Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen
Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Satz 2.33: Eigenschaften des Erwartungswerts
Es seien X1, X2, . . . , Xn beliebige Zufallsvariablen, a1, a2, . . . , an, b ∈ R beliebige
Konstanten und g : R → R eine beliebige Funktion. Dann gilt:
a) E (a1 X1 + b) = a1 E (X1) + b,
b) E
µ
n
P
ai Xi
i=1
c) E (g(X1)) =
¶
=
n
P
ai E (Xi),
i=1


P


 g(xi) f (xi),




i
R∞
g(x) f (x) dx,
X1 diskret
.
X1 stetig
−∞
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Definition 2.34: unabhängige Zufallsvariablen
Gilt für zwei Zufallsvariablen X und Y und alle x, y ∈ R
P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x) · P (Y ≤ y) = FX (x) · FY (y),
so heißen diese (stochastisch) unabhängige Zufallsvariablen.
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Satz 2.35: (schwaches) Gesetz der großen Zahlen
Es seien X1, X2, . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen, die alle die gleiche Verteilung wie X besitzen. Dann gilt für ein beliebiges ε > 0:
lim P (| X̄n − E (X) | < ε) = 1.
n→∞
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Interpretation des (schwachen) Gesetzes der großen Zahlen
Sind x1, x2, . . . , xn Realisationen von unabhängigen und identisch verteilten
Zufallsvariablen X1, X2, . . . , Xn, so gilt:
n
1X
xi = E (X).
lim
n→∞ n
i=1
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
durchschnittliche Augensumme
Beispiel 2.36: Augensumme beim zweimaligen Würfeln
12
10
8
6
4
2
1
5
10
15
20
25
Anzahl n der Würfe
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Definition 2.37: p-Quantil
Für eine Zufallsvariable X und ein p ∈ [0, 1] heißt der Wert xp mit
P (X ≤ xp) ≥ p und
P (X ≥ xp) ≤ 1 − p
p-Quantil der Verteilung von X.
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel 2.38: Verspätung der S1 (Fortsetzung Bsp. 2.31)
F(x)
1
0.4
0
−5
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0
x0.4 = 8
Verspätung x in Minuten
20
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel 2.38: Verspätung der S1 (Fortsetzung Bsp. 2.31)
f(x)
0.05
40 %
60 %
0
0
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x0.4 = 8
Verspätung x in Minuten
20
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel 2.38: Augensumme beim zweimaligen Würfeln (Fortsetzung Bsp. 2.31)
P(X ≤ x)
1
0.4
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
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Aussagekraft des Erwartungswerts?
f(x)
f ( y)
E(X) = E(Y)
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Definition 2.39: Varianz
Für eine beliebige Zufallsvariable X heißt
2
σX
¤
£
2
= Var (X) = E (X − E (X))
Varianz von X und
σX
q
2
= σX
Standardabweichung von X.
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Bemerkung 2.40:
Für eine diskrete Zufallsvariable X mit den möglich Realisationen x1, x2, . . . , xn
gilt:
Var (X) =
n
X
(xi − E (X))2 · f (xi).
i=1
Für eine stetige Zufallsvariable X gilt:
Var (X) =
Z∞
(x − E (X))2 · f (x) dx
−∞
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Satz 2.41:
Es sei X eine beliebige Zufallsvariable. Dann gilt, vgl. Satz 1.32:
¡
Var (X) = E X
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2
¢
2
− [E (X)] .
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Satz 2.43: Eigenschaften der Varianz (vgl. Satz 1.34 (d))
Für beliebige Zufallsvariablen X1, X2, . . . , Xn gilt:
a) Var (Xi) ≥ 0,
b) Var (a Xi + b) = a2 Var (Xi) für a, b ∈ R.
Sind die Zufallsvariablen X1, X2, . . . , Xn außerdem unabhängig, so gilt weiter:
c) Var
µ
n
P
i=1
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ai Xi
¶
=
n
P
a2i Var (Xi) für a1, a2, . . . , an ∈ R.
i=1
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Beispiel 2.44: zweimaliger Münzwurf
Zufallsexperiment mit Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)}
Zufallsvariablen X = Anzahl Kopf“ und Y = Anzahl Zahl“
”
”
(K, K)
(K, Z)
(Z, K)
(Z, Z)
X(ωi)
2
1
1
0
Y (ωi)
0
1
1
2
ωi
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Definition 2.45: Kovarianz und Korrelation
Für zwei Zufallsvariablen X und Y heißt
σXY = Cov (X, Y ) = E [(X − E (X))(Y − E (Y ))]
Kovarianz von X und Y sowie
ρXY =
σXY
σX · σY
Korrelation von X und Y .
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Satz 2.46:
Es seien X und Y zwei beliebige Zufallsvariablen. Dann gilt, vgl. Satz 1.38 a):
Cov (X, Y ) = E (X Y ) − E (X) E (Y ).
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Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Beispiel 2.47: zweimaliger Münzwurf (Fortsetzung Bsp. 2.44)
Zufallsexperiment mit Ω = {(K, K), (K, Z), (Z, K), (Z, Z)}
Zufallsvariablen X = Anzahl Kopf“ und Y = Anzahl Zahl“
”
”
(K, K)
(K, Z)
(Z, K)
(Z, Z)
X(ωi)
2
1
1
0
Y (ωi)
0
1
1
2
X(ωi) · Y (ωi)
0
1
1
0
ωi
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Bemerkung 2.48:
a) Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unkorreliert, wenn σXY = 0 gilt.
b) Sind X und Y unabhängige Zufallsvariablen, so gilt σXY = 0 (und damit
auch ρXY = 0). Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
c) Für beliebige Zufallsvariablen X und Y gilt stets −1 ≤ ρXY ≤ 1.
d) Es gilt: ρXY = 1 ⇔ Y = a X + b mit a > 0 und b ∈ R.
e) Es gilt: ρXY = −1 ⇔ Y = a X + b mit a < 0 und b ∈ R.
f) Es gilt: Var (a X + b Y ) = a2 Var (X) + b2 Var (Y ) + 2ab Cov (X, Y ).
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