Kombinatorische Zahlentheorie ¨Ubung 4
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Otto-von-Guericke
Universität Magdeburg
Kombinatorische Zahlentheorie
Prof. Dr. Martin Henk
SS 2012
Übung 4
Übung 4.1 Seien die Zahlen Z≥1 mit endlich vielen Farben gefärbt. Man zeige,
i) Für jedes k ≥ 1 gibt es unendlich viele einfarbige Mengen der Form {x1 , . . . , xk , x1 +· · ·+xk }.
ii) Es gibt unendlich viele einfarbige Mengen der Form {x, y, x + y} mit x 6= y.
Übung 4.2 Man beweise Satz 5.26 (Satz von van der Waerden) mit Hilfe von Satz 5.25.
Hinweis: N = k d und Identifikation von P mit [0, k − 1]d kann helfen.
Übung 4.3 Für A = {a1 < a2 < . . . } ⊂ Z und n ∈ N≥1 sei A[n] = |{a ∈ A : 1 ≤ a ≤ n}|.
σ(A) = inf n∈N≥1 A[n]/n heisst Schnirelmann Dichte von A. Man zeige:
i) σ(A) = 1 genau dann, wenn N≥1 ⊆ A.
ii) Ist 0 ∈ A ∩ B und σ(A) + σ(B) ≥ 1, dann ist N≥1 ⊆ A + B. (Hinweis: Angenommen nicht,
und man betrachte das kleinste n, das nicht in A + B liegt und die Mächtigkiet der Menge
(A ∪ (n − B))[n − 1]).
Übung 4.4 Sei K ⊂ Rn ein 0-symmetrischer n-dimensionaler konvexer Körper (also K = −K),
der im Inneren als einzigen ganzzahligen Punkt nur den Nullpunkt enthält. Man zeige: |K∩Zn | ≤ 3n .
Besprechung der Übung am ??.??.2012
Otto-von-Guericke
Universität Magdeburg
Kombinatorische Zahlentheorie
Prof. Dr. Martin Henk
SS 2012
Übung 3
Übung 3.1 Sei v ∈ Zn primitiv. Man zeige, dass es eine Basis v, b2 , . . . , bn−1 von Zn gibt, wobei
die Größe (obere Schranke) von |bi |2 nur von n und |v|2 abhängt.
Übung 3.2 Sei Λ ⊂ Rn ein Gitter. Eine Menge von linear unabhängigen Vektoren {v1 , . . . , vk } ∈ Λ
heisst primitiv, falls Λ ∩ (v1 , . .P
. , vk )Rk = (v1 , . . . , vk )Zk . Sei nun b1 , . . . , bn Basis von Λ, d.h.
Λ = (b1 , . . . , bn ) Zn und sei v = ni=1 zi bi ∈ Λ, zi ∈ Z. Man zeige: Für 1 ≤ j ≤ n gilt
{b1 , . . . , bj−1 , c} primitiv ⇔ ggT(zj , . . . , zn ) = 1.
Übung 3.3 Seien X, Y endliche Mengen, und sei f : X → Y eine Abbildung. Man zeige:
|{(x, x0 ) ∈ X × X : f (x) = f (x0 )}| ≥
|X|2
.
|Y |
Übung 3.4 Seien X, Y endliche Mengen, und sei f : X → Y eine Abbildung. Sei weiterhin
Yp = {y ∈ Y : |{x ∈ X : f (x) = y}| ≥ (1/2)|X|/|Y |}. Man zeige:
1
|{x ∈ X : f (x) ∈ Yp }| ≥ |X|.
2
Besprechung der Übung am 21.06.2012
Kombinatorische Zahlentheorie
Otto-von-Guericke
Universität Magdeburg
Prof. Dr. Martin Henk
SS 2012
Übung 2
Übung 2.1 Sei A endliche Teilmenge einer abelschen Gruppe Z. Man zeige für n ∈ N≥1
|A| + n − 1
|nA| ≤
.
n
Übung 2.2 Seien n, m ∈ N≥1 , und sei
A = {x ∈ Zn : x1 + x2 + . . . + xn = m, xi ≥ 0}.
