Grundwissen Mathematik 5. Klasse - Gym

Dietrich-Bonhoeffer-Gymnasium Oberasbach
Grundwissen Mathematik 5. Klasse
5.A.10 Größenvergleich ganzer Zahlen
Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer (kleiner),
die auf der Zahlengerade weiter rechts (links) liegt.
5.A Zahlen
5.A.1 Menge N der natürlichen Zahlen
N = {1; 2; 3; 4; …}
Bsp.: 5 ist eine natürliche Zahl:
5 ∈ N „5 ist Element von N“
0 ist keine natürliche Zahl:
0 ∉ N „0 ist nicht Element von N“
Bsp.: −5 < −3 und −3 < 2 bzw. 2 > −3 und −3 > −5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Anordung in einer steigenden Ungleichungskette:
−5 < −3 < 2 „−5 kleiner −3 kleiner 2“
5.A.2 Primzahlen
Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler
(1 und sich selbst) hat. Die ersten Primzahlen:
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; …
5.A.3 Quadratzahlen
12 =
1
62 = 36
112 = 121
162 = 256
212 = 441
22 =
4
72 = 49
122 = 144
172 = 289
222 = 484
32 =
9
82 = 64
132 = 169
182 = 324
232 = 529
42 = 16
92 = 81
142 = 196
192 = 361
242 = 576
52 = 25
102 = 100
152 = 225
202 = 400
252 = 625
5.A.4 Zehnerpotenzen
100 =
101
102
103
104 =
1 eins
=
= 100 hundert
106
=
= 1.000 tausend
109
= 1.000.000.000 eine Milliarde
=
10 zehn
100.000 hunderttausend
Ziffer
3
5
0
Subtraktion
Bsp.: 97
Minuend
Multiplikation
Bsp.: 13
M
HT
ZT
T
H
Z
E
2
4
7
8
2
1
9
5.A.8 Runden von Zahlen
Abgerundet wird bei den Ziffern 0, 1, 2, 3 und 4,
aufgerundet wird bei den Ziffern 5, 6, 7, 8 und 9.
negative ganze Zahlen
null
2
−
65
minus
Subtrahend
1. Faktor
·
8
mal
2. Faktor
97
Wert der
Summe
=
32
Wert der
Differenz
=
104
Wert des
Produkts
PRODUKT
Division
Bsp.: 48
Dividend
:
4
durch
Divisor
=
12
Wert des
Quotienten
QUOTIENT
Potenzieren
4
Bsp.:
3
=
3·3·3·3
4 Faktoren „3“
=
81
Wert der
Potenz
5.C Kombinatorik
„Zahlenschloss“
3 7 0
Bsp.: 3 Rädchen
mit jeweils 8 Einstellungen:
3
Es gibt 8 = 8 · 8 · 8 = 512 Kombinationen.
Zahlengerade
1
=
POTENZ
5.A.9 Menge Z der ganzen Zahlen
Z = {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; …}
0
65
2. Summand
Basis hoch Exponent
Bsp.: 26.453 (Z) ≈ 26.450 ; 26.453 (H) ≈ 26.500 ;
26.453 (T) ≈ 26.000 ; 26.453 (ZT) ≈ 30.000
−1
+
plus
DIFFERENZ
5.A.7 Römische Zahlzeichen
I=1;
X = 10 ;
C = 100 ;
M = 1000
V=5;
L = 50 ;
D = 500
Bsp.: I = 1 ;
II = 2 ; III = 3 ; IV = 4 ; V = 5 ;
VI = 6 ; VII = 7 ; VIII = 8 ; IX = 9 ; X = 10 ;
CCLX = 260 ; MCMLXXIV = 1974
−5 −4 −3 −2
1. Summand
SUMME
5.A.6 Zehnersystem
Der Wert jeder Ziffer hängt davon ab, an welcher
Stelle sie in der Zahl steht (Stellenwertsystem).
Mrd HM ZM
5.B Rechenarten und Termbegriffe
1.000.000 eine Million
5.A.5 Stufenzahlen im Zehnersystem
1; 10; 100; 1.000; 10.000; 100.000; 1.000.000; …
Stellenwert
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Zwei Zahlen, die den gleichen Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen haben, heißen Gegenzahlen.
Bsp.: −3 ist die Gegenzahl von 3 (und umgekehrt).
Addition
Bsp.: 32
10.000 zehntausend
105
5.A.11 Betrag und Gegenzahl
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von Null auf der
Zahlengerade.
Bsp.: Der Betrag von −3 ist 3.
