Temperaturabhängigkeit magnetischer Anisotropien in ultradünnen
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Temperaturabhängigkeit
magnetischer Anisotropien
in ultradünnen Filmen
Vom Fachbereich Physik-Technologie der
Gerhard-Mercator-Universität – Gesamthochschule Duisburg
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
genehmigte Dissertation
von
Alfred Hucht
aus Duisburg
Referent: Prof. Dr. Klaus D. Usadel
Korreferent: Prof. Dr. Peter Entel
Tag der mündlichen Prüfung: 16. August 1999
Zusammenfassung
Der Magnetismus in einem wenige Atomlagen dünnen ferromagnetischen Film
wird wesentlich von Anisotropien beeinflußt. Zum einen können sie die langreichweitige Ordnung in diesen Systemen stabilisieren, zum anderen haben sie starken Einfluß auf die Ausrichtung der Magnetisierung. Die wesentlichen Ursachen
von Anisotropien in diesen Systemen sind die Spin-Bahn-Kopplung der Elektronen sowie die langreichweitige magnetische Dipolwechselwirkung. Während die
Dipolwechselwirkung immer eine Orientierung der Magnetisierung in der Filmebene bevorzugt, kann die Magnetisierung aufgrund der Spin-Bahn-Kopplung an der
Filmoberfläche und im Innern des Films verschiedene Vorzugsrichtungen haben.
Hierdurch kann es zu einer Konkurrenz der Anisotropien kommen, die zu einem
Spinreorientierungsübergang der Magnetisierung bei variierender Filmdicke führt.
Dieser Übergang kann verschiedene Ordnungen haben, d. h. er kann sowohl kontinuierlich als auch diskontinuierlich erfolgen. Im Experiment wird auch ein Übergang bei variierender Temperatur gesehen, der bisher nur wenig verstanden war
und in dieser Arbeit mit verschiedenen theoretischen Methoden im Rahmen eines
klassischen H EISENBERGmodells untersucht wird.
Im Grundzustand kann das System analytisch behandelt werden. Es werden
Kriterien für den Spinreorientierungsübergang sowie für dessen Ordnung aufgestellt. Außerdem wird untersucht, ob die langreichweitige Dipolwechselwirkung
im Grundzustand zu Domänen führt. Diese Untersuchungen werden mit Hilfe der
Molekularfeldtheorie auf endliche Temperaturen ausgedehnt und die gewonnenen
Resultate mit Monte Carlo-Simulationen überprüft. Es zeigt sich, daß der temperaturgetriebene Übergang in der Monolage entgegen anderen Arbeiten auch in der
Simulation diskontinuierlich ist, während in der Bilage auch ein kontinuierlicher
Übergang gefunden wird. Somit stimmen Molekularfeldtheorie und Monte Carlo-Simulationen qualitativ überein. In der Bilage wird exemplarisch für dickere
Filme der Einfluß von äußeren Magnetfeldern untersucht, weiterhin werden die
in der phänomenologischen L ANDAUtheorie eingeführten effektiven Anisotropien Kn ( T ) numerisch aus dem mikroskopischen Modell berechnet. Mit Hilfe einer
Störungstheorie werden analytische Ausdrücke für die Abhängigkeit der Größen
Kn ( T ) von den Parametern des Modells hergeleitet, die zu einem tieferen Verständnis des Spinreorientierungsübergangs führen. Hiernach resultiert dieser aus dem
unterschiedlichen Temperaturverhalten der dipolaren und Spin-Bahn-Anteile der
Größen Kn ( T ), wobei hinzukommt, daß die Magnetisierung an der Filmoberfläche
schneller mit der Temperatur abfällt und deshalb der Einfluß der Oberflächenanisotropie mit wachsender Temperatur kleiner wird. Dies hat eine ähnliche Wirkung
wie eine Erhöhung der Filmdicke. Schließlich wird das Modell auf kontinuierliche
Filmdicken erweitert, da der Spinreorientierungsübergang im Experiment empfindlich von der Filmdicke abhängt. Die Ergebnisse dieses erweiterten Modells werden
mit dem Experiment verglichen und ergeben gute Übereinstimmung.
iv
Summary
Anisotropies essentially affect magnetism in thin ferromagnetic films of few atomic
layers. On the one hand they can stabilize long range order in these systems, on the
other hand they strongly influence the orientation of magnetization. The intrinsic
causes of anisotropies in these systems are the spin-orbit coupling of the electrons
and the long-range magnetic dipole interaction. While the dipole interaction always
favors an orientation of magnetization in the plane of the film, spin-orbit coupling
can favor different orientations of magnetization on the surface and in the inner
layers of the film. This can lead to a competition between anisotropies, which in turn
leads to a spin reorientation transition with varying film thickness. This transition
can be of varying order, i. e. be continuous or discontinuous. Experiments also find
a spin reorientation transition with varying temperature, which until now was not
well understood. In the framework of a classical H EISENBERG model this transition
is investigated by means of different theoretical methods in the course of this thesis.
At zero temperature the system can be dealt with analytically and criteria for the
spin reorientation transition and its order are found. Furthermore it is investigated
whether the long-range dipole interaction results in a domain ground state. These
investigations are extended to finite temperatures by means of a molecular field
theory and results are compared to Monte Carlo simulations. It is shown that
in contrast to other works the temperature driven spin reorientation transition
in the monolayer is discontinuous also in the simulations, whereas in general
it is continuous for the bilayer. Consequently the molecular field theory and
the Monte Carlo simulations agree qualitatively. Exemplary for thicker films the
influence of an external magnetic field is investigated in the bilayer, furthermore the
effective anisotropies Kn ( T ) of the phenomenological L ANDAU theory are calculated
numerically for the microscopic model. Analytic expressions for the dependence of
the anisotropies Kn ( T ) on the parameters of the model are obtained by the means of
perturbation theory, which lead to a deeper understanding of the spin reorientation
transition. Accordingly to this the origin for the spin reorientation transition lies
in the differing temperature dependence of the dipolar and spin-orbit parts of the
Kn ( T ). Additionally the magnetization in the surface of the film decreases more
rapidly with increasing temperature. As a consequence the influence of the surface
anisotropy decreases with increasing temperature. This effects a similar result
as increasing the film thickness and leads to the transition. Finally the model is
extended to continuous film thicknesses, since in experiment the spin reorientation
transition depends crucially on film thickness. The results of this extended model
are compared to experiment and give good agreement.
v
vi
Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung
iv
Summary
v
Abbildungsverzeichnis
xi
Tabellenverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Grundbegriffe der Thermodynamik . .
1.1.2 Die magnetische Dipolwechselwirkung
1.1.3 Lokale Anisotropien . . . . . . . . . . .
1.2 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Übersicht theoretischer Arbeiten . . . . . . . .
1.3.1 Spinwellentheorie . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Renormierungsgruppentheorie . . . .
1.3.3 Molekularfeldtheorie . . . . . . . . . .
1.3.4 Monte Carlo-Simulationen . . . . . . .
1.3.5 Phänomenologische L ANDAUtheorie .
1.3.6 Rauhigkeit und Inhomogenitäten . . . .
1.4 Übersicht experimenteller Arbeiten . . . . . . .
1.4.1 Fe/Cu(100) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Fe/Ag(100) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Co/Au(111) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 [Tb/Fe]n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Ni/Cu(001) . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Fe/Cr(001) . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Aufbau dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . .
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vii
2 Dipolsummen
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . .
2.1.1 D IRICHLETsche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Abbildung der Dipolsummen auf D IRICHLETsche Reihen
2.1.3 Das Quadratgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Das Dreieckgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Das Honigwabengitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Das K AGOMÉgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Approximation für dünne Filme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Wechselwirkungen innerhalb der Ebene . . . . . . . . . .
2.2.2 Wechselwirkungen zwischen den Ebenen . . . . . . . . .
2.3 Dreidimensionale kubische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Das einfach kubische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Das kubisch flächenzentrierte Gitter . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Das kubisch raumzentrierte Gitter . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Vergleich mit der Kontinuumstheorie . . . . . . . . . . . .
3 Grundzustandseigenschaften
3.1 Der Spinreorientierungsübergang .
3.1.1 Die Monolage . . . . . . . . .
3.1.2 Die Bilage . . . . . . . . . . .
3.1.3 Dickere Filme . . . . . . . . .
3.2 Streifendomänen in der Monolage .
3.2.1 Senkrechte Spinorientierung
3.2.2 Planare Spinorientierung . .
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4 Molekularfeldtheorie
4.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Die B OGOLIUBOV-Ungleichung . . .
4.1.2 Stabilität der Lösung . . . . . . . . .
4.1.3 Die spezifische Wärme . . . . . . .
4.1.4 Die Suszeptibilität . . . . . . . . . .
4.2 Anwendung auf das Modellsystem . . . .
4.2.1 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Stationäre Punkte der freien Energie
4.2.3 Anmerkungen zur Numerik . . . .
4.3 Die Bilage ohne äußeres Magnetfeld . . . .
4.3.1 Magnetisierung . . . . . . . . . . .
4.3.2 Statische Nullfeld-Suszeptibilität .
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4.5
4.6
4.3.3 Das Phasendiagramm . . . . . . . . . .
Die Bilage im äußeren Magnetfeld . . . . . . .
4.4.1 Senkrechtes Magnetfeld . . . . . . . . .
4.4.2 Planares Magnetfeld . . . . . . . . . . .
4.4.3 Das dreidimensionale Phasendiagramm
Die Monolage im äußeren Magnetfeld . . . . .
4.5.1 Magnetisierung und Phasendiagramm
4.5.2 Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dickere diskrete Filme . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Effektive Anisotropien . . . . . . . . .
4.6.2 Das Fe-artige System . . . . . . . . . .
4.6.3 Das Ni-artige System . . . . . . . . . .
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5 Monte Carlo-Simulation
5.1 Verwendete Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Die Methode der lokalen Felder . . . . . . . . .
5.1.4 Der globale Spinflip . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Die Monolage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Skalierung der Anisotropiekonstanten . . . . . .
5.2.2 Die Ordnung des Spinreorientierungsübergangs
5.2.3 Vergleich mit anderen Arbeiten . . . . . . . . . .
5.3 Die Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Störungstheorie
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung . . . .
6.1.1 Homogene Systeme . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Inhomogene Systeme . . . . . . . . . . . . .
6.2 Näherung des inhomogenen Systems . . . . . . .
6.2.1 Schichtdickenabhängigkeit der Anisotropie
6.2.2 Das Entropieargument . . . . . . . . . . .
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ . . . . .
6.3.1 Die Anisotropie K4 (0) in 2. Ordnung . . . .
6.3.2 Die Breite von FMϑ im Grundzustand . . .
6.3.3 Endliche Temperaturen . . . . . . . . . . .
6.3.4 Die Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5 Dickere Filme . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ix
7 Kontinuierliche Filmdicken
7.1 Die zusätzliche Symmetrie
7.2 Vergleich der Methoden .
7.3 Nickel auf Kupfer (001) .
7.4 Störungstheorie . . . . . .
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8 Zusammenfassung
Anhang
A.1 Berechnung der Dipolsummen . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Summen innerhalb der Ebene . . . . . . . . .
A.1.2 Summen zwischen den Ebenen . . . . . . . .
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie . . . . . . . . .
A.2.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 Lösung des ungestörten Systems . . . . . . .
A.2.3 Die Störungstheorie zweiter Ordnung . . . . .
A.2.4 Ableitungen der lösbaren freien Energie F ? (ξ )
A.2.5 Ableitungen der freien Energie F (ξ ) . . . . .
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. 149
. 150
. 152
. 152
. 154
Literaturverzeichnis
157
Notationsverzeichnis
166
Stichwortverzeichnis
171
x
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Dipolwechselwirkungsenergie Eω
i j von zwei Spins . . . . . . . . . . . .
Skizze des Systems für L = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
T-L Phasendiagramm von Fe/Ag(100) [Q IU et al., 1993] . . . . . . . . .
T-L Phasendiagramm von Ni/Cu(001) [B ABERSCHKE und FARLE, 1997]
Das Dreieckgitter G4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Honigwabengitter G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das K AGOMÉgitter G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Wechselwirkungen des Spins si am Ort ri mit den periodischen
Bildern des Spins s j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die dreidimensionalen kubischen Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∆D-ω Grundzustandsphasendiagramm der Bilage . . . . . . . . . . . .
Nullfeld-Magnetisierung der Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Statische Nullfeld-Suszeptibilität χ 0 (τ ) der Bilage . . . . . . . . . . . .
∆D-T Phasendiagramm der Bilage mit Skizzen der freien Energie . . .
Magnetisierung m(τ ) der Bilage im senkrechten Feld . . . . . . . . . .
B z -T Phasendiagramm der Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetisierung m z ( B z ) der Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetisierung m(τ ) der Bilage im planaren Feld . . . . . . . . . . . .
B y -T Phasendiagramm der Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dreidimensionales B-T Phasendiagramm der Bilage im Feld . . . . . .
Magnetisierung m(τ ) der Monolage im senkrechten Feld . . . . . . . .
B z -T Phasendiagramm der Monolage . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hysteresekurven m z ( B z ) und m xy ( B z ) der Monolage . . . . . . . . . .
Hysteresekurven m z ( B z ) von 3,8 ML Fe/Ag(100) [B ERGER und H OP STER, 1996] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zerlegung der winkelabhängigen freien Energie F (τ , ϑ) . . . . . . . .
Magnetisierung und effektive Anisotropien eines Fe-artigen Systems .
Magnetisierung und effektive Anisotropien eines Ni-artigen Systems .
Schematische Histogramme h(m) bei Übergängen erster und zweiter
Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Akzeptanzhäufigkeit der Spinflipversuche k flip ( T ) und d T kflip ( T ) . . .
5
7
15
17
24
25
27
29
31
40
55
56
59
61
61
62
63
64
65
67
67
68
69
71
74
76
81
85
xi
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
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46
47
48
49
50
51
xii
Änderung der Spins beim globalen Spinflip . . . . . . . . . . . . . . .
Auswirkung des globalen Spinflips auf die Zeitreihe m tz . . . . . . . .
Auswirkung des globalen Spinflips auf die Autokorrelationsfunktion
Γ zz (∆t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfluß von L und D1 bzw. ω auf die Histogramme h(m z ) bei Tr . . .
Magnetisierung mtz und Histogramm h(m z ) um Tr . . . . . . . . . . .
Histogramme h(|m z |) nahe Tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich von Mittelwerten der Magnetisierung mit Ergebnissen aus
der Histogrammanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Histogramm h(ϑ1 )/ sin (ϑ1 ) der Bilage an einem Spinreorientierungsübergang erster und zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K (τ ) = KD (τ ) + Kω (τ ) für PL=2 . . . . . . . . . . . . . .
Magnetisierung m(τ ) und Anisotropiefaktor a(τ ) für Oberfläche und
Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K (τ ) = KD (τ ) + Kω (τ ) für PFe . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K (τ ) = KD (τ ) + Kω (τ ) für PNi . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K ( L, τ ) = K v (τ ) + K s (τ )/ L + K HO ( L, τ ) über τ für PFe .
Anisotropie K ( L, τ ) = K v (τ ) + K s (τ )/ L + K HO ( L, τ ) über τ für PNi .
Anisotropie K ( L, τ ) über L für PFe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K ( L, τ ) über L für PNi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K (τ ) = ∆u(τ ) − T∆s(τ ) für PFe . . . . . . . . . . . . . .
Anisotropie K (τ ) = ∆u(τ ) − T∆s(τ ) für PNi . . . . . . . . . . . . . .
Betrag der schichtabhängigen Magnetisierung m λ (τ ) für verschiedene Lagenindizes λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wechselwirkungen zwischen den Schichten . . . . . . . . . . . . . . .
T-L Phasendiagramm für PFe : Vergleich der Methoden . . . . . . . .
T-L Phasendiagramm für Ni/Cu(001): Theorie und Experiment . . .
T-L Phasendiagramme für verschiedene Werte von D v /ω . . . . . .
. 86
. 88
.
.
.
.
89
91
92
93
. 96
. 97
. 104
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
106
107
112
112
113
114
117
117
.
.
.
.
.
130
131
133
135
138
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
Die verwendeten Parametersätze P . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Numerische Werte der analytisch berechneten Gittersummen . . . .
Dipolsummen Φδ für dreidimensionale kubische Gitter . . . . . . . .
Anzahl nächster Nachbarn zδ und Dipolsumme Φδ für verschiedene
Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Effektive Anisotropiekonstanten Dh , Dih und Ω . . . . . . . . . . . .
Anteile der Anisotropie vierter Ordnung K4 (0) für die verwendeten
Parametersätze P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xy
Vergleich der Näherung für τ rz und τr mit den numerisch bestimmten Werten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
In Abbildung 51 verwendete Parameter Dv und Ds . . . . . . . . . .
