§3¨Uberlagerungen und Quotienten

Riemannsche Flächen, WS 2016/2017
Donnerstag 15.12
$Id: quotient.tex,v 1.5 2016/12/15 20:07:32 hk Exp $
§3
Überlagerungen und Quotienten
3.2
Lokale Homöomorphismen und Isomorphismen
Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den etalen Raum einer Prägarbe konstruiert.
Dieser wird uns zu zwei verschiedenen Zwecken dienen. Zum einen erlaubt er eine bequeme Umformulierung des Begriffs der analytischen Fortsetzung aus §1.2 in Termen
stetiger Kurven im etalen Raum der Garbe der holomorphen Funktionen auf dem betrachteten Gebiet und zum anderen werden wir den etalen Raum zur Konstruktion
der sogenannten Garbifizierung einer Prägarbe verwenden. Der erste Aspekt wird dabei in Aufgabe (26) behandelt. Zur Vorbereitung des zweiten Themas überlegen wir
uns zunächst das ein Homomorphismus zwischen Prägarben eine stetige Abbildung
zwischen ihren etalen Räumen induziert.
Lemma 3.18 (Prägarbenhomomorphismen und etale Räume)
Seien F, G zwei Prägarben über einem topologischen Raum X und f : F → G ein
Homomorphismus von Prägarben über X. Dann ist die Abbildung
a
fp : |F | → |G|; (p, ξ) 7→ (p, fp (ξ))
|f | :=
p∈X
stetig und bezeichnet πF : |F | → X, πG : |G| → X die jeweilige natürliche Projektion
so ist πG ◦ |f | = πF . Es gilt |idF | = id|F | und sind H eine weitere Prägarbe über X und
g : G → H ein Prägarbenhomomorphismus so ist auch |g ◦ f | = |g| ◦ |f |. Insbesondere
ist |f | ein Homöomorphismus wenn f ein Isomorphismus ist.
Beweis: Wir übernehmen die Bezeichnung aus Satz 17. Sind U ⊆ X offen in X und
a ∈ F (U ) so gilt für jedes p ∈ U stets
F
G
|f |(σU,a
(p)) = |f |(p, [U, a]Fp ) = (p, fp ([U, a]Fp )) = (p, [U, fU (a)]G
p ) = σU,fU (a) (p),
F
G
F
es ist also |f | ◦ σU,a
= σU,f
. Insbesondere haben wir |f |(ΣFU,a ) = ΣG
U,fU (a) . Da σU,a :
U (a)
G
U → ΣFU,a und σU,f
: U → ΣG
U,fU (a) nach Satz 17 Homöomorphismen sind, ist auch
U (a)
−1
|f |ΣFU,a = σU,fU (a) ◦ σU,a
: ΣFU,a → ΣG
U,fU (a)
ein Homöomorphismus. Insbesondere ist |f | auf ΣFU,a stetig. Da {ΣU,a |U ⊆ X offen, a ∈
F (U )} eine offene Überdeckung von |F | ist, ist |f | : |F | → |G| stetig und die erste
Behauptung ist bewiesen.
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Ist H eine weitere Prägarbe über X und g : G → H ein Homomorphismus von
Prägarben, so gilt für jedes p ∈ X nach §2.Lemma 21.(c) stets (g ◦ f )p = gp ◦ fp und
(idF )p = idFp , und damit sind auch |g ◦ f | = |g| ◦ |f | und |idF | = id|F | . Ist schließlich f
ein Isomorphismus von Prägarben, so sind |f | : |F | → |G| und |f −1 | : |G| → |F | beide
stetig mit |f −1 | ◦ |f | = |f −1 ◦ f | = |idF | = id|F | und analog |f | ◦ |f −1 | = id|G| , d.h.
|f | : |F | → |G| ist ein Homöomorphismus mit |f |−1 = |f −1 |.
Der Beweis zeigt sogar das |f | : |F | → |G| ein lokaler Homöomorphismus ist. Nun
können wir zur Konstruktion der Garbifizierung“ einer Prägarbe kommen, dies ist eine
”
Art Vervollständigungsprozess einer gegebenen Prägarbe F eine Garbe F ] zuzuordnen.
