nahe an KNF (und es ex. eine schnelle
erfüllbarkeitserhaltende Transformation)
Nichtsdestotrotz: Auch dieses Ableitungsverfahren benötigt im schlechtesten Fall exponentiell viel Zeit (das lässt sich aber vermutlich nicht vermeiden).
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6.6.2 Resolution: Repräsentation
Annahme: Alle Formeln in der Formelmenge KB liegen in KNF vor.
Äquivalent können wir annehmen, dass KB eine Menge von Klauseln ist.
Wegen der Kommutativität, Assoziativität und Idempotenz von ∨ können wir Klauseln
auch als Mengen von Literalen auffassen. Die leere Menge von Literalen wird als 2
geschrieben.
Menge von Klauseln:
Menge von Literalen:
Literale:
Negation des Literals:
∆
C, D
l
l.
Eine Interpretation I erfüllt C gdw. es ein l ∈ C gibt, so dass I |= l. I erfüllt ∆ falls für
alle C ∈ ∆ : I |= C. D.h. I 6|= 2, I 6|= {2}, I |= { }, für alle I.
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6.6.3 Die Resolutionsregel
C1 ∪ {l}, C2 ∪ {l}
C1 ∪ C2
C1 ∪ C2 wird Resolvente der Elternklauseln C1 ∪ {l} und C2 ∪ {l} genannt. l und l sind
die Resolutionsliterale.
Beispiel: {a, b, ¬c} resolviert mit {a, d, c} zu {a, b, d}.
Beachte: Die Resolvente ist nicht äquivalent mit den Elternklauseln, folgt aber aus diesen!
Notation: R(∆) = ∆ ∪ {C | C ist Resolvente zweier Klauseln aus ∆}
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Ableitungen
Wir sagen D kann aus ∆ mit Hilfe von Resolution abgeleitet werden, d.h.
∆ ` D,
wenn es C1, C2, . . . , Cn = D gibt, so dass
Ci ∈ R(∆ ∪ {C1, . . . , Ci−1}), für 1 ≤ i ≤ n.
Lemma (Korrektheit) Wenn ∆ ` D, dann ∆ |= D.
Beweisskizze: Da alle D ∈ R(∆) aus ∆ logisch folgen, ergibt sich das Lemma durch Induktion über die
Länge der Ableitung.
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50
6.6.4 Vollständigkeit?
Ist Resolution auch vollständig? D.h. gilt
∆ |= ϕ impliziert ∆ ` ϕ?
Höchstens für Klauseln. Aber:
(
)
{a, b}, {¬b, c}
|= {a, b, c}
6` {a, b, c}
Aber man kann zeigen, dass Resolution widerlegungsvollständig ist:
∆ unerfüllbar impliziert ∆ ` 2.
Satz ∆ ist unerfüllbar gdw. ∆ ` 2.
D.h. wir können mit Hilfe des Widerspruchtheorems zeigen, dass KB |= ϕ.
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51
6.6.5 Resolution: Ausblick
Resolution ist ein vollständiges Beweisverfahren. Es gibt noch andere (Davis-Putnam Prozedur, Tableaux-Verfahren, . . . ).
Für eine Implementation des Verfahrens muss man noch eine Strategie festlegen, die angibt,
wann welche Resolutionsschritte ausgeführt werden.
Im schlechtesten Fall kann ein Resolutionsbeweis exponentielle Länge haben. Allerdings gilt
dies höchstwahrscheinlich auch für alle anderen Beweisverfahren.
Für KNF-Formeln in propositionaler Logik ist die Davis-Putnam Prozedur (Backtracking
über alle Wahrheitsbelegungen) das in der Praxis schnellste“ vollständige Verfahren, das
”
auch als eine Art von Resolutionsverfahren aufgefasst werden kann.
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6.6.6 Wo ist der Wumpus: Die Situation
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53
6.6.7 Wo ist der Wumpus: Wissen über die Situation
B = Breeze, S = Stench, Bi,j = es zieht im Kästchen (i, j)
¬S1,1
¬B1,1
¬S2,1
B2,1
S1,2
¬B1,2
Invariantes Wissen über Wumpus und Geruch:
R1 : ¬S1,1 ⇒ ¬W1,1 ∧ ¬W1,2 ∧ ¬W2,1
R2 : ¬S2,1 ⇒ ¬W1,1 ∧ ¬W2,1 ∧ ¬W2,2 ∧ ¬W3,1
R3 : ¬S1,2 ⇒ ¬W1,1 ∧ ¬W1,2 ∧ ¬W2,2 ∧ ¬W1,3
R4 :
...