. 9
. 28
. 34
. 37
. 109
. 124
. 127
. 138
xiii
xiv
1 Einleitung
In den letzten zwanzig Jahren ist es möglich geworden, wenige Atomlagen dicke Filme eines magnetischen Materials wie Eisen oder Nickel auf einem unmagnetischen
Substrat herzustellen. Hierzu wird die Molekularstrahlepitaxie (MBE) verwendet,
die technologisch im Rahmen der Herstellung von halbleitenden elektronischen
Bauteilen wie Mikroprozessoren angewendet wird [für eine Übersicht siehe B LAND
und H EINRICH , 1994, § 5]. Nicht nur die Herstellung, sondern auch die Charakterisierung solcher ultradünner Filme ist eine experimentelle Herausforderung, da das
für eine Messung zur Verfügung stehende Probenvolumen größenordnungsmäßig
nur etwa ein millionstel des Volumens massiver Proben beträgt. Durch Verfeinerung
bestehender und Entwicklung neuartiger Meßmethoden stehen nun eine große Anzahl von Verfahren zur Charakterisierung dieser Systeme zur Verfügung.
Zur Untersuchung der Struktur ultradünner Filme sind vor allem oberflächensensitive Methoden geeignet. Während man mit nieder- und hochenergetischer Elektronenbeugung (LEED bzw. RHEED) die Güte des epitaktischen Wachstums untersuchen kann und bei gutem Lagenwachstum charakteristische Oszillationen findet,
kann mit dem Rastertunnelelektronenmikroskop (STM) die Oberfläche auf atomarer
Skala visualisiert werden und eine eventuelle Rauhigkeit direkt gemessen werden.
Die Magnetisierung ultradünner Filme kann z. B. mit Magnetometrie unter Verwendung von Quanteninterferenz in Supraleitern (SQUID), mit magnetooptischem
K ERReffekt (MOKE), mit M ÖSSBAUER spektroskopie oder mit ferromagnetischer Resonanz (FMR) untersucht werden [für eine Übersicht siehe FARLE, 1998]. Hierbei
ist es wichtig, daß sowohl die Herstellung als auch die Untersuchung der Systeme
im Ultrahochvakuum durchgeführt werden kann, da die wenige Monolagen dicken
Proben schon durch einen kurzen Luftkontakt kontaminiert werden und ihre Eigenschaften drastisch ändern können.
Ultradünne magnetische Filme haben eine Reihe von neuartigen Eigenschaften,
die auch technologisch interessant sind [für eine Übersicht siehe H EINRICH und
B LAND, 1994b]. So wird z. B. der von G RÜNBERG et al. [1986] in magnetischen Multilagen entdeckte Riesenmagnetowiderstand (GMR) bereits in den Schreib-/Leseköpfen von Festplatten zur Datenspeicherung benutzt, da mit diesem Effekt sehr
schwache Magnetfelder detektiert werden können. Damit konnte die Speicherkapa-
1
1 Einleitung
zität dieser Medien deutlich erhöht werden.
In herkömmlichen Speichermedien wie Festplatten oder Magnetbändern liegt die
Magnetisierung aufgrund der magnetischen Dipolwechselwirkung, die oft auch mit
Formanisotropie bezeichnet wird, in der Ebene des magnetischen Materials. Beim
Beschreiben eines solchen Mediums wird eine Domänenstruktur erzeugt, bei der die
Magnetisierung in der Ebene in verschiedene Richtungen weist. Die an den Rändern
dieser Domänen auftretenden Streufelder werden beim späteren Auslesen detektiert
und damit die Information rekonstruiert.
Eine Alternative zu Festplatten sind magnetooptische Speichermedien, bei denen
die magnetische Information mit Lasern geschrieben und ausgelesen wird. Da zum
Auslesen der magnetooptische K ERReffekt benutzt wird, muß allerdings die Magnetisierung in dem Speichermedium senkrecht zur Oberfläche ausgerichtet sein. Die
Herstellung und Charakterisierung solcher Systeme mit senkrechter magnetischer
Anisotropie ist ein wichtiges Forschungsgebiet in der Physik dünner Filme.
Ultradünne Filme zeichnen sich dadurch aus, daß die magnetischen Momente
im Filmquerschnitt aufgrund der geringen Dicke im wesentlichen parallel ausgerichtet ist [H EINRICH und B LAND, 1994a]. Durch die Konkurrenz der senkrechten
Anisotropie mit der planaren Formanisotropie kommt es in diesen Systemen bei einer kritischen Dicke zu einem Spinreorientierungsübergang, der kontinuierlich oder
diskontinuierlich verlaufen kann. Der Wert dieser kritischen Dicke ist temperaturabhängig, da die konkurrierenden Anisotropien unterschiedliche Temperaturabhängigkeit aufweisen. Aus diesem Grund kann der Übergang auch bei fester Dicke und
Variation der Temperatur auftreten. Eine theoretische Untersuchung dieser Effekte
ist Thema dieser Arbeit.
1.1 Grundlagen
1.1.1 Grundbegriffe der Thermodynamik
Zunächst sollen kurz die verwendeten Begriffe aus der Gleichgewichtsthermodynamik erläutert werden, eine ausführlichere Darstellung findet man z. B. in [Y EO MANS, 1992]. Ein Ziel der statistischen Physik ist, im thermodynamischen Gleichgewicht temperaturabhängige Erwartungswerte h Ai( T ) einer Größe A(s) zu berechnen, wobei s = (s1 , . . . , s N ) ein Zustand eines Systems mit N Spins ist. Im
Gleichgewicht tritt der Zustand s gemäß der B OLTZMANN verteilung mit der Wahrscheinlichkeit
p(s, T ) =
2
1 −βH(s)
e
Z(T )
(1.1)
1.1 Grundlagen
auf, wobei die H AMILTON funktion H(s) die Energie des Zustandes s angibt.
β = 1/kB T ist die inverse Temperatur mit der B OLTZMANNkonstanten k B . Der temperaturabhängige Normierungsfaktor
Z(T ) = Sp s e−βH(s)
(1.2)
ist die Zustandssumme des Systems, und die Spur Sp s ist die Summe über alle
Spinfreiheitsgrade s des Systems. Im hier betrachteten klassischen H EISENBERGmodell z. B. ist
I N
(1.3)
Sps f (s) =
∏ dsi f (s),
i =1
wobei das Symbol dsi bedeutet, daß über die Oberfläche der Einheitskugel integriert wird, d. h. |si | = 1. Für den Erwartungswert von A(s) folgt dann
H
1
Sp s e−βH(s) A(s).
Z(T )
h Ai(T ) = Sp s p(s, T ) A(s) =
(1.4)
Die temperaturabhängige G IBBSsche freie Energie des Systems F ( T ), die im folgenden kurz als freie Energie bezeichnet wird, erfüllt die Gleichung
Z(T ) = e−βF (T) .
(1.5)
Aus dieser Größe lassen sich die meisten Erwartungswerte relevanter makroskopischer Größen durch Ableiten berechnen. Wenn z. B. die Ankopplung an ein äußeres
Magnetfeld B durch H(s) = H0 (s) − B · ∑i si gegeben ist, dann ist die partielle
Ableitung ∂ B F ( T ) bei konstanter Temperatur
(1.6)
∂ B F ( T ) = h∂ B Hi( T ) = − ∑ si ( T ) = − M ( T )
i
die negative temperaturabhängige Gesamtmagnetisierung des Systems.
Ist H ? (s) eine wechselwirkungsfreie Einteilchen-H AMILTON funktion
H? (s) = ∑ Hi? (si ),
(1.7a)
i
so kann man die Zustandssumme berechnen, es ist
Z ? (T ) = Sp s e−β ∑i Hi (si ) = Sp s ∏ e−βHi (si ) = ∏ Spsi e−βHi (si )
?
?
?
i
(1.7b)
i
und weiterhin
F ? (T ) = ∑ Fi? (T ) = −β−1 ∑ log Sp si e−βHi (si )
?
i
(1.7c)
i
die Summe der Einteilchen-freien Energien. Die H AMILTON funktion H ? (s) heißt
dann “lösbar”.
3
1 Einleitung
1.1.2 Die magnetische Dipolwechselwirkung
Eine Ursache für magnetische Anisotropien ist die magnetische Dipolwechselwirkung, die nun dargestellt werden soll. Man betrachte magnetische Momente µ i an
den Orten r̃i = ann ri auf einem Gitter mit dem nächste Nachbarabstand1 ann . Die
Dipolwechselwirkungsenergie Eω
i j zweier Momente µi und µ j mit dem Abstandsvektor r̃i j = r̃ j − r̃i und dem Einheitsvektor r̂i j = ri j /ri j lautet [z. B. J ACKSON, 1975,
§ 4]
Eω
ij =
µ0 µi · µ j − 3(µi · r̂i j )(r̂i j · µ j )
4π
r̃i3j
(1.8)
mit der Vakuumpermeabilität µ 0 = 4π × 10−7 Vs /Am. Wenn alle magnetischen
Momente µi den gleichen Betrag haben, kann man sie als Spinvariable
si :=
µi
µ
(1.9)
der Länge 1 darstellen. Mit der Dipolkonstanten
ω :=
µ0 µ 2
4π a3nn
(1.10)
ergibt sich der im folgenden benutzte Ausdruck
Eω
i j = ω si · W (ri j ) · s j ,
(1.11)
wobei der symmetrische Dipoltensor W(r ) mit der Einheitsmatrix 1 die Form
2 −3r̂ r̂
r̂
−
3r̂
1
−
3r̂
x
x
z
y
x
1
1 − 3 r̂ 2
r̂
1 − 3r̂2y −3r̂ z r̂ y
−
3r̂
W (r ) =
=
(1.12a)
y
x
3
3
r
r
2
−3r̂x r̂z −3r̂ y r̂z 1 − 3r̂z
annimmt2 . Da der Nenner 1/r3 für r → 0 divergiert, wird
W(0) = 0
(1.12b)
gesetzt. Man beachte, daß die Spur
Sp W(r ) = 0
(1.13)
ist. Wenn z. B. der Verbindungsvektor ri j = x̂ = (1, 0, 0) lautet (Abbildung 1), ergibt
1 In
hyperkubischen Gittern entspricht der nächste Nachbarabstand a nn der Gitterkonstanten a 0 der
Einheitszelle, der Vektor r i hat dann nur ganzzahlige Komponenten.
2 x 2 = x ⊗ x ist das äußere Produkt von x mit sich selbst (vgl. Notation S. 166)
4
1.1 Grundlagen
(a)
si
Eijω = +ω
(b)
sj
(d)
si
Eijω = −ω
si
Eijω = 0
(e)
sj
si ω
Eij = −3ω/2
(c)
sj
sj
si
Eijω = +2ω
sj
(f)
si
Eijω = −2ω
sj
Abbildung 1: Die Dipolwechselwirkungsenergie Eω
i j zweier Spins s i und s j (hier mit
Abstand ri j = 1) hängt nicht nur von der relativen Orientierungen der Spins ab, sondern
auch von deren absoluter Orientierung im Raum. Die Orientierung (f) hat die niedrigste
Energie.
der Dipoltensor
−2 0 0
W( x̂) = 0 1 0 .
0 0 1
Da diese Matrix diagonal ist und Wxx ( x̂ ) = −2 der kleinste Eigenwert ist, wird
die niedrigste Energie eingenommen, wenn die Spins si und s j auf einer Geraden
parallel zur x-Achse ausgerichtet sind (Abbildung 1f).
1.1.3 Lokale Anisotropien
VAN V LECK [1937] erkannte, daß eine weitere wichtige Ursache für magnetische
Anisotropien in Festkörpern die quantenmechanische Spin-Bahn-Kopplung ist. Die
statischen elektrischen Felder der Atomkerne in einem Kristallgitter koppeln an das
Bahnmoment der Elektronen und induzieren durch den elektrischen Feldgradienten
eine Kopplung zwischen dem Spinmoment und dem Bahnmoment der Elektronen.
N ÉEL [1953, 1954] untersuchte, wie sich eine Reduzierung der Symmetrie des Gitters durch eine Oberfläche oder durch Gitterverzerrungen auf diese magnetischen
Anisotropien auswirkt. Er nahm im Rahmen eines klassischen Spinmodells an, daß
benachbarte Spins si und s j auf Grund einer starken isotropen ferromagnetischen
Austauschwechselwirkung (vgl. nächster Abschnitt)
Ei0j = − Jsi · s j
(1.14)
mit J > 0 nahezu parallel ausgerichtet sind, also si ≈ s j ist. Den anisotropen Anteil
Eiaj der Energie entwickelte er nach L EGENDREpolynomen Pn ( x),
Eiaj =
∞
∑ g2n (ri j )P2n (r̂i j · si ),
(1.15)
n=1
5
1 Einleitung
mit den Radialteilen g2n (r). In niedrigster Ordnung ergibt diese Entwicklung mit
P2 ( x) = (3x2 − 1)/2 in einer Schreibweise analog zur Dipolwechselwirkung
1
Eiaj = − g2 (ri j )(1 − 3 si · r̂i2j · si ).
2
(1.16)
Bei kubischer Symmetrie ergibt die Summe über die z̃i nächsten Nachbarn eines
Spins si im Abstand ann
1
Eia = ∑ Eiaj = − g2 ( ann )( z̃i − 3 si · Ni · si )
2
h ji
mit Ni =
∑ r̂i2j .
(1.17)
h ji
Betrachten wir nun einen einfach kubischen magnetischen Film mit Koordinationszahl z̃ek = 6 in der kristallographischen Orientierung (001)3 . Im Innern des Films
erhält man
Nv = 2
⇒
Eav = 0
(1.18)
unabhängig von der Orientierung der Spins; somit resultiert in niedrigster Ordnung
keine Anisotropie. Dies gilt für alle kubischen Gitter. An einer (001)-Oberfläche
hingegen fehlt der obere Nachbar bei ri j = ann ẑ, und es ergibt sich
Ns = 2 − ẑ 2
⇒
3
3
Eas = − g2 ( ann ) si · ẑ 2 · si = − g2 ( ann ) (siz )2 ,
2
2
(1.19)
man erhält also eine uniaxiale Oberflächenanisotropie senkrecht zur Oberfläche. Die
auf diese Weise von N ÉEL postulierte Oberflächenanisotropie wurde erstmals von
G RADMANN [1974] experimentell gefunden und erstmals von G AY und R ICHTER
[1986] mit lokaler Dichtenäherung (LDA) in isolierten Fe, V und Ni Monolagen
berechnet [für eine Übersicht siehe B LAND und H EINRICH , 1994, § 2].
Eine weitere Quelle von Anisotropien, die mit diesem Modell berücksichtigt
werden können, sind tetragonale Verzerrungen des Gitters, bei denen der nächste
k
Nachbarabstand senkrecht zur Filmebene a ⊥
nn von dem Abstand in der Ebene a nn
abweicht. Dadurch ist der Radialteil g 2 (ri j ) nicht mehr für alle nächsten Nachbarn
k
gleich, und man erhält im Filminnern mit δ g 2 = g2 ( ann ) − g2 ( a⊥
nn ) für die Energie
(1.15) den Wert
Eav = δ g2 (3(siz )2 − 1),
also ebenfalls eine senkrechte uniaxiale Anisotropie.
3 Die
6
Bezeichnung (001) kennzeichnet Ebenen mit dem Normalenvektor ẑ = (0, 0, 1)
(1.20)
1.2 Das Modell
1.2 Das Modell
In dieser Arbeit wird der Einfluß von magnetischen Anisotropien auf die magnetische Struktur dünner ferromagnetischer Filme untersucht. Da als Methoden sowohl
eine Molekularfeldtheorie als auch Monte Carlo-Simulationen verwendet werden,
basieren die Untersuchungen auf einem klassischen H EISENBERG modell [1928] mit
lokalen Anisotropien und langreichweitiger Dipolwechselwirkung. Dieses Modell
wird nun vorgestellt.
L
λ=1
.
.
.
z
x
λ =L
y
Abbildung 2: Ausschnitt des Systems auf einem einfach kubischen Gitter in (001) Orientierung mit L = 4 Lagen.