3
4
5
positive ganze Zahlen
(natürliche Zahlen)
„Bücherregal“
Bsp.: Verschiedene Reihenfolgen
A C D B
von 4 Büchern in einem Regal:
Es gibt 4 · 3 · 2 · 1 = 4! = 24 Möglichkeiten.
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5.D Rechnen mit ganzen Zahlen
5.D.1 Reihenfolge beim Rechnen
„Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich“
Bsp.:
2+3·4
aber: (2 + 3) · 4
2
5·3 =
2
aber: (5 · 3) =
= 2 + 12 = 14
= 5 · 4 = 20
5 · 9 = 45
2
15 = 225
5.D.2 Subtrahieren ohne Schranken
Ist der Subtrahend größer als der Minuend,
so ist der Differenzwert negativ.
Den Betrag des Differenzwertes erhält man, indem
man vom Subtrahend den Minuend subtrahiert.
Bsp.:
467 − 513 = −46
i)i Vorzeichen: Differenzwert negativ „−“
ii) Betrag:
513 − 467 = 46
5.D.3 Kurzschreibweise und Klammern auflösen
Kurzschreibweise
Auflösen
bei Add. und Subtr.:
von Klammern:
+ (+a) = + a
+ (a + b) = +a + b
+ (−a) = − a
+ (a − b) = +a − b
− (+a) = − a
− (a + b) = −a − b
− (−a) = + a
− (a − b) = −a + b
5.D.4 Berechnung von Mischtermen
Bsp.: = a − b + c + d − e − f = Pluszahlen
unterstreichen!
= (a + c + d) − (b + e + f)
Summe der
Summe der
Pluszahlen minus Minuszahlen
5.D.5 Multiplikation und Division ganzer Zahlen
Bsp.:
(+4) · (+5) = +20
(+12) : (+2) = +6
(+4) · (−5) = −20
(+12) : (−2) = −6
(−4) · (+5) = −20
(−12) : (+2) = −6
(−4) · (−5) = +20
(−12) : (−2) = +6
i)i Vorzeichen: • Gleiche Vorzeichen:
(„+“ und „+“ oder „−“ und „−“)
→ Ergebnis positiv „+“
i)i Vorzeichen: • Verschiedene Vorzeichen:
(„+“ und „−“ oder „−“ und „+“)
→ Ergebnis negativ „−“
ii) Betrag: Produkt der Beträge: 4 · 5 = 20
bzw.
Quotient der Beträge: 12 : 2 = 6
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5.D.6 Potenzen mit negativer Basis
5.D.6 bzw. Produkte mit vielen Faktoren
i)i Vorzeichen: • Gerader Exponent bzw.
gerade Anzahl „−“:
→ Ergebnis positiv „+“:
i)i Vorzeichen: • Ungerader Exponent bzw.
ungerade Anzahl „−“:
→ Ergebnis negativ „−“
ii) Betrag: Potenzwert bei pos. Basis
bzw. Produkt der Beträge
5.D.7 Rechengesetze
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
• der Addition:
a+b=b+a
• der Multiplikation:
a·b=b·a
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
• der Addition:
(a + b) + c = a + (b + c)
• der Multiplikation: (a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetze (Verteilungsgesetz):
• a · (b ± c) = a · b ± a · c = (b ± c) · a
• (a ± b) : c = a : c ± b : c
5.D.8 Rechenvorteile mit den Distributivgesetzen
• Ausklammern eines gemeinsamen Faktors:
7 · 13 + 7 · 17 = 7 · (13 + 17) = 7 · 30 = 210
• Ausklammern des gemeinsamen des Divisors:
56 : 4 − 16 : 4 = (56 − 16) : 4 = 40 : 4 = 10
• „Ausmultiplizieren“:
3 · 37 = 3 · (30 + 7) = 3 · 30 + 3 · 7 = 90 + 21 = 111
• „Ausdividieren“:
87 : 3 = (90 − 3) : 3 = 90 : 3 − 3 : 3 = 30 − 1 = 29
5.E Größen und ihre Einheiten
5.E.1 Geld
1 € = 100 ct
1 ct = 0,01 €
5.E.2 Länge
1 km = 1.000 m
1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm
1 dm = 10 cm = 100 mm
1 cm = 10 mm
km
1
100
m
10
1m
= 0,001 km
1 dm = 0,1 m
1 cm = 0,1 dm =
1 mm = 0,1 cm =
5.E.3 Masse
1 t = 1.000 kg =
1 kg = 1.000 g =
1 g = 1.000 mg
t
1
100
kg
10
1
dm
1
1
cm
1
mm
1
0,01 m
0,01 dm = 0,001 m
1.000.000 g
1.000.000 mg
100
g
10
1
100
mg
10
1
1 kg = 0,001 t
1 g = 0,001 kg = 0,000.001 t
1 mg = 0,001 g = 0,000.001 kg
5.E.4 Zeit
1 a = 12 Monate ;
1d
= 24 h
1 a = 365 d
1h
= 60 min = 3.600 s
1 a = Schaltjahr: 366 d ; 1 min = 60 s
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5.E.5 Flächeninhalt
5.F.5 Koordinatensystem
2
Ein Quadratzentimeter (1 cm ) ist
der Flächeninhalt eines Quadrates
mit der Seitenlänge a = 1 cm.
