Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
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TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.49: a) Flugzeugmotoren einer bestimmten Marke fallen bei einem gegebenen Flug mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10 aus. Bei mehrmotorigen Maschinen dieser Firma treten die Ausfälle unabhängig voneinander auf. Ein Flugzeug erreicht sein Ziel, wenn wenigstens die Hälfte der Motoren läuft. Für einen Flug steht wahlweise eine zwei- oder eine viermotorige Maschine zur Verfügung. Mit welcher Maschine werden Sie fliegen, wenn Ihnen Ihr Leben lieb ist? Dr. Karsten Webel 137 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.49: b) Jedes zweite Los gewinnt!“ verspricht der Vereinsvorsitzende, als er vor ” 100 geladenen Gästen die Tombola der Jahresabschlussfeier eröffnet. Nach der Preisvergabe beschweren sich 10 Personen, die jeweils fünf Lose gekauft haben, dass sie nicht einmal gewonnen haben. Wie ist diese Situation zu beurteilen? Dr. Karsten Webel 138 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.50: Binomialverteilung Gegeben seien n unabhängige Wiederholungen eines Zufallsexperiments mit zwei möglichen Ausgängen, wobei das interessierende Ereignis ( Erfolg“) mit kon” stanter Wahrscheinlichkeit p eintritt. Eine diskrete Zufallsvariable X, die misst, wie oft das interessierende Ereignis bei diesen n Wiederholungen eintritt, heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p, kurz: X ∼ Bin (n, p). Dr. Karsten Webel 139 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.51: (Fortsetzung Bsp. 2.49) a) X1 = Anzahl der ausfallenden Motoren in der zweimotorigen Maschine X2 = Anzahl der ausfallenden Motoren in der viermotorigen Maschine ⇒ X1 ∼ Bin (2, 0.1) und X2 ∼ Bin (4, 0.1) b) X = Anzahl der Gewinne bei fünf gekauften Losen ⇒ X ∼ Bin (5, 0.5) Dr. Karsten Webel 140 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz 2.52: Eigenschaften der Binomialverteilung Es sei X ∼ Bin (n, p). Dann gilt: a) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X lautet: µ ¶ n x f (x) = P (X = x) = p (1 − p)n−x. x b) Der Erwartungswert und die Varianz von X lauten: E (X) = n p und Var (X) = n p (1 − p). c) Für die Zufallsvariable Y = n − X gilt: Y ∼ Bin (n, 1 − p). Dr. Karsten Webel 141 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsfunktionen ausgesuchter Binomialverteilungen 0.4 n = 10 p = 0.4 0.2 f(x) 0.3 f(x) 0.3 n=5 p = 0.25 0.2 0.1 0.1 0 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 x 0.4 7 8 9 10 0.3 6 7 8 9 10 n = 10 p = 0.8 0.2 f(x) f(x) 6 x n=5 p = 0.5 0.3 5 0.2 0.1 0.1 0 0 0 1 2 3 x Dr. Karsten Webel 4 5 0 1 2 3 4 5 x 142 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz 2.52: Eigenschaften der Binomialverteilung (Fortsetzung) Sind die Zufallsvariablen X1, X2, . . . , Xn voneinander unabhängig und gilt Xi ∼ Bin (1, p), so folgt: X= n X i=1 Dr. Karsten Webel Xi ∼ Bin (n, p). 143 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung tabellierte Verteilungsfunktion der Bin (n, 0.5)-Verteilung (Auszug) n x 1 2 3 4 5 0 0,5000 0,2500 0,1250 0,0625 0,0313 1 1 0,7500 0,5000 0,3125 0,1875 1 0,8750 0,6875 0,5000 1 0,9375 0,8125 1 0,9688 2 3 4 5 Dr. Karsten Webel 1 144 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.54: Gleichverteilung Es seien a, b ∈ R mit a < b. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f (x) = 1 b−a , 0, a≤x≤b , sonst so heißt X gleichverteilt über dem Intervall [a, b], kurz: X ∼ R [a, b]. Dr. Karsten Webel 145 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Bemerkung 2.55: Eigenschaften der Gleichverteilung Es sei X ∼ R [a, b]. Dann gilt: a) Die Verteilungsfunktion von X lautet: 0, x<a F (x) = x−a , a ≤ x ≤ b . b−a 1, x>b b) Der Erwartungswert und die Varianz von X lauten: a+b E (X) = 2 Dr. Karsten Webel und (b − a)2 Var (X) = . 