Die Filme bestehen aus L Schichten und liegen in der xy-Ebene, so daß die z-Achse
senkrecht zum Film steht (Abbildung 2). Die betrachtete H AMILTON funktion lautet
(1.21a)
H = H0 + Hω + Hl
mit den drei Beiträgen
H0 = −
Hω = +
J
si · s j
2 h∑
i ji
(1.21b)
ω
si · W (ri j ) · s j
2 ∑
ij
(1.21c)
Hl = − ∑ Dλi (siz )2 + Eλi (siz )4 + B · si
(1.21d)
i
x
y
z
x
y
z
und den klassischen Spinvariablen si = (si , si , si ) am Ort ri = (ri , ri , ri ). Die
Spins si sind dimensionslos und haben die Länge 1, der Ortsvektor ri ist ebenfalls
dimensionslos und wird in Einheiten des nächste Nachbarabstandes a nn gemessen,
für nächste Nachbarn si und s j gilt also für den Verbindungsvektors ri j = ri − r j
die Normierung ri j = 1. Die einzelnen Terme der H AMILTON funktion (1.21) sollen
zunächst erläutert werden.
7
1 Einleitung
H0 beschreibt eine isotrope Austauschwechselwirkung mit der ferromagnetischen
Austauschenergie J > 0 zwischen nächsten Nachbarn. Längerreichweitige Austauschwechselwirkungen werden in dieser Arbeit nicht berücksichtigt. Dieser
Anteil ist isotrop, da in das Skalarprodukt si · s j nur der Winkel zwischen den
Spins si und s j eingeht. Diese Wechselwirkung beruht darauf, daß aufgrund
des PAULIprinzips die effektive elektrostatische Abstoßung der Elektronen bei
gleichem Spin geringer ist als bei entgegengesetztem Spin.
Hω stellt die langreichweitige und anisotrope Dipolwechselwirkung der Spins untereinander dar, die durch den Dipoltensor W(r ) aus Gleichung (1.12) beschrieben wird.
Hl enthält alle lokalen Einteilchenenergien der H AMILTONfunktion H:
− Dλi (siz )2 beschreibt eine uniaxiale lokale Anisotropie der Spins mit der Stärke Dλi , wobei λi der Lagenindex von Spin si ist. Somit ist diese
Anisotropie für alle Spins in einer Schicht λ gleich. Zusätzlich wird
angenommen, daß Dλ nur an den beiden Oberflächen des Films von
dem Volumenwert Dv abweicht, es gilt also
wenn si in Oberflächenlage λ = 1
Dv + Ds
Dλ i =
D + Di
wenn si in Grenzflächenlage λ = L (1.22)
v
Dv
sonst.
Dies entspricht einer N ÉELschen Anisotropie gemäß Abschnitt 1.1.3.
Für Dλ > 0 ist die leichte Richtung dieser Anisotropie parallel zur
z-Achse, also normal zur Filmebene.
−Eλi (siz )4 stellt eine möglicherweise in der Schicht λ vorhandene lokale Anisotropie vierter Ordnung mit der Stärke E λ dar, die ebenfalls nur an
den Oberflächen vom Volumenwert abweicht. Dieser Term wird in
Kapitel 7.3 untersucht und sonst oft vernachlässigt.
− B · si
beschreibt eine Ankopplung des Systems an ein äußeres Magnetfeld
B = ( B x , B y , B z ). Das effektive magnetische Moment µ der Spins ist
in B bereits enthalten, so daß B ebenfalls die Einheit einer Energie
hat.
Da die Anisotropiekonstanten Dλ und Eλ nur vom Lagenindex λ abhängen, ist
H translationsinvariant in der Filmebene gegenüber einer Verschiebung um einen
Gittervektor r ⊥ ẑ.
Somit hat das verwendete Modell die Parameter J, ω, D s,v,i , Es,v,i , B und L. Da die
Energieskala frei gewählt werden kann, verbleiben elf Parameter. Zur Vereinfachung
8
1.2 Das Modell
wird sich in dieser Arbeit auf repräsentative Parametersätze P beschränkt, die in
Tabelle 1 aufgeführt sind und in den dort angegebenen Kapiteln näher erläutert
werden.
Generell muß bei H AMILTON funktionen vom Typ (1.21) zwischen dem Spinraum
S und dem Ortsraum R unterschieden werden. In dem vorliegenden Fall sind beide
Räume dreidimensional, wobei si ∈ S und ri ∈ R ist. Im isotropen Modell H0
sind S und R nicht gekoppelt. Auch durch den Anteil H l tritt im Prinzip noch
keine Kopplung der Räume auf, da in H l lediglich eine Vorzugsrichtung ẑ S ∈ S im
Spinraum ausgezeichnet wird (ẑ S · si ≡ siz ). In diesem Sinne ist auch das Magnetfeld
B ∈ S . Erst durch die Festlegung der Ursache der uniaxialen Anisotropie im
Rahmen des N ÉELschen Modells werden S und R implizit gekoppelt und gefordert,
Satz
G
L
ω/ J
PLa =1
ek
1
0,014
D1 = 0,1
ek
1
0,028
D1 = 0,2
PL=2
ek
2
0,017
D1 = 0,2
D2 = 0,05
PLD=λ 2
ek
2
0,017
D1 =
PFe
ek
4
38 × 10−5
Ds = 0,014
Dv = 0
PNi
ek
4
5 × 10−5
PNi
kfz
kfz
∈R
exp
kfz
∈R
PLb =1
PNi
Dλ [ J ]
siehe
J /ω
Dλ [ω]
' 71
D1 ' 7,1
Kap. 4.5
D1 ' 11,8
D2 ' 2,95
Kap. 5.3
' 2650
Ds ' 36,8
Dv = 0
Kap. 4.6.2
Ds = −0,005
Dv = 0,0015
2 × 104
Ds = −100
Dv = 30
Kap. 4.6.3
10−4
Ds = −0,0156
Dv = 0,0031
104
Ds = −156
Dv = 31
Kap. 7.3
10−4
Ds
Dv
Es
Ev
= −0,0124
= 0,0024
= 0,0028
= −0,0004
104
Ds
Dv
Es
Ev
= −124
= 24
= 28
= −4
Kap. 7.3
1
4
− D2
' 35,7
' 59
' 59
D1 ' 7,1
Kap. 5.2
Kap. 5.3
Tabelle 1: In dieser Arbeit häufig verwendete Parametersätze P . Aufgelistet sind die
jeweilige Gitterstruktur G (einfach kubisch oder kubisch flächenzentriert), die Filmdicke
L, sowie die Parameter der H AMILTONfunktion (1.21) in Einheiten von J und ω. Die
Zahlenwerte sind in den angegebenen Kapiteln erläutert.
9
1 Einleitung
daß die Vorzugsrichtung ẑS k ẑR ist, wobei ẑR ∈ R der Normalenvektor des
Films ist. Der Dipolanteil Hω hingegen koppelt Orts- und Spinraum explizit durch
das Skalarprodukt si · ri j in (1.11). Aufgrund dieser Kopplung der Räume wird im
folgenden keine Unterscheidung zwischen S und R gemacht.
1.3 Übersicht theoretischer Arbeiten
1.3.1 Spinwellentheorie
Die Spinwellentheorie behandelt kollektive Anregungen in Form von Spinwellen
über einem als bekannt vorausgesetzten Grundzustand. Im Rahmen einer Spinwellentheorie kann z. B. die Magnetisierung m( T ) für tiefe Temperaturen berechnet
werden, insbesondere kann man ermitteln, ob eine langreichweitige Ordnung des
Grundzustandes auch bei endlichen Temperaturen erhalten bleibt. Die Ergebnisse
der Anwendung dieser Theorie auf klassische zweidimensionale Systeme sind hier
kurz zusammengefaßt.
Die Dispersionsrelation Ω0 (k) beschreibt die Energie4 von Spinwellen mit Wellenvektor k, deren Wellenlänge groß im Vergleich zum Gitterabstand a nn des betrachteten Gitters sein soll. Sie gibt Aufschluß über das Vorhandensein langreichweitiger
Ordnung bei endlichen Temperaturen. Für das isotrope klassische H EISENBERGmodell (1.21b) ergibt sich [z. B. M ILLS, 1994]
Ω0 (k) = Jk2 .
(1.23)
Es zeigt sich, daß diese quadratische Abhängigkeit in zweidimensionalen Systemen
zu einem Verlust der langreichweitigen Ordnung für T > 0 führt, da schon bei
beliebig niedrigen Temperaturen langwellige Spinwellen, sogenannte G OLDSTONE moden, angeregt werden können, die die langreichweitige Ordnung zerstören. Dies
ist im Einklang mit dem M ERMIN -WAGNER -Theorem, demzufolge ein- und zweidimensionale Systeme mit kurzreichweitigen Wechselwirkungen und kontinuierlich
entartetem Grundzustand bei endlichen Temperaturen keine langreichweitige Ordnung haben können [M ERMIN und WAGNER, 1966].
Fügt man zur H AMILTON funktion (1.21b) eine zusätzliche lokale uniaxiale Anisotropie
H = H0 − D ∑(siz )2
i
4 Für
10
diese Diskussion sei das P LANCKsche Wirkungsquantum h̄ = 1.
(1.24)
1.3 Übersicht theoretischer Arbeiten
mit positivem D hinzu, so wird die Rotationssymmetrie gebrochen und die Magnetisierung zeigt im Grundzustand in ± z-Richtung. Ausgehend von diesem Grundzustand lautet die Relation (1.23) nun [E RICKSON und M ILLS, 1991a,b,c]
Ω0 (k) = Jk2 + D,
(1.25)
d. h. es tritt eine energetische Anregungslücke der Breite Ω 0 (0) = D auf, und
man benötigt mindestens diese Energie, um langwellige Spinwellen anzuregen.
Dies führt dazu, daß das System für hinreichend niedrige Temperaturen in einen
geordneten Zustand übergeht.
Für das isotrope H EISENBERGmodell mit Dipolwechselwirkung liegt die Magnetisierung im Grundzustand in der Filmebene (vgl. Kapitel 2) und die Dispersionsrelation ist komplizierter und abhängig von der Richtung von k. Generell ergibt sich
für kleine Werte von k
√
Ω0 (k) ∝ k,
(1.26)
man findet also wie im isotropen Fall (1.23) keine Anregungslücke. Trotzdem reichen die wenigen G OLDSTONEmoden mit niedrigen Energien nicht aus, um die
langreichweitige Ordnung durch thermische Fluktuationen zu zerstören [M ALEEV,
1976]. Das dipolare H EISENBERGmodell hat eine geordnete Tieftemperaturphase,
weil die planare Rotationssymmetrie durch thermische Anregungen gebrochen
wird.
Eine quantenmechanische Spinwellentheorie ist nur sehr schwer durchzuführen,
da nicht klar ist, wie die lokale uniaxiale Anisotropie zu behandeln ist [vgl. R EMPE,
1996]. Eine Möglichkeit ist, den uniaxialen Term mit der Methode von C ALLEN
[1963] zu entkoppeln [E CKER et al., 1999; J ENSEN et al., 1999]. Ergebnisse für ein
System mit langreichweitiger Dipolwechselwirkung liegen jedoch noch nicht vor.
1.3.2 Renormierungsgruppentheorie
Während sich die Spinwellentheorie hauptsächlich zur Untersuchung der Tieftemperaturphase eignet, kann man mit der Renormierungsgruppentheorie Aussagen
über das Verhalten in der Nähe eines kontinuierlichen Phasenübergangs machen.
Da an einem solchen kritischen Punkt die Korrelationslänge divergiert, können mikroskopische Details des Systems vernachlässigt und z. B. die kritische Temperatur
Tc näherungsweise berechnet werden.
Für dünne zweidimensionale Filme mit Austauschwechselwirkung und uniaxialer Anisotropie erhält man die C URIEtemperatur [B ANDER und M ILLS, 1988; M ILLS,
1994]
Tc = 2Tc3D log −1
π2J
,
D
(1.27)
11
1 Einleitung
wobei für die kritische Temperatur Tc3D des dreidimensionalen isotropen klassischen
H EISENBERGmodells z. B. der von B ROWN und C IFTAN [1996] bestimmte Wert aus
Monte Carlo-Simulationen Tc∗ ' 1,443J eingesetzt werden kann.
Die Renormierungsgruppentheorie von P ESCIA und P OKROVSKY [1990] und T E TEL’ MAN [1990] ergab bei entsprechend gewählten Parametern einen Spinreorientierungsübergang von senkrechter nach planarer Orientierung, der allerdings von
L EVANYUK und G ARCIA [1992] im Rahmen einer nichtlinearen Spinwellentheorie
in Frage gestellt wurde.
1.3.3 Molekularfeldtheorie
Erste Untersuchungen des klassischen H EISENBERGmodells mit lokalen Anisotropien zweiter und vierter Ordnung D, E (vgl. (1.21d)) in Molekularfeldnäherung
wurden bereits von L EVINSON et al. [1969] durchgeführt. Allerdings wurde von ihnen die Dipolwechselwirkung nicht berücksichtigt. Sie fanden temperaturgetriebene Spinreorientierungsübergänge, die abhängig von D und E sowohl kontinuierlich
als auch diskontinuierlich waren.
TAYLOR und G YÖRFFY [1993] untersuchten das auch hier betrachtete klassische
H EISENBERGmodell in der Monolage mit einer Molekularfeldtheorie. Sie fanden
in Übereinstimmung mit dieser Arbeit einen temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang erster Ordnung von senkrechter nach planarer Orientierung. M O SCHEL und U SADEL [1994, 1995a,b] erweiterten diese Untersuchungen im Rahmen
eines quantenmechanischen H EISENBERGmodells auf dickere Filme und fanden
dort kontinuierliche Übergänge [siehe auch M OSCHEL, 1994].
1.3.4 Monte Carlo-Simulationen
Der Einfluß der uniaxialen Anisotropie auf das zweidimensionale isotrope H EISEN BERGmodell ist von zahlreichen Autoren ausführlich mit Simulationen untersucht
worden. E RICKSON und M ILLS [1991b] untersuchten die Abhängigkeit der C URIEtemperatur von der Stärke der uniaxialen Anisotropie und fanden gute Übereinstimmung mit dem Ausdruck für Tc (1.27) von B ANDER und M ILLS [1988].
Für das H EISENBERGmodell mit uniaxialer Anisotropie und langreichweitiger Dipolwechselwirkung existierten jedoch bisher nur wenige Arbeiten. S ERENA et al.
[1993] untersuchten dieses Modell mit Monte Carlo-Simulationen und fanden keinen Spinreorientierungsübergang, während C HUI [1994, 1995] zwar einen Übergang
fand, allerdings die Ordnung falsch charakterisierte [H UCHT et al., 1995] (vgl. Kapitel 5.2).
12
1.3 Übersicht theoretischer Arbeiten
M ALY [1999] betrachtete das anisotrope H EISENBERGmodell mit einer kurzreichweitigen Wechselwirkung, die die Anisotropie der Dipolwechselwirkung hat, und
fand in Übereinstimmung mit dieser Arbeit einen temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang.
Der Einfluß von Streifendomänen (vgl. Kapitel 3.2) wurde von M AC I SAAC et al.
[1996] in Simulationen untersucht. Sie stellten fest, daß die Domänen bei einer endlichen Temperatur mit einer Anomalie in der spezifischen Wärme zerfallen. In einer
neueren Arbeit untersuchten M AC I SAAC et al. [1998] den Spinreorientierungsübergang unter Berücksichtigung von Streifendomänen.
1.3.5 Phänomenologische L ANDAUtheorie
In der phänomenologischen L ANDAUtheorie wird für die freie Energie pro Spin
f ( L, T, ϑ) als Funktion der Schichtdicke L, der Temperatur T und des Winkels ϑ des
Magnetisierungsvektors m = m(cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ) mit der Filmnormalen
der phänomenologische Ansatz
1
f ( L, T, ϑ) = µ0 m2 ( L, T ) cos 2 ϑ − K2 ( L, T ) cos 2 ϑ − K4 ( L, T ) cos 4 ϑ
(1.28)
2
gemacht. Der erste Term entspricht der Dipolwechselwirkungsenergie in Kontinuumsnäherung, während in den anderen Termen alle lokalen Anisotropien des Systems enthalten sind (vgl. Abschnitt 1.1.3). Bei diesem Ansatz wird angenommen,
daß der Betrag m der Magnetisierung m unabhängig vom Winkel ϑ ist. Hier wurde
weiterhin der Einfachheit halber angenommen, daß das System in der Ebene rotationsinvariant ist und somit die freie Energie nicht vom Winkel ϕ abhängt. An
Gleichung (1.28) können verschiedene Reorientierungsszenarien diskutiert werden
[z. B. M ILLEV und K IRSCHNER, 1996]. Allerdings können mit diesem Ansatz keine Aussagen über die effektiven Anisotropien Kn ( L, T ) gemacht werden, so kann
speziell weder die Schichtdickenabhängigkeit noch die Temperaturabhängigkeit bestimmt werden.
