Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
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TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.34: Verteilungsfunktion Für eine Zufallsvariable X heißt die Funktion F (·), die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit X einen Wert x nicht überschreitet, F (x) = P (X ≤ x), x ∈ R, Verteilungsfunktion von X. Dr. Karsten Webel 200 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.35: Augensumme X beim zweimaligen Würfeln (Fortsetzung Bsp. 2.32) Die Verteilungsfunktion von X berechnet sich wie folgt: P (X ≤ 1, 5) P (X ≤ 2, 3) = 0 = P (X = 2) P (X ≤ 3, 95) = P (X = 2) + P (X = 3) P (X ≤ 4, 1) .. P (X ≤ 13) Dr. Karsten Webel = 1/36 = 3/36 = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 6/36 .. .. = 1 201 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.35: Augensumme X beim zweimaligen Würfeln (Fortsetzung) x∈ (−∞, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7) 0 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 x∈ [7, 8) [8, 9) [9, 10) [10, 11) [11, 12) [12, ∞) F (x) 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1 F (x) Dr. Karsten Webel 202 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.35: Augensumme X beim zweimaligen Würfeln (Fortsetzung) 1 P(X ≤ x) 5/6 2/3 1/2 1/3 1/6 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x Dr. Karsten Webel 203 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Bemerkung 2.36: Für eine diskrete Zufallsvariable X gilt: F (x) = X f (xi), x ∈ R, xi ≤x vgl. Definition 1.7. Dr. Karsten Webel 204 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.37: Dichtefunktion Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit möglichen Realisationen im Intervall (a, b), wobei a = −∞ und/oder b = ∞ erlaubt ist. Ist die Verteilungsfunktion F (·) von X differenzierbar, so heißt f (x) = F ′(x), x ∈ R, Dichtefunktion (kurz Dichte) von X. Dr. Karsten Webel 205 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung f(x) Bemerkung 2.38: Interpretation einer Dichte P (a < X ≤ b) a Dr. Karsten Webel b 206 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.39: Verspätung der S1 Angenommen, die Verspätung der S1 an der Haltestelle Dortmund Universität“ ” ist zwischen 0 und 20 Minuten gleichverteilt, d.h. die Dichte der Verspätung ist gegeben durch: f (x) = 1, 20 0, Dr. Karsten Webel x ∈ [0, 20] . sonst 207 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.39: Verspätung der S1 (Fortsetzung) f(x) 0.05 0 −5 0 5 10 15 20 25 Verspätung x in Minuten Dr. Karsten Webel 208 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.39: Verspätung der S1 (Fortsetzung) Damit ergibt sich für x ∈ [0, 20] folgende Verteilungsfunktion: F (x) = Zx f (t) dt = 0 0 Insgesamt: F (x) = 0, 1 20 , 1, Dr. Karsten Webel Zx ¯x 1 1 ¯¯ x dt = ¯ = . 20 20 0 20 x<0 0 ≤ x ≤ 20 x > 20 209 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.39: Verspätung der S1 (Fortsetzung) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich eine S1 zwischen fünf und zehn Minuten verspätet? P (5 < X ≤ 10) = P (X ≤ 10) − P (X ≤ 5) = F (10) − F (5) = 10 5 − 20 20 = 0, 25 Dr. Karsten Webel 210 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.39: Verspätung der S1 (Fortsetzung) 1 F(x) 0.75 0.5 0.25 0 −5 0 5 10 15 20 25 Verspätung x in Minuten Dr. Karsten Webel 211 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz 2.40: Eigenschaften von Wahrscheinlichkeits-, Dichte- und Verteilungsfunktion Es sei X eine beliebige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion F (·). Dann gilt, vgl. Satz 1.8: a) F (x) ist monoton nicht fallend, b) 0 ≤ F (x) ≤ 1 für alle x ∈ R, c) lim F (x) = 0 und x→−∞ lim F (x) = 1, x→∞ d) P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a), Dr. Karsten Webel 212 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz 2.40: Eigenschaften von Wahrscheinlichkeits-, Dichte- und Verteilungsfunktion (Fortsetzung) Sei weiter f (x) die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Dichte. Dann gilt: e) f (x) ≥ 0, f) g) lim f (x) = lim f (x) = 0, x→−∞ P x→∞ f (xi) = 1, falls X diskret, i h) F (b) − F (a) = bzw. R∞ f (x) dx = 1, falls X stetig, −∞ Rb f (x) dx, falls X stetig. a Dr. Karsten Webel 213 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Bemerkung 2.41: Fazit zu Zufallsvariablen • vereinfachte Berechnung von Wahrscheinlichkeiten • diskrete Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion • stetige Zufallsvariablen mit Dichte und Verteilungsfunktion Dr. Karsten Webel 214 Erwartungswert, Varianz und Korrelation TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Bemerkung 2.42: Motivation des Erwartungswerts • zur Erinnerung (vgl. Bemerkung 1.13): x̄a = k X ai · h(ai) i=1 • Idee: Ersetze relative Häufigkeiten durch bekannte Wahrscheinlichkeiten Dr. Karsten Webel 216 