Diskrete Strukturen - Bauhaus

Diskrete Strukturen
– Handout für den Start –
Wintersemester 2016/17
Bauhaus-Universität Weimar
Stefan Lucks
Professor für Mediensicherheit
10. Oktober 2016
Dies ist eine Zusammenstellung der wichtigsten Begriffe und der Schreibweisen, die im Rahmen der Vorlesung und Übung “Diskrete Strukturen” benutzt
werden, sowie der mathematischen Grundlagen, die Ihnen zum größten Teil
aus der Schule bekannt sein sollten.
1 Mengen und Logik
1.1 Mengen
Eine Menge gibt man entweder durch eine Aufzählung aller in ihr enthaltenen Elemente
an, z.B. A = {2, 3, 5} bzw. B = {2, 4, 6, 8, . . .}, oder durch die Angabe von Eigenschaften,
die alle Elemente der Menge erfüllen müssen, z.B. C = {n ∈ N|n ungerade}, D = {n ∈
N|n prim}, E = {n ∈ N|n < 5, n > 3} = {4}, F = {z ∈ Z|z 2 < 3} = {−1, 0, 1}. Wir
scheiben “{}” für die leere Menge, “∈” für das Enthaltensein eines Elements in einer
Menge (z.B. 4 ∈ B), “⊆” für die Teilmengeneigenschaft (z.B. {} ⊆ {2, 3} ⊆ A ⊆ D) und
“6∈” bzw. “6⊆” für das jeweilige Gegenteil (z.B. 4 6∈ A bzw. {2, 3} 6⊆ B).
Ein Element kann entweder in einer Menge enthalten sein, oder nicht. Insbesondere unterscheiden wir bei Mengen nicht, wie oft ein Element in ihr vorkommt, oder in
welcher Reihenfolge die Elemente aufgezählt werden, z.B. gilt {5, 5, 2, 3} = {5, 2, 2, 3} =
{5, 2, 3} = {5, 3, 2} = A. Die Anzahl der Elemente einer Menge M schreiben wir mit |M |,
unter Verwendung des Symbols “∞” für “unendlich”. (Z.B. ist |A| = |F | = |{1, 1, 2, 3}| =
3, |B| = ∞ und |C| = ∞.)
Den Durchschnitt von Mengen schreiben wir mit “∩”, die Vereinigung mit “∪”, die
Differenz mit “\”, und die symmetrische Differenz mit “⊕”. D.h., für zwei Mengen M und
N gilt:
• M ∩ N = {x ∈ M |x ∈ N },
1
• M ∪ N = {x|x ∈ M oder x ∈ N },
• M \N = {x ∈ M |x 6∈ N } und
• M ⊕ N = (M ∪ N )\(M ∩ N ).
Ist eine Menge (ein “Elemente-Universum”) U festgelegt, ist auch das Komplement M
einer Menge M ⊆ U definiert:
• M = U \M .
Wie man leicht verifizieren kann, gilt M ∪ M = U und M ∩ M = {}.
1.2 Die Aussagenlogik
Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem man sinnvoll sagen kann, dass es
entweder wahr oder falsch ist – auch wenn man im Einzelfall vielleicht nicht sagen kann,
ob eine Aussage wahr oder falsch ist. Aussagen sind z.B.
• P = “Es gibt unendlich viele Primzahlen.” 1
• Q = “Es gibt unendlich viele gerade Primzahlen.”
• R = “Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.” 2
• S = “Von den Aussagen P , Q und R ist mindestens eine wahr, und mindestens eine
falsch.”
• T = “Es gibt mindestens drei Primzahlen.”
• T 0 = “Es gibt mindestens drei Primzahlen, die kleiner als fünf sind.”
Beachten Sie, dass die Aussagen P und T wahr, und Q und T 0 falsch sind. Deshalb ist S
wahr. Ob R wahr ist, wissen wir nicht. Keine Aussagen sind die folgenden sprachlichen
Gebilde:
• “Was ist eine Primzahl?”