G RADMANN [1986] schlug als Erweiterung dieses Konzeptes vor, daß die Größen
Kn ( L, T ) die Form
Kn ( L, T ) = Knv ( T ) + Kns ( T ) + Kni ( T ) L−1 + O( L)−2
(1.29)
haben. Diese Formel definiert die Volumenanisotropien Knv ( T ) sowie die Oberflächenanisotropien Kns ( T ) an der Filmoberfläche und die Anisotropien Kni ( T ) an der
Grenzfläche des Films zum Substrat. Oft werden die beiden Oberflächenanteile zur
mittleren Oberflächenanisotropie
Kns̄ ( T ) =
1 s
Kn ( T ) + Kni ( T )
2
(1.30)
13
1 Einleitung
zusammengefaßt, da eine Trennung der beiden Anteile experimentell nur schwer
möglich ist. Wenn die höheren Ordnungen in (1.29) vernachlässigbar sind, kann mit
diesem Ansatz der schichtdickenabhängige Spinreorientierungsübergang beschrieben werden und experimentell die Beiträge Knv ( T ) sowie Kns̄ ( T ) bestimmt werden.
Tatsächlich zeigen viele Materialien bei einer Auftragung von LKn ( L, T ) über L lineares Verhalten.
1.3.6 Rauhigkeit und Inhomogenitäten
B RUNO [1988a,b] untersuchte den Einfluß von Oberflächenrauhigkeit auf die Oberflächenanisotropie. Er fand, daß sowohl der dipolare Anteil als auch der Beitrag
lokaler Anisotropien stark von der Rauhigkeit abhängen. Dies zeigt, daß das Herstellungsverfahren und die Oberflächenbeschaffenheit der Filme das magnetische
Verhalten stark verändern können.
Auch nichtmagnetische Deckschichten können einen Einfluß auf das magnetische
Verhalten von dünnen Filmen haben, da sie die Oberflächenanisotropie verändern.
Die Auswirkung einer unvollständigen Bedeckung eines magnetischen Films durch
nichtmagnetische Inseln wurde von M ALY [1999] untersucht. Eine Übersicht der
experimentellen Befunde über den Zusammenhang von Struktur und Magnetismus
liefert B LAND und H EINRICH [1994].
1.4 Übersicht experimenteller Arbeiten
In den letzten Jahren sind eine große Anzahl von experimentellen Arbeiten über
Spinreorientierungsübergänge in zahlreichen ferromagnetischen Materialien erschienen, von denen hier einige erwähnt werden sollen. Eine detaillierte Übersicht
findet man z. B. in [G RADMANN, 1993; A LLENSPACH , 1994; FARLE, 1998].
1.4.1 Fe/Cu(100)
PAPPAS et al. [1990] fanden mit spinpolarisierter Elektronenspektroskopie in ultradünnen Eisenfilmen auf Kupfer einen reversiblen temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang von senkrechter Orientierung der Magnetisierung bei dünnen
Filmen bzw. tiefen Temperaturen zu planarer Orientierung bei dicken Filmen bzw.
hohen Temperaturen. Übergänge von diesem Typ werden im folgenden Fe-artig genannt.
14
1.4 Übersicht experimenteller Arbeiten
?
Abbildung 3: Das von Q IU et al. [1993] bestimmte experimentelle Phasendiagramm von
Fe/Ag(001). Der Stern (?) kennzeichnet Tr aus der Messung von B ERGER und H OPSTER
[1996].
1.4.2 Fe/Ag(100)
Q IU et al. [1993] bestimmten mit oberflächensensitivem magnetooptischem K ERReffekt (SMOKE) das in Abbildung 3 dargestellte Filmdicke-Temperatur-Phasendiagramm
von Fe/Ag(100). Sie fanden einen sowohl dicken- als auch temperaturgetriebenen
Spinreorientierungsübergang, wobei am Übergang ein etwa 1 ML bzw. etwa 50 K
breiter Bereich mit stark abgesenkter Magnetisierung auftrat; die Autoren nannten
dies eine “Pseudolücke mit komplexer magnetischer Struktur” und vermuteten Domänenbildung. Hysteresemessungen von B ERGER und H OPSTER [1996] legten nahe,
daß diese Lücke tatsächlich durch Domänen erklärt werden kann. Diese Autoren
fanden in ihren 3,8 Monolagen dicken Proben den Spinreorientierungsübergang allerdings bereits nahe 270 K ((?) in Abbildung 3, vgl. auch Abbildung 23). Dies läßt
vermuten, daß die Lage der Phasengrenzlinie stark von der Probenbeschaffenheit
abhängt [vgl. S CHALLER et al., 1999].
1.4.3 Co/Au(111)
Der schichtdickenabhängige Fe-artige Spinreorientierungsübergang in Co/Au(111)
wurde von A LLENSPACH et al. [1990] sowie von O EPEN et al. [1997] mit dem Ra-
15
1 Einleitung
sterelektronenmikroskop mit Polarisationsanalyse (SEMPA) untersucht. Während
A LLENSPACH et al. einen kontinuierlichen Übergang mit etwa 1,5 ML breitem Übergangsbereich finden, verläuft in den Experimenten von O EPEN et al. der Übergang
diskontinuierlich mit einem intermediären Koexistenzbereich. Beide Arbeitsgruppen finden eine komplexe Domänenstruktur sowohl in der senkrechten als auch in
der planaren Phase.
1.4.4 [Tb/Fe]n
TAPPERT et al. [2000] untersuchten Tb/Fe-Multilagen mit Hilfe der Mößbauerspektroskopie. Der von ihnen gefundene Fe-artige temperaturgetriebene und kontinuierliche Spinreorientierungsübergang kann mit der in dieser Arbeit vorgestellten
Molekularfeldtheorie beschrieben werden [TAPPERT et al., 2000, Abb. 9].
1.4.5 Ni/Cu(001)
Der Spinreorientierungsübergang in Ni/Cu(001) verläuft genau entgegengesetzt zu
den bisher beschriebenen Materialien. Übergänge von diesem Typ werden deshalb
im folgenden Ni-artig genannt. Wie Messungen von S CHULZ und B ABERSCHKE
[1994] mit ferromagnetischer Resonanz (FMR) ergaben, liegt bei dünnen Ni-Filmen
die Magnetisierung in der Filmebene und rotiert bei L r ≈ 7 ML innerhalb eines
schmalen Intervalls ∆Lr < 1 ML in die senkrechte Richtung. Dieses ungewöhnliche Verhalten wird dadurch erklärt, daß Nickel mit einer tetragonalen Verzerrung
auf dem Kupfer aufwächst. Kupfer(001) hat eine um etwa 2,5% größere Gitterkonstante als das epitaktisch aufwachsende kubisch flächenzentrierte Nickel; die
Einheitszelle von Nickel wird deshalb lateral gestreckt und in Normalenrichtung gestaucht. Dadurch werde im Nickel eine positive Volumenanisotropie K v induziert,
die eine senkrechte Orientierung bevorzugt (vgl. Abschnitt 1.1.3). Rechnung von
H JORTSTAM et al. [1997] mit lokaler Dichtenäherung (LDA) ergaben, daß dieser Mechanismus tatsächlich eine positive Volumenanisotropie ergibt. In Konkurrenz zu
K v steht die Dipolwechselwirkung, die immer eine planare Orientierung bevorzugt,
sowie eine negative Oberflächenanisotropie K s , die bei hinreichend dünnen Filmen
gemäß Gleichung (1.29) zu einer negativen totalen Anisotropie K = K v + K s / L und
damit zu der planaren Magnetisierung führt. U IBERACKER et al. [1999] konnten in
einer neueren Arbeit mit der K ORRINGA -K OHN -R OSTOKER -Methode (KKR) sowohl
K v als auch K s im Grundzustand berechnen, wobei die Ergebnisse gut mit den
Messungen an Ni/Cu(001) [S CHULZ und B ABERSCHKE, 1994; S CHULZ et al., 1995;
B ABERSCHKE und FARLE, 1997; FARLE et al., 1997b] übereinstimmen.
16
818
M Farle
1.4 Übersicht experimenteller Arbeiten
Abbildung
4: Das44.
von Phase
B ABERSCHKE
und
[1997] experimentell
bestimmte
PhasendiaFigure
diagram
forFARLE
Ni/Cu(001)
from [24]:
H denote
parallel,
tilted andN
gramm von
Ni/Cu(001),
entnommen
aus
[F
ARLE
,
1998].
Die
Symbole
bezeichnen
die plaperpendicular orientation of the magnetization. For open circles see text.
All other symbols
. Data at 8,2
ML(N
are
takendie
from
figure
43. Lines Magnetisierung
are guide to the(
eyes
separating
indicateT
nare Phase
(H), diecsenkrechte
Phase
) sowie
Phase
mit gekippter
,
regionsSymbole
with parallel,
tilted,
perpendicular spontaneous
MURIE
andtemperatur
the para- and
O). Die übrigen
markieren
dieand
schichtdickenabhängige
C
Tc ( Lferromagnetic
).
region.
Ebenso wird in diesem System ein kontinuierlicher temperaturgetriebener Spindue
to the formation of abeobachtet
stripe domain
In our
weMfind
6= 0, which
reorientierungsübergang
[FARLEpattern.
et al., 1997a,c],
dercase
ebenfalls
r umgekehrt
indicates
different in
reversal
mechanism.
a simple
Stoner–Wohlfarth
zu demaÜbergang
Eisenfilmen
abläuft. Assuming
Das resultierende
Phasendiagramm
vonmodel, this
may
be
interpreted
more
as
a
single-domain
behaviour.
Although
MOKE
measurements
are
B ABERSCHKE und FARLE [1997] ist in Abbildung 4 dargestellt. Dieser temperaturgemostly
used
in the study
of SRT,theoretisch
based on nur
these
hysteresis loops
alone itund
would
triebene
Übergang
war bisher
unzureichend
verstanden
wirdbe difficult
to im
distinguish
a stable
(single-domain)
Rahmen dieser
Arbeit
untersucht. magnetization with a tilted equilibrium angle from
a multidomain state. FMR measurements can answer this question unambiguously. The
result of our FMR and MOKE investigations is summarized in figure 44 which shows the
1.4.6 Fe/Cr(001)
orientations
of the magnetization as a function of film thickness and reduced temperature
T /Tc (d). All data points except those of the 8,2 ML film and except the open circles are
Ein anderer Typ von Spinreorientierungsübergang ist kürzlich von B ÖDEKER et al.
based on angular-dependent FMR measurements as for example in figures 34 and 38. This
[1998] mit Neutronenstreuung in Chromfilmen gefunden worden, die mit wenigen
also involved an accurate determinationTcoffor each layer. One can identify three stability
Monolagen
abgedeckt
sind. Im antiferromagnetischen
Chrom represent
tritt im Voluregions
of the Eisen
spontaneous
magnetization.
The up (down) triangles
measurements
men
unterhalb
der
N
ÉEL
temperatur
T
≈
311
K
eine
inkommensurable
SpindichN
for which a perpendicular (parallel) orientation was found. The squares stand for equilibrium
tewelle
h. die
Momente
Chroms
moduliert
mitresults
einer (open
90◦ .magnetischen
For completeness,
wedes
have
also sind
included
earlier
angles
0 <auf,
θeqd.<
Modulationswellenlänge
λSDW
eininirrationales
nächste
Nachbaonly
[216]. TheVerhältnis
diagram zum
shows
that, for
example at
circles)
which were analysed
K
in2, die
λ
≈
21a
beträgt.
In
dünnen
rabstand
a
hat
und
bei
tiefen
Temperaturen
etwa
d = 7 ML, anntilted orientation is found between
t = 0.5SDW
and 0.85,nnwhile atd = 8 ML the
Fe/Cr(001)-Filmen
kann
diese
Spindichtewelle
parallel
oder
senkrecht
temperature interval is shifted to lower values. The full
lines,
which zur
are Filmebeonly guides to the
)
or
the
perpendicular
M
(
)
components
eye,
the sein
boundaries
where zu
thedickenparallel
(Mund
ne mark
orientiert
und es kommt
temperaturabhängigen
Reorientiek
⊥
of rungen
M disappear.
TheSpindichtewelle
broadest thickness-dependent
SRTgekoppelten
interval
1d ≈( 1.5
ML) is found
sowohl der
also auch der daran
magnetischen
width
of detaillierte
the SRT asUntersuchung
a function T
of/T
changes.
The
maximum
at Momente
T /TC ≈ 0.5.
C also
desThe
Chroms.
Eine
dieser
Effekte
wurde
von
BÖwidth is found around 7,6 ML. One should note that despite the decreased slope of the
lower boundarydc( > 7.6 ML) the absolute temperature for the appearanceMof
⊥ still
decreases considerably, since
TC (d) increases.
17
The results in figure 44 support the interpretation of a second-order phase transition with
a continuous change of the angle of the magnetization. This can be seen in analogy to the
second-order structural phase transition in SrTiO
3 where the oxygen octahedron continuously
rotates around the crystallographic
c-axis [171]. Another possible interpretation is to
consider the changes in symmetry M
as rotates from in-plane to out-of-plane. Similar
1 Einleitung
DEKER
[1996] durchgeführt.
1.5 Aufbau dieser Arbeit
Zunächst werden in Kapitel 2 mit zahlentheoretischen Methoden analytische Ausdrücke für Dipolsummen auf verschiedenen zweidimensionalen Gittern hergeleitet.
Weiterhin werden Formeln angegeben, mit denen die Dipolsummen für dickere Filme numerisch bestimmt werden können. In Kapitel 3 wird das System analytisch im
Grundzustand behandelt. Es werden Kriterien für den Spinreorientierungsübergang
sowie für dessen Ordnung aufgestellt. Außerdem wird untersucht, ob die langreichweitige Dipolwechselwirkung im Grundzustand zu Domänen führt.
Die Untersuchungen des Spinreorientierungsübergangs werden in Kapitel 4 mit
Hilfe einer Molekularfeldtheorie auf endliche Temperaturen ausgedehnt. In der Bilage mit L = 2 Lagen wird exemplarisch für dickere Filme der Einfluß der Verteilung
der uniaxialen Anisotropien sowie äußerer Magnetfelder untersucht. Weiterhin werden die in der phänomenologischen L ANDAUtheorie eingeführten effektiven Anisotropien Kn ( T ) numerisch aus dem mikroskopischen Modell berechnet. In Kapitel 5
wird eine Methode zur Monte Carlo-Simulation des Spinreorientierungsübergangs
entwickelt und die damit gewonnenen Resultate mit den Ergebnissen der Molekularfeldtheorie verglichen.
Mit Hilfe einer Störungstheorie werden in Kapitel 6 analytische Ausdrücke für
die Abhängigkeit der Größen Kn ( T ) von den Parametern des Modells hergeleitet
sowie eine Zerlegung in Volumen- und Oberflächenanteil K v ( T ) bzw. K s ( T ) vorgenommen. Weiterhin wird untersucht, welche Rolle die Entropie bei dem Spinreorientierungsübergang einnimmt. Schließlich wird das Modell in Kapitel 7 auf
kontinuierliche Filmdicken erweitert, da im Experiment der Spinreorientierungsübergang sehr empfindlich von der Filmdicke abhängt und teilweise im Submonolagenbereich durchlaufen wird. Die Ergebnisse dieses erweiterten Modells werden
abschließend mit dem Experiment verglichen.
18
2 Dipolsummen
Zunächst erfolgen einige allgemeine Betrachtungen über die Dipolwechselwirkung
von Spins auf einem regelmäßigen zweidimensionalen Gitter G in der xy-Ebene.
Wenn auf G alle Spins s j außer dem Spin s0 im Koordinatenursprung parallel
orientiert sind, lautet die Summe der Dipolwechselwirkungsenergien (1.11) von
Spin s0 mit allen anderen Spins s j
Eω = ω s0 · W̃G · s j
(2.1)
mit dem summierten effektiven Dipoltensor
W̃G =
∑ W (r ) ,
(2.2)
r ∈G
wobei sich die Summe über alle Punkte r von G erstreckt. Man beachte, daß r z = 0
ist, da alle Gitterpunkte in der xy-Ebene liegen.
Hat G eine Spiegelsymmetrie entlang der xz-Ebene (r y = 0), so ist mit r auch
0
r = (r x , −r y , 0) ein Gitterpunkt. Man kann die entsprechenden zwei Summanden
W(r ) und W(r 0 ) in (2.2) zusammenfassen, wobei sich die Außerdiagonalelemente
gegenseitig wegheben. Der summierte effektive Dipoltensor ist dann diagonal und
hat die Form
1 − 3r̂2x
0
0
0 1
0
1 − 3r̂2y 0 ,
(2.3)
W̃G = ∑ 3
r
r ∈G
0
0
1
der Strich am Summenzeichen bedeutet hier und im folgenden, daß divergierende
Anteile (hier r = 0) aus der Summation ausgenommen sind.
