Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Wintersemester 2008/2009 – Statistik für Ökonomen
Kapitel 2 – Wahrscheinlichkeitsrechnung
Motivation:
Viele (Elementar-) Ereignisse sind reelle Zahlen bzw. lassen sich durch reelle
Zahlen ausdrücken.
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Beispiel 2.17: französisches Roulette
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Beispiel 2.17: französisches Roulette (Fortsetzung)
Wette
Beispiel
Rouge/Noir, Pair/Impair, Manque/Passe
1 – 18
1:1
Collonnes, Douzaines
13 – 24
2:1
Transversale simple
10 – 15
5:1
Carré
29, 30, 32, 33
8:1
Transversale pleine
10 – 12
11:1
Cheval
29, 30
17:1
Plein
32
35:1
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Gewinnquote
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Definition 2.18: Zufallsvariable, Realisation
Eine Abbildung X, deren mögliche Werte vom Ausgang eines Zufallsexperiments
abhängen, die also jedem Elementarereignis eine reelle Zahl zuordnet,
X : Ω → R,
heißt Zufallsvariable.
Die möglichen Werte einer Zufallsvariablen heißen Realisationen von X.
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mögliche Fragen
• Welchen Wert nimmt eine Zufallsvariable im Mittel an?
(→ Erwartungswert“)
”
• Wie stark schwankt eine Zufallsvariable um ihren mittleren Wert?
(→ Varianz“, Standardabweichung“)
”
”
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Definition 2.19: diskrete & stetige Zufallsvariable
Kann eine Zufallsvariable X (ggf. innerhalb gewisser Grenzen) alle möglichen
reellen Zahlen als Werte annehmen, so heißt sie stetige Zufallsvariable.
Kann eine Zufallsvariable X dagegen nur endlich viele (bzw. abzählbar viele)
Werte annehmen, so heißt sie diskrete Zufallsvariable.
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Beispiel 2.20: ausgesuchte Zufallsvariablen
Zufallsvariable
Wertebereich
Typ
Augensumme beim zweimaligen Würfeln
{2, 3, 4, . . . , 12}
diskret
Funktionsdauer eines Prozessors
[0, ∞)
stetig
{0, 1, 2, 3, . . .}
diskret
(−∞, ∞)
stetig
in Tagen
Anzahl erfolglosen Lottotipps bis
zum ersten Hauptgewinn
zeitstetige Rendite einer Aktie
an einem Börsentag
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Bemerkung 2.21:
Funktionen von Zufallsvariablen sind wieder Zufallsvariablen.
Ist etwa beim zweimaligen Würfelwurf X1 die Augenzahl im ersten und X2 die
Augenzahl im zweiten Wurf, so sind auch
Z1 = min {X1, X2},
Z2 = max {X1, X2},
Z3 = X1 + X2
Zufallsvariablen.
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Definition 2.22: Wahrscheinlichkeitsfunktion
Es sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den möglichen Realisationen
x1, x2, . . . , xn. Dann heißt die Funktion f (·), die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit X einen Wert xi annimmt,
f (xi) = P (X = xi),
i = 1, . . . , n,
Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
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Beispiel 2.23: Augensumme X beim zweimaligen Würfeln
Realisation xi
P (X = xi)
Realisation xi
P (X = xi)
2
3
4
5
6
7
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
8
9
10
11
12
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
⇒
P
f (xi) = 1
i
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Beispiel 2.23: Augensumme X beim zweimaligen Würfeln (Fortsetzung)
P(X = xi)
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi
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Definition 2.24: Verteilungsfunktion
Für eine Zufallsvariable X heißt die Funktion F (·), die angibt, mit welcher
Wahrscheinlichkeit X einen Wert x nicht überschreitet,
F (x) = P (X ≤ x),
x ∈ R,
Verteilungsfunktion von X.
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Beispiel 2.25: Augensumme X beim zweimaligen Würfeln (Fortsetzung Bsp.
2.23)
x∈
(−∞, 2)
[2, 3)
[3, 4)
[4, 5)
[5, 6)
[6, 7)
0
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
x∈
[7, 8)
[8, 9)
[9, 10)
[10, 11)
[11, 12)
[12, ∞)
F (x)
21/36
26/36
30/36
33/36
35/36
1
F (x)
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Beispiel 2.25: Augensumme X beim zweimaligen Würfeln (Fortsetzung Bsp.
2.23)
1
P(X ≤ x)
5/6
2/3
1/2
1/3
1/6
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
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Bemerkung 2.26:
Für eine diskrete Zufallsvariable X gilt:
F (x) =
X
f (xi),
x ∈ R,
xi ≤x
vgl. Definition 1.4.
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Definition 2.27: Dichtefunktion
Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit möglichen Realisationen im Intervall
(a, b), wobei a = −∞ und/oder b = ∞ erlaubt ist. Ist die Verteilungsfunktion
F (·) von X differenzierbar, so heißt
f (x) = F ′(x),
x ∈ R,
Dichtefunktion (kurz Dichte) von X.
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f(x)
Interpretation einer Dichte
P (a < X ≤ b)
a
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b
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Beispiel 2.28: Verspätung der S1
Angenommen, alle Verspätungen der S1 an der Haltestelle Dortmund Univer”
sität“ zwischen 0 und 20 Minuten besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich eine S1 zwischen fünf
und zehn Minuten verspätet?
Dr. Karsten Webel
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Beispiel 2.28: Verspätung der S1 (Fortsetzung)
f(x)
0.05
0
−5
0
5
10
15
20
25
Verspätung x in Minuten
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Beispiel 2.28: Verspätung der S1 (Fortsetzung)
1
F(x)
0.75
0.5
0.25
0
−5
0
5
10
15
20
25
Verspätung x in Minuten
Dr. Karsten Webel
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Definition 2.30: Erwartungswert
Es sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den möglichen Realisationen x1, . . . , xn
und der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (xi) = P(X = xi). Dann heißt
E(X) =
n
X
xi · f (xi)
i=1
Erwartungswert von X.
Dr. Karsten Webel
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Definition 2.30: Erwartungswert (Fortsetzung)
Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f (·). Dann heißt
E(X) =
Z∞
x · f (x) dx
−∞
Erwartungswert von X.
Dr. Karsten Webel
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Bemerkung 2.32:
a) Ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Dichte einer Zufallsvariablen X
symmetrisch um x⋆, so gilt:
E (X) = x⋆.
b) Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X muss nicht unbedingt
eine mögliche Realisation xi von X sein.
c) Der Erwartungswert muss nicht notwendigerweise existieren, d. h. es ist
E (X) = ∞ möglich.
Dr. Karsten Webel
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