• “Dieser Satz ist falsch.”
Aussagen kann man negieren oder auf andere Weise verknüpfen, um neue Aussagen zu
gewinnen. Diese Operationen definieren wir über eine Wahrheitstabelle. Zur Vereinfachung assozieren wir “0” mit “falsch” und “1” mit “wahr”. (Das ist einfach eine bequeme
Notation – Wahrheitswerte sind keine Zahlen! )
1
X ∈ N ist eine Primzahl, wenn X durch genau zwei natürliche Zahlen teilbar ist, nämlich 1 und X.
Die kleinste Primzahl ist die 2, weil die 1 nur durch eine einzige Zahl teilbar ist.
2
Primzahlzwilling ist ein Paar von Primzahlen, zwischen denen nur eine weitere Zahl liegt, z.B. (3, 5)
und (17, 19). Die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, konnte bisher weder
bewiesen noch widerlegt werden.
2
V
0
0
1
1
W
0
1
0
1
Negation
V
1
1
0
0
Oder
V ∨W
0
1
1
1
Und
V ∧W
0
0
0
1
Exklusiv-oder
V ⊕W
0
1
1
0
Wenn-dann
V →W
1
1
0
1
Als Beispiel, hier eine Reihe wahrer Aussagen:
• T 0 = “Es gibt höchstens zwei Primzahlen, die kleiner als fünf sind.”
• Q ∨ T = “Es gibt unendlich viele gerade Primzahlen oder es gibt mindestens drei
Primzahlen.”
• P ∧ T = “Es gibt unendlich viele Primzahlen und es gibt mindestens drei Primzahlen.”
• P ⊕ T 0 = “Entweder es gibt unendlich viele Primzahlen, oder es gibt mindestens
drei Primzahlen, die kleiner als fünf sind.”
• Q ∨ Q = “Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, oder es gibt nicht unendlich
viele Primzahlzwillinge.”
• Q → R = “Wenn es unendlich viele gerade Primzahlen gibt, dann gibt es unendlich
viele Primzahlzwillinge.”
Das Beispiel zum wenn-dann Operator mag überraschen – wir wissen nicht, ob die Aussage R wahr ist. Das macht nichts, denn weil Q falsch ist, ist Q → R wahr, unabhängig
von R. Nur wenn Q wahr ist, hängt die Wahrheit von Q ⇒ R von R ab:
Q → R ⇐⇒ Q ∧ R ⇐⇒ Q ∨ R.
Die Umformung Q ∧ R ⇐⇒ Q ∨ R gilt dank der DeMorganschen Regeln (s.u.).
Beachten Sie, dass das umgangssprachliche “Wenn . . . dann . . . ” eine andere Bedeutung
haben kann, als das mathematische. Die umgangssprachliche Aussage
“Wenn ich meine Aufgaben geschafft habe, dann gehe ich ins Kino”
würde mathematisch bedeuten, dass man ins Kino gehen muss, wenn man die Aufgaben
geschafft hat, aber ins Kino gehen kann, wenn man bei den Aufgaben gescheitert ist:
Aufgaben −→ Kino.
Umgangssprachlich dürfte aber eher gemeint sein, dass man nur dann ins Kino geht,
wenn man (zuvor) die Aufgaben geschafft hat:3
Aufgaben ∨ Kino.
3
Dann viel Erfolg bei den Aufgaben, und danach viel Spass im Kino.
3
1.3 Rechenregeln für Mengen und Aussagen
Mit Mengen kann man symbolisch rechnen. Es gelten die folgenden “Rechenregeln”:
• Kommutativgesetze: M ∪ N = N ∪ M und M ∩ N = N ∩ M .
• Neutrale Elemente: M ∩ U = M und M ∪ {} = M . (U das “Universum”).