Startet man bereits mit einer Garbe so sollte F ] = F sein, oder F ] zumindest in einem
geeigneten Sinne natürlich isomorph zu F sein. Auf der Garbifizierung F ] sollen im
wesentlichen dieselben Prägarbenhomomorphismen wir auf F selbst definiert sein, für
jede Garbe G über demselben Grundraum X soll also
HomPSX (F, G) = HomSX (F ] , G)
gelten, wobei die Gleichheit genauer als eine natürliche Bijektion zwischen diesen Mengen interpretiert wird. Mit dem rechts stehenden HomSX ist dabei weiterhin die Menge
aller Prägarbenhomomorphismen zwischen diesen beiden Garben gemeint, der Index
S “ statt PSX“ wird nur verwendet um hervorzuheben das es sich um Homomor” X
”
phismen zwischen zwei Garben handelt. Man kann diese angestrebte Gleichheit“ als
”
Basis einer Konstruktion der Garbifizierung verwenden, wir wollen hier aber eine direkte Konstruktionsmethode basierend auf dem etalen Raum einer Prägarbe verwenden.
Satz 3.19 (Die Garbifizierung einer Prägarbe)
Sei F eine Prägarbe über einem topologischen Raum (X, τ ) und bezeichne |F | den
etalen Raum zu F . Weiter sei π : |F | → X die natürliche Projektion. Für jede in X
offene Menge U ⊆ X ist
F ] (U ) := {σ : U → |F | : σ ist stetig mit π ◦ σ = idU }
dann bezüglich der punktweise definierten Operationen eine komplexe Algebra und ist
V ⊆ U in U offen, so ist RU V : F ] (U ) → F ] (V ); σ 7→ σ|V ein Algebrenhomomorphismus.
(a) Das Paar
F ] := (F ] (U ))U ∈τ , (RU V )U,V ∈τ,V ⊆U
ist eine Garbe über X, genannt die Garbifizierung von F .
(b) Sei U ⊆ X eine in X offene Menge und für jedes a ∈ F (U ) bezeichne σU,a : U →
|F | die in Satz 17 definierte Abbildung. Dann ist
jU : F (U ) → F ] (U ); a 7→ σU,a
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ein Algebrenhomomorphismus. Weiter ist das Tupel j := (jU )U ∈τ ein Homomorphismus von Prägarben.
(c) Für jeden Punkt p ∈ X ist der induzierte Homomorphismus jp : Fp → Fp] ein
Algebrenisomorphismus.
(d) Genau dann ist j ein Isomorphismus von Prägarben wenn F eine Garbe ist.
(e) Seien G eine Garbe über X und f : F → G ein Homomorphismus von Prägarben.
Dann existiert genau ein Homomorphismus f ] : F ] → G von Garben mit f =
f ] ◦ j. Weiter ist die Abbildung
HomPSX (F, G) → HomSX (F ] , G); f 7→ f ]
bijektiv.
Beweis: Dies ist Aufgabe (27).
Haben wir speziell eine Prägarbe F über einer Riemannschen Fläche S, so wollen
wir unseren Satz Satz 16 über das Lifting der holomorphen Garbe einer Riemannschen
Fläche längs eines lokalen Homöomorphismus auf die natürliche Projektion π : |F | → S
anwenden, allerdings wird |F | in der Regel weder zusammenhängend noch hausdorffsch
sein. Das erste Problem läßt sich durch Übergang zu einer Zusammenhangskomponente
beheben, und die Hausdorffbedingung können wir durch eine zusätzliche Voraussetzung
an die betrachtete Prägarbe erzwingen.
Lemma 3.20 (Hausdorffsche etale Räume)
Sei F eine Prägarbe über einem hausdorffschen, lokal zusammenhängenden topologischen Raum X. Weiter erfülle F den Identitätssatz, d.h. für jedes Gebiet U ⊆ X in X
und alle a, b ∈ F (U ) für die ein p ∈ U mit [U, a]p = [U, b]p existiert sei bereits a = b.
Dann ist der etale Raum |F | hausdorffsch.
