Einführung in die Logik für Informatiker

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Thomas Streicher
Peter Lietz
Alexander Rohr
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2001
25. Juni 2001
Einführung in die Logik für Informatiker
Neuntes Übungsblatt
Präsenzübungen
Skript Abschnitte II.2 bis II.4
(P 24) Interpretation prädikatenlogischer Formeln
Gegeben sei die prädikatenlogische Formel
A :≡ ∀ x. ∃ y. ∃ z. P (x, y) ∧ P (z, y) ∧ P (x, z) → P (z, x) .
In welchem der folgenden Modelle gilt A?
(a) Das Modell
M besteht aus der Menge DM aller natürlichen Zahlen und der Relation
M
P := (m, n) | m < n .
0
(b) Das Modell
M besteht ausder Menge DM0 aller natürlichen Zahlen und der Relation
M0
P
:= (m, 2m) | m ∈ DM0 .
(c) Das Modell
M00 besteht aus der Menge DM00 aller natürlichen Zahlen und der Relation
00
P M := (m, n) | m > n .
(P 25) Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise
(a) Untersuche die folgenden beiden Beweise daraufhin, ob sie Tertium non datur oder Reductio
ad absurdum verwenden. Sind sie in diesem Sinne also klassisch oder intuitionistisch?
√
√
Behauptung: 2 ist irrational, d. h. 2 ∈
/ Q.
√
√
Beweis: Wäre 2 ∈ Q, so gäbe es teilerfremde ganze Zahlen m und n mit 2 = m
. Wir
n
schließen
√
2
2= m
=⇒ 2 = m
=⇒ 2n2 = m2 =⇒ 2 teilt m2
n
n2
=⇒ 2 teilt m =⇒ 4 teilt m2 =⇒ 2 teilt n2
=⇒ 2 teilt n.
√
Also sind m und n nicht teilerfremd; ein Widerspruch. Daher gilt 2 ∈
/ Q.
Behauptung: ld 9, der Logarithmus von 9 zur Basis 2, ist irrational.
und n 6= 0. Wir
Beweis: Wäre ld 9 ∈ Q, so gäbe es ganze Zahlen m und n mit ld 9 = m
n
schließen
m
n
ld 9 =
=⇒ n ld 9 = m =⇒ ld(9n ) = m =⇒ 2ld(9 ) = 9n = 2m
n
Weil 9 und 2 teilerfremd sind, folgt n = m = 0 im Widerspruch zur n 6= 0. Daher gilt
ld 9 ∈
/ Q.
(b) Betrachte die folgenden zwei Beweise der Aussage:
Es gibt zwei irrationale Zahlen a und b, für die ab eine rationale Zahl ist.
√ √2
Beweis 1: Die Zahl 2 ist entweder rational oder irrational.
Falls sie rational ist, so wähle
√
√ √2
√
ich a = b = 2 bin fertig. Andernfalls setze ich a = 2 und b = 2. Dann gilt:
ab =
Beweis 2: Ich setze a =
√
√
2
2
√ 2
=
√
√ √
( 2· 2)
2
=
√
2
2 =2∈Q
√
2 und b = ld 9; beides sind irrationale Zahlen. Es gilt:
√ ld 9 √ ld(32 ) √ (2 ld 3) √ 2 ld 3
ab = 2 = 2
= 2
=
2
= 2ld 3 = 3 ∈ Q
Welcher der beiden Beweise ist konstruktiv (= intuitionistisch), welcher klassisch?
Welche Vor- und Nachteile haben die gezeigten Beweismethoden?
(P 26) Interpretationsfunktion für die Prädikatenlogik
Es sei M eine L-Struktur. Definiere durch Rekursion über den Aufbau prädikatenlogischer Formeln analog zu Definition I.3.6 (Interpretationsfunktion für aussagenlogische Formeln) eine Interpretationsfunktion für prädikatenlogische Formeln
J·KM : Fm(L) → BValM ,
welche zur Tarskischen Wahrheitsdefinition II.3.2 in dem Sinne äquivalent ist, daß gilt
JAKM v = tt genau dann, wenn
|=M,v A.
Hausübungen
Skript Abschnitte II.2 bis II.4
Abgabe in den Übungen am 2. Juli 2001
(H 28) Korrektheit des Natürlichen Schließens
Es sei L eine Sprache erster Stufe mit einem nullstelligen Prädikatensymbol L und einem einstelligen Prädikatensymbol P . Zeige, daß folgende prädikatenlogische Sequenz im klassischen Kalkül
des Natürlichen Schließen nicht herleitbar ist:
∀ x. P (x) → L ` ∀ x. P (x) → L
(H 29) Belegungen
Zeige durch Induktion über den Aufbau von Termen und Formeln folgendes Lemma, welches ein
hinreichendes Kriterium dafür liefert, wann eine Formel unter zwei unterschiedlichen Belegungen
gleich interpretiert wird.
Lemma 3.4 Sei L = (F, P, ar ) eine Sprache erster Stufe, M eine L–Struktur und
A ∈ Fm(L) eine Formel. Weiter seien v1 , v2 ∈ ValM Belegungen, so daß für jede in A
frei vorkommende Variable x gilt v1 (x) = v2 (x). Dann gilt |=M,v1 A genau dann, wenn
|=M,v2 A gilt.
Bitte wenden!
(H 30) Semantische Folgebeziehung
(a) Ist T eine Menge prädikatenlogischer Formeln einer Sprache L erster Stufe, so bezeichnen
wir mit Thm(T ) die Menge all der prädikatenlogischen Formeln, welche in allen Modellen
wahr sind, in denen alle Formeln aus T wahr sind. Wir nennen Thm(T ) die von T erzeugte
Theorie.
Man könnte nun vermuten, daß für jede prädikatenlogische Formel A der Sprache L die
Aussagen A ∈ Thm(T ) und T |= A äquivalent sind. Zeige, daß dies nicht der Fall ist, wenn
L wenigstens ein Prädikatensymbol P mit Stelligkeit ar(P ) ≥ 1 besitzt.
Hinweis: Wir nennen eine Formel geschlossen oder einen Satz, wenn sie keine freien Variablen
enthält. Betrachte den Fall, daß T Formeln enthält, die nicht geschlossen sind.
(b) Zeige unter Verwendung von Lemma 3.4, daß für jede Sprache erster Stufe, jede prädikatenlogische Formel A und jede Menge T von geschlossenen prädikatenlogischen Formeln genau
dann T |= A gilt, wenn A in Thm(T ) enthalten ist.
(H 31) Substitutionslemma
Zeige das folgende Lemma durch Induktion über den Aufbau von Termen und Formeln.
Lemma 3.5 (Substitutionslemma) Sei M eine L–Struktur, A ∈ Fm(L) eine Formeln, x ∈ Var
t ∈ Tm(L) ein Term und v ∈ ValM eine Belegung. Setzen
h eine Variable,
. i
M
wir v 0 := v JtK v x , so gilt
|=M,v A[t/x]
genau dann, wenn
|=M,v0 A.