Primzahl â Wikipedia

Primzahl – Wikipedia
20.06.2014
Primzahl
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.[1] Eine
Primzahl ist also eine natürliche Zahl größer als eins, die nur durch sich selbst und durch 1
ganzzahlig teilbar ist. Die kleinsten Primzahlen sind:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 …[2]
Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie
zusammengesetzt. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt.
Das Wort „Primzahl“ kommt aus dem Lateinischen (numerus primus) und bedeutet „die erste
Zahl“. Die Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf drei
Folgerungen aus dieser Definition:
Die Zahl 12 ist keine Primzahl.
Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben.
Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Zum Beweis dient das
Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist mindestens einer der Faktoren
durch sie teilbar.
Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen.
Diese Eigenschaften werden in der Algebra für Verallgemeinerungen des Primzahlbegriffs genutzt.
Bereits die antiken Griechen interessierten sich für die Primzahlen und entdeckten einige ihrer Eigenschaften. Obwohl sie über die
Jahrhunderte stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind bis heute viele die Primzahlen betreffende Fragen ungeklärt,
darunter solche, die mehr als hundert Jahre alt und leicht verständlich formulierbar sind. Dazu gehören die Goldbachsche Vermutung,
wonach außer 2 jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, und die Vermutung, dass es unendlich viele
Primzahlzwillinge gibt (das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist).
Über 2000 Jahre lang konnte man keinen praktischen Nutzen aus dem Wissen über die Primzahlen ziehen. Dies änderte sich erst mit
dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen, bei denen die Primzahlen beispielsweise in der Kryptographie eine zentrale Rolle
spielen.
Inhaltsverzeichnis
1 Primfaktorzerlegung
2 Eigenschaften von Primzahlen
2.1 Der kleine Satz von Fermat
2.2 Euler und das Legendre-Symbol
2.3 Binomialkoeffizient
2.4 Giuga
2.5 Lineare Rekursionen
2.6 Divergenz der Summe der Kehrwerte
3 Primzahltests
4 Größte bekannte Primzahl
5 Liste der Rekordprimzahlen nach Jahren
6 Verteilung und Wachstum
6.1 Pi-Funktion und Primzahlsatz
6.2 Schranken
6.3 Primzahllücken
7 Generierung von Primzahlen
8 Spezielle Primzahlen und Primzahlkonstellationen
9 Verallgemeinerung
10 Primzahlen in Natur und Technik
11 Siehe auch
12 Einzelnachweise
13 Literatur
14 Weblinks
Primfaktorzerlegung
→ Hauptartikel: Primfaktorzerlegung
Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und diese
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Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Primzahlen eindeutig. Diese Primzahlen nennt man die Primfaktoren der Zahl. Man kennt
bisher keine Methode, um die Primfaktorzerlegung einer beliebigen gegebenen Zahl effizient zu bestimmen, d. h. in einer Zeit, die
polynomiell mit der Länge der Zahl wächst. Die Faktorisierungsannahme besagt, dass es eine solche Methode auch nicht gibt. Man
versucht, die Zeit mit geeigneten Faktorisierungsverfahren zu minimieren.
Aufgrund dieses Satzes, also dass sich jede natürliche Zahl größer 0 durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen lässt,
nehmen die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik ein. Alexander K. Dewdney bezeichnete diese als den
Elementen der Chemie weitgehend ähnlich.
Eigenschaften von Primzahlen
Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen ungerade, denn alle größeren geraden Zahlen lassen sich außer durch sich selbst und 1
auch noch (mindestens) durch 2 teilen. Damit hat jede Primzahl außer 2 die Form
mit einer natürlichen Zahl .
Jede Primzahl
lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form
“ oder „Primzahl der Form
“ zuordnen,
wobei eine natürliche Zahl ist. Darüber hinaus hat jede Primzahl
die Form
oder
, wobei eine
natürliche Zahl ist. Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es in jeder dieser vier Klassen unendlich viele Primzahlen.
Jede natürliche Zahl der Form
mit einer nichtnegativen ganzen Zahl enthält mindestens einen Primfaktor der Form
Eine entsprechende Aussage über Zahlen der Form
oder Primfaktoren der Form
ist nicht möglich.
.
Eine Primzahl
lässt sich genau dann in der Form
mit ganzen Zahlen
schreiben, wenn die Form
hat. In
diesem Fall ist die Darstellung im Wesentlichen eindeutig, d.h. bis auf Reihenfolge und Vorzeichen von
. Diese Darstellung
entspricht der Primfaktorzerlegung
im Ring der ganzen gaußschen Zahlen.