12 146 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.56: (Fortsetzung Bsp. 2.28, 2.31, 2.42) Für die Zufallsvariable X = Verspätung der S1“ gilt damit: ” X ∼ R [0, 20], f (x) = 1 , 0 ≤ x ≤ 20 20 0, sonst 0 + 20 E (X) = = 10 und 2 Dr. Karsten Webel und F (x) = 0, x 20 , 1, x<0 0 ≤ x ≤ 20 , x > 20 (20 − 0)2 Var (X) = = 33.333. 12 147 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.57: Normalverteilung und Standardnormalverteilung Es sei µ ∈ R und 0 < σ 2 ∈ R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte 1 2 − 21 ( x−µ σ ) f (x) = √ e 2 2 πσ , x ∈ R, so heißt X normalverteilt (mit den Parametern µ und σ 2), kurz: X ∼ N (µ, σ 2). Gilt dabei µ = 0 und σ 2 = 1, so heißt X standardnormalverteilt. Dr. Karsten Webel 148 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Dichten ausgesuchter Normalverteilungen 0.6 0.5 µ=0 0.5 µ=2 0.4 σ2 = 1 0.4 σ2 = 1 f(x) f(x) 0.6 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 −5 −2.5 0 2.5 5 −5 −2.5 x 2.5 5 2.5 5 x 0.6 0.6 0.5 µ=0 0.5 µ=2 0.4 σ2 = 2 0.4 σ2 = 0.5 f(x) f(x) 0 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0 0 −5 −2.5 0 x Dr. Karsten Webel 2.5 5 −5 −2.5 0 x 149 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Bemerkung 2.58: Eigenschaften der Normalverteilung Es sei X ∼ N (µ, σ 2). Dann gilt: a) Die Dichte von X ist symmetrisch um µ, d. h. f (µ − x) = f (µ + x) für alle x ∈ R. b) Der Erwartungswert und die Varianz von X lauten: E (X) = µ und Dr. Karsten Webel Var (X) = σ 2. 150 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.59: Angenommen, die (zeitstetige) monatliche Rendite (in %) einer Aktie ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0,5 und Varianz 4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt der Kurs dieser Aktie dann in einem Monat um mehr als 5%? Dr. Karsten Webel 151 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz 2.60: Es sei X ∼ N (µ, σ 2). Dann gilt: X −µ ∼ N (0, 1). σ Dr. Karsten Webel 152 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung tabellierte Verteilungsfunktion Φ(·) (Auszug) x2 x1 Dr. Karsten Webel 0,00 ··· 0,04 0,05 0,06 ··· 0,0 .. 0,5000 .. ··· ... 0,5160 .. 0,5199 .. 0,5239 .. ··· .. 2,1 0,9821 ··· 0,9838 0,9842 0,9846 ··· 2,2 0,9861 ··· 0,9875 0,9878 0,9881 ··· 2,3 .. 0,9893 .. ··· .. 0,9904 .. 0,9906 .. 0,9909 .. ··· ... 153 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz 2.62: Es seien X1, X2, . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen mit Xi ∼ N (µi, σi2). Dann gilt: n X i=1 Dr. Karsten Webel Xi ∼ N Ã n X i=1 µi, n X i=1 ! σi2 . 154 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Bemerkung 2.63: Spezialfall von Satz 2.62 Es seien X1, X2, . . . , Xn unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Xi ∼ N (µ, σ 2). Dann gilt: n X i=1 ¡ Xi ∼ N n µ, n σ 2 ¢ bzw. X̄n ∼ N Dr. Karsten Webel µ ¶ σ2 µ, . n 155 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz 2.64: zentraler Grenzwertsatz Es seien X1, X2, . . . , Xn unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit E (Xi) = µ und Var (Xi) = σ 2. Dann gilt: P n X − nµ i=1 i √ lim P ≤ x = Φ(x) n→∞ σ n bzw. ¶ √ X̄n − µ n ≤ x = Φ(x). lim P n→∞ σ µ Dr. Karsten Webel 156 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel 2.65: Angenommen, die sukzessiven Änderungen des Deutschen Aktienindexes (DAX) seien unabhängige Zufallsvariablen und es gelte: P (DAX steigt) = P (DAX fällt) = 1/2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt dann der DAX an mehr als 120 von insgesamt 200 Börsentagen? Dr. Karsten Webel 157 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Satz 2.66: Grenzwertsatz von Laplace und de Moivre Es seien X1, X2, . . . , Xn unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Xi ∼ Bin (1, p). Dann gilt: P n X − np i=1 i lim P p ≤ x = Φ(x). n→∞ n p (1 − p) Dr. Karsten Webel 158 TU Dortmund Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung Approximation der Bin (10, 0.4)-Verteilung durch die N (4, 2.4)-Verteilung 1 F(x) 0.75 0.5 0.25 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Dr. Karsten Webel 159