• Inverse Elemente: M ∪ M = U und M ∩ M = {}. (U das “Universum”).
• Assoziativgesetze: L ∪ (M ∪ N ) = (L ∪ M ) ∪ N und L ∩ (M ∩ N ) = (L ∩ M ) ∩ N .
• Distributivgesetze: L ∪ (M ∩ N ) = (L ∪ M ) ∩ (L ∪ N ) und L ∩ (M ∪ N ) = (L ∩
M ) ∪ (L ∩ N ).
• Doppeltes Komplement M = M .
• DeMorgan-Regeln: M ∪ N = M ∩ N und M ∩ N = M ∪ N .
Die Rechenregeln der Aussagenlogik sind ganz ähnlich wie die für Mengen:
• Kommutativgesetze: V ∨ W = W ∨ V und V ∧ W = W ∧ V .
• Neutrale Elemente: V ∧ 1 = V und V ∨ 0 = V .
• Inverse Elemente: V ∨ V = 1 und V ∧ V = 0.
• Assoziativgesetze: L ∨ (V ∨ W ) = (L ∨ V ) ∨ W und L ∧ (V ∧ W ) = (L ∧ V ) ∧ W .
• Distributivgesetze: L ∨ (V ∧ W ) = (L ∨ V ) ∧ (L ∨ W ) und L ∧ (V ∨ W ) = (L ∧ V ) ∨
(L ∧ W ).
• Doppelte Negation V = V .
• DeMorgan-Regeln: V ∨ W = V ∧ W und V ∧ W = V ∨ W .
1.4 Prädikatenlogik
Um “interessante” Aussagen machen zu können, entwickelt man die (sehr schlichte) Aussagenlogik zur Prädikatenlogik weiter, indem man Prädikate und Quantoren einführt:
Ein Prädikat ist eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt von einer oder mehreren Variablen abhängen kann, z.B. “X ist eine Primzahl”, “x < y”, “z ist das Produkt von x und
y” (oder kurz “z = x ∗ y”), . . .
Um daraus Aussagen zu machen, müssen die Variablen “quantifiziert” werden. Dazu
gibt es zwei Quantoren, nämlich
• den Allquantor, “∀”, sprachlich “für alle”, und
• den Existenzquantor “∃”, sprachlich “es gibt ein”.
Beispiele für Aussagen, die aus Quantoren und Prädikaten bestehen:
4
• ∀x ∈ N : x ist eine Primzahl (falsch – nicht alle natürlichen Zahlen sind prim)
• ∃x ∈ N : x ist eine Primzahl (wahr – es gibt natürliche Zahlen, die prim sind)
• ∀x ∈ N : x < x + 1 (wahr)
• ∃x ∈ N : x = x ∗ x (wahr – man denke an x = 1)
Etwas komplexere Beispiele:
• ∀x ∈ N : ∃y ∈ N : y < x (falsch), ∀x ∈ Z : ∃y ∈ Z : y < x (wahr).
• ∀a ∈ N : ∀b ∈ N : ∃c ∈ N : c = a ∗ b (wahr).
In der Prädikatenlogik gelten die Rechenregeln der Aussagenlogik (klar, denn die Prädikatenlogik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik), und zusätzlich die folgenden Rechenregeln:
• Negation: ∃x : Z(x) ⇔ ∀x : Z(x) und ∀x : Z(x) ⇔ ∃x : Z(x).
• Ausklammerung: (∀x : Z1 (x)) ∧ (∀x : Z2 (x)) ⇔ ∀x : (Z1 (x) ∧ Z2 (x))
und (∃x : Z1 (x)) ∨ (∃x : Z2 (x)) ⇔ ∃x : (Z1 (x) ∨ Z2 (x)).
• Vertauschung: ∀x : ∀y : Z(x, y) ⇔ ∀y : ∀x : Z(x, y)
und ∃x : ∃y : Z(x, y) ⇔ ∃y : ∃x : Z(x, y).
