Kleiner Fermatscher Satz, Chinesischer Restsatz

Kleiner Fermatscher Satz,
Chinesischer Restsatz
Manfred Gruber
http://www.lrz-muenchen.de/~gruber
SS 2010, KW 24
M.Gruber, SS 2010
Diskrete Mathematik
Kleiner Fermatscher Satz
Satz 1. Sei
p prim und a 2 Z. Dann ist
p
a
1
p
mod
Beweis Betrachte die Abbildung
f
ist injektiv, denn aus
p=1
f : Zp ! Zp; x 7! a x.
a x = a y folgt
x = a 1 a x = a 1 a y = y:
Da Zp endlich ist, ist f auch surjektiv, also bijektiv. Daher ist
f1; 2; : : : ; p
1
g = fa 1; a 2; : : : ; a (p
1)
g;
(wobei hier nicht behauptet wird, dass die Reihenfolge der
Aufzählungen links und rechts die gleiche ist). Damit sind
auch die folgenden Produkte gleich:
1
(p
1) =
f (1)
f (p
1) =
(p
1),
Dividiert man durch
da.
1
ap 1 1
(p
1)
:
steht die Behauptung
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Diskrete Mathematik
Chinesischer Restsatz im Fall Z6
:
Beispiel 1. Sei
x 7! (
x;
Z6
! Z2 Z3 die Abbildung
x
1( )
2 ( )) = (
x mod 2; x mod 3) :
ist bijektiv (nachprüfen!) und es gilt
x y) = (
(x y ) = (
(
x 1 (x) 1( )
y;
1 (y );
1( )
x 2 (x) 2( )
y
2 (y ))
2 ( ))
(1)
(2)
Führt man in Z2 Z3 eine Addition und eine Multiplikation
ein, indem man komponentenweise mit den vorhandenen
Additionen und Multiplikationen rechnet, dann kann man (1)
und (2) als
(
x y) =
( )
x (y )
(3)
(
x y) =
( )
x (y )
(4)
schreiben.
Diese
Eigenschaften
machen
zu
einem
Ring-
Homomorhismus.
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Diskrete Mathematik
1
Die Umkehrabbildung
Homomorphismus.
Für a =
nämlich
x
( )
1
und
b
a b) =
(
=
ist ebenfalls ein Ring-
y
=
( )
aus Z2
Z3
gilt
x (y))
(x y ))
1
( ( )
1
(
xy
1
=
(a) =
1
b ;
( )
und
1
a b) =
(
=
x (y))
(x y ))
1
( ( )
1
(
x
y
1
=
(a) =
1
b :
( )
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Diskrete Mathematik
1
Wie berechnet man
Es genügt, u1
kennen, denn
1
x; y)
(
=
=
=
1
x; y)?
(
;
(1 0)
und
u2 =
x; 0) 1(0; y)
x 1(1; 0) y 1
1
;
(0 1)
zu
(
1
; :
(0 1)
muss gelten: u1 mod 2 = 1 und u1 mod
3 = 0, Für u2 muss gelten: u2 mod 2 = 0 und
u2 mod 3 = 1.
Für
u1
2
und 3 sind teilerfremd und erfüllen in Z die
Gleichung 1 3 + ( 1) 2 = 1.
In Z6 liest sich diese Gleichung als
3
4 = 1.
Der erste Summand hat die von u1 geforderten
Eigenschaften, der zweite Summand hat die von u2
geforderten Eigenschaften.
Also ist
u1 = 3 und u2 = 4.
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Diskrete Mathematik
Chinesischer Restsatz
Satz 2. [Chinesischer Restsatz] Sei m = m1 mr
N mit paarweise teilerfremden Zahlen mi > 1.
Dann ist
:
Zm
! Z Z ::: Z
m1
mr
m2
x 7! (x mod m1; x mod m2; : : : ; x mod m )
r
ein bijektiver Homomorphismus der Ringe.
Bemerkung 1. Ist m 2 N gegeben, so bietet
sich an, die Faktorisierung m = pk1 1 pkr r mit
paarweise disjunkten Primzahlen pi zur isomorphen
Darstellung von Zm im Sinne des Chinesischen
Restsatzes zu nutzen:
Zm
= Z k Z kr :
r
p1
1
p
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Diskrete Mathematik
Bemerkung 2. Bezeichnet ei das Element in
Zm1 Zm2 : : : Zmr , das an der i-ten Stelle
eine 1 und an den übrigen Stellen eine 0 hat, so
kann man die für die Konstruktion der Umkehrab1
1
bildung
wichtigen Größen
(ei ) 2 Zm der
(vom erweiterten euklidischen Algorithmus gelieferten) Gleichung
a
Y
6
k =i
m
k
+
bm
i
=1
entnehmen:
0
Y
1
(ei ) = @a
6
k =i
1
mkA mod
m:
6
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Diskrete Mathematik
Literatur
[CM] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth and Oren Patashnik, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer
Science. Addison-Wesley, 1989; second edition, 1994.
http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/
gkp.html
[AZ] Otto Forster, Algorithmische Zahlentheorie, ViewegVerlag, 1996.
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/
~forster/books/azth/algzth.html
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