Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt 1-1 1. Semester ARBEITSBLATT 1-1 GANZEN und andere ZAHLEN 1. Die natürlichen Zahlen: Wie der Name schon sagt, bezeichnet man jene Zahlen, die sozusagen von Natur aus da sind (Finger zählen) als die Natürlichen Zahlen. Es sind dies also die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5,... u.s.w.. Die Menge der natürlichen Zahlen schreibt man mathematisch folgendermaßen: N={1, 2, 3, 4, 5, ...} Menge der natürlichen Zahlen Merke: Geschwungene Klammern bezeichnen Mengen. Es ist Ihnen sicher aufgefallen, dass die Zahl 0 hier nicht zu den natürlichen Zahlen gezählt wird. Dies ist zwar einer der wenigen uneinheitlichen Punkte der Mathematik, doch die von uns verwendete Definition ohne Null ist die historisch richtigere, da wir im europäischen Bereich die Zahl 0 in ihrer heutigen Bedeutung erst im Spätmittelalter kennenlernten. Wollen wir dennoch einmal die Zahl 0 zu den Natürlichen Zahlen dazugeben, so kennzeichnen wir dies durch einen sogenannten Index. Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0 N0={0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Des weiteren können wir die natürlichen Zahlen noch nach geraden und ungeraden Zahlen unterscheiden. Unter einer geraden Zahl verstehen wir eine Zahl, die sich durch 2 ohne Rest dividieren läßt. Ng={2, 4, 6, 8, 10, ...} Menge der geraden natürlichen Zahlen Jene Zahlen, die sich nicht ohne Rest durch 2 dividieren lassen bezeichnen wir als ungerade: Nu={1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} Menge der ungeraden natürlichen Zahlen Graphisch lassen sich die natürlichen Zahlen auf einem sogenannten Zahlenstrahl darstellen: Merke: Ein Strahl hat einen Anfang und kein Ende. 1 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt 1-1 1. Semester 2. Die ganzen Zahlen Mit den vorhandenen Zahlen möchte man nun natürlich alle Rechenoperationen vollständig ausführen können. Hat man allerdings lediglich natürliche Zahlen zur Verfügung, so ergibt sich bald ein Problem: z.B.: 3-5 = ?. Es gibt keine natürliche Zahl als mögliches Ergebnis. Die logische Konsequenz: Wir müssen neue Zahlen erfinden, wobei allerdings die geltenden Rechengesetze erhalten bleiben müssen. Dazu verlängern wir graphisch den Zahlenstrahl, der die natürlichen Zahlen darstellt, zu einer Zahlengerade. Merke: Eine Gerade hat keinen Anfang und kein Ende. Zur Unterscheidung zwischen den natürlichen Zahlen und den neuen Zahlen, stellen wir diesen das Vorzeichen „-„ voran und nennen sie negative ganze Zahlen. Den natürlichen Zahlen stellen wir das Vorzeichen „+“ voran und nennen sie positive ganze Zahlen. Die Zahl Null ist neutral. Wenn wir nun unser Ausgangsproblem betrachten, was ergibt 3 - 5 =, so müssen wir nun eigentlich schreiben: (+3) - (+5) = Wir erkennen, daß „+“ und „-„ mehrere Bedeutungen haben können. Die beiden + sind in unserem Beispiel Vorzeichen, das - hingegen ein Rechenzeichen. Merke: + und - können Vorzeichen und Rechenzeichen sein. Übungen: Übungsblatt 2; Aufgaben 31 - 33 2.1. Eigenschaften der ganzen Zahlen Die ganzen Zahlen sind zunächst einmal geordnet. Dies bedeutet, dass ich verschiedene Zahlen der Größe nach ordnen kann. Beispiel: Gegeben sind die Zahlen: +4; -6; +2; -1 Lösung: -6 < -1 < +2 < +4 Das Zeichen „<“ bedeutet „kleiner“. Man kann obiges also aussprechen als: -6 ist kleiner als -1, kleiner als +2, kleiner als +4. Das gegenteilige Zeichen dazu ist „>“ (sprich : größer). Beispiel: 5 > 3 Auch für die Menge der ganzen Zahlen gibt es ein Symbol, nämlich Z. Z = {...; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; ...} Menge der ganzen Zahlen 2 Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & LehrerInnenteam Arbeitsblatt 1-1 1. Semester Auch hier kann man wieder Unterscheidungen vornehmen: Z+ = {+1; +2; +3; +4; ...} Menge der positiven ganzen Zahlen. Z = {...; -3; -2; -1} Menge der negativen ganzen Zahlen Zg = {...; -4; -2; 0; +2; +4; ...} Menge der geraden ganzen Zahlen Zu = {...; -3; -1; +1; +3; ...} Menge der ungeraden ganzen Zahlen Geht man von einer beliebigen ganzen Zahl aus, so bezeichnet man die um 1 kleinere Zahl als den Vorgänger, die um 1 größere Zahl als Nachfolger. Da man dies mit jeder ganzen Zahl praktizieren kann, gibt es folglich weder eine kleinste noch eine größte ganze Zahl. Merke: Es gibt weder eine kleinste noch eine größte ganze Zahl. Übungen: Übungsblatt 2; Aufgaben 34 - 37. 2.2 Zahl und Gegenzahl - Betrag Definition: Zwei Zahlen, die sich nur in ihrem Vorzeichen unterscheiden, nennt man Gegenzahlen. Beispiel: +4 und -4 sind Gegenzahlen Bei vielen Aufgaben interessiert einen nicht unbedingt das Vorzeichen einer Zahl, sondern ihr Wert. Auf der Zahlengerade dargestellt ist dies gleichbedeutend mit der Frage: „Wie weit ist eine Zahl vom Nullpunkt entfernt? Mathematisch nennt man dies den Betrag einer Zahl. Definition: Man nennt den Abstand einer Zahl vom Nullpunkt den Betrag einer Zahl. Um mathematisch auszudrücken, dass man den Betrag einer Zahl wissen will, schreibt man diese zwischen zwei senkrechte Striche. Beispiel: +5 = 5 −5 = 5 Da Zahl und Gegenzahl ja stets gleich weit vom Nullpunkt entfernt sind, haben sie auch denselben Betrag. Merke: Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Übungen: Übungsblatt 2; Aufgaben 38 - 40 3