1. Zahlen 2. Grundrechenarten

Grundwissen und -fertigkeiten Mathematik
Jahrgangsstufe 5
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1. Zahlen
Natürliche Zahlen:
N = { 1; 2; 3; ... }
Ganze Zahlen:
Z = { ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ... }
Betrag einer Zahl:
z. B.: | 5 | = 5;
Gegenzahl:
z. B.: -(+8) = -8;
Primzahlen:
natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler besitzen
| -7 | = 7;
| -2 | = | 2 |
-(-9) = +9
Zahlen (an der Zahlengeraden an-) ordnen
Beispielaufgabe:
Schreibe die Zahlen 15, -5, |-3|, -1, -3 in einer aufsteigenden Ungleichungskette. Markiere sie auf der
Zahlengeraden:
Zahlmengen und ihre Elemente beschreiben
- mit Worten
- als Mengen
G = Menge aller geraden Zahlen
A = {− 1; − 3 ; 5 ; 7 ; 8 }
T(15) = {1; 3; 5; 15}
0 ∈ No ; 5 ∉ T(12)
- mit speziellen Zeichen
Zehnersystem und große Zahlen
- sprechen und gliedern
dreihundertzehn Millionen dreiundfünfzigtausend
= 3HM 1ZM 5ZT 3T
= 310 053 000
= 310 053 ⋅ 103
- schreiben
Primfaktorzerlegung
z. B.: 120 = 23 ⋅3 ⋅ 5
2. Grundrechenarten
Addition
Termname: Summe
5
+
1. Summand
3
=
2. Summand
8
Wert der Summe
Subtraktion
Termname: Differenz
3
–
Minuend
5
=
Subtrahend
-2
Wert der Differenz
Multiplikation
Termname: Produkt
7
⋅
1. Faktor
(-3)
=
2. Faktor
-21
Wert des Produkts
Sonderfall: Potenzierung
63
Termname: Potenz
=
6: Basis 3: Exponent
216
Wert der Potenz
Division
Termname: Quotient
12
Dividend
Achtung: Divisor Null ist nicht möglich!!!
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:
3
Divisor
=
4
Wert des Quotienten
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Rechnen mit ganzen Zahlen
Regel1: Zahlen mit gleichem Vorzeichen addiert man, indem man ihre Beträge addiert und das
gemeinsame Vorzeichen davor schreibt.
Regel2: Zahlen mit verschiedenem Vorzeichen addiert man, indem ihre Beträge subtrahiert und das
Vorzeichen der betragsgrößeren Zahl davor schreibt.
Regel3: Eine Zahl wird subtrahiert, indem man die Gegenzahl addiert.
Regel4: Zwei Zahlen werden mutlipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert und dem Produkt ein
negatives Vorzeichen gibt, wenn die Vorzeichen der Faktoren verschieden sind.
Beispiele:
13 - (-87) = 100
(-15) ⋅ 13 = -195
13 - 87 = -74
(-17) ⋅ (-13) = 221
-13 - 87 = -100
(-135) : 45 = -3
-13 +87 = 74
105 : (-7) = -15
3. Terme:
Gesetze für die Addition und Multiplikation
Kommutativgesetz: a + b = b + a ; a ⋅ b = b ⋅ a
Assoziativgesetz:
(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c;
Distributivgesetz:
(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)=a⋅b⋅c
Terme aufstellen und gliedern
Beispielaufgaben:
Subtrahiere den Quotienten der Zahlen 60 und 20 vom Produkt der Zahlen 25 und 13.