Dank der Vertauschungsregel kann man auch schreiben: ∀x, y : Z(x, y) bzw. ∃x, y :
Z(x, y). Ein Beispiel sei die folgende wahre Aussage:
∀x, y ∈ N : (P (x) ∧ P (y)) → P (x ∗ y).
Die Vertauschungsregel gilt nur für gleiche Quantoren. Ein verbreiteter Fehler ist, die
folgende Un-Regel anzuwenden:
∀x : ∃y : Z(x, y) ⇔ ∃y : ∀x : Z(x, y) Fehler!!!
2 Zahlenmengen
Die Mengen
• der natürlichen Zahlen (ohne Null) N = {1, 2, . . .},
• der natürlichen Zahlen mit Null N0 = {0, 1, 2, . . .},
• der ganzen Zahlen Z = {x, −x|x ∈ N} ∪ {0},
• der rationalen Zahlen Q = {x/y|x ∈ Z, y ∈ N} und
√
• der reellen Zahlen R = Q ∪ {. . . , 2, . . . , π, . . .}
5
sollten Ihnen bekannt sein4 – einige dieser Symbole haben wir ja bereits benutzt. Insbesondere gilt
N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
Wenn man eine rationale Zahl als Dezimalzahl darstellt, erhält man entweder eine endliche Dezimalzahl, oder eine Dezimalzahl, die in einer sich wiederholenden Periode mündet.
Die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl kann unendlich und aperiodisch sein. Bsp.:
1/4 = 0.25
13/33 = 0.393939 . . . = 0.39
13/18 = 0.7222 . . . = 0.72
96/105 = 0.914285714
π ≈ 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510 . . .
2.1 Arithmetische Operationen
Über den Zahlenmengen sind die vier Grundrechenarten definiert, und eine Reihe weiterer
arithmetischer Operationen:
1. Addition: x + y
2. Subtraktion: x − y (über N bzw. N0 nur def. wenn x > y bzw. x ≥ y).
3. Betrag: |x| = x falls x ≥ 0 und |x| = −x sonst.
4. Auf- und Abrunden (“Gauß-Klammern”):
dxe = min{b ∈ Z|b ≥ x} und bxc = max{b ∈ Z|b ≤ x}.
5. Multiplikation: x ∗ y für y ∈ N0 :
y -mal
z
}|
{
x ∗ y = 0 +x + x + x + . . . + x .
Insbesondere gilt x ∗ 0 = 0 und 0 ∗ y = 0.
6. Die Def. der Multiplikation: x ∗ y für y ∈ Z, y < 0 nutzt aus, dass −y > 0 ist:
x ∗ y = −(x ∗ −y).
7. Es gibt eine verallgemeinerte Definitionen der Multiplikation für y ∈ Q, y ∈ R.
8. Division: x/y ist der Wert k, so dass x = k ∗ y gilt (über N, N0 , Z nur definiert,
wenn “y ein Teiler von x” ist, Schreibweise “y|x”).
Für y = 0 gibt es ein solches k nicht – x/0 ist undefiniert.
4
Manche Autoren definieren die natürlichen Zahlen auch als N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Derartige kleine Abweichungen bei Begriffen und Notationen kommen in der Wissenschaft leider immer wieder vor.
6
9. Für x ∈ N0 und y ∈ N definieren wir die Ganzzahl-Division. Die Werte D := x div y
und R := x mod y werden bestimmt durch
D ∗ y + R = x, und R ∈ {0, . . . , y − 1}.
10. Potenz-Bildung: xy , für y ∈ N0 :
y -mal
z
}|
{
x = 1 ∗x ∗ x ∗ x ∗ . . . ∗ x .
y
Insbesondere ist für x 6= 0 (a) x0 = 1 und (b) 0x = 0.
00 ist undefiniert (sonst gäbe es einen Widerspruch zwischen (a) und (b)).
