Das Delische Problem - Heldermann

Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Delisches Problem.tex 24. November 2007
Das Delische Problem
Mit Zirkel und Lineal lassen sich, sofern nur die Zahl 1 vorgegeben ist, konstruieren
1. alle naturlichen Zahlen n (trivial),
2. alle inversen Zahlen m1 , m ∈ N , (Strahlensatz),
3. jedes Produkt aus einer naturlichen Zahl n und einer inversen Zahl m1 , m ∈ N , und somit
alle rationalen Zahlen mn (trivial),
4. beliebige Summen und Produkte aus rationalen Zahlen mn (unmittelbare Folgerung aus den
voranstehenden Punkten).
Nicht ganz trivial ist der
SATZ:
Zu jeder naturlichen Zahl n lat sich die Wurzel
konstruieren.
√
n
mit Zirkel und Lineal
BEWEIS:
Fur n = 1 ist die Behauptung trivial. Fur n ≥ 2 bedienen wir uns der Induktion
nach n . Unsere Induktionshypothese lautet:
Ist n ≥ 2 und sind alle Zahlen k mit 1 ≤ k < n mit Zirkel und Lineal
konstruierbar, so gilt dies auch fur n .
Die Induktionsbasis ist jeden falls gesichert, denn fur n = 2 ist die Hypothese erfullt, weil sich ein
rechtwinkliges Dreieck R mit den Katheten a√= b = 1 konstruieren lat. Seine Hypotenuse c
hat nach dem Satz des Pythagoras die Lange 2 .
Wir nehmen nun an, da die Hypothese fur ein festes n ≥ 2 und alle m ≤ n bewiesen sei, und
schreiben n + 1 als Summe k1 + k2 zweier naturlichen Zahlen k1 und k2 , die beide kleiner√als
n+1 √
sind. Zu den Zahlen k1 und k2 sind jetzt nach Induktionsvoraussetzung die Wurzeln k1
und √ k2 konstruierbar.
Folglich konnen wir ein rechtwinkliges Dreieck R mit den Katheten
√
a = k1 und b = k2 konstruieren. Dessen Hypotenuse hat die Lange
q p
k1
2
+
p
k2
2
p
k1 + k2 =
=
√
n + 1.
Das Delische Problem besteht darin, das Volumen eines Wurfels der Kantenlange 1 zu verdoppeln,
also die Zahl
√
3
2
√
zu konstruieren. Der bei der Konstruktion entstehende Endausdruck ω fur 3 2 sei so geschrieben, da er eine minimale Anzahl verschiedener quadratischer Einzelwurzeln enthalt. √Das
bedeutet, da Radikanden √die quadratische Faktoren enthalten, von diesen zu befreien sind ( 20
etwa mu in der Form 2 5 geschrieben werden). Wir benotigen auerdem den Begri der
‰Ordnung einer Wurzel: Die folgenden drei Beispiele sind quadratische Wurzeln erster, zweiter
bzw. dritter Ordnung:
s
√
a,
q
b+
√
c,
b+
r
√
a
√ + a
c
(1)
Quadratische nichtnegative Wurzeln
wachsender Ordnung entstehen im Verlaufe einer Konstruk√
tion mit Zirkel und Lineal.
α sei eine Einzelwurzel der h
ochsten in ω vorkommenden
Ordnung, dann gilt
√
ω =
R( α )
√ ,
Q( α )
1 (2)
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worin R und Q rationale Ausdrucke sind. Eine solche Form heit Normalform. Oenbar hat
die Normalform die Gestalt
√
A1 + B1 α
√ ,
ω =
(3)
A2 + B2
und daraus ergibt sich
ω =
(A1 + B1
α
√
α )(A2 − B2
2
A2 − B22 α
Also ist
ω = C +D
√
√
α)
.
(4)
α.
(5)
Hierin
sind C und D Wurzelausdrucke, in denen selbst√noch weitere Wurzeln derselben Ordnung
√
wie α vorkommen konnen. Wir nehmen jetzt an, 3 2 sei konstruierbar, dann ware
√
3
worin
nun
√
α
2 = C +D
eine Wurzel der hochsten in ω =
√
3
2
√
α,
(6)
vorkommenden Ordnung ist. Wir erhalten
√
√
2 = C 3 + 3 C 2 D α + 3 CD2 α + D3 α α ,
√
2 − C 3 − 3 CD2 α = α (3 C 2 D + D3 α) ,
√
2 − C 3 − 3 CD2 α
α =
.
