einführung der ganzen zahlen
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Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang
Arbeitsblatt 2
1. Semester
ARBEITSBLATT 2
EINFÜHRUNG DER GANZEN ZAHLEN
1. Die natürlichen Zahlen:
Wie der Name schon sagt, bezeichnet man jene Zahlen, die sozusagen von
Natur aus da sind (Finger zählen) als die Natürlichen Zahlen. Es sind dies also
die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5,... u.s.w.. Die Menge der natürlichen Zahlen schreibt
man mathematisch folgendermaßen:
N={1, 2, 3, 4, 5, ...}
Menge der natürlichen Zahlen
Merke: Geschwungene Klammern bezeichnen Mengen.
Es ist Ihnen sicher aufgefallen, dass die Zahl 0 hier nicht zu den natürlichen
Zahlen gezählt wird. Dies ist zwar einer der wenigen uneinheitlichen Punkte
der Mathematik, doch die von uns verwendete Definition ohne Null ist die
historisch richtigere, da wir im europäischen Bereich die Zahl 0 in ihrer
heutigen Bedeutung erst im Spätmittelalter kennenlernten.
Wollen wir dennoch einmal die Zahl 0 zu den Natürlichen Zahlen dazugeben,
so kennzeichnen wir dies durch einen sogenannten Index.
Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0
N0={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Des weiteren können wir die natürlichen Zahlen noch nach geraden und
ungeraden Zahlen unterscheiden. Unter einer geraden Zahl verstehen wir
eine Zahl, die sich durch 2 ohne Rest dividieren läßt.
Ng={2, 4, 6, 8, 10, ...} Menge der geraden natürlichen Zahlen
Jene Zahlen, die sich nicht ohne Rest durch 2 dividieren lassen bezeichnen wir
als ungerade:
Nu={1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} Menge der ungeraden natürlichen Zahlen
Graphisch lassen sich die natürlichen Zahlen auf einem sogenannten
Zahlenstrahl darstellen:
Merke: Ein Strahl hat einen Anfang und kein Ende.
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2. Die ganzen Zahlen
Mit den vorhandenen Zahlen möchte man nun natürlich alle
Rechenoperationen vollständig ausführen können. Hat man allerdings
lediglich natürliche Zahlen zur Verfügung, so ergibt sich bald ein Problem:
z.B.: 3-5 = ?. Es gibt keine natürliche Zahl als mögliches Ergebnis.
Die logische Konsequenz: Wir müssen neue Zahlen erfinden, wobei allerdings
die geltenden Rechengesetze erhalten bleiben müssen. Dazu verlängern wir
graphisch den Zahlenstrahl, der die natürlichen Zahlen darstellt, zu einer
Zahlengerade.
Merke: Eine Gerade hat keinen Anfang und kein Ende.
Zur Unterscheidung zwischen den natürlichen Zahlen und den neuen Zahlen,
stellen wir diesen das Vorzeichen „-„ voran und nennen sie negative ganze
Zahlen. Den natürlichen Zahlen stellen wir das Vorzeichen „+“ voran und
nennen sie positive ganze Zahlen. Die Zahl Null ist neutral.
Wenn wir nun unser Ausgangsproblem betrachten, was ergibt 3 - 5 =, so
müssen wir nun eigentlich schreiben:
(+3) - (+5) =
Wir erkennen, daß „+“ und „-„ mehrere Bedeutungen haben können.
Die beiden + sind in unserem Beispiel Vorzeichen, das - hingegen ein
Rechenzeichen.
Merke: + und - können Vorzeichen und Rechenzeichen sein.
Übungen: Übungsblatt 2; Aufgaben 31 - 33
2.1. Eigenschaften der ganzen Zahlen
Die ganzen Zahlen sind zunächst einmal geordnet. Dies bedeutet, dass ich
verschiedene Zahlen der Größe nach ordnen kann.
Beispiel: Gegeben sind die Zahlen: +4; -6; +2; -1
Lösung: -6 < -1 < +2 < +4
Das Zeichen „<“ bedeutet „kleiner“. Man kann obiges also aussprechen als: -6
ist kleiner als -1, kleiner als +2, kleiner als +4. Das gegenteilige Zeichen dazu ist
„>“ (sprich : größer). Beispiel: 5 > 3
Auch für die Menge der ganzen Zahlen gibt es ein Symbol, nämlich Z.
Z = {...; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; ...}
Menge der ganzen Zahlen
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Auch hier kann man wieder Unterscheidungen vornehmen:
Menge der positiven ganzen Zahlen.
Z+ = {+1; +2; +3; +4; ...}
Z-= {...; -3; -2; -1}
Menge der negativen ganzen Zahlen
Zg = {...; -4; -2; 0; +2; +4; ...}
Menge der geraden ganzen Zahlen
Zu = {...; -3; -1; +1; +3; ...}
Menge der ungeraden ganzen Zahlen
Geht man von einer beliebigen ganzen Zahl aus, so bezeichnet man die um 1
kleinere Zahl als den Vorgänger, die um 1 größere Zahl als Nachfolger. Da
man dies mit jeder ganzen Zahl praktizieren kann, gibt es folglich weder eine
kleinste noch eine größte ganze Zahl.
Merke: Es gibt weder eine kleinste noch eine größte ganze Zahl.
Übungen: Übungsblatt 2; Aufgaben 34 - 37.
2.2 Zahl und Gegenzahl - Betrag
Definition: Zwei Zahlen, die sich nur in ihrem Vorzeichen unterscheiden, nennt
man Gegenzahlen.
Beispiel: +4 und -4 sind Gegenzahlen
Bei vielen Aufgaben interessiert einen nicht unbedingt das Vorzeichen einer
Zahl, sondern ihr Wert. Auf der Zahlengerade dargestellt ist dies
gleichbedeutend mit der Frage: „Wie weit ist eine Zahl vom Nullpunkt
entfernt? Mathematisch nennt man dies den Betrag einer Zahl.
Definition: Man nennt den Abstand einer Zahl vom Nullpunkt den Betrag einer
Zahl.
Um mathematisch auszudrücken, dass man den Betrag einer Zahl wissen will,
schreibt man diese zwischen zwei senkrechte Striche.
Beispiel:
+5 = 5
−5 = 5
Da Zahl und Gegenzahl ja stets gleich weit vom Nullpunkt entfernt sind,
haben sie auch denselben Betrag.
Merke: Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert.
Übungen: Übungsblatt 2; Aufgaben 38 - 40
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