11. Die Def. der Potenz-Bildung: xy , für y ∈ Z, y < 0 nutzt aus, dass −y > 0 ist:
xy = 1/x−y .
12. Es gibt eine verallgemeinerte Definitionen der Potenz-Bildung für y ∈ Q, y ∈ R.
13. Wurzel-Ziehen und Logarithmieren:
√
z = y x ⇐⇒ x = z y ⇐⇒ y = logz x
(über N, N0 , Z und Q nur in Sonderfällen und über R auch nicht immer definiert).
2.2 Arithmetische Gesetze
Man kann sich leicht davon überzeugen, dass die Grundrechenarten bestimmten Gesetzen
unterworfen sind:
f. d. Addition
f. d. Multiplikation
x+0=x
x∗1=x
x + −x = 0
f. x 6= 0: x ∗ (1/x) = 1
x+y =y+x
a∗b=b∗a
x + (y + z) = (x + y) + z
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
a ∗ (x + y) = a ∗ x + b ∗ y
Name des Gesetzes
Ex. eines neutralen Elements
Ex. inverser Elemente
Assoziativgesetze
Kommutativgesetze
Distributivgesetz
Allerdings gelten die ersten beiden Gesetze nicht für alle unsere Zahlenmengen:
• Das neutrale Element der Addition ist die Null, die nur in N0 , Z, Q und R existiert.
7
• Das additive Inverse von x ist −x. Das Gesetz von der Existenz eines additiven
Inversen gilt nur in Z, Q und R.
• Das multiplikative Inverse von x 6= 0 ist 1/x. Das entsprechende Gesetz gilt nur in
Q und R.
Die Assoziativ- und Kommutativgesetze und das Distributivgesetz gelten dagegen in
allen unseren Zahlenmengen. Dagegen ist die Potenzbildung
• weder kommutativ (im allgemeinen gilt nicht xy = y x ),
• noch assoziativ (im allgemeinen ist x(y
z)
verschieden von (xy )z ).
2.3 Einige Rechenregeln
Abgesehen von den Gesetzen erweisen sich beim Rechnen, vor allem beim symbolischen
Rechnen mit Variablen, die folenden Rechenregeln als nützlich:
• Subtraktion/Negation: − − x = x, − − −x = −x, − − − − x = x, . . .
• Betrag:
|x ∗ y| = |x| ∗ |y|, |x|/|y| = |x/y|, |x + y| ≤ |x| + |y|, |x − y| ≤ |x| + |y|.
• Gauss-Klammern:
x − 1 < bxc ≤ x ≤ dxe < x + 1,
bxc = dxe ⇐⇒ x ∈ Z.
• Potenz-Bildung:
ax ∗ ay = ax+y , ax ∗ bx = (a ∗ b)x ,
ax /ay = ax−y , ax /bx = (a/b)x ,
(ax )y = ax∗y = ay∗x = (ay )x .
• Wurzel-Ziehen:
√
x
p
√
√
√ √
x
x
x
a ∗ b = a ∗ b, x a/ b = x a/b.
q
q
√
√
x √
y √
y
x∗y
y∗x
x
a=
a=
a=
a.
• Logarithmieren:
logb (bx ) = x = blogb x ,
logb (x ∗ y) = logb x + logb y, logb (x/y) = logb x − logb y,
loga (x) = (logb x)/(logb a) (Basisaustausch).
8
2.4 Abkürzungen für Summen und Produkte
Zur Abkürzung längerer Summen bzw. Produkte schreiben wir
Y
X
ai .
ai bzw. a1 ∗ a2 ∗ a3 ∗ · · · ∗ an =
a1 + a2 + a3 + · · · + an =
1≤i≤n
1≤i≤n
P
P
Der Name des Index spielt keine Rolle, z.B. ist
1≤i≤n ai =
1≤γ≤n aγ . Ist I eine
P
endliche Menge,5 können wir auch eine Summe i∈I (. . .) berechnen, z.B. ist
X
1 = |A|.
i∈A
In dieser Schreibweise kann man die Multiplikation bzw. doe Potenz-Berechnung darstellen als
Y
X
y.
y und y x =
x∗y =
1≤i≤x
1≤i≤x
P
Q
Als Sonderfälle legen wir i∈{} (. . .) = 0 und i∈{} (. . .) = 1 fest.