Die Zahl −1 ist ein quadratischer Rest modulo jeder Primzahl der Form
Form
.
und quadratischer Nichtrest modulo jeder Primzahl der
Der kleine Satz von Fermat
Es sei
eine Primzahl. Für jede ganze Zahl , die nicht durch
Für nicht durch
teilbar ist, gilt (für die Notation siehe Kongruenz):
teilbare Zahlen ist die folgende Formulierung äquivalent:
Es gibt Zahlen, die keine Primzahlen sind, sich aber dennoch zu einer Basis wie Primzahlen verhalten und somit den kleinen Satz von
Fermat erfüllen. Solche zusammengesetzten Zahlen nennt man fermatsche Pseudoprimzahlen zur Basis . Eine fermatsche
Pseudoprimzahl n, die pseudoprim bezüglich aller zu ihr teilerfremden Basen ist, nennt man Carmichael-Zahl.
In diesem Zusammenhang zeigt sich die Problematik fermatscher Pseudoprimzahlen: sie werden von einem Primzahltest, der den
kleinen Satz von Fermat nutzt (Fermatscher Primzahltest), fälschlicherweise für Primzahlen gehalten. Wenn allerdings ein
Verschlüsselungsverfahren wie RSA eine zusammengesetzte Zahl statt einer Primzahl verwendet, ist die Verschlüsselung nicht mehr
sicher. Deshalb müssen bei solchen Verfahren bessere Primzahltests verwendet werden.
Euler und das Legendre-Symbol
Eine einfache Folge aus dem kleinen Satz von Fermat ist die folgende Aussage: Für jede ungerade Primzahl
die nicht durch teilbar ist, gilt entweder
und jede ganze Zahl ,
oder
Man kann zeigen, dass der erste Fall genau dann eintritt, wenn es eine Quadratzahl
Legendre-Symbol.
gibt, die kongruent zu modulo
ist, siehe
Binomialkoeffizient
Für Primzahlen
und
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gilt
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zusammen mit dem binomischen Satz folgt daraus
Für ganze Zahlen
folgt diese Aussage auch direkt aus dem kleinen fermatschen Satz, aber sie ist beispielsweise auch für
Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten anwendbar; im allgemeinen Kontext entspricht sie der Tatsache, dass die Abbildung
in Ringen der Charakteristik ein Homomorphismus ist, der so genannte Frobenius-Homomorphismus.
Aus dem Satz von Wilson (p ist genau dann eine Primzahl, wenn
jede natürliche Zahl n die Kongruenz
ist) folgt, dass für jede Primzahl p und
erfüllt ist.
Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p > 2 diese Kongruenz gilt:
Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829–1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p > 3 die folgende Kongruenz gilt:
Giuga
Aus dem kleinen Satz von Fermat folgt, dass für eine Primzahl p gilt:
Beispiel
:
Giuseppe Giuga vermutete, dass auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt, dass also eine Zahl mit dieser Eigenschaft stets prim ist. Es
ist nicht geklärt, ob diese Vermutung richtig ist. Bekannt ist aber, dass ein Gegenbeispiel mehr als 10.000 Dezimalstellen haben
müsste. Im Zusammenhang mit Giugas Vermutung werden die Giuga-Zahlen untersucht.
Lineare Rekursionen
Den kleinen fermatschen Satz kann man auch in der Form lesen: In der Folge
ist das -te Folgenglied für eine Primzahl stets
durch teilbar. Ähnliche Eigenschaften besitzen auch andere Folgen von exponentiellem Charakter, wie die Lucas-Folge (
)
und die Perrin-Folge (
). Für andere lineare Rekursionen gelten analoge, aber kompliziertere Aussagen, beispielsweise für die
Fibonacci-Folge
: Ist
eine Primzahl, so ist
durch
teilbar; dabei ist
das Legendre-Symbol.
Divergenz der Summe der Kehrwerte
Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent. Somit gilt:
.
Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Folge
keinen endlichen Grenzwert besitzt, was wiederum
bedeutet, dass sich für ein genügend groß gewähltes n jede erdenkliche reelle Zahl übertreffen lässt. Dies ist zunächst einmal
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verblüffend, da die Primzahllücken im Schnitt immer weiter zunehmen. Der Satz von Mertens trifft eine Aussage über das genaue
Wachstumsverhalten dieser divergenten Reihe.