S1,2 ⇒ W1,3 ∨ W1,2 ∨ W2,2 ∨ W1,1
Zu zeigen: KB |= W1,3
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6.6.8 Klauseldarstellung der Wumpus-Welt
Situationswissen:
¬S1,1, ¬S2,1, S1,2, . . .
Regelwissen:
R1 : S1,1 ∨ ¬W1,1, S1,1 ∨ ¬W1,2, S1,1 ∨ ¬W2,1
R2 : . . . , S2,1 ∨ ¬W2,2,. . .
R3 : . . .
R4 :
...
¬S1,2 ∨ W1,3 ∨ W1,2 ∨ W2,2 ∨ W1,1
Negierte Zielformel: ¬W1,3
Plan-based Robot Control
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6.6.9 Resolutionsbeweis für die Wumpus-Welt
Resolution:
¬W1,3,
S1,2,
¬S1,1,
;
;
;
¬W1,1,
;
.. ..
¬W2,2,
;
Plan-based Robot Control
¬S1,2 ∨ W1,3 ∨ W1,2 ∨ W2,2 ∨ W1,1
¬S1,2 ∨ W1,2 ∨ W2,2 ∨ W1,1
¬S1,2 ∨ W1,2 ∨ W2,2 ∨ W1,1
W1,2 ∨ W2,2 ∨ W1,1
S1,1 ∨ ¬W1,1
¬W1,1
W1,2 ∨ W2,2 ∨ W1,1
W1,2 ∨ W2,2
..
W2,2
2
56
6.6.10 Von Wissen zu Aktionen
Wir können jetzt neue Fakten inferieren, aber wie setzen wir das Wissen in Aktionen um?
Negative Selektion: Schliee alle beweisbar gefährlichen Aktionen aus
A1,1 ∧ EastA ∧ W2,1 ⇒ ¬F orward
Positive Selektion: Schlage nur Aktionen vor, die beweisbar sicher sind
A1,1 ∧ EastA ∧ ¬W2,1 ⇒ F orward
Unterschiede?
Aus den Vorschlägen muss der Agent sich dann noch eine Aktion aussuchen“
”
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57
6.7.1 Probleme mit der Aussagenlogik
Obwohl Aussagenlogik für die Darstellung der WUMPUS-Welt ausreichend ist, ist sie doch
ziemlich umständlich.
1. Regeln müssen für jedes einzelne Feld aufgestellt werden
R1 :
R2 :
R3 :
...
¬S1,1 ⇒ ¬W1,1 ∧ ¬W1,2 ∧ ¬W2,1
¬S2,1 ⇒ ¬W1,1 ∧ ¬W2,1 ∧ ¬W2,2 ∧ ¬W3,1
¬S1,2 ⇒ ¬W1,1 ∧ ¬W1,2 ∧ ¬W2,2 ∧ ¬W1,3
...
2. Tatsächlich müssten wir ja eigentlich alle atomaren Aussagen mit einem Zeitindex
versehen, der die Gültigkeit der Aussage in der Zeit beschreibt ; weitere Aufblähung
der Regeln.
; mächtigere Logik, in der wir Objektvariablen benutzen können
; Prädikatenlogik 1. Stufe (first-order predicate logic)
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58
6.7.2 Zusammenfassung
• Rationale Agenten benötigen Wissen über ihre Welt, um rationale Entscheidungen zu
treffen.
• Dieses Wissen wird mit Hilfe einer deklarativen (Wissensrepräsentations-) Sprache dargestellt und in einer Wissensbasis gespeichert.
• Wir benutzen dafür (zunächst) Aussagenlogik.
• Aussagenlogische Formeln können allgemeingültig, erfüllbar oder unerfüllbar sein.
• Wichtig ist der Begriff der logischen Folgerbarkeit.
• Folgerbarkeit kann durch einen Kalkül mechanisiert werden kann ; Resolution.
• Aussagenlogik wird selbst für kleine Weltausschnitte sehr schnell unhandlich.
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