Dank der Kommutativgesetze spielt die Reihenfolge der Summanden bzw. Faktoren
keine Rolle. Deshalb gilt das Prinzip des doppelten Abzählens:
X
X
X
X
Y
Y
Y
Y
ai,j =
ai,j und
ai,j =
ai,j .
1≤i≤n 1≤j≤m
1≤j≤m 1≤i≤n
1≤i≤n 1≤j≤m
1≤j≤m 1≤i≤n
3 Aufgaben
3.1 Einfache Aufgaben zur Selbstkontrolle
Im folgenden finden Sie einige Aufgaben zur Selbstkontrolle. Die Aufgaben sollten Sie
ohne großes Nachdenken lösen können.
Bei der ersten Aufgabe dürfen Sie einen Taschenrechner oder Computer verwenden.
Alle anderen Aufgaben sind KSP-Aufgaben, also mit Kopf, Stift und einem Blatt Papier
zu bearbeiten.6 Wenn Sie bei der Bearbeitung dieser Aufgaben einen Taschenrechner oder
Computer benutzen, schaden Sie sich selbst!
Sie sollten alle Aufgaben selbst bearbeiten, nicht in einer Arbeitsgruppe. Es ist aber
kein Fehler, wenn Sie hinterher Ihre Ergebnisse miteinander vergleichen.
Der Schwerpunkt der Aufgaben liegt, wie man leicht sieht, auf der Potenz-Bildung und
dem Logarithmieren, insbesondere zur Basis 2. Das Verständnis für die entsprechenden
Rechenregeln ist für die Diskreten Strukturen besonders wichtig – und in diesem Bereich
werden, meiner Erfahrung nach, die meisten Fehler gemacht.
5
In den Diskreten Strukturen betrachten wir nur endliche Summen. In manchen Teilgebieten der Mathematik treten auch unendliche Summen auf.
6
Ihr Kopf ist dabei das wichtigste Werkzeug!
9
1. Nur für diese Aufgabe dürfen Sie einen Taschenrechner oder Computer
benutzen!
Q
Q P
a) Sei I = {2, 3, 5, 7}. Berechnen Sie i∈I i und i∈I 1≤j≤i j.
b) Vervollständigen Sie die folgende Tabelle der Zweierpotenzen:
x
0
3
6
9
c) Berechnen Sie
7
2x
1
8
x
1
4
7
10
2x
2
1024
x
2
5
8
11
2
4
4
2
44 , 4(4 ) , 44 , 22
und 2
2x
4
2048
22
2( )
.
2. Seien die Mengen A, B, C und F so wie in den Beispielen in Abschnitt 1.1 definiert
(A = {2, 3, 5}, . . . ). Geben Sie die Mengen A ∩ B, A ∪ B, A\B, A ⊕ B, B ∩ C,
B ∪ C, B\C, B ⊕ C, A ∩ F , A ∪ F , A\F und A ⊕ F an.
3. Sei A eine Aussage. Geben Sie an, welche der folgenden neun Aussagen wahr ist,
wenn (a) A wahr ist bzw. (b) wenn A falsch ist: A ∧ A, A ∧ A, A ∨ A, A ∨ A, A ⊕ A,
A ⊕ A, A → A, A → A und A → A.