Primzahltests
→ Hauptartikel: Primzahltest
Ob eine Zahl eine Primzahl ist, kann man mit einem Primzahltest entscheiden. Es gibt mehrere solcher Verfahren, deren Grundlagen
meist besondere Eigenschaften von Primzahlen sind. In der Praxis wird der Miller-Rabin-Test am häufigsten verwendet, der eine extrem
kurze Laufzeit hat, allerdings mit kleiner Wahrscheinlichkeit falsch-positive Ergebnisse liefert. Mit dem AKS-Primzahltest ist es möglich,
Zahlen in polynomialer Laufzeit zu testen. Allerdings ist er in der Praxis deutlich langsamer als der Miller-Rabin-Test.
Größte bekannte Primzahl
Der Grieche Euklid hat im vierten Jahrhundert vor Christus logisch geschlussfolgert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt; diese
Aussage wird als Satz von Euklid bezeichnet. Euklid führte einen Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses Satzes (Elemente,
Buch IX, § 20): Ausgehend von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, lässt sich eine weitere Zahl konstruieren, die
eine bisher nicht bekannte Primzahl als Teiler hat, oder selbst eine Primzahl ist, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt. Somit
kann eine endliche Menge niemals alle Primzahlen enthalten, also gibt es unendlich viele. Heute kennt man eine ganze Reihe von
Beweisen für den Satz von Euklid.[3]
Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Es ist jedoch kein Verfahren bekannt, das effizient beliebig große
Primzahlen generiert – deshalb gab es stets eine jeweils größte bekannte Primzahl, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen
befassen. Derzeit ist es
eine Zahl mit 17.425.170 (dezimalen) Stellen, die am 25. Januar 2013 mit einem CPU-Cluster
der mathematischen Fakultät an der University of Central Missouri berechnet wurde. Für den Entdecker Dr. Curtis Cooper gab es für
den Fund 3.000 US-Dollar vom Projekt Great Internet Mersenne Prime Search, das Mersenne-Primzahlen mittels verteiltem Rechnen
sucht.[4]
Die größte bekannte Primzahl war fast immer eine Mersenne-Primzahl, also von der Form
da in diesem Spezialfall der LucasLehmer-Test angewendet werden kann, ein im Vergleich zur allgemeinen Situation sehr schneller Primzahltest. Bei der Suche nach
großen Primzahlen werden deshalb nur Zahlen dieses oder eines ähnlich geeigneten Typs auf Primalität untersucht.
Liste der Rekordprimzahlen nach Jahren
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Anzahl der
Jahr
Dezimalziffern
Zahl
Entdecker (genutzter Computer)
217−1
6 1588
Cataldi
219−1
6 1588
Cataldi
231−1
10 1772
Euler
(259−1)/179951
13 1867
Landry
2127−1
39 1876
Lucas
(2148+1)/17
44 1951
Ferrier
180·(2127−1)2+1
79 1951
Miller & Wheeler (EDSAC1)
2521−1
157 1952
Robinson (SWAC)
2607−1
183 1952
Robinson (SWAC)
21.279−1
386 1952
Robinson (SWAC)
22.203−1
664 1952
Robinson (SWAC)
22.281−1
687 1952
Robinson (SWAC)
23.217−1
969 1957
Riesel (BESK)
24.423−1
1.332 1961
Hurwitz (IBM7090)
29.689−1
2.917 1963
Gillies (ILLIAC 2)
29.941−1
2.993 1963
Gillies (ILLIAC 2)
211.213−1
3.376 1963
Gillies (ILLIAC 2)
219.937−1
6.002 1971
Tuckerman (IBM360/91)
221.701−1
6.533 1978
Noll & Nickel (CDC Cyber 174)
223.209−1
6.987 1979
Noll (CDC Cyber 174)
244.497−1
13.395 1979
Nelson & Slowinski (Cray 1)
286.243−1
25.962 1982
Slowinski (Cray 1)
2132.049−1
39.751 1983
Slowinski (Cray X-MP)
2216.091−1
65.050 1985
Slowinski (Cray X-MP/24)
391581·2216.193−1
65.087 1989
„Amdahler Sechs“ (Amdahl 1200)