.
Man zeige: |A| = n−1+m
n−1
Übung 2.3 Seien A, B ⊆ Z endliche Mengen einer abelschen Gruppe Z. Man zeige, dass es eine
Menge X ⊆ B gibt mit |X| ≤ 2 |A+B|
|A| − 1 und
B − B ⊆ X − X + A − A.
Übung 2.4 Sei A ⊆ {1, . . . , N } eine zufällige Menge, wobei jedes i ∈ {1, . . . , N } mit Wahrscheinlichkeit 1/2 in A liegt, und die Auswahl erfolgt unabhängig voneinander. Man zeige, dass fast sicher
{N/2, . . . , 3N/2} ⊆ A + A.
Übung 2.5 Für eine endliche Gruppe Z ist die Davenport-Konstante s(Z) die kleinste Zahl s ∈ N,
0
so dass für jede Folge A
P= (a1 , 0a2 , . . . , am ), ai ∈ Z mit m ≥ s gilt: Es gibt eine Teilfolge A von
Elementen aus A mit
a0 ∈A0 a = 0. Man zeige: s(Z) ≤ |Z|. Bemerkung: Eine sehr bekannte
Vermutung besagt übrigens: s((Z/mZ)d ) = d(m − 1) + 1 (warum nicht kleiner?) – just in case das
Wetter ist schlecht.
Übung 2.6 Sei A ⊂ Rn endlich und sei dim A ≥ d ≥ 1. Man zeige:
d(d + 1)
.
2
Hinweis: Induktion über d, mit eingebauter Induktion über |A| und ein wenig Geometrie...
|A + A| ≥ (d + 1) |A| −
Übung 2.7 Sei Z endliche abelsche Gruppe, und sei e : Z × Z → S 1 ein Bi-Charakter. Seien
f, g ∈ CZ . Man zeige:
P
i) f (x) = y∈Z fb(y) e(x, y) (Fourier Umkehr Formel)
P
1 P
b b(y) (Plancherel Formel)
ii) |Z|
x∈Z f (x)g(x) =
y∈Z f (y) g
iii)
1
|Z|
P
x∈Z
|f (x)|2 =
P
y∈Z
|fb(y)|2
(Parsevalsche Identität)
Besprechung der Übung am 31.05.2012
Otto-von-Guericke
Universität Magdeburg
Kombinatorische Zahlentheorie
Prof. Dr. Martin Henk
SS 2012
Übung 1
Übung 1.1 Man charakterisiere alle endlichen Teilmengen A, B ⊂ Z, |A|, |B| ≥ 2, mit |A + B| =
|A| + |B| − 1.
Übung 1.2 Seien A, B ⊆ G endlich, G abelsch, und Φ : A ∪ B → Φ(A ∪ B) ein Freiman Isomorphismus der Ordnung 2). Man zeige |A + B| = |Φ(A) + Φ(B)|. Was gilt für Freiman Isomorphismen
einer Ordnung k > 2?.
Übung 1.3 Seien A, B ⊆ G endlich, G abelsch. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
i) |A + B| = A,
ii) |A − B| = A,
iii) Es gibt eine Untergruppe U ≤ G, so dass B Teilmenge einer Nebenklasse bzgl. U ist, und A
ist die Vereinigung von Nebenklassen bzgl. U .
iv) |A + mB − nB| = A für ein (m, n) ∈ Z2 \ {(0, 0)}.
v) |A + mB − nB| = A für alle (m, n) ∈ Z2 .
Übung 1.4 Seien A, B ⊆ G endlich, G abelsch und endlich. Man zeige, dass es en x ∈ G gibt mit
|A ∩ (x + B)| ≥
|A||B|
.
|G|
Besprechung der Übung am 19.04.2012