Wenn G zusätzlich eine Rotationssymmetrie mit einem Drehwinkel φ = 2π /n
um den Ursprung aufweist, gilt für die Diagonalelemente des Dipoltensors W(r k )
zwischen dem Spin s0 und den n Spins an den Punkten rk , die aus dem Punkt bei r
durch diese Rotation hervorgehen,
3 2
(r̂ − r̂2k,y )
r3 k,x
3
4π k 4π k
2
2
= 3 2r̂x r̂ y sin
+ (r̂x − r̂ y ) cos
.
n
n
r
Wxx (rk ) − Wyy (rk ) = −
(2.4)
19
2 Dipolsummen
Da für n ≥ 3 gilt
n−1
∑
k=0
sin
4π k
=
n
n−1
∑ cos
k=0
4π k
= 0,
n
(2.5)
verschwindet die Differenz der Diagonalelemente W̃xx und W̃yy des summierten Dipoltensors für Gitter mit mindestens dreizähliger Symmetrie. Man erhält in diesem
Fall, da r̂2x + r̂2y = 1 ist, die einfache Form
1
r3
(2.6)
mit der effektiven Dipolcharakteristik
−1/2
0
0
A= 0
−1/2 0 .
0
0
1
(2.7)
W̃G = A
∑
0
r ∈G
Der summierte effektive Dipoltensor (2.2) hat also für Gitter mit den genannten
Symmetrien die einfache Form (2.6). Betrachtet man die H AMILTON funktion (1.21)
ohne lokalen Anteil Hl , so liegen demnach auf diesen Gittern im Grundzustand
alle Spins parallel in der xy-Ebene und der Grundzustand ist kontinuierlich entartet. In zwei Dimensionen haben alle im folgenden untersuchten Gitter außer dem
K AGOMÉgitter (Abschnitt 2.1.6) diese Symmetrien.
Die Grundzustandsenergie hängt in diesem Fall nur noch von dem in (2.6) verbleibenden nichttrivialen Term ∑ 0 r ∈G r−3 ab und wird nun für verschiedene zweidimensionale Gitter analytisch bestimmt.
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen
Unter der Gittersumme eines Gitters G wird in dieser Arbeit eine Summe der Form
ΦG (s) =
∑
0 −2s
r
(2.8)
r ∈G
mit s ∈ R verstanden1 . Mit dieser Definition kann Gleichung (2.6) für Gitter mit der
obengenannten Symmetrie in der Form
(2.9)
W̃G = ΦG 32 A
geschrieben werden.
1 Die
Variable s hat sich für diesen Exponenten eingebürgert, eine Verwechslung mit einer Spinvariablen ist nicht zu befürchten.
20
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen
Die Konvergenz der Gittersumme (2.8) ist abhängig von der Raumdimension D
des Gitters G und vom Exponenten s. Man kann zeigen, daß die Summe (2.8) für
2s > D absolut konvergent ist, während sie für 2s ≤ D divergiert.
In den folgenden Abschnitten werden exakte Resultate für die Gittersummen
verschiedener zweidimensionaler Gitter hergeleitet. Die hierfür benötigten Begriffe
aus der Zahlentheorie werden zunächst kurz erläutert.
2.1.1 D IRICHLETsche Reihen
Eine D IRICHLETsche Reihe hat die Form
∞
∑
F (s) =
f (n) n−s ,
(2.10)
n=1
dabei heißt F (s) die erzeugende Funktion von f (n) [z. B. H ARDY und W RIGHT, 1979,
§ 17.1]. So ist z. B. die R IEMANNsche Zetafunktion ζ (s) die erzeugende Funktion
der einfachsten D IRICHLETschen Reihe mit f (n) = 1, da für s > 1 gilt [z. B.
A BRAMOWITZ und S TEGUN , 1972, § 23.2.1]
∞
ζ (s) =
∑
n−s .
(2.11)
n=1
Sind zwei D IRICHLETsche Reihen ∑u f (u) u−s und ∑ v g(v) v−s absolut konvergent
und F (s) und G (s) ihre erzeugenden Funktionen, so gilt für das Produkt [z. B.
H ARDY und W RIGHT, 1979, § 17.4]
∞
H (s) = F (s) G (s) =
∑
f (u) u−s
u=1
∞
∑
g(v) v−s =
v=1
∞
∑ h(n) n−s
(2.12a)
n=1
mit
h(n) =
∑
u v=n
f (u) g(v) =
∑ f (d) g(n/d).
(2.12b)
d|n
Der Ausdruck d|n bedeutet, daß d Teiler von n ist; so läuft z. B. für n = 6 die
Summe über die Zahlen d ∈ {1, 2, 3, 6}. In diesem Zusammenhang sei auch die
später benötigte Divisorfunktion [z. B. A BRAMOWITZ und S TEGUN , 1972, § 24.3.3]
σk (n) =
∑ dk
(2.13)
d|n
erwähnt.
Zur Darstellung der zu berechnenden Gittersummen definieren wir die erzeugende Funktion
∞
Cα1 ,...,αm (s) =
∑ cα1 ,...,αm (n) n−s
(2.14a)
n=1
21
2 Dipolsummen
der periodischen D IRICHLET schen Reihe mit den Koeffizienten
cα1 ,...,αm (n) = αn mod m .
(2.14b)
So ist z. B. c1,0 (n) die periodische Folge 1, 0, 1, 0, . . ., während für die R IEMANN sche Zetafunktion (2.11) gilt ζ (s) = C1 (s). Funktionen vom Typ (2.14a) kann man
durch die verallgemeinerte bzw. H URWITZsche Zetafunktion [z. B. W OLFRAM, 1996,
§ 3.2.10]
∞
ζ (s, a) =
∑ (k + a)−s
0
(2.15)
k=0
ausdrücken, und man erhält
Cα1 ,...,αm (s)
(2.14a)
=
(2.14b)
=
∞
∑ cα1 ,...,αm (n) n−s
n=1
∞ m
∑ ∑ αi (km + i)−s
k=0 i =1
m
−s
i
= m ∑ αi ∑ k +
m
i =1
k=0
(2.15) −s m
i
= m ∑ αi ζ s,
.
m
i =1
∞
−s
(2.16)
Für das obengenannte Beispiel ergibt sich C1,0 (s) = 2−sζ (s, 1/2). Mit der erzeugenden Funktion (2.14a) lassen sich verschiedene Gittersummen analytisch berechnen.
2.1.2 Abbildung der Dipolsummen auf D IRICHLETsche Reihen
Falls für alle Gitterplätze r des Gitters G die Bedingung r 2 ∈ N0 gilt, läßt sich die
Gittersumme (2.8) als D IRICHLETsche Reihe
∞
ΦG (s) =
∑ φG (n) n−s
(2.17)
n=1
schreiben. Die Funktion φG (n) ist die Anzahl der n-ten nächsten Nachbarn auf
dem Gitter G , wobei hier mit “n-ten nächsten Nachbarn” je zwei Plätze bezeichnet
√
werden, die den Abstand r = n haben. So gibt es z. B. nach dieser Definition
auf dem Quadratgitter
keine dritten nächsten Nachbarn, da keine zwei Plätze den
√
Abstand r = 3 haben.
22
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen
2.1.3 Das Quadratgitter
Das Quadratgitter G hat die Basisvektoren
1
0
e1 =
e2 =
,
0
1
(2.18)
und für die Gittervektoren r und für den Abstand r von dem Gitterpunkt im
Ursprung zu einem Platz bei r gilt
r = ie1 + je2
⇒
2
r
= i 2 + j2
(2.19)
2 in der Form n = i 2 + j2 wird
mit i, j ∈ Z. Die Anzahl der Darstellungen von n = r
in der Zahlentheorie mit r(n) bezeichnet und ergibt sich aus dem dort behandelten
Problem der Zerlegung einer Zahl in zwei Quadratzahlen. Es gilt [z. B. H ARDY und
W RIGHT, 1979, § 17.9]
r(n) = 4 ∑ c1,0,−1,0 (d)
(2.20)
d|n
mit c1,0,−1,0 (n) aus Gleichung (2.14b)2 . Für das Quadratgitter ist somit
φ ( n ) = r ( n ) ,
(2.21)
und man erhält als erzeugende Funktion der Gittersumme des Quadratgitters
(2.17)
Φ ( s ) =
=
∞
∑ φ ( n ) n − s
n=1
∞
4
(2.12)
= 4
∑ ∑ c1,0,−1,0(d) n−s
n=1 d|n
∞
∑
u=1
=
u−s
∞
∑ c1,0,−1,0(v) v−s
v=1
4 ζ (s) C1,0,−1,0 (s).
Mit Gleichung (2.16) lautet das Ergebnis [H UCHT et al., 1995]
Φ (s) = 41−s ζ (s) ζ (s, 14 ) − ζ (s, 43 ) .
(2.22)
(2.23)
Die entsprechenden Werte Φ G (3/2) für den Fall der Dipolwechselwirkung sind in
Tabelle 2 aufgeführt.
2C
1,0, − 1,0( s )
wird in [H ARDY und W RIGHT, 1979] mit L(s) bezeichnet
23
2 Dipolsummen
e2
e1
Abbildung 5: Das Dreieckgitter G 4 mit den Basisvektoren e 1 und e2 hat sechszählige
Symmetrie.
2.1.4 Das Dreieckgitter
Das in Abbildung 5 dargestellte Dreieckgitter G 4 besitzt sechszählige Symmetrie
und hat die Basisvektoren
1
1 1
√ ,
e1 =
(2.24)
e2 =
2
3
0
für den Gittervektor r und die Abstände vom Ursprung gilt hier
r4 = ie1 + je2
⇒
r24 = i 2 + i j + j2
(2.25)
mit i, j ∈ Z. Die Anzahl der Lösungen der Gleichung n = i 2 + i j + j2 ist wiederum
in der Zahlentheorie untersucht [z. B. R OSE, 1988, § 9.5, Aufg. 18(i)], man erhält3
φ4 (n) = 6 ∑ c1,−1,0 (d).
(2.26)
d|n
Analog zur Betrachtung des Quadratgitters (2.23) ergibt sich für die Gittersumme
des Dreieckgitters G4
Φ4 (s) = 6 ζ (s) C1,−1,0 (s)
= 6 · 3−s ζ (s) ζ (s, 13 ) − ζ (s, 32 ) .
(2.27)
2.1.5 Das Honigwabengitter
Die Gittersumme des Honigwabengitters G läßt sich von der Gittersumme des
Dreieckgitters G4 ableiten. Dazu unterteilt man das Dreieckgitter in die drei Un3c
24
1, − 1,0( n )
wird in [R OSE, 1988] mit e1 (n) bezeichnet
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen
GA
GB
GC
e2
e1
e3
Abbildung 6: Das Honigwabengitter G mit den Basisvektoren e 1 , e2 und e3 hat dreizählige
Symmetrie. Eine Plakette des entfernten Untergitters G C ist schattiert dargestellt.
tergitter
GA , GB und GC gemäß Abbildung 6. Die Gitterkonstante dieser Untergitter
√
ist 3. Der Ursprung sei in Untergitter G A . Mit den Basisvektoren der Untergitter
1 3
0
1
√
e1 =
e2 = √
e3 =
(2.28)
2
3
3
0
lauten die Gittervektoren und die Abstände der Untergitterplätze vom Ursprung
rA = ie1 + je2
⇒
r2A = 3 i 2 + i j + j2
(2.29)
rB = rA + e3
⇒
r2B = 3 i 2 + i j + j2 + i + 1
2
2
r C = −r B
⇒
rC = rB
mit i, j ∈ Z. Da 3|r2A , also r2A immer durch 3 teilbar ist, r2B und r2C bei Division durch
3 jedoch stets den Rest 1 ergeben, gibt es keine Untergitterplätze aus G A , die den
gleichen Abstand r vom Ursprung haben wie Untergitterplätze aus G B oder GC .
Weiterhin gibt es zu jedem Abstand r 2 vom Ursprung ebensoviele Plätze in G B und
GC .
Man erhält das Honigwabengitter, indem man eines der Untergitter G B oder GC
(hier GC ) entfernt. Das Honigwabengitter besteht dann aus den zwei Untergittern G A
und GB und hat dreizählige Symmetrie. Die Anzahl der Plätze mit r = r A hat sich
durch das Entfernen von GC nicht geändert, die Anzahl der Plätze mit r = r B = rC
hat sich genau halbiert. Also gilt für die Anzahl der n-ten nächsten Nachbarn im
Honigwabengitter
φ4 (n) falls 3|n (Untergitter GA )
φ (n) =
(2.30)
1
(Untergitter GB ).
2 φ4 (n) sonst
25
2 Dipolsummen
Da Untergitter GA kongruent zum
√ ursprünglichen Gitter G4 ist, hat es die gleiche
Anzahl Nachbarn im Abstand 3 r wie G4 im Abstand r, d. h.
φ4 (n) = φA (3n) = φ4 (3n).
(2.31)
Somit erhält man als Resultat die Gittersumme des Honigwabengitters
1 ∞
1 ∞
φ4 (n) n−s + ∑ φ4 (3n) (3n)−s
∑
2 n=1
2 n=1
∞
1
1 + 3−s ∑ φ4 (n) n−s
=
2
n=1
−s
ζ (s) C1,−1,0 (s)
= 3 1+3
−s
= 3·3
1 + 3−s ζ (s) ζ (s, 13 ) − ζ (s, 32 ) .
Φ (s) =
(2.32)
2.1.6 Das K AGOMÉgitter
Die Gittersumme des K AGOMÉgitters G kann ebenfalls vom Dreieckgitter G 4
abgeleitet werden: Nun unterteilt man das Dreieckgitter in die vier Untergitter G A ,
GB , GC und GD mit der Gitterkonstanten 2 gemäß Abbildung 7. Der Ursprung sei
wieder in Untergitter GA . Mit den Basisvektoren der Untergitter
1 −1
1 1
1
√
√ ,
e2 =
e3 = −
(2.33)
e1 =
0
2
3
2
3
gelten für die Untergitterplätze die Formeln
rA = 2ie1 + 2 je2
rC = 2ie3 + 2 je1 + e2
rB = 2ie1 + 2 je2 + e3
rD = 2ie2 + 2 je3 + e1
(2.34)
mit i, j ∈ Z. Für die Abstände der Untergitterplätze vom Ursprung folgt hieraus
r2A = 4 i 2 − i j + j2
(2.35a)
(2.35b)
r2B = r2C = r2D = 4 i 2 − i j + j2 − 2i − 2 j + 1.
Da 4|r2A , jedoch r2B , r2C und r2D immer ungerade sind, gibt es wieder keine Untergitterplätze aus GA , die den gleichen Abstand r vom Ursprung haben wie Untergitterplätze aus GB , GC oder GD . Weiterhin gibt es auch hier zu jedem Abstand r 2 vom
Ursprung gleichviele Plätze in G B , GC und GD , da diese drei Untergitter durch eine
120°-Rotation um den Ursprung auseinander hervorgehen.
Man erhält das K AGOMÉgitter, indem man wieder ein Untergitter, hier G D , entfernt. Das K AGOMÉgitter besteht dann aus den drei Untergittern G A , GB und GC .
26
2.1 Analytische Ausdrücke in zwei Dimensionen
GC
GB
e2
GD
GA
e1
e3
Abbildung 7: Das K AGOMÉgitter G mit den Basisvektoren e 1 , e2 und e3 der Untergitter hat
nur eine zweizählige Symmetrie. Eine Plakette des entfernten Untergitters G D ist schattiert
dargestellt.
Analog zum Honigwabengitter G gilt für die Anzahl der n-ten nächsten Nachbarn
nun
φ4 (n) falls 4|n (Untergitter GA )
φ (n) =
(2.36)
2
(Untergitter GB , GC ).
3 φ4 (n) sonst
Da Untergitter GA auch hier ein kongruentes Dreieckgitter ist, gilt
φ4 (n) = φA (4n) = φ4 (4n),
(2.37)
die Gittersumme des K AGOMÉgitters lautet also
2 ∞
1 ∞
−s
φ
(
n
)
n
+
4
∑ φ4 (4n) (4n)−s
3 n∑
3
=1
n=1
∞
1
2 + 4−s ∑ φ4 (n) n−s
=
3
n=1
−s
= 2 2+4
ζ (s) C1,−1,0 (s)
−s
= 2·3
2 + 4−s ζ (s) ζ (s, 13 ) − ζ (s, 32 ) .