Beweis: Wir übernehmen die Bezeichnungen aus Satz 17. Seien ξ1 , ξ2 ∈ |F | mit ξ1 6= ξ2
gegeben. Ist dann sogar π(ξ1 ) 6= π(ξ2 ) so gibt es in X offene Mengen U, V ⊆ X mit
π(ξ1 ) ∈ U , π(ξ2 ) ∈ V und U ∩ V = ∅, und da π stetig ist sind dann π −1 (U ) und π −1 (V )
offen in |F | mit ξ1 ∈ π −1 (U ), ξ2 ∈ π −1 (V ) und es gilt π −1 (U ) ∩ π −1 (V ) = ∅. Damit
haben wir den Fall π(ξ1 ) 6= π(ξ2 ) vollständig behandelt.
Andernfalls ist p := π(ξ1 ) = π(ξ2 ). Für j = 1, 2 ist dann ξj = (p, ηj ) für ein ηj ∈ Fp
und weiter gibt es eine offene Umgebung Uj von p in X und ein aj ∈ F (Uj ) mit ηj =
[Uj , aj ]p . Da X lokal zusammenhängend ist, ist auch die Zusammenhangskomponente
U von U1 ∩ U2 mit p ∈ U eine offene Umgebung von p in X und setzen wir für j = 1, 2
nun bj := RUj ,U (aj ) ∈ F (U ) so gilt auch ηj = [Uj , aj ]p = [U, RUj ,U (aj )]p = [U, bj ]p .
Wegen ξ1 6= ξ2 ist auch η1 6= η2 und schließlich b1 6= b2 . Da F den Identitätssatz
erfüllt ist sogar σU,b1 (x) = [U, b1 ]x 6= [U, b2 ]x = σU,b2 (x) für jedes x ∈ U , es gilt also
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ΣU,b1 ∩ ΣU,b2 = ∅. Für j = 1, 2 ist dabei ξj = (p, ηj ) = (p, [U, bj ]p ) = σU,bj (p) ∈ ΣU,bj und
wir haben auch in diesem Fall disjunkte offene Umgebungen von ξ1 und ξ2 gefunden.
Ist S eine Riemannsche Fläche so erfüllt die Garbe OS der holomorphen Funktionen
auf S nach §2.Lemma 23.(c) den Identitätssatz, der etale Raum |OS | ist also stets
hausdorffsch. Dies ist allerdings ein eher untypischer Fall, wie uns Aufgabe (25) zeigt
muss der etale Raum selbst sehr regulärer Garben über Hausdorffräumen nicht mehr
hausdorffsch sein.
Nachdem wir nun interessante Beispiele lokaler Homöomorphismen kennen, wollen
wir nun zur näheren Untersuchung dieser kommen. Wir beginnen dabei mit einigen
Überlegungen zum Liften stetiger Abbildungen längs eines lokalen Homöomorphismus.
Zunächst zeigen wir eine Eindeutigkeitsaussage für diese.
Lemma 3.21 (Eindeutigkeit von Liftings)
Seien B ein topologische Raum, E ein Hausdorffraum und p : E → B ein lokaler
Homöomorphismus. Sind dann X ein zusammenhängender topologischer Raum und
f, g : X → E zwei stetige Abbildungen mit p ◦ f = p ◦ g und gibt es ein x0 ∈ X mit
f (x0 ) = g(x0 ) so ist bereits f = g.
Beweis: Wir betrachten die Menge F := {x ∈ X|f (x) = g(x)}. Nach unserer Annahme
ist dann zumindest F 6= ∅. Da der totale Raum E hausdorffsch ist, ist die Diagonale
∆ := {(e, e)|e ∈ E} abgeschlossen in E × E und ausserdem ist die Abbildung (f, g) :
X → E × E; x 7→ (f (x), g(x)) stetig, d.h. F = (f, g)−1 (∆) ist abgeschlossen in X.
Wir zeigen nun das F auch offen in X ist. Sei also ein Punkt x ∈ F gegeben. Dann
ist y := f (x) = g(x) ∈ E und da p ein lokaler Homöomorphismus ist existieren eine
offene Umgebung V von y in E und eine offene Umgebung W von p(y) in B so, dass
p|V : V → W ein Homöomorphismus also insbesondere injektiv ist. Da f und g beide
stetig sind, ist auch U := f −1 (V )∩g −1 (V ) offen in X mit x ∈ U . Wegen f (U ), g(U ) ⊆ V
ist aber (p|V )◦(f |U ) = p◦f |U = p◦g|U = (p|V )◦(g|U ), also f |U = g|U da p|V injektiv
ist und somit ist U ⊆ F . Damit ist F auch offen in X und da X zusammenhängend
ist muss F = X also f = g sein.