3 C 2 D + D3 α
(7)
Der Nenner in der letzten Gleichung ist 6= 0 , denn ware er Null, so hatte man D2 α = −3 C 2 , also
0 ≤ α = −3 C 2 /D2 < 0 , was einen Widerspruch darstellt. Setzt man nun den in (7) erhaltenen
√
Ausdruck
fur α in (6) ein, enthalt der bei der Konstruktion entstehende Endausdruck fur
√
3
2 eine um 1 verringerte Anzahl verschiedener Einzelwurzeln im Widerspruch zu der eingangs
erhobenen Forderung, da diese Anzahl minimal sein sollte. Damit ist vollig elementar bewiesen,
da das Delische Problem unlosbar ist.
Obzwar des
Delische Problem nicht mit Zirkel und Lineal losbar ist, gibt es andere Moglichkeiten
√
3
die Zahl 2 geometrisch zu erlangen. So existieren z. B. Parabelzirkel, mit den man die beiden
Parabeln y = x2 und y2 = 2x zeichnen kann. Diese schneiden sich in einem Punkt S ,
2
1.5
S
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
√
den man ganz einfach aus der Gleichung x2 = 2x erhalt: x =
2 √
3
2.
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Wesentlich interessanter ist die Verdoppelung des Wurfels mit Hilfe der Zissoide, die der griechische Geometer Diokles um 150 v. u. Z. eigens zum Zweck der Losung des delischen Problems
erfand. Man betrachte die folgende Zeichnung.
x-Achse
N
H
Z
a
Asymptote
G
T
Sie zeigt eine waagerechte Zissoide, deren Asymptote parallel im Abstand a von der x -Achse
verlauft. Ihre Koordinatengleichung lautet
x2 = −
y3
.
a+y
(8)
Wenn man den Punkt H im Abstand 2a vom Nullpunkt N abtragt und den Punkt G mit
H verbindet, so schneidet die Strecke GH die Zissoide im Punkt Z . Die durch G und H
bestimmte Gerade hat die Steigung a2 . Weil sie durch den Punkt y = −a verlauft, ist y = a2 x−a
ihre Gleichung, die, wenn wir zur Vereinfachung noch a = 1 annehmen, in y = 12 x−1 ubergeht.
Um die Koordinaten des Punktes Z zu ermitteln mu daher die Geradengleichung
x = 2(y + 1)
(9)
zum Schnitt mit der Zissoide (8) verwendet werden, wobei in (8) noch a durch 1 zu ersetzen
ist. Wir haben also die Gleichung
4(y + 1)2 = −
oder
y3
1+y
(10)
y3
(1 + y)3
4 = −
(11)
nach y aufzulosen. Weil wir uns hier nur im Reellen bewegen, konnen wir die komplexen
Losungen ignorieren und
√
y
3
= − 4
(1 + y)
schreiben, woraus
√
3
y = −
1+
4
√
3
(12)
(13)
4
folgt. Dies in (9) eingesetzt fuhrt auf
√
3
x = 2 1−
1+
4
√
3
!
4
=
2
√ .
1+ 3 4
Folglich sind
Zx
2
√
=
1+ 3 4
und
3 √
3
Zy = −
1+
(14)
4
√
3
4
(15)
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die kartesischen Koordinaten des Punktes Z . Damit konnen wir den Punkt T berechnen. Er
ist der Schnittpunkt der durch die Punkte N und Z bestimmten Geraden mit der Asymptote.
Sie hat die Gleichung
√
3
y = −
|Zy |
Zx
x = −
4
1
x = −√
x.
3
2
2
(16)
Infolgedessen gilt fur den Punkt y = −a = −1
x = −
√
3
2(−a) = −
√
3
2(−1) =
√
3
2.
(17)
Das aber√heit nichts anderes, als da die mit Hilfe der Zissoide konstruierte Strecke GT die
Lange 3 2 hat. Es bleibt anzumerken, da schon die Antike Zissoidenzirkel kannte.
4