und Mediensicherheit, WS 02/03 8. ¨Ubungsblatt für den 28.11.02 1.

Übungen Automatentheorie und Kryptologie 3
für Computer- und Mediensicherheit, WS 02/03
8. Übungsblatt für den 28.11.02
1. Untersuchen Sie mit dem Fermat-Test, ob 2701 eine Primzahl ist.
2. (+) Beweisen Sie, dass jede Fermatzahl eine Pseudoprimzahl1 zur
Basis 2 ist.
3. Finden Sie die kleinste Pseudoprimzahl zur Basis 5, die keine
Primzahl ist.
4. Untersuchen Sie mit dem Miller-Rabin-Test, ob 6601 eine Primzahl ist.
5. Untersuchen Sie mit dem Miller-Rabin-Test, ob die fünfte Fermat5
zahl 22 + 1 eine Primzahl ist.
6. Welche Zahlen sind Zeugen gegen die Primalität von 221?
7. Beim Miller-Rabin-Test für die Zahl n = 46334432701 wurden
bereits 6 Basen a probiert, ohne einen Zeugen gegen die Primalität
von n zu finden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich
dennoch um eine zusammengesetzte Zahl handelt?
8. Der Kehrwert von 3 modulo 2750 ist 917, der Kehrwert von 7
modulo 2750 ist 393. Ist 21 invertierbar modulo 2750? Wenn ja,
berechnen Sie den Kehrwert von 21 ohne erweiterten Euklid’schen
Algorithmus.
9. Es sei p = 67. Lässt sich jede Zahl k mit 1 ≤ k ≤ p − 1 modulo p
als Potenz von (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 7 schreiben?
PS.: Satz 2.43 gilt erst für x ≥ 17.
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Die Zahl n heisst Pseudoprimzahl zur Basis a, wenn n den Fermat-Test mit
Basis a besteht, wenn also an−1 = 1 mod n ist.
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