Die Existenz von Liftings ist ein komplizierteres Problem, wir führen zunächst zwei in
diesem Rahmen relevante topologische Begriffe ein.
Definition 3.4 (Faserungen bezüglich eines topologischen Raums)
Eine stetige Abbildung p : E → B zwischen zwei topologischen Räumen E, B heißt
eine Faserung für einen topologischen Raum X wenn es für alle stetigen Abbildung
H : X × [0, 1] → B, f : X → E mit H(x, 0) = p(f (x)) für alle x ∈ X stets eine stetige
e : X × [0, 1] → E mit p ◦ H
e = H und H(x,
e 0) = f (x) für alle x ∈ X gibt.
Abbildung H
Seien X, Y zwei topologische Räume. Eine stetige Abbildung H : X ×[0, 1] → Y nennt
man dann auch eine Homotopie und definiert für jedes t ∈ [0, 1] die stetige Abbildung
Ht : X → Y ; x 7→ H(x, t). Man sagt dann genauer das H eine in f := H0 startende
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beziehungsweise eine in g := H1 endende Homotopie ist. Insgesamt wird H dann eine
Homotopie von f nach g. Dass p : E → B eine Faserung für X ist, bedeutet in dieser
Sprache das es für jede stetige Abbildung f : X → E und jede in p ◦ f startende
e in E mit H = p ◦ H
e gibt,
Homotopie H in B stets eine in f startende Homotopie H
man sprich hier auch von der Homotopie-Lifting-Eigenschaft.
Ein für uns wichtiger Spezialfall tritt auf wenn X = {0} ein einpunktiger Raum ist.
Dass p : E → B dann eine Faserung für X = {0} ist, bedeutet das es für jede stetige
Kurve γ : [0, 1] → B und jeden Punkt e ∈ E mit p(e) = γ(0) stets eine stetige Kurve
γ
e : [0, 1] → E mit γ
e(0) = e und γ = p ◦ γ
e gibt. Damit kommen wir zum zweiten der
hier einzuführenden Begriffe.
Definition 3.5 (Überlagerungen topologischer Räume)
Seien E, B zwei zusammenhängende, lokal wegzusammenhängende topologische Räume.
Eine stetige Abbildung p : E → B heißt eine Überlagerung wenn es für jeden Punkt
b ∈ B stets eine offene Umgebung U ⊆ B von b in BS
und eine Familie (Ui )i∈I paarweise
disjunkter offener Teilmengen von E mit p−1 (U ) = i∈I Ui gibt so, dass p|Ui : Ui → U
für jedes i ∈ I ein Homöomorphismus ist. Jede solche offene Menge U nennt man dann
eine für p elementare offene Menge.
Nach Satz 12 ist beispielsweise jede nicht konstante, eigentliche, unverzweigte holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen eine Überlagerung. In diesem Beispiel
ist die in der Definition auftretende Indexmenge I stets endlich, ihre Mächtigkeit ist
der Grad der holomorphen Abbildung. Die Definition einer Überlagerung läßt auch
unendliche Indexmengen I zu, dies brauchen wir um Beispiele wie die komplexe Exponentialfunktion exp : C → C\{0} zu erfassen. Wir stellen einige wichtige Eigenschaften
von Überlagerungen zusammen.
Satz 3.22 (Grundeigenschaften von Überlagerungen)
Seien E, B zusammenhängende und lokal wegzusammenhängende topologische Räume
und p : E → B eine Überlagerung.
(a) Die Abbildung p : E → B ist ein lokaler Homöomorphismus.