2756.839−1
227.832 1992
Slowinski & Gage (Cray 2)
2859.433−1
258.716 1994
Slowinski & Gage (Cray C90)
21.257.787−1
378.632 1996
Slowinski & Gage (Cray T94)
21.398.269−1
420.921 1996
Armengaud, Woltman (GIMPS, Pentium 90 MHz)
22.976.221−1
895.932 1997
Spence, Woltman (GIMPS, Pentium 100 MHz)
23.021.377−1
909.526 1998
Clarkson, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 200 MHz)
26.972.593−1
2.098.960 1999
Hajratwala, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 350 MHz)
213466917−1
4.053.946 2001
Cameron, Woltman, Kurowski (GIMPS, Athlon 800 MHz)
220.996.011−1
6.320.430 2003
Shafer (GIMPS, Pentium 4 2 GHz)
224.036.583−1
7.235.733 2004
Findley (GIMPS, Pentium 4 2,4 GHz)
225.964.951−1
7.816.230 2005
Nowak (GIMPS, Pentium 4 2,4 GHz)
230.402.457−1
9.152.052 2005
Cooper, Boone (GIMPS, Pentium 4 3 GHz)
232.582.657−1
9.808.358 2006
Cooper, Boone (GIMPS, Pentium 4 3 GHz)
243.112.609−1
12.978.189 2008 Smith, Woltman, Kurowski et al. (GIMPS, Core 2 Duo 2,4 GHz)
257.885.161−1
17.425.170 2013
Cooper, Woltman, Kurowski et al. (GIMPS)
Verteilung und Wachstum
Pi-Funktion und Primzahlsatz
→ Hauptartikel: Primzahlsatz
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl
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Zur Untersuchung der Verteilung der Primzahlen betrachtet man unter anderem die Funktion
,
die die Anzahl der Primzahlen
Beispiel ist
angibt und auch Primzahlzählfunktion genannt wird. Zum
.
Diese Funktion und ihr Wachstumsverhalten ist ein beliebter Forschungsgegenstand in der
Zahlentheorie. Mit der Zeit wurden einige Näherungsformeln entwickelt und verbessert.
Der Primzahlsatz besagt, dass
gilt, das heißt dass der Quotient von linker und rechter Seite für
In der Grafik wird die π-Funktion
in blau dargestellt. Die Funktion n
/ ln (n) in grün und das
Integrallogarithmus Li(n) in rot
sind Approximationen der πFunktion.
gegen 1 strebt:
(siehe Asymptotische Analyse)
Der dirichletsche Primzahlsatz dagegen schränkt die Betrachtung auf Restklassen ein: Es sei
Zahl, die zu nicht teilerfremd ist, so kann die arithmetische Folge
eine natürliche Zahl. Ist eine ganze
höchstens eine Primzahl enthalten, weil alle Folgenglieder durch den größten gemeinsamen Teiler von und teilbar sind. Ist aber
teilerfremd zu , so besagt der dirichletsche Primzahlsatz, dass die Folge unendlich viele Primzahlen enthält. Beispielsweise gibt es
unendlich viele Primzahlen der Form
und unendlich viele der Form
( durchläuft jeweils die nichtnegativen natürlichen
Zahlen).
Diese Aussage kann noch in der folgenden Form präzisiert werden: Es gilt
dabei ist
die eulersche φ-Funktion. In diesem Sinne liegen also für ein festes
jeweils „gleich viele“ Primzahlen.
in den Restklassen
mit
Siehe auch: Ulam-Spirale
Schranken
Nach der (unbewiesenen) Legendreschen Vermutung gibt es stets mindestens eine Primzahl zwischen
und
.
Die (bewiesene) Bonsesche Ungleichung garantiert, dass das Quadrat einer Primzahl kleiner ist als das Produkt aller kleineren
Primzahlen (ab der fünften Primzahl).
Nach der (unbewiesenen) Andricaschen Vermutung ist die Differenz der Wurzeln der -ten und der
-ten Primzahl kleiner als 1.
Primzahllücken
→ Hauptartikel: Primzahllücke
Die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen heißt Primzahllücke. Diese Differenz schwankt, und obwohl es unendlich viele
Primzahlen gibt, lassen sich Primzahllücken beliebiger Mindestgröße finden.