Φ (s) =
(2.38)
Das K AGOMÉgitter hat nur eine zweizählige Symmetrie um einen Gitterplatz,
deshalb sind wie bereits am Anfang dieses Kapitels erwähnt die planaren Komponenten W̃xx und W̃yy in (2.3) hier nicht gleich und können mit dieser Methode nicht analytisch bestimmt werden. Eine numerische Bestimmung ergibt
W̃xx ' −6,4152 und W̃yy ' −1,4007 für die angenommene Geometrie, während
W̃zz = Φ (3/2) ' 7,8159 ist. Das bedeutet, daß die Energie Eω aus (2.1) minimal
27
2 Dipolsummen
wird, wenn alle Spins parallel zum Basisvektor e 1 ausgerichtet sind. Dies gilt allerdings nur dann, wenn wie hier angenommen der Spin s 0 in Untergitter GA liegt
und gefordert wird, daß die Spins auf den Untergittern G B und GC parallel stehen.
Befindet sich s0 hingegen im Untergitter GB bzw. GC , so sind unter entsprechenden
Bedingungen alle Spins parallel zu e 2 bzw. e3 . Hieraus folgt, daß das K AGOMÉgitter
bezüglich der Dipolwechselwirkung frustriert ist und daß der hier angenommene
ferromagnetische Zustand instabil ist. Eine detaillierte Untersuchung dieser Instabilität wurde von P ICH [1994] durchgeführt.
Gittertyp G
ΦG (3/2)
Quadratgitter (G )
9,033622
Eindimensionale Kette (G− )
Dreieckgitter (G4 )
Honigwabengitter (G )
K AGOMÉgitter (G )
2,404114
11,034176
6,578852
7,815874
Tabelle 2: Numerische Werte der analytisch berechneten Gittersummen für den Fall der
Dipolwechselwirkung s = 3/2. Zum Vergleich ist der Wert Φ − = 2ζ (3) für die eindimensionale Kette G− angegeben.
2.2 Approximation für dünne Filme
In dieser Arbeit werden neben den bereits berechneten analytischen Ausdrücken für
Dipolsummen auch solche benötigt, die nicht in der beschriebenen Weise bestimmt
werden können. In der Monte Carlo-Simulation in Kapitel 5 wird ein System der
Größe L x × L y × L mit periodischen Randbedingungen in der xy-Ebene betrachtet.
Um in diesem Fall die Dipolwechselwirkung exakt zu berücksichtigen, muß die
Wechselwirkungsenergie eines Spins si am Ort ri ∈ R3 mit den periodischen Bildern
eines Spins s j am Ort r j ∈ R2 ⊗ {0} berechnet werden (Abbildung 8). Wenn man das
Periodizitätsvolumen durch den Vektor
L = ( L x , L y , 1)
(2.39)
beschreibt, lauten die Verbindungsvektoren ri0 j von si mit den periodischen Bildern
von s j an den Orten r 0j
ri0 j = LR + ri j ,
28
(2.40)
2.2 Approximation für dünne Filme
si
sj
Lx
Ly
Abbildung 8: Die Wechselwirkungen des Spins s i am Ort ri oberhalb der Ebene mit den
periodischen Bildern des Spins s j in der Ebene, von denen hier nur einige eingezeichnet
sind, werden aufsummiert. Die laterale Ausdehnung des ursprünglichen Systems ist grau
dargestellt.
wobei R x und R y über alle ganzen Zahlen läuft, während immer R z = 0 ist; dieser
Vektorraum sei Z2 genannt4 . Die Komponente ( L) z ist beliebig, da R z immer null
ist, und wurde in (2.39) auf eins gesetzt. Der summierte effektive Dipoltensor (2.2)
lautet nun
W̃( L, r ) =
∑
0
W( LR + r )
R ∈Z2
= Sp S( L, r ) 1 − 3S( L, r )
(2.41)
mit der Matrix
S( L, r ) =
∑
0
R ∈Z2
( LR + r ) 2
.
| LR + r |5
(2.42)
Diese Summen werden im Anhang A.1 nach der Methode von B ENSON und M ILLS
[1969] berechnet und die Ergebnisse nun zusammengefaßt.
2.2.1 Wechselwirkungen innerhalb der Ebene
Wenn sich der Spin si wie die Spins s j in der xy-Ebene befindet, ist r z = 0. In diesem
Fall erhält man mit den Abkürzungen5 ρ = r / L, κ = k/ L und r 0 = LR + r für die
4 Für
das direkte Produkt LR gilt ( LR)µ = Lµ Rµ
beachte, daß analog zum direkten Produkt ( a/b)µ = aµ /bµ ist
5 Man
29
2 Dipolsummen
Elemente von S aus (2.42) die in Anhang A.1.1 berechneten Ausdrücke
S xx ( L, r ) =
S xy ( L, r ) =
4ζ ± ( 2, ρ x ) 16π 2
+
3L y
3L2x L y
16π 2
3L y
∑
k y =1
∞
κ 2y cos (2πκ y r y )
∑
0
R x =−∞
K2 (2πκ y |r0x |) (2.43a)
∞
∞
∑
∞
k y =1
κ 2y sin (2πκ y r y )
∑
0
R x =−∞
sgn (r0x )K1 (2πκ y |r0x |)
Sµ z ( L, r ) = 0
(2.43b)
(2.43c)
mit der symmetrisierten H URWITZschen Zetafunktion (vgl. (2.15)) für s = 2
(
∞
π2
für a = 0
0
±
−2
3
ζ (2, a) = ∑ (k + a) =
π2
sonst
2
k=−∞
(2.44)
sin π a
und den modifizierten B ESSELfunktionen Kn ( x). Das Matrixelement S yy ergibt sich
aus (2.43a) durch Vertauschung von x und y, während S yx = S xy ist.
2.2.2 Wechselwirkungen zwischen den Ebenen
Befindet sich der Spin si nicht in der xy-Ebene, so sind die Dipolsummen leichter
zu berechnen, da ri j immer von null verschieden ist und deshalb keine Singularität
auftreten kann. Wie in Anhang A.1.2 gezeigt wird, gilt nun
1
4π 2
K2
(2.45)
S( L, r ) =
e−2π (iκ ·r +κ |r z |)
−
∑
3L x L y k∈Z 2π |r z |
κ
2
mit dem komplexwertigen Vektor
K = (κ x , κ y , −iκ sgn r z ).
(2.46)
Da Sp K 2 = 0 ist, folgt für die Spur von S
Sp S( L, r ) =
2π
e−2π (iκ ·r +κ |r z |) .
L x L y |r z | k∑
∈Z
(2.47)
2
Für den summierten effektiven Dipoltensor (2.41) erhält man somit für r z 6= 0 das
Ergebnis
W̃( L, r ) =
4π 2
Lx L y
∑
k ∈Z2
K 2 −2π (iκ ·r +κ |r z |)
.
e
κ
(2.48)
Diese schnell konvergierenden Summen können numerisch auf dem Rechner bestimmt werden.
30
2.3 Dreidimensionale kubische Gitter
a0
a 0 = a nn
a0
a nn
a nn
ek
kfz
krz
Abbildung 9: Die betrachteten dreidimensionalen kubischen Gitter. Nächste Nachbarn
im Abstand ann sind mit einer durchgezogenen Linie verbunden. Die schattierten Plätze
gehören zur Elementarzelle des Gitters.
2.3 Dreidimensionale kubische Gitter
Am Anfang von Kapitel 2 wurde für zweidimensionale Gitter in der xy-Ebene der
effektive summierte Dipoltensor W̃ unter der Bedingung hergeleitet, daß alle Spins
s j außer dem Spin s0 im Koordinatenursprung parallel orientiert sind. Für die in
(2.6) auftretende Gittersumme des Quadratgitters ergab sich (vgl. Kapitel 2.1.3)
∑
0
r ∈G
1
= Φ ( 23 ) ' 9,0336.
r3
Diese Konstante wird im folgenden mit Φ 0 bezeichnet.
Mit Hilfe von Gleichung (2.48) kann nun auch die Gittersumme eines Spins s 0 am
Ort r mit allen Spins s j auf einem Quadratgitter in der xy-Ebene berechnet werden,
wobei wieder die Spins s j parallel stehen sollen. Die Symmetrieüberlegungen vom
Anfang dieses Kapitels lassen sich auch im dreidimensionalen Fall anwenden; da die
nun betrachteten kubischen Gitter in der (001)-Orientierung vierzählige Symmetrie
besitzen, hat W̃ nur eine nichttriviale Komponente W̃zz . Mit L = (1, 1, 1) und dem
Lagenabstand r z > 0 folgt aus Gleichung (2.48)
W̃zz (1, r ) = −4π 2
∑
k e−2π (ik·r +kr z) .
(2.49)
k ∈Z2
Dieser Ausdruck kann für verschiedene dreidimensionale Gitter ausgewertet werden.
31
2 Dipolsummen
2.3.1 Das einfach kubische Gitter
Im einfach kubischen Gitter ek(001) (Abbildung 9 links) ist der Ort eines Spins s 0 in
der Nachbarschicht δ ∈ N0
rek(001) = (0, 0, δ ),
(2.50)
man erhält deshalb
ek(001)
Φ0
(2.51a)
= Φ0
sowie für die Gittersumme (2.49) zwischen zwei Schichten
ek(001)
Φδ
= W̃zz (1, rek(001) ) = −4π 2
∑
k e−2πδ k .
(2.51b)
k ∈Z2
Diese Summe konvergiert exponentiell schnell, für große δ tragen hauptsächlich die
ersten nichtverschwindenden Summanden mit k = 1 zur Summe bei, und es gilt die
Entwicklung
ek(001)
Φδ
= −16π 2 e−2πδ + O(e−2
√
2πδ
),
(2.52)
da für die nächsten nichtverschwindenden Summanden k =
schen Werte sind in Tabelle 3 angegeben.
√
2 ist. Die numeri-
2.3.2 Das kubisch flächenzentrierte Gitter
Für die folgende Betrachtung ist es günstig, das kubisch flächenzentrierte Gitter
kfz(001) um 45°um die z-Achse zu drehen, damit jede Ebene wieder ein normal
orientiertes Quadratgitter ist (siehe Abbildung 9 mitte). Der Ortsvektor eines Spins
in Lage δ lautet in Einheiten des nächste Nachbarabstandes a nn
rkfz(001) =
√
δ
(1, 1, 2).
2
(2.53)
Da jede Lage ein Quadratgitter ist, folgt wie im einfach kubischen Gitter
kfz(001)
Φ0
= Φ0 ,
(2.54a)
und für die Gittersumme (2.49) ergibt sich nun
kfz(001)
Φδ
= W̃zz (1, rkfz(001) ) = −4π 2
∑
k e−πδ (ik x +ik y +
√
2 k)
.
(2.54b)
k ∈Z2
Für große δ folgt analog zum einfach kubischen Gitter
kfz(001)
Φδ
32
= −16π 2 e−
√
2πδ
cos (πδ ) + O(e−2πδ ).
(2.55)
2.3 Dreidimensionale kubische Gitter
2.3.3 Das kubisch raumzentrierte Gitter
Im kubisch raumzentrierte Gitter krz(001) sind die Lagen bereits wie im Quadratgitter orientiert, allerdings sind die Plätze in den Lagen nun keine nächsten Nachbarn,
sondern haben den Abstand
2
a0 = √ ann .
3
(2.56)
Deshalb wird die Gittersumme (2.49) zunächst in Einheiten von a0 berechnet und
daran anschließend das Ergebnis mit dem Faktor
√
3 3
a0 −3
=
(2.57)
ann
8
reskaliert. Der Ortsvektor eines Spins in Lage δ lautet in Einheiten von a 0
rkrz(001) =
δ
(1, 1, 1).
2
(2.58)
Für δ = 0 ergibt sich das Ergebnis
√
3 3
krz(001)
Φ0
=
Φ0 ,
8
(2.59a)
und für δ > 0 erhält man
krz(001)
Φδ
√
3π 2 3
= W̃zz (1, rkrz(001) ) = −
∑ k e−πδ(ikx+ik y+k) .
2
k ∈Z
(2.59b)
2
Für große δ folgt die Entwicklung
√
√
krz(001)
Φδ
= −6 3π 2 e−πδ cos (πδ) + O(e−2πδ/ 3 ).
(2.60)
2.3.4 Vergleich mit der Kontinuumstheorie
Die Ausdrücke für diskrete dreidimensionale kubische Gitter werden nun mit der
Kontinuumstheorie [z. B. YAFET und G YORGY, 1988] verglichen. In dieser Näherung
werden die diskreten Summen durch Integrale über eine konstante Dipoldichte
ersetzt. Man erhält in der Geometrie dünner Filme für das effektive Dipolintegral
den Wert
ΦK =
8π
' 8,3776.
3
(2.61)
Wenn man dieses Ergebnis mit den hier erzielten Werten vergleichen will, so müssen die unterschiedlichen Packungsdichten der verschiedenen betrachteten Gitter
33
2 Dipolsummen
berücksichtigt werden. In Abbildung 9 sind schattiert die n0 Gitterplätze eingezeichnet, die zur Elementarzelle mit dem Volumen a 30 gehören. Das Einheitsvolumen a 3nn
enthält somit
ρ=
a3nn
n0
a30
(2.62)
Gitterplätze. Berücksichtigt man diesen Faktor, so gilt für alle drei kubischen Gitter
lim
∆
∑
∆→∞ δ =−∆
ΦδG = ρG ΦK ,
(2.63)
diese Summe wird mit ΦGΣ bezeichnet. Die Dipolsumme eines Spins im Innern eines
dünnen Films ist somit bis auf den Dichtefaktor ρ identisch mit dem Dipolintegral
aus der Kontinuumslösung. Da die Konstanten Φδ exponentiell schnell klein werden, gilt die Formel (2.63) auch schon für einen Spin in einem wenige Monolagen
dicken Film. Es ist hier wichtig anzumerken, daß Φ GΣ nicht die allgemeine Lösung
der dreidimensionalen Dipolsumme ist. In drei Dimensionen ist die Dipolsumme
nicht absolut konvergent und hängt von der Reihenfolge der Grenzübergänge ab.
Die in dieser Arbeit berechneten Dipolsummen gelten nur für die Geometrie dünner Filme, die Grenzübergänge L x → ∞ und L y → ∞ sind also zuerst ausgeführt
worden. In Gleichung (2.63) ist danach der Grenzübergang L → ∞ entlang der
z-Achse durchgeführt worden und das Ergebnis gilt nur für diese Reihenfolge.
ek(001)
Φ0
Φ1
Φ2
Φ3
Φ4
ΦΣ
9,0336
−3,2746 × 10−1
kfz(001)
krz(001)
9,0336
5,8675
1,4294
2,7126
−5,5498 × 10−4
−2,2633 × 10−2
−2,1269 × 10−1
−1,9206 × 10−9
−3,0250 × 10−6
−3,6047 × 10−4
4
2
−1,0290 × 10−6
8,3776
n0
1
a0
ann
ρ
1
2,5550 × 10−4
11,8477
√
2 ann
√
2
8,0401 × 10−3
10,8828
√2 ann
3
√
3
4 3
Tabelle 3: Dipolsummen Φδ und Gitterparameter (siehe Text) für dreidimensionale kubische Gitter
34
2.3 Dreidimensionale kubische Gitter
Um zu verstehen, warum in Gleichung (2.63) die Diskretheit des Gitters keine Rolle spielt, betrachte man einen Spin s 0 in der mittleren Lage eines Films mit ungerader
Dicke L, in dem alle anderen Spins s j parallel ausgerichtet sind. Die Dipolbeiträge der Spins aus dem Würfel mit der Kantenlänge L um den Spin s 0 heben sich
aus Symmetriegründen exakt weg; übrig bleiben nur die Beiträge von Spins mit
r > L/2. Da für große Abstände die Diskretheit des Gitters vernachlässigbar ist,
folgt Gleichung (2.63). Mit dieser Überlegung kann man zwar verstehen, warum
Gleichung (2.63) im Grenzfall ∆ → ∞ gilt, es wird allerdings so nicht offensichtlich,
warum diese Summe exponentiell schnell konvergiert und deshalb der Fehler selbst
in der mittleren Schicht eines L = 3 Lagen dicken einfach kubischen Gitters nur
2Φ2 /Φ0 ≈ 10−4 beträgt.
35
3 Grundzustandseigenschaften
Bei T = 0 kann das betrachtete Modell weitestgehend analytisch behandelt werden,
wenn man annimmt, daß der Grundzustand des Systems die Symmetrie der H A MILTONfunktion (1.21) hat und somit translationsinvariant in der xy-Ebene ist. Diese
Annahme ist zwar, wie in Abschnitt 3.2 gezeigt wird, in der Phase mit senkrechter
Magnetisierung streng genommen falsch, da der Grundzustand immer ein Streifenzustand ist. Allerdings ist der Energieunterschied pro Spin ∆E z des exakten Grundzustandes mit Streifendomänen zum ferromagnetischen Zustand (Gleichung (3.30)),
wie in Abschnitt 3.2.1 gezeigt wird, von der Ordnung ωe− J /2ω und für die in dieser
Arbeit verwendeten Parametersätze vernachlässigbar. Magnetfelder B und Anisotropien vierter Ordnung Eλ werden in diesem Kapitel nicht berücksichtigt.