(b) Sei U ⊆ B eine für p elementare offene Menge. Ist dann V ⊆ U offen in U ,
so ist auch V eine für p elementare offene Menge. Ist U wegzusammenhängend
und ist (US
i )i∈I eine Familie paarweise disjunkter offener Teilmengen von E mit
p−1 (U ) = i∈I Ui so, dass p|Ui : Ui → U für jedes i ∈ I ein Homöomorphismus
ist, so ist {Ui |i ∈ I} die Menge der Wegzusammenhangskomponenten von p−1 (U )
und für jede Wegzusammenhangskomponente C von p−1 (U ) ist p|C : C → U
damit ein Homöomorphismus. Weiter hat jeder Punkt b ∈ B eine bezüglich p
elementare, wegzusammenhängende offene Umgebung.
(c) Sind γ : [0, 1] → B eine stetige Kurve und e ∈ E mit p(e) = γ(0) so existiert
genau eine stetige Kurve γ
e : [0, 1] → E mit p ◦ γ
e = γ und γ
e(0) = e.
(d) Ist B 6= ∅ so gibt genau eine Kardinalzahl κ mit |p−1 (b)| = κ für jedes b ∈ B. Man
nennt p dann auch eine κ-blättrige Überlagerung.
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Beweis: (a) Klar.
(b) Sei U ⊆ B eine bezüglich p elementare offene Teilmenge von B und weiterSsei (Ui )i∈I
eine Familie paarweise disjunkter offener Teilmengen von E mit p−1 (U ) = i∈I Ui so,
dass p|Ui : Ui → U für jedes i ∈ I ein Homöomorphismus ist. Weiter sei V ⊆ U offen in
U . Für jedes i ∈ I ist dann auch Vi := (p|Ui )−1 (Vi ) ⊆ Ui offen in Ui und somit auch in
E mit Vi = (p|Ui )−1 (V ) = p−1 (V ) ∩ Ui und p|Vi : Vi → V ist als Einschränkung eines
Homöomorphismus wieder ein Homöomorphismus. Für alle i, j ∈ I mit i 6= j ist wegen
−1
−1
−1
V
Si ∩ Vj−1⊆ Ui ∩ Uj = ∅Sauch Vi ∩ Vj = ∅ und schließlich gilt p (V ) = p (V ) ∩ p (U ) =
i∈I p (V ) ∩ Ui =
i∈I Vi . Damit ist auch V bezüglich p elementar.
Nun nehme an das U wegzusammenhängend ist. Für jedes i ∈ I ist dann Ui
homöomorph zu U also selbst wegzusammenhängend und andererseits ist Ui offen und
abgeschlossen in
p−1 (U ), ist also ein Wegzusammenhangskomponente von p−1 (U ). WeS
gen p−1 (U ) = i∈I Ui gibt es auch keine weitere Wegzusammenhangskomponente von
p−1 (U ). Die letzte Aussage ist klar da B lokal wegzusammenhängend ist.
(c) Sei B die Menge aller bezüglich p elementaren, wegzusammenhängenden, offenen
Teilmengen von B. Dann ist B nach (b) eine offene Überdeckung von B, also gibt
es 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 und U1 , . . . , Un ∈ B mit γ([tj−1 , tj ]) ⊆ Uj für jedes
1 ≤ j ≤ n. Setze e0 := e ∈ E und dann gilt p(e0 ) = p(e) = γ(t0 ). Nun sei 1 ≤ j ≤
n und ej−1 ∈ E mit p(ej−1 ) = γ(tj−1 ) sei bereits definiert. Dann ist ej ∈ p−1 (Uj )
und es bezeichne Cj die Wegzusammenhangskomponente von p−1 (Uj ) mit ej−1 ∈ Cj .
Nach (b) ist p|Cj : Cj → Uj ein Homöomorphismus und wir erhalten die stetige
Abbildung γ
ej := (p|Cj )−1 ◦ (γ|[tj−1 , tj ]) : [tj−1 , tj ] → Cj ⊆ E mit p ◦ γ
ej = γ|[tj−1 , tj ]
und wegen ej−1 ∈ Cj gilt γ
ej (tj−1 ) = ej−1 . Setze schließlich ej := γ
ej (tj ) ∈ E und dann
gilt p(ej )S= γ(tj ). Induktiv wird damit γ
ej für alle 1 ≤ j ≤ n definiert und schließlich
ist γ
e := nj=1 γ
ej : [0, 1] → E eine stetige Kurve mit p ◦ γ
e = γ und γ
e(0) = e.
Der Rest des Beweises folgt dann in der nächsten Sitzung.
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