A 1-2 Rechnen mit ganzen Zahlen

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Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam
Arbeitsblatt 1-2
1. Semester
ARBEITSBLATT 1-2
RECHNEN MIT GANZEN ZAHLEN
Wir wollen nun die Rechengesetze der natürlichen Zahlen auf die
Zahlenmenge der ganzen Zahlen erweitern und zwar so, dass sie zu keinem
Widerspruch mit bisher geltenden Gesetzen führen.
Dazu stellen wir uns die Bedeutung von Vor- und Rechenzeichen graphisch
auf der Zahlengerade dar.
1) Addieren
a) Was bedeutet nun (+2) + (+3) =
Die erste Zahl (+2) können wir als den Anfangspunkt unserer Berechnungen
auffassen. Das Rechenzeichen „+“ interpretieren wir als „gehe in Richtung“ . „
Der Wert der zweiten Zahl „3“ gibt an, wie viel wir in diese Richtung gehen
sollen. Das Vorzeichen der zweiten Zahl „+“ gibt an in welche Richtung wir
gehen müssen.
Graphisch interpretieren wir die Rechnung (+2)+(+3)= +5 also
folgendermaßen:
Gehe von „+2“ 3 Einheiten in Richtung der positiven Zahlen.
Von den natürlichen Zahlen her wissen wir, dass wir zu demselben Ergebnis
auch gekommen wären wenn wir 2+3 gerechnet hätten.
Der Rechnung (+2) + (+3) entspricht also 2+3.
Dem Rechenzeichen + mit folgendem Vorzeichen + entspricht also ein
einziges Rechenzeichen +.
Merke: + vor + ergibt + (Sprich: Plus vor Plus ergibt Plus)
b) Was bedeutet (+2) + (-3) =
Mit obiger Interpretation bedeutet diese Rechnung Folgendes:
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Gehe von „+2“ 3 Einheiten in Richtung der negativen Zahlen.
Graphisch dargestellt sieht dies folgendermaßen aus:
Wir erhalten also: (+2) + (-3) = -1
Wir erkennen, dass wir statt dessen auch 2 - 3 hätten rechnen können. Das
Rechenzeichen + mit nachfolgendem Vorzeichen - ist also gleichbedeutend
mit dem Rechenzeichen Merke: + vor - ergibt - (Sprich: Plus vor MINUS ergibt Minus)
Beispiel
(-9) + (+3) + (-2) + (+5) =
Erklärungen
Vor der ersten Zahl „-9“ steht kein
Rechenzeichen. Man kann sich aber
ein „+“ davor denken.
-9 + 3 - 2 +5 = -3
2. Subtrahieren
a) Was bedeutet (+2) - (+3) =
Um dies folgerichtig zur Addition zu interpretieren, müssen wir uns lediglich
bewusst werden, dass Addition und Subtraktion entgegengesetzte
Rechenoperationen sind. Dies bedeutet nur, dass die Subtraktion das
Gegenteil einer Addition bewirkt.
Wenn also das Rechenzeichen „+“ bedeutet hat „Gehe in Richtung“, muss
das Rechenzeichen „-„ folglich bedeuten: „Gehe entgegen der Richtung“.
Wir können die Rechnung (+2) - (+3) folglich graphisch folgendermaßen
interpretieren:
Gehe von „+2“ 3 Einheiten entgegen der Richtung der postiven Zahlen.
„Entgegen der Richtung der positiven Zahlen“ bedeutet aber in Richtung der
negativen Zahlen, und wir erhalten folgende Darstellung:
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Wir hätten also statt (+2) - (+3) auch 2 -3 rechnen können. Das Rechenzeichen
„-„ mit nachfolgendem Vorzeichen „+“ ist also gleichbedeutend mit einem
Rechenzeichen „-„.
Merke: - vor + ergibt - (Sprich: Minus vor Plus ergibt Minus)
b) Was bedeutet (+2) - (-3)=
Nach obiger Interpretation erhalten wir folgendes:
Gehe von (+2) 3 Einheiten entgegen der Richtung der negativen Zahlen.
„Entgegen der negativen Zahlen“ ist aber gleichbedeutend mit „in Richtung
der positiven Zahlen“, und wir erhalten folgende Darstellung:
(+2) - (-3) ergibt also 5.
Wir erkennen, dass wir auch 2 + 3 rechnen hätten können. Da Rechenzeichen
„-“ mit nachfolgendem Vorzeichen „-“ ist also gleichbedeutend mit dem
Rechenzeichen „+“.
Merke: - vor - ergibt + (Sprich: Minus vor Minus ergibt Plus)
Beispiel: (+2) - (-4) - (+5) =
Lösung:
(+2) - (-4) - (+5) =
2+4-5=1
Übungen: Übungsblatt 3; Aufgaben 43 bis 45
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Zusammenfassend noch einmal diese Merkregeln:
Satz:
+ vor + ergibt +
+ vor - ergibt - vor + ergibt - vor - ergibt +
3. Multiplikation
Was passiert, wenn ich positive und negative Zahlen in beliebiger Reihenfolge
multipliziere?
Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir uns lediglich die
Multiplikation genauer überlegen:
Wir rechnen zum Beispiel 3*2. Die Rechenoperation „*2“ ist ja in Wirklichkeit nur
eine versteckte Addition. Der Rechenbefehl bedeutet ja nur, dass ich die Zahl
3 zweimal „mit sich selbst“ addieren soll. Ich muss also 3 + 3 rechnen.
Wenn aber die Multiplikation eigentlich nur eine Addition ist, müssen
dieselben Rechengesetze wie bei der Addition gelten.:
Positive Zahl mal positive Zahl ergibt eine positive Zahl.
Beispiel: (+2) * (+3) =+6
Positive Zahl mal negative Zahl ergibt eine negative Zahl.
Beispiel: (+2) * (-3) =-6
Negative Zahl mal positive Zahl ergibt eine negative Zahl.
Beispiel: (-2) * (+3) =-6
Negative Zahl mal negative Zahl ergibt eine positive Zahl.
Beispiel: (-2) * (-3) =+6
Satz:
+ mal + ergibt + (Sprich: Plus mal Plus ergibt Plus)
+ mal - ergibt - (Sprich: Plus mal Minus ergibt Minus)
- mal + ergibt - (Sprich: Minus mal Plus ergibt Minus)
- mal - ergibt + (Sprich: Minus mal Minus ergibt Plus)
4. Division
Was passiert, wenn ich positive und negative Zahlen in beliebiger Reihenfolge
dividiere?
Dazu müssen wir uns lediglich bewusst werden, dass die Division die
entgegengesetzte Rechenoperation zur Multiplikation ist. Wenn ich eine
gegebene Zahl zum Beispiel mit 3 multipliziere und dann das Ergebnis durch 3
dividiere, so erhalte ich wieder die ursprüngliche Zahl.
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Wenn aber die beiden Rechenoperationen nur entgegengesetzt sind, so
müssen für sie dieselben Rechengesetze gelten:
Positive Zahl durch positive Zahl ergibt eine positive Zahl.
Beispiel: (+6) : (+3) =+2
Positive Zahl durch negative Zahl ergibt eine negative Zahl.
Beispiel: (+6) : (-3) =-2
Negative Zahl durch positive Zahl ergibt eine negative Zahl.
Beispiel: (-6) : (+3) =-2
Negative Zahl durch negative Zahl ergibt eine positive Zahl.
Beispiel: (-6) : (-3) =+2
Satz:
+ durch + ergibt + (Sprich: Plus durch Plus ergibt Plus)
+ durch - ergibt - (Sprich: Plus durch Minus ergibt Minus)
- durch + ergibt - (Sprich: Minus durch Plus ergibt Minus)
- durch - ergibt + (Sprich: Minus durch Minus ergibt Plus)
5. Verbindung der vier Grundrechnungsarten
Unter den Rechnungsbefehlen gibt es eine hierarchische Ordnung.
Multiplikationen und Divisionen sind „wichtiger“ als Additionen und
Subtraktionen.
Deshalb
müssen
Multiplikationen
und
Divisionen
(=Punktrechnungen)
immer
vor
Additionen
und
Subtraktionen
(Strichrechnungen) ausgeführt werden.
Merke: Punktrechnung geht vor Strichrechnung.
Beispiel
(+2) * (-3) + (-5) * (+4) - (-6) * ( -7) =
(-6) + (-20) - (+42) =
-6 - 20 -42 = -68
Öfters möchte
durchbrechen.
man
diese
Erklärung
Punkt- vor Strichrechnung
Gehe in Kurzschreibweise
hierarchische
Rechenstruktur
aber
Beispiel: Addieren sie 3 und 4 und multiplizieren sie das Ergebnis mit 2.
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auch
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Lösung:
Würde man diese Rechnung einfach nur so hinschreiben erhielte man:
3+4*2=
Aufgrund der hierarchischen Befehlsstruktur würde dies aber bedeuten,
dass ich zunächst 4 mit 2 multiplizieren muss und zum Ergebnis 3 dazu
addiere. Dies ist aber etwas anderes als die Angabe verlangt. Folglich
muss ich kennzeichnen, dass 3 und 4 zuerst addiert werden müssen.
Dies kennzeichnet man mittels Klammern:
(3 + 4) * 2 = Nun muss man zuerst addieren.
7 * 2 = 14
Klammern kennzeichnen also Rechenausdrücke, die zuerst gerechnet
werden müssen.
Merke: Klammern werden zuerst gerechnet.
Wenn mehrere Klammern ineinander verschachtelt vorkommen, so
verwendet man neben den runden Klammern () gerne auch eckige
Klammern [] oder geschwungene Klammern {}
Beispiel
[(-4)*(+3)-(+6)*(-2)]*(-8)=
Erklärung
Die eckige Klammer wird zuerst
gerechnet. Innerhalb der Klammer
gilt: Punkt- vor Strichrechnung
In der eckigen Klammer gehen wir
nun auf die Kurzschreibweise
Klammer ausrechnen
Jede Zahl mit 0 multipliziert ergibt Null
[(-12)-(-12)]*(-8)=
[-12+12]*(-8)=
0*(-8)=0
Anmerkung: Die runden Klammern um die Zahlenwerte könnte man
eigentlich auch weglassen, da ja kein Rechenbefehl in der Klammer
angegeben ist. Man sollte diese Klammern aber verwenden, um Schreibfehler
zu vermeiden.
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