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.43: Erwartungswert Es sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den möglichen Realisationen x1, x2, . . . , xn und der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (xi) = P(X = xi). Dann heißt E (X) = n X xi · f (xi) i=1 Erwartungswert von X. Dr. Karsten Webel 217 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.43: Erwartungswert (Fortsetzung) Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f (·). Dann heißt E (X) = Z∞ x · f (x) dx −∞ Erwartungswert von X. Dr. Karsten Webel 218 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.44: Fortsetzung Bsp. 2.25, 2.32 & 2.39 a) Für die Augensumme X beim zweimaligen Würfeln gilt: E (X) = 11 X xi · f (xi) i=1 2 3 1 1 +3· +4· + . . . + 12 · = 7. = 2· 36 36 36 36 b) Für die Verspätung X der S1 gilt: E (X) = Z∞ −∞ Dr. Karsten Webel x · f (x) dx = Z20 0 ¯20 1 2¯¯ 1 = 10. dx = x x· 20 40 ¯ 0 219 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.44: (Fortsetzung) c) Für den Gewinn X beim Roulette gilt unabhängig von der Strategie: Strategie xi P (X = xi) E (X) Dr. Karsten Webel Collonnes Cheval Erfolg Mißerfolg Erfolg Mißerfolg 2 -1 17 -1 12/37 25/37 2/37 35/37 -1/37 -1/37 220 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Bemerkung 2.45: a) Ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Dichte einer Zufallsvariablen X symmetrisch um x⋆, so gilt: E (X) = x⋆. b) Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X muss nicht unbedingt eine mögliche Realisation xi von X sein. c) Der Erwartungswert muss nicht notwendigerweise existieren, d. h. es ist E (X) = ∞ möglich. Dr. Karsten Webel 221 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz 2.46: Eigenschaften des Erwartungswerts Es seien X1, X2, . . . , Xn beliebige Zufallsvariablen, a1, a2, . . . , an, b ∈ R beliebige Konstanten und g : R → R eine beliebige Funktion. Dann gilt: a) E (a1 X1 + b) = a1 E (X1) + b, b) E µ n P ai Xi i=1 c) E (g(X1)) = ¶ = n P ai E (Xi), i=1 P g(xi) f (xi), i R∞ falls X1 diskret . g(x) f (x) dx, falls X1 stetig −∞ Dr. Karsten Webel 222 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.47: unabhängige Zufallsvariablen Gilt für zwei Zufallsvariablen X und Y und alle x, y ∈ R P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x) · P (Y ≤ y) = FX (x) · FY (y), so heißen diese (stochastisch) unabhängige Zufallsvariablen. Dr. Karsten Webel 223 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz 2.48: (schwaches) Gesetz der großen Zahlen Es seien X1, X2, . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen, die alle die gleiche Verteilung wie X besitzen. Dann gilt für ein beliebiges ε > 0: lim P (| X̄n − E (X) | < ε) = 1. n→∞ Dr. Karsten Webel 224 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Bemerkung 2.49: Interpretation des (schwachen) Gesetzes der großen Zahlen Sind x1, x2, . . . , xn Realisationen von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen X1, X2, . . . , Xn, so gilt: n 1X xi = E (X). lim n→∞ n i=1 Dr. Karsten Webel 225 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung durchschnittliche Augensumme Beispiel 2.50: Augensumme X beim zweimaligen Würfeln 12 10 8 6 4 2 1 5 10 15 20 25 Anzahl n der Würfe Dr. Karsten Webel 226 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.51: p-Quantil Für eine Zufallsvariable X und ein p ∈ [0, 1] heißt der Wert xp mit P (X ≤ xp) ≥ p und P (X ≥ xp) ≤ 1 − p p-Quantil der Verteilung von X. Dr. Karsten Webel 227 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.52: Fortsetzung Bsp. 2.32 & 2.39 a) Welche maximale Verspätung (in Minuten) hält die S1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% ein? • gesucht: x0,4 mit P (X ≤ x0,4) ≥ 0, 4 • gefunden: P (X ≤ x0,4) = F (x0,4) = ⇔ Dr. Karsten Webel x0,4 20 X stetig = 0, 4 x0,4 = 20 · 0, 4 = 8 228 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.52: (Fortsetzung) F(x) 1 0.4 0 −5 Dr. Karsten Webel 0 x0.4 = 8 Verspätung x in Minuten 20 229 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.52: (Fortsetzung) f(x) 0.05 40 % 60 % 0 0 Dr. Karsten Webel x0.4 = 8 Verspätung x in Minuten 20 230 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.52: (Fortsetzung) b) Vorsicht bei diskreten Zufallsvariablen! Beispielsweise existiert für die Augensumme X beim zweimaligen Würfeln das 40% Quantil nicht, denn: P (X ≤ 5) = 10 = 0, 278 < 0, 4 und 36 26 P (X ≥ 6) = 1 − P (X < 6) = 1 − P (X ≤ 5) = 36 = 0, 722 > 0, 6 = 1 − 0, 4. Dr. Karsten Webel 231 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.52: (Fortsetzung) P(X ≤ x) 1 0.4 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Augensumme x beim zweimaligen Würfeln Dr. Karsten Webel 232 TU Dortmund Wintersemester 2009/2010 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Bemerkung 2.53: Aussagekraft des Erwartungswerts? f(x) f ( y) E(X) = E(Y) Dr. Karsten Webel 233