4. Seien A, B und C Aussagen. Geben Sie eine Wahrheitstabelle für die folgenden
Aussagen an:
a) (A → B) → C,
b) ((A ⊕ B) → C) → (A ∨ (B ∧ C))
c) (A ∨ B ∨ C) → (A ∧ B ∧ C)
5. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
a) ∀x, y ∈ N : ∃z ∈ N :
((x < y) ∧ (y − x > 10)) → (x < z) ∧ (z < y) ∧ (z ist Primzahl)
b) ∀x, y ∈ N : ∃z ∈ N :
((x < y) ∧ (y − x > 10)) → (x < z) ∧ (y < z) ∧ (z ist Primzahl)
c) ∃x, y ∈ N : ∀z ∈ N :
(((x < z) ∧ (z < x)) ∨ ((y < z) ∧ (z < x))) → (z ist Primzahl)
d) ∀z ∈ N : ∃x, y ∈ N :
(((x < z) ∧ (z < x)) ∨ ((y < z) ∧ (z < x))) → (z ist Primzahl)
6. Geben Sie ein Paar (x, y) mit xy 6= y x an.
7
4
4
Warum schreibe ich nicht einfach 44 statt 4(4 ) ? Nach Konvention in der Mathematik sind beide
Ausdrücke gleich. Aber ich finde, dass derartige Ausdrücke mit “überflüssigen” Klammern zwar hässlicher aussehen, aber besser lesbar sind. Vielleicht bin ich, als Informatiker, zu sehr darauf gedrillt,
gut lesbare “Programme” zu schreiben.
10
7. Berechnen Sie 3162 div 100 und 3162 mod 100.
8. Berechnen Sie (31624 ) mod 10. (Wenn Sie glauben, sie müssten für diese Aufgabe
einen Taschenrechner verwenden, dann denken Sie noch einmal gründlich nach!)
9. Berechnen Sie d3162/100e, b3162/100c, d3162e /100, b3162c/100 und 3162 div 100.
10. Geben Sie ein x > 1 an, für das 2x = x2 gilt. Geben Sie ein y > 1 mit 2y 6= y 2 an.
3
11. Was ist größer, 99 oder 3(3 ) ?
12. Berechnen sie (zwar ohne Taschenrechner, aber gerne mit Hilfe der Tabelle aus
Aufgabe 1b) blog2 3c, blog2 5c, blog2 33c, blog2 55c, blog2 333c und blog2 555c.
13. Geben Sie mindestens ein x ∈ N an mit blog2 xc = dlog2 xe.
14. Berechnen Sie log2 (1), log2 (10), log2 (100) und log2 (1000) näherungsweise. Nein, sie
brauchen auch hier keinen Taschenrechner, wohl aber die Näherung log10 (2) ≈ 0.3
bzw. 1/ log10 (2) ≈ 3.3.
15. Berechnen Sie log10 (3.162), log10 (31.62) und log10 (316.2) näherungsweise. Es gilt
log10 3162 ≈ 3.5.
16. Berechnen Sie log2 (3.162), log2 (31.62), log2 (316.2) und log2 (3162) näherungsweise.
(Sie müssen dazu zweistellige Zahlen miteinander multiplizieren.)
17. Berechnen Sie log2 (log2 (log2 (256)) − 1).
18. Wieviele Tripel (x, a, b) mit x, a, b ∈ N und xa+b = xab gibt es? Geben Sie ein
solches Tripel an!
√
√
√
19. Berechnen sie 9 + 16 und 9 + 16.
20. Berechnen Sie 2100 mod 10, d.h., die letzte Dezimalstelle von 2100 . (Ja, das geht
ohne Taschenrechner! Ein typischer Taschenrechner würde Ihnen ohnehin nur ein
ungefähres Ergebnis ≈ 1.2676506 ∗ 1030 liefern, dem Sie die letzte Dezimalstelle
nicht entnehmen können.)