3.1 Der Spinreorientierungsübergang
Die H AMILTONfunktion (1.21) eines Systems der Geometrie ∞ × ∞ × L reduziert
sich unter der Annahme der Translationsinvarianz in der xy-Ebene zu der Energie
pro Oberflächenspin
E(s) = −
L
ω L
J L
z
s
·
s
+
Φ
s
·
A
·
s
−
Dµ (sµz )2
ν
ν
∑
∑
∑
|µ −ν | µ
|µ −ν | µ
2 µ ,ν =1
2 µ ,ν =1
µ =1
(3.1)
mit s = (s1 , . . . , s L ). Hier bezeichnen µ und ν Schichtindizes1 , z|µ −ν | ist die Anzahl
nächster Nachbarn zwischen Schicht µ und ν , Φ |µ −ν | sind die in Kapitel 2.3 berechneten Konstanten aus den Dipolsummen, und A aus Gleichung (2.7) beschreibt
die Charakteristik der summierten effektiven Dipolwechselwirkung. Die in dieser
Arbeit benötigten Werte für zδ und Φδ sind in Tabelle 4 aufgelistet.
Da die Matrix A in (3.1) diagonal ist, kann man ohne Beschränkung der
Allgemeinheit annehmen, daß alle Spins sµ in der yz-Ebene liegen. Die Spins
sµ = (0, sin ϑµ , cos ϑµ ) können somit durch ihren Azimutwinkel ϑµ ausgedrückt
1 Schichtindizes
36
werden in dieser Arbeit mit den griechischen Buchstaben λ , µ , ν bezeichnet
3.1 Der Spinreorientierungsübergang
und Gleichung (3.1) als
L
J L
E(ϑ) = − ∑ z|µ −ν | cos (ϑµ − ϑν ) − ∑ Dµ cos 2 ϑµ
2 µ ,ν =1
µ =1
+
ω L
Φ
cos
(
ϑ
−
ϑ
)
+
3
cos
(
ϑ
+
ϑ
)
µ
ν
µ
ν
|µ −ν |
8 µ ,∑
ν =1
(3.2)
mit dem Vektor ϑ = (ϑ1 , . . . , ϑ L ) geschrieben werden. Um den Grundzustand
des Systems zu bestimmen, muß die Energie E(ϑ) bezüglich ϑ minimiert werden.
Hierzu werden zunächst die beiden Punkte ϑ ⊥
λ = 0 mit senkrechter Spinstellung
k
und ϑλ = π /2 mit paralleler Spinstellung untersucht. Für den Gradienten ∂ϑ E(ϑ)
an diesen Punkten gilt mit p = ⊥, k
∂ϑ E(ϑp ) = 0,
(3.3)
d. h. beide Punkte ϑ⊥ und ϑk sind stationär. Es reicht allerdings nicht aus, die
Energien E(ϑ⊥ ) und E(ϑk ) zu vergleichen, um den Grundzustand zu finden, da
nicht gewährleistet ist, daß dies die einzigen stationären Punkte sind. Deshalb
wird eine Stabilitätsanalyse dieser Punkte durchgeführt. Hierzu werden die H ESSEmatrizen der Energie (3.2)
Cp := ∂ϑ2 E(ϑp )
(3.4)
an diesen Punkten berechnet, man erhält
L
ω
Φ|µ −ν | + δµν +2Dµ + ∑ Jz|λ −µ | − ωΦ|λ −µ |
2
λ =1
L
ω
= − Jz|µ −ν | + ωΦ|µ −ν | + δµν −2Dµ + ∑ Jz|λ−µ | + Φ|λ−µ | .
2
λ =1
⊥
= − Jz|µ −ν | −
Cµν
k
Cµν
(3.5a)
(3.5b)
Die Eigenwerte der H ESSEmatrix an einem Punkt bestimmen die Stabilität der
Lösung: Sind alle Eigenwerte positiv bzw. negativ, hat die Funktion an der Stelle ein
Gitter
z0
z1
zδ >1
Φ0
Φ1
ek(001)
4
1
0
9,034
kfz(001)
4
4
0
9,034
−0,327
krz(001)
0
4
0
5,868
1,429
2,713
Φδ >1
∼ −16π 2 e−2πδ
√
∼ ∓16π 2 e− 2πδ
√
∼ ∓6 3π 2 e−πδ
Tabelle 4: Anzahl nächster Nachbarn zδ und Dipolsumme Φδ zweier Schichten im Abstand
δ für das einfach kubische (ek), das kubisch flächenzentrierte (kfz) und das kubisch raumzentrierte Gitter (krz).
37
3 Grundzustandseigenschaften
Minimum bzw. ein Maximum; haben die Eigenwerte unterschiedliches Vorzeichen,
so liegt ein Sattelpunkt vor. Wir betrachten nun die Stabilität des Systems unter
Variation der Dipolenergie ω. Ein stabiles Minimum an einem stationären Punkt
ϑp wird dann instabil, wenn der kleinste Eigenwert2
ηp (ω) := ewmin Cp (ω)
(3.6)
p
der H ESSEmatrix C p (ω) auf ηp (ωr ) = 0 absinkt. Wenn man die beiden resultierenxy
den kritischen Dipolenergien ωr und ωrz gemäß
xy
ηk (ωrz ) = 0
η⊥ (ωr ) = 0,
(3.7)
xy
definiert3 , so ist der Spinreorientierungsübergang diskontinuierlich für ω r = ωrz
xy
xy
und kontinuierlich für ωr < ωrz . Wenn ωr < ω < ωrz ist, sind beide stationären
Punkte ϑp instabil. Der stabile Grundzustand ist dann ein nichttrivialer stationärer
Punkt mit gekippter Spinorientierung.
An den Punkten mit kollinearer Magnetisierung, d. h. ϑ λ = ϑ = const, kann man
Gleichung (3.2) weiter vereinfachen und erhält
E( L) (ϑ) = −
L
J
ω
3ω
2
z
Φ
Φ
+
+
δ
D
−
µν
µ
∑ 2 |µ−ν| 4 |µ−ν|
|µ −ν | cos ϑ.
4
µ ,ν =1
(3.8)
Diese Ergebnisse werden nun für verschiedene Filmdicken diskutiert.
3.1.1 Die Monolage
In der Monolage mit L = 1 folgt für die zweiten Ableitungen (3.5) durch Einsetzen
3ω
3ω
k
ηk = C11 =
Φ0 + 2D1 ,
Φ0 − 2D1 ,
(3.9)
2
2
d. h. beide Eigenwerte verschwinden, falls die Anisotropiekonstante D 1 den Wert
⊥
η⊥ = C11
=−
3ω
Φ0
(3.10)
4
hat. Bei diesem Verhältnis von lokaler uniaxialer Anisotropie zur Dipolwechselwirkung tritt im Grundzustand ein diskontinuierlicher Spinreorientierungsübergang
(1)
auf. Für D1 > D1,r ist das System senkrecht magnetisiert mit der Grundzustandsenergie
(1)
D1,r =
ω
J
(1)
EGS = E(1) (0) = − z0 − D1 + Φ0 ,
2
2
2 Die
(3.11a)
Funktion ewmin (A) liefert den kleinsten Eigenwert der symmetrischen Matrix A
xy
Energie ω, bei der der Punkt ϑ ⊥ instabil wird, wird mit ωr bezeichnet, da an dieser Stelle
xy
xy
eine Magnetisierung m xy kritisch wird: Es ist m xy = 0 für ω ≤ ωr und m xy 6= 0 für ω > ωr ;
z
k
analoges gilt für m und ϑ .
3 Die
38
3.1 Der Spinreorientierungsübergang
(1)
während die Magnetisierung für D1 < D1,r planar ausgerichtet ist und die Grundzustandsenergie
ω
J
(1)
EGS = E(1) ( π2 ) = − z0 − Φ0
2
4
(3.11b)
(1)
beträgt. Wenn D1 = D1,r ist, ist die Orientierung beliebig und das System ist dort
somit isotrop [TAYLOR und G YÖRFFY, 1993; H UCHT et al., 1995].
3.1.2 Die Bilage
Für L = 2 können die kleinsten Eigenwerte η p der H ESSEmatrix (3.5) an den beiden
stationären Punkten ϑ⊥ und ϑk ebenfalls explizit berechnen werden und ergeben
mit Dh = ( D1 + D2 )/2 und ∆D = D1 − D2
r
ω
ω 2
η⊥ = Jz1 + 2Dh − (3Φ0 + 2Φ1 ) − ∆D 2 + Jz1 + Φ1
(3.12a)
2
2
r
2
ω
k
(3.12b)
η = Jz1 − 2Dh + (3Φ0 + Φ1 ) − ∆D 2 + Jz1 − ωΦ1 .
2
Nullsetzen der beiden Eigenwerte liefert die Phasengrenzen der Bilage im Grundzustand.
Das so berechnete Phasendiagramm ist in Abbildung 10 dargestellt. Dieses Diagramm wurde für Parametersatz PLD=λ 2 berechnet, bei dem die mittlere Anisotropiekonstante Dh auf den Wert J /4 fixiert ist. Durchläuft man dieses Phasendiagramm
xy
von links nach rechts, so wird bei der kritischen Dipolenergie ω r der Eigenwert
η⊥ negativ. Die senkrechte Phase wird instabil und es tritt eine planare Komponente m xy 6= 0 der Magnetisierung auf, d. h. die Magnetisierung ist verkippt, da der
Eigenwert ηk ebenfalls negativ ist. Bei weiterer Erhöhung von ω wird bei ω rz der
Eigenwert ηk positiv und die planare Phase stabil, hier verschwindet die senkrechte
Komponente m z . Dieser Spinreorientierungsübergang ist kontinuierlich in ω außer
für ∆D = 0; dort gilt
(2)
(2)
D1,r = D2,r =
3
(Φ0 + Φ1 )ω.
4
(3.13)
In diesem Spezialfall verhält sich die Bilage analog zur Monolage, da sie dann
homogen ist, d. h. alle Spins eine äquivalente Umgebung haben. Für die Parameter
in Abbildung 10 ist dies der Fall, wenn D1 = D2 = J /8 und ω ' 0,01916J ist, an
diesem Punkt berühren sich die beiden Phasengrenzen.
Die Bilage eignet sich somit als Modellsystem für den kontinuierlichen Spinreorientierungsübergang und wird in folgenden Kapiteln bei endlichen Temperaturen
39
3 Grundzustandseigenschaften
Anisotropiedifferenz ∆D/ΣλDλ
1,0
⊥
||
η =0
0,8
η =0
0,6
0,4
xy
m →0
z
m →0
0,2
0,0
0,016
0,017
0,018
0,019
0,020
0,021
Dipolwechselwirkung ω/J
0,022
D
Abbildung 10: Grundzustandsphasendiagramm der Bilage für Parametersatz PL=λ 2 mit
veränderlichem ω. Der Spinreorientierungsübergang ist kontinuierlich außer für ∆D = 0.
Die strichpunktierte Linie entspricht PLD=λ 2 (vgl. Abbildung 13), der Kreis markiert Parametersatz PL=2 .
mit einer Molekularfeldtheorie (Kapitel 4.3) und mit Monte Carlo-Simulationen (Kapitel 5.3) untersucht.
3.1.3 Dickere Filme
Für dickere Filme mit L > 2 kann ebenfalls berechnet werden, wann der Übergang
im Grundzustand diskontinuierlich ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn E(ϑ) in
Gleichung (3.8) unabhängig von ϑ wird. Hierzu müssen sich die Vorfaktoren von
cos 2 ϑ schichtweise kompensieren, man erhält
( L)
Dλ ,r =
3ω L
Φ|λ −µ | .
4 µ∑
=1
(3.14)
Es ist also keinesfalls so, das der diskontinuierliche Übergang auftritt, wenn alle
Anisotropien Dλ gleich sind, vielmehr muß sich die uniaxiale Anisotropie Dλ in
Schicht λ gerade mit den Dipolfeldern aller Schichten kompensieren. Die auch in
Filmen mit mehr als zwei Lagen auftretende Phase mit gekippter Magnetisierung
wird in Kapitel 6.3 mit Hilfe einer Störungsrechnung untersucht.
40
3.2 Streifendomänen in der Monolage
3.2 Streifendomänen in der Monolage
Eine weitere in dieser Arbeit behandelte Fragestellung ist, ob der Grundzustand der
Monolage (L = 1) ferromagnetisch geordnet ist oder ob die Dipolwechselwirkung
eine Domänenstruktur bevorzugt. Für eine hinreichend große uniaxiale Anisotropie
zeigen alle Spins in die ± z-Richtung. In diesem Fall ergaben Kontinuumsrechnungen von YAFET und G YORGY [1988], daß der ferromagnetische Zustand instabil ist
und der Grundzustand eine Streifenstruktur aufweist, während C ZECH und V IL LAIN [1989] berechneten, daß eine Schachbrettstruktur die niedrigere Energie hat.
Spätere Rechnungen von K APLAN und G EHRING [1993] zeigten, daß der Grundzustand in der Kontinuumstheorie tatsächlich Streifendomänen aufweist und daß
das Ergebnis von C ZECH und V ILLAIN [1989] durch eine unzureichende Näherung
erlangt wurde.
TAYLOR und G YÖRFFY [1993] konnten zeigen, daß für nicht zu kleine Werte der
Dipolenergie ω/ J der Grundzustand auf dem diskreten Quadratgitter ebenfalls ein
Streifenzustand ist. Allerdings konnten die Autoren ihre numerischen Rechnungen
z
nicht in den Bereich erweitern, wo ω/ J klein und damit die Domänenbreite NGS
groß wird. Sie schlugen vor, daß das System für kleine Werte von ω/ J in einen
z bei einem endlichen Wert von
ferromagnetischen Zustand übergeht, d. h. das NGS
ω/ J divergiert.
Während K APLAN und G EHRING [1993] im Rahmen einer Kontinuumsnäherung
z ermittelt haben und M AC I SAAC
asymptotische Ausdrücke für die Streifenbreite NGS
z auf einem diskreten Gitter auf numerische
et al. [1995] bei der Berechnung von NGS
z in im Abschnitt 3.2.1 dieser Arbeit auf
Methoden zurückgreifen mußten, wird NGS
dem diskreten Gitter im Rahmen einer 1/ N Entwicklung ohne weitere Näherungen
bestimmt [H UCHT und U SADEL, 1996]. In Abschnitt 3.2.2 wird zusätzlich die paral(1)
lele Phase, in der D1 < D1,r aus (3.10) ist, auf das Auftreten von Streifendomänen
untersucht.
3.2.1 Senkrechte Spinorientierung
Das Ziel dieses Abschnitts ist die Berechnung der Energie eines Systems mit Streifendomänen der Breite N auf einem unendlich ausgedehnten Quadratgitter sowie die
z mit minimaler Energie. Es wird ohne Beschränkung der
Bestimmung der Breite NGS
Allgemeinheit angenommen, daß die Streifen parallel zur x-Achse angeordnet sind.
Da bei senkrechter Orientierung der Spins jeder Spin die Energie − D 1 und weiterhin
in x-Richtung alle Bindungen die Energie − J beitragen, während in y-Richtung jede
41
3 Grundzustandseigenschaften
N-te Bindung gebrochen ist und mit + J beiträgt, lautet die Energie pro Spin
1
ω
z
E ( N ) = −2J 1 −
− D1 + Ψ z ( N ) ,
(3.15)
N
2
wobei ωΨ z ( N )/2 die Dipolenergie des Streifenzustandes ist. Da die Streifendomänen translationsinvariant entlang der Streifen sind, läßt sich das zweidimensionale
auf ein eindimensionales Problem abbilden.
Um Ψ z ( N ) zu bestimmen, wird zunächst die Dipolsumme ψ z ( L y , r y ) eines
+ z-Spins bei (0, 0) mit + z-Spins an den Positionen ( R x , L y R y + r y ) mit R x , R y ∈ Z
berechnet. Mit Gleichung (2.41) sowie L = (1, L y , 1) und r = (0, r y , 0) lautet diese
Summe
ψ z ( L y , r y ) = W̃zz ( L, r ) =
∑
0
R ∈Z2
| LR + r |−3 .