Gliedere den Term 27 : 3 − 5 ⋅ (7 + 11)
Terme berechnen
Vereinbarung:
1. Klammern zuerst und zwar von innen nach außen
2. Potenzen haben Vorrang
3. Punkt vor Strich
4. ansonsten von links nach rechts
Beispielaufgabe: Berechne den Wert des Terms
[ 17 - (15 - 23) ⋅ (-3)] : (-2)
Abzählen mit Baumdiagrammen
Beispielaufgabe:
Gregor hat für sein gutes Zeugnis 3 Bücher bekommen: „Harry Potter“, „Die wilden Kerle“ und „Drei
Fragezeichen“. Ermittle mit einem Baumdiagramm, in wie vielen Reihenfolgen er sie in den Ferien
lesen kann. (Antwort: 6)
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4. Geometrie
Begriffe
Schreibweisen und Bezeichnungen
Strecke
a ; [AB]
Länge der Strecke AB = 2,5cm
Halbgerade
h ; [CD
Gerade
g ; EF
parallel
g || h
Bild
x
x
x
a
A
x
h
C
x
Winkelarten
x
D
g
h
g
h
α ; <) ASB
S: Scheitel
[SA: 1. Schenkel; [SB: 2. Schenkel
α
x
Nullwinkel (α=0°)
spitzer Winkel (0°<α<90°)
rechter Winkel (α=90°)
stumpfer Winkel (90°<α<180°)
gestreckter Winkel (α=180°)
überstumpfer Winkel (180°<α<360°)
Vollwinkel (α=360°)
Bx
Sx
x
A
Px
Achsensymmetrie
x
F
E
x
g
senkrecht bzw. Lot g ⊥ h
Winkel
x
B
a
a: Symmetrieachse
P, P’: Punkt und Bildpunkt
x P’
k(M, r)
Kreis
M: Mittelpunkt
r: Radius
Mx
d
r
x
M
d: Durchmesser
z. B.: B liegt auf g, A liegt nicht auf [CB z. B.: A und B sind die Schnittpunkte
B ∈ g A ∉ [CB
von g und k(M;r)
g
Lagebeziehungen
A
Körper
g
B
B
M
C
k(M;r)
Würfel
Pyramide
Quader
Prisma
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A
Kegel
Zylinder
Kugel
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Umgang mit dem Geodreieck
- Strecken, Geraden zeichnen und messen
- Winkel bezeichnen, zeichnen und messen
- Lote und Parallelen zeichnen bzw. nachweisen
Koordinatensystem
y
Beispielaufgabe:
1
Trage in geeignetes Koordinatensystem die Punkte A(5/-2), B(1/2) und
x
0 1
C(6/1) ein. Zeichne die Gerade g = AB sowie die Parallele h zur Geraden
g durch den Punkt C ein und bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes R dieser Parallelen mit der
x-Achse. Zeichne die Lotgerade vom Punkt C auf die Gerade g = AB ein. Bestimme die Koordinaten
des Schnittpunktes F des Lotes mit der Geraden g.
Zeichne den Abstand d der beiden parallelen Geraden g und h farbig ein und miss seine Länge.
Rechteck und Quadrat:
Flächeninhalt und Umfang:
Rechteck: AR = a ⋅ b ;
b
UR = 2 ⋅ ( a + b )
a
a
Quadrat:
AQ = a ⋅ a = a2 ; UQ = 4 ⋅ a
a
Beispielaufgabe:
Miss Länge, Breite und Höhe eines Butterpäckchens. Berechne daraus die Oberfläche des
Butterpäckchens. Wickle die Butter vorsichtig aus ihrer Verpackung und miss die Maße des
Einwickelpapiers. Um wie viel ist der Flächeninhalt des Einwickelpapiers größer als die vorher
bestimmte Oberfläche?
5. Größen
Geld:
1 € = 100 ct
Masse:
1 t = 1000 kg
1 kg = 1000 g
1 g = 1000 mg
Länge:
1 km = 1000 m
1 m = 10 dm
1 dm = 10 cm
1 cm = 10 mm
Umrechnen:
Schätzen und runden:
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Zeit:
1 a (Jahr) = 365 d (Tage)
1 d = 24 h (Stunden)
1 h = 60 min
1 min = 60 s
Fläche:
1 km2 = 100 ha (Hektar)
1 ha = 100 a (Ar)
1 a = 100 m2
1 m2 = 100 dm2
1 dm2 = 100 cm2
1 cm2 = 100 mm2
z. B.: 1,5 h = 90 min = 5400 s
z. B.: 7,5 km ≈ 8 km;
3,45 m ≈ 3,5 m