3.2 Weitere Aufgaben
Die folgenden Aufgaben sind auch nicht schwierig, aber erfordern im Einzelfall ein kleines
bisschen Nachdenken. Im Gegensatz zu den Selbstkontrollaufgaben oben können Sie diese
Aufgaben auch in kleinen Arbeitsgruppen bearbeiten.
A Suchen Sie im Internet nach einer Liste von Primzahlen, oder schreiben Sie selbst
ein Programm, um alle Primzahlen in einem vorgegebenen Intervall zu erzeugen.
Wieviele Primzahlen zwischen 1 und 100 gibt es, wieviele zwischen 1001 und 1100,
wieviele zwischen 10001 und 10100? Was fällt Ihnen auf?
11
B Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen, die genau drei verschiedene natürliche Zahlen als Teiler haben. Beispielsweise ist die 4 durch 1, 2 und 4 teilbar, dagegen hat
die 5 zuwenige und die 6 zuviele Teiler. Professor Hastig behauptet, es gäbe nur
endlich viele derartige Zahlen. Hat er recht? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum
nicht?
C Professor Hastig behauptet, es gäbe nicht nur unendlich viele Primzahlen, sondern
sogar unendlich viele ungerade Primzahlen. Hat er recht, oder macht er seinem
Namen Ehre? Warum, bzw. warum nicht?
D Ein Primzahltripel ist ein Tripel (p1 , p2 , p3 ), von Primzahlen mit p2 = p1 + 2 und
p3 = p2 + 2. Das kleinste Primzahltripel ist (3, 5, 7). Professor Hastig arbeitet seit
Jahren an einem Beweis, dass es unendlich viele Primzahltripel gibt. Leider bisher
vergeblich. Können Sie ihm helfen?
E Drei Kinder sind zusammen 15 Jahre alt. Das jüngste ist a Jahre alt, das älteste c
Jahre, und das dritte Kind ist b Jahre alt. Es gilt a|c. Geben Sie alle Tripel (a, b, c)
an, für die b und c beides Primzahlen sind. (Hinweis: Es gibt drei derartige Tripel.)
4 Ratschläge für das erste Semester
• Bereiten Sie den Vorlesungsstoff zeitnah nach! Ein bis zwei Stunden Nachbereitung binnen 24 bis 48 Stunden nach der Vorlesung sind meistens effektiver als vier
Stunden verzweifeltes Grübeln nach einer Woche, oder noch später.
• Es ist normal, dass sie nach 90 Vorlesungsminuten nicht immer alle Teile des Vorlesungsstoffes vollständig verstanden haben. Dann sollten Sie geduldig über das
Thema nachdenken, alternative Darstellung des Stoffes (aus Lehrbüchern, aus dem
Internet, . . . ) zu Rate ziehen, und das Problem mit Ihren Komilitonen diskutieren.
Gelingt es Ihnen, die Sachlage zu verstehen, dann genießen Sie das Erfolgserlebnis!
• Ergänzend zur Vorlesungsnachbereitung sollten Sie die Übungen bearbeiten. Diese
sollen Ihnen helfen, den Vorlesungsstoff zu verstehen – oder festzustellen, welche
Teile des Vorlesungsstoffes Sie doch nicht verstanden haben. Bearbeiten Sie die
Übungen regelmäßig, am besten in kleinen Arbeitsgruppen. Sollten Sie zur Lösung
der einen oder anderen Aufgabe in Ihrer Gruppe nichts beigetragen haben, sollten
Sie diese Lösung zumindest verstanden haben.
• Für die Prüfungsvorbereigung genügt es nicht, Beweise einfach reproduzieren zu
können. Sie sind keine Wiederkäuer! Sie sollen die Beweise nicht auswendig lernen,
sondern verstehen! Wenn Sie den Beweis einer Aussage verstanden haben, können
Sie insbesondere auch die Beweismethodik anpassen, um andere (aber ähnliche)
Fragestellungen zu beantworten. Genau das wird auch in der Prüfung von Ihnen
erwartet.
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