(3.16)
Der Strich an der Summe bedeutet, daß divergente Summanden nicht berücksichtigt
werden sollen. Für 0 < r y < L y erhält man durch eine F OURIERtransformation
(siehe Anhang A.1)
ψz ( L y , r y ) =
∞
∞
K1 (2π k x | L y R y + r y |)
2π 2
−2 π r y
π
sin
+
8
k
x
∑
∑
Ly
|Ly Ry + ry |
L2y
R y =−∞
k x =1
(3.17)
mit der modifizierten B ESSELfunktion K1 ( x). Nun zählt man die Anzahl der gebrochenen Bindungen relativ zum ferromagnetisch geordneten Zustand, dessen Dipolsumme Φ0 in Kapitel 2.1.3 analytisch berechnet wurde, und erhält
4
Ψ z ( N ) = Φ0 − 2ψ z (2N, N ) −
N
N −1
∑
n=1
nψ z (2N, n).
(3.18)
Das Verhalten von Ψ z ( N ) soll für große N untersucht werden. Für N 1 kann
K1 ( x) in (3.17) entwickelt werden und ergibt
Ψ z ( N ) = Φ0 −
π2
8C1
2π 2
− 2− 3
N
N
N
N −1
∑
n sin −2
n=1
πn
+ O( N −1/2 e−2π N )
2N
(3.19)
mit der Konstanten
∞
C1 = 4 π
∑ σ1 (n)K1 (2π n) ' 0,0124509.
(3.20)
n=1
Hier ist σk (n) die zahlentheoretische Divisorfunktion (2.13). Der letzte Term in (3.19)
kann mit Hilfe der E ULER -M ACLAURIN schen Summenformel [z. B. A BRAMOWITZ
und S TEGUN, 1972, § 32.1.30]
Z1
k f (1) − dk f (0)
n
N
∞ B
d
k+1
x
x
(3.21)
∑ f N = N f (x) dx + f (1) − f (0) + ∑
k
(
k
+
1
)
!
N
n=1
k=0
0
42
3.2 Streifendomänen in der Monolage
mit dem Ableitungsoperator d x = d/dx und den B ERNOULLIzahlen Bk weiter
entwickelt werden. Man erhält für den letzten Term in Gleichung (3.19)
8
2N
2π 2 N −1
π2
−2 π n
+ O( N )−3
(3.22)
n
sin
=
γ
+
ln
−
1
+
2
2N
N
π
N 3 n∑
N
=1
mit der E ULERschen Konstanten γ ' 0,577216. Schließlich lautet die Dipolsumme
von Streifendomänen der Breite N
8
N
Ψ z ( N ) = Φ0 −
1 + ln
+ O( N )−3
(3.23)
N
N0
mit der charakteristischen Breite
π
N0 = e−(γ +C1 ) ' 0,871026.
2
(3.24)
Einsetzen von (3.23) in (3.15) ergibt die gesuchte Energie des Streifenzustandes
N
2
ω
z
E ( N ) = −2J − D1 + Φ0 +
J − 2ω 1 + ln
+ O( N )−3 .
(3.25)
2
N
N0
z gilt
Für die Domänenbreite mit minimaler Energie NGS
z
d N E z ( NGS
) = 0,
(3.26)
und man erhält durch Differentiation und Auflösen nach N
J
J
z
= N0 e 2ω + O(e− 2ω )
NGS
(3.27)
mit der Grundzustandsenergie [H UCHT und U SADEL, 1996]
ω
Φ0 −
2
ω
= −2J − D1 + Φ0 −
2
z
= −2J − D1 +
EGS
4ω
z −3
z + O( NGS )
NGS
3J
4ω − J
e 2ω + O(e− 2ω ).
N0
(3.28)
z ist endlich für alle endlichen Werte von ω, allerdings
Die Domänenbreite NGS
wächst sie exponentiell an, wenn J /2ω groß wird. Die Energie des ferromagnetischen Grundzustandes lautet in Übereinstimmung mit Abschnitt 3.1.1
z
EFM
= lim Ez ( N ) = −2J − D1 +
N →∞
ω
Φ0 .
2
(3.29)
Der Energiegewinn ∆E z durch die Bildung von Streifendomänen beträgt somit
z
z
=
∆E z = EFM
− EGS
3J
4ω − J
4ω
z −3
) =
e 2ω + O(e− 2ω ).
+ O( NGS
z
NGS
N0
(3.30)
43
3 Grundzustandseigenschaften
Diese Domänen können allerdings für die verwendeten Parametersätze vernachz ( J /ω) als Funktion
lässigt werden; so hat die so berechnete Domänenbreite NGS
z
von J /ω für Parametersatz PFe den Wert NGS (2650) ≈ 10571 und für PNi den
z (104 ) ≈ 102171 , man erhält also effektiv einen ferromagnetischen GrundWert NGS
zustand. Erst bei einer deutlich schwächeren Austauschwechselwirkung wird das
Ergebnis physikalisch relevant: Da der nächste Nachbarabstand in den betrachtez (118)
ten Systemen etwa ann = 0,25 nm beträgt (vgl. Kapitel 4.6.3), ergibt z. B. NGS
z (45) ≈ 1 m ist und N z für J /ω = 10 etwa
noch etwa 1 Lichtjahr, während NGS
GS
130 Gitterabstände beträgt. In diesem Parameterbereich sind dipolare Spinsysteme
Gegenstand aktueller Forschung [M AC I SAAC et al., 1996; S TARIOLO und C ANNAS,
1999].
3.2.2 Planare Spinorientierung
Zur Berechnung der Domänenbreite von planaren Streifendomänen muß analog
zum vorherigen Abschnitt die Energie
1
ω
x
E ( N ) = −2J 1 −
(3.31)
+ Ψx ( N )
N
2
bestimmt werden. Nun wird zunächst die Dipolsumme eines + x-Spins am Ort (0, 0)
mit + x-Spins an den Positionen ( R x , L y R y + r y )
ψ x ( L y , r y ) = W̃xx ( L, r ) =
∑
0
R ∈Z2
| LR + r |2 − 3R2x
| LR + r |5
(3.32)
bestimmt. Für 0 < r y < L y ergibt diese Summe (siehe Anhang A.1)
ψ x ( L y , r y ) = 8π 2
∞
∑
k x =1
k2x
∞
∑
R y =−∞
K0 (2π k x | L y R y + r y |).
(3.33)
Der Ausdruck für die Dipolsumme Ψ x ( N ) aus (3.31) ist analog zu Gleichung (3.18)
und lautet
Ψx ( N ) = −
4
Φ0
− 2ψ x (2N, N ) −
2
N
N −1
∑
n=1
nψ x (2N, n).
(3.34)
Für große N ergibt eine Entwicklung nach 1/ N
Φ0
4
− (C2 − 32π 2 K0 [2π ( N + 1)]) + O N −3/2 e−2π ( N +2) (3.35)
2
N
mit der Konstanten
Ψx ( N ) = −
C2 = 16π 2
44
∞
∑ nσ1 (n)K0 (2π n) ' 0,145902.
n=1
(3.36)
3.2 Streifendomänen in der Monolage
Die Energie des planaren Streifendomänenzustandes hat somit den Wert
1
2 2
E ( N ) = −2J − Φ0 ω +
J − ωC2 + 32π ωK0 [2π ( N + 1)]
N
4
+ O N −3/2 e−2π ( N +2)
x
(3.37)
x wird nun über die Bedingung
Die Domänenbreite im Grundzustand NGS
x
d N E x ( NGS
)=0
(3.38)
x
bestimmt, man erhält die implizite Gleichung für NGS
J
x
x
x
= C2 − 32π 2 K0 [2π ( NGS
+ 1)] + 2π NGS
K1 [2π ( NGS
+ 1)]
ω
q
+O
x
x e−2π ( NGS +2) .
NGS
(3.39)
Mit der rechten Seite von Gleichung (3.39) für Streifenbreite 1, die numerisch inklusive der höheren Ordnungen den Wert
C3 ' 0,142998
(3.40)
ergibt, können drei Fälle unterschieden werden:
J
ω ≥ C2 : In diesem Parameterbereich, der für alle in dieser Arbeit untersuchten
x , und man erhält eine planare ferroSysteme gilt, divergiert die Domänenbreite NGS
magnetische Phase. Die Grundzustandsenergie beträgt wie in Abschnitt 3.1.1
x
= Ex (∞) = −2J −
EGS
ω
Φ0 .
4
J
ω
x
= 1, man erhält
≤ C3 : Hier ist die Grundzustandsenergie minimal für NGS
Streifendomänen der Breite 1. Die Grundzustandsenergie beträgt
x
EGS
= Ex (1) ' −2,54944ω.
(3.41)
C3 < ωJ < C2 : In diesem schmalen Bereich ist der Grundzustand des Systems ein
x > 1. Die Grundzustandsenergie
Streifendomänenzustand mit endlicher Breite NGS
muß numerisch aus den Gleichungen (3.37, 3.39) berechnet werden. Für N 1
können die B ESSELfunktionen entwickelt werden, und es ergibt sich
x
ω
2 ( J − ω C2 )
x
x
x −3/2 −2π NGS
EGS
= Ex ( NGS
) = −2J − Φ0 +
+
O
(
N
)
e
.(3.42)
GS
x
4
NGS
Diese Streifendomänen werden lediglich durch das exponentiell mit dem Abstand
abfallende Nahfeld der diskreten Dipolketten verursacht. Dies erklärt den extrem
schmalen Bereich, in dem diese Domänen auftreten.
45
4 Molekularfeldtheorie
In diesem Kapitel wird der Spinreorientierungsübergang bei endlichen Temperatur
im Rahmen einer Molekularfeldtheorie untersucht, wobei insbesondere der temperaturgetriebene Übergang betrachtet wird. Zunächst wird ausgehend von der
B OGOLIUBOV -Ungleichung die Methode und deren Anwendung auf das vorliegende Problem beschrieben. Daran anschließend wird auf die Implementation auf dem
Rechner eingegangen. Eine Diskussion der Bilage mit L = 2 Schichten erfolgt in
den Abschnitten 4.3 und 4.4, da der dort normalerweise auftretende Spinreorientierungsübergang zweiter Ordnung einfacher zu beschreiben ist als der Phasenübergang erster Ordnung in der Monolage, der in Abschnitt 4.5 behandelt wird. In
Abschnitt 4.6 werden experimentell interessante dickere Filme behandelt, wobei die
verwendeten Parameter an experimentelle Werte angepaßt werden. Dort werden
auch die experimentell relevanten temperaturabhängigen effektiven Anisotropien
Kn ( T ), die in der phänomenologischen L ANDAUtheorie eingeführt werden, aus der
mikroskopischen Theorie berechnet.
4.1 Methode
4.1.1 Die B OGOLIUBOV-Ungleichung
Der Formalismus für die Molekularfeldtheorie wird hergeleitet für eine allgemeine
bilineare H AMILTON funktion
H=−
1
si · Ji j · s j + H l
2∑
ij
(4.1a)
mit dem Einteilchenanteil
Hl = ∑ Hl,i (si ),
(4.1b)
i
der keine Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Spins enthält. Sei weiterhin
H? (ξ ) = − ∑ ξi · si + Hl
i
46
(4.2)
4.1 Methode
eine lösbare Einteilchennäherung1 von (4.1) mit den unbestimmten und freien rex y z
ellen Variationsparametern ξ = (ξ 1 , ξ2 , . . .) mit ξi = (ξi , ξi , ξi ). Man kann zeigen
[z. B. C ALLEN, 1985, S. 433], daß für die freie Energie F der H AMILTONfunktion (4.1)
die B OGOLIUBOV-Ungleichung
F ≤ F (ξ ) = F ? (ξ ) + hH − H ? (ξ )iξ
(4.3)
gilt, wobei der Erwartungswert h · iξ mit der lösbaren H AMILTON funktion H ? (ξ )
berechnet wird und F ? (ξ ) die lösbare freie Energie ist.
Die Stellen ξ̃ (n) , für die der Gradient
∂ξ F (ξ̃ ) = 0
(4.4)
ist, heißen stationäre Punkte der freien Energie2 . Im allgemeinen kann ein stationärer Punkt ξ̃ ein Minimum, Maximum oder Sattelpunkt sein. Die beste Näherung
für F , genannt die freie Energie F MF in Molekularfeldnäherung, ergibt sich, wenn
man F (ξ ) bezüglich des vektoriellen Variationsparameters ξ minimiert. Sie ist somit das Minimum der freien Energien F̃ (n) ≡ F (ξ̃ (n) ) an den stationären Punkten
ξ̃ (n)
FMF = min F (ξ ) = min F̃ (n) = F (ξ̃ MF ),
ξ
n
(4.5)
mit dem stationären Punkt ξ̃ MF mit minimaler freier Energie.
Für den Erwartungswert hH − H ? (ξ )iξ in der B OGOLIUBOV -Ungleichung (4.3)
gilt unter Verwendung der Gleichungen (4.1, 4.2)
1
hH − H ? (ξ )iξ = ∑hsi iξ · ξi − ∑ Ji j · hs j iξ .
(4.6)
2 j
i
Schreibt man die Spinerwartungswerte hsi iξ mit (A.16) als Ableitung der lösbaren
freien Energie
hsi iξ = −∂ξi F ? (ξ ),
(4.7)
so kann die gesuchte Variationsfunktion F (ξ ) durch die freie Energie der lösbaren
Näherung F ? (ξ ) ausgedrückt werden:
1
F (ξ ) = F ? (ξ ) − ∑ ∂ξi F ? (ξ ) · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ? (ξ ) .
(4.8)
2 j
i
1 Der
2 Die
hochgestellte Stern steht für “lösbar”, siehe auch Notation auf Seite 166
Tilde steht für “stationärer Punkt”
47
4 Molekularfeldtheorie
Man kann zu F (ξ ) eine Variations-H AMILTON funktion H(ξ ) definieren. Der Vorteil hiervon ist, daß für die Größen F (ξ ) und H(ξ ) die Identitäten aus Anhang A.2.1
gelten. Es ist analog zur Definition von F (ξ ) aus (4.3)
H(ξ ) = H ? (ξ ) + hH − H ? (ξ )iξ
1
= − ∑ ξi · si − ξi − hi (ξ ) · hsi iξ + Hl
2
i
(4.9)
mit dem sogenannten Molekularfeld am Ort i
hi (ξ ) =
∑ Ji j · hs j iξ .
(4.10)
j
Man beachte, daß H(ξ ) wegen der Erwartungswerte h · iξ implizit temperaturabhängig ist.
Das Variationsproblem (4.3) wird folgendermaßen gelöst: Gesucht sind die stationären Punkte ξ̃ , für die Bedingung (4.4) gilt. Da die Variationsparameter ξi linear
unabhängig sind, ist ∂ξ j ⊗ ξi = δi j 1; da weiterhin die lösbare H AMILTON funktion
(4.2) keine Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Orten i und j enthält, gilt
∂ξi ⊗ ∂ξ j F ? (ξ ) = δi j ∂ξ2i F ? (ξ ). Für den Gradienten von F (ξ ) ergibt sich durch Ableiten von Gleichung (4.8)
1
∂ξk F (ξ ) = −∂ξ2 F ? (ξ ) · ξk + ∑[Jk j + J jk ] · ∂ξ j F ? (ξ ) .
(4.11)
k
2 j
Wenn die Wechselwirkung Ji j symmetrisch bezüglich Vertauschung von i und j ist,
erhält man mit
(4.12)
hhsi , si iiξ := −∂ξ2i F ? (ξ ) = β hsi2 iξ − hsi iξ2
aus (A.29b) das Ergebnis
∂ξk F (ξ ) = hhsk , sk iiξ · ξk − hk (ξ ) .
(4.13)
ξ̃ k = h̃k ≡ hk (ξ̃ ) = ∑ Jk j · m̃ j ,
(4.14)
An einem stationären Punkt ξ̃ verschwindet dieser Gradient, es gilt somit mit der
Magnetisierung von Spin i am stationären Punkt3 m̃i = hsi i für die Variationsparameter die wichtige Formel
j
da die Größe hhs, sii in (4.13) immer positiv ist. Für die Ersatz-H AMILTON funktion
H̃ an einem stationären Punkt erhält man schließlich den Ausdruck
1
(4.15)
H̃ ≡ H(ξ̃ ) = Hl − ∑ h̃i · si − m̃i .
2
i
3 An
einem stationären Punkt wird bei Erwartungswerten im folgenden der Index ξ̃ weggelassen,
d. h. h · i := h · iξ̃ .
48
4.1 Methode
4.1.2 Stabilität der Lösung
Zur Untersuchung der Stabilität eines stationären Punktes ξ̃ muß die H ESSEmatrix
der freien Energie F (ξ ) bezüglich der Variationsparameter ξ an diesem Punkt
bestimmt werden. Diese