2
1 km
1 ha
1a
2
1m
2
1 dm
2
1 cm
km2
1
=
=
=
=
=
=
100 ha =
100 a =
2
100 m =
2
100 dm =
2
100 cm =
2
100 mm
ha
10
1 ha
1a
2
1m
2
1 dm
2
1 cm
2
1 mm
m2
a
1
=
=
=
=
=
=
10
1
10
10
1
2
1.000.000 m
2
1.000.000 dm
2
1.000.000 cm
2
1.000.000 mm
cm2
5
x
IV. Quadrant
1
10
Symmetrieachse
mm2
1
10
1
2
0,01 km
0,01 ha
0,01 a
2
0,01 m
2
0,01 dm
2
0,01 cm
=
=
=
=
=
2
0,000.1 km
0,000.1 ha =
0,000.1 a =
2
0,000.1 m =
2
0,000.1 dm =
0,000.001 km
0,000.001 ha
0,000.001 a
2
0,000.001 m
2
5.F.7 Geometrische Grundfiguren
Quadrat
Rechteck
Ecke
a
Diagonale
Seitenlänge a
Punkt
A
Gerade
C
Halbgerade
E
5.F.2 Winkel
Bezeichnungen:
Raute
s
B
Strecke [AB] = s
g
D
Gerade CD = g
h
F
Halbgrade [EF = h
α = 90°
Rechter Winkel:
Gestreckter Winkel: β = 180°
α
Vollwinkel:
0° < α < 90°
Parallelogramm
Trapez
Drachenviereck
Kreis
Mittelpunkt M
Radius r
Es gilt:
d=2·r
Durchmesser d
Besondere Winkel:
Schenkel
spitzer Winkel
Länge l
Bezeichnungen:
P
Strecke
Breite b
a
5.F.1 Geometrische Grundelemente
stumpfer Winkel
γ = 360°
überstumpfer Winkel
90° < β < 180°
p
l
5.F.8 Umfangslänge von Rechteck und Quadrat
Vorstellung: „Einmal außen rum!“
Rechteck:
Quadrat:
180° < γ < 360°
UR = 2 · l + 2 · b = 2 · (l + b)
UQ = 4 · a
5.F.9 Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat
Vorstellung: „Was man ausmalen muss!“
Rechteck:
Quadrat:
AR = l · b („Länge mal Breite“)
2
AQ = a · a = a
5.F.10 Geometrische Grundkörper
Würfel
Quader
5.F.3 Besondere Lage von Geraden
Senkrechte Geraden
Parallele Geraden
l⊥g
1
III. Quadrant
5.F Geometrie
Scheitel
S
0
−5
5.F.6 Achsensymmetrische Figuren
dm2
1
I. Quadrant
P(3|2)
1 cm2 =
100 mm2
1 cm
10.000 a
=
2
10.000 m =
2
10.000 dm =
2
10.000 cm =
2
10.000 mm
y
II. Quadrant
1 cm
Ecke
7g
g
p
a 6 Seitenflächen
Fläche
Höhe h
12 Kanten
a
g
a
l steht senkrecht auf g,
l ist ein Lot zu g
(und umgekehrt).
Geraden mit einem gemeinsamen Lot heißen parallel.
p ist parallel zu g (und umgekehrt).
Pyramide
8 Ecken
Breite b
Kantenlänge a
Prisma
Kegel
Länge l
Zylinder
Kugel
5.F.4 Streckenlänge und Abstände
Länge der
Strecke [AB]
Abstand
Punkt-Gerade
Abstand
paralleler Geraden
P
A
B
AB = 1,5 cm
p
d(P; g) = 1,2 cm
g
d(p; g) = 1,3 cm
5.F.11 Oberfläche von Quader und Würfel
Vorstellung: „Was man anmalen muss!“
Quader:
g
Abstand: Länge der Lotstrecke!
Würfel:
OQ = 2 · l · b + 2 · l · h + 2 · b · h =
OQ = 2 · (l · b + l · h + b · h)
2
OW = 6 · a · a = 6 · a