Generierung von Primzahlen
→ Hauptartikel: Primzahlgenerator
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl
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Einer der ältesten Algorithmen zur Bestimmung von Primzahlen ist das Sieb des Eratosthenes. Bis
heute ist kein effizienter Primzahlgenerator bekannt. Es gibt allerdings Formeln, bei denen eine
gewisse Wahrscheinlichkeit besteht, dass die erzeugten Zahlen prim sind. Solche Zahlen müssen
nachträglich noch auf ihre Primalität getestet werden.
Spezielle Primzahlen und Primzahlkonstellationen
Primzahlzwillinge
Primzahldrillinge
Primzahlvierlinge
Primzahlsechslinge
Veranschaulichung des
Algorithmus Sieb des
Eratosthenes
Cullen- und Woodall-Zahlen
Cunningham-Ketten
Elitäre Primzahlen
Fastprimzahlen
glückliche Primzahlen
Gute Primzahlen
Mersenne-Primzahlen
Pierpont-Primzahlen
Prothsche Primzahlen
Schwache Primzahlen
Sophie-Germain-Primzahlen
Streng nicht-palindromische Zahlen
Wall-Sun-Sun-Primzahlen
Weitere spezielle Arten von Primzahlen finden sich in der Kategorie:Primzahl.
Verallgemeinerung
In der Ringtheorie wird das Konzept der Primzahl auf die Elemente eines beliebigen kommutativen unitären Rings verallgemeinert. Die
entsprechenden Begriffe sind Primelement und irreduzibles Element.
Die Primzahlen und deren Negative sind dann genau die Primelemente und auch genau die irreduziblen Elemente des Rings der
ganzen Zahlen. In faktoriellen Ringen, das sind Ringe mit eindeutiger Primfaktorisierung, fallen die Begriffe Primelement und
irreduzibles Element zusammen; im Allgemeinen ist die Menge der Primelemente jedoch nur eine Teilmenge der Menge der
irreduziblen Elemente.
Insbesondere im zahlentheoretisch bedeutsamen Fall der Dedekindringe übernehmen Primideale die Rolle der Primzahlen.
Primzahlen in Natur und Technik
In Nordamerika weisen manche Zikadenarten einen besonders langen Fortpflanzungsrhythmus von genau 13 oder 17 Jahren auf, mit
dem sie den 2-, 4- und 6-jährigen Entwicklungsrhythmen ihrer Fressfeinde ausweichen.
Schnelldrehende Maschinenteile mit einer Anzahl von Flügeln werden nicht nur durch die Fliehkraft, sondern auch durch
Querschwingungen der Flügel stark belastet. Ist die Anzahl der Flügel eine Primzahl, können sich solche Querschwingungen mangels
Symmetrie kaum über den ganzen Drehkörper ausdehnen. Vor dem Hauptwerk der Andritz AG ist das Laufrad einer 23-flügeligen
Pelton-Turbine aufgestellt.
Siehe auch
Gilbreaths Vermutung
Permutierbare Primzahl
Einzelnachweise
1. Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer, 1996, ISBN 3-540-58791-8, S. 18, eingeschränkte
Vorschau (http://books.google.de/books?id=DlgTIfMLdqMC&pg=PA18&dq=Definition+Primzahl#v=onepage) in der GoogleBuchsuche.
2. (Folge A000040 in OEIS)
3. Für Beweise des Satzes von Euklid siehe Beweisarchiv.
4. GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number, 257665161-1 (http://www.mersenne.org/various/57885161.htm) bei
mersenne.org, abgerufen am 6. Februar 2013.
Literatur
Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl
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Primzahl – Wikipedia
20.06.2014
Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. Beck, München 2004,
ISBN 3-406-52320-X.
Władysław Narkiewicz: The Development of Prime Number Theory. From Euclid to Hardy and Littlewood. Springer, Berlin 2000,
ISBN 3-540-66289-8.
Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer, New York 1996, ISBN 0-387-94457-5.
Weblinks
Wiktionary: Primzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikibooks: Fundamentalsatz der Arithmetik – Lern- und Lehrmaterialien
Wikibooks: Primzahlen von 2 bis 100.000 – Lern- und Lehrmaterialien
Commons: Prime numbers (http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Prime_numbers?uselang=de) – Sammlung von
Bildern, Videos und Audiodateien
The Prime Pages (http://www.utm.edu/research/primes/) (englisch)
Die Primzahlenseite (http://www.primzahlen.de/)
Große Liste an Primzahlen (http://welt-der-primzahlen.appspot.com/)
Normdaten (Sachbegriff): GND: 4047263-2
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