H14-T1-A5 - math.uni

H14-T1-A5
Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl, die bei Division durch n den Rest n − 1 hat,
für alle n ∈ {2, 3, 4, 5, 5, 6}.
Lösungsvorschlag. Wir wollen also das System von Kongruenzen
x=n−1
n ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7}
mod n,
lösen. Dieses können wir offenbar auch schreiben als
x = −1
n ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
mod n,
Um den chinesischen Restsatz verwenden zu können reduzieren wir die Gleichungen auf
geeignete Weise – dazu beobachten wir: Nach dem chinesischen Restsatz ist x = −1
mod 4 ∧ x = −1 mod 3 genau dann, wenn x = −1 mod 12 ist. In diesem Fall ist
aber insbesondere auch x = −1 mod 6 und x = −1 mod 2. Insofern können wir die
Kongruenzen modulo 2 und 6 ohne Bedenken streichen, und es genügt, das System
x = −1
mod n,
n ∈ {3, 4, 5, 7}
zu lösen. Da die einzelnen Moduli nun paarweise teilerfremd sind erhalten wir nach
dem chinesischen Restsatz (mit 3 · 4 · 5 · 7 = 420) ein eindeutiges x ∈ Z/420Z, das die
obigen Gleichungen erfüllt. Aufgrund der Eindeutigkeit ist die kleinste natürliche Zahl
mit derselben Eigenschaft also 419 (= −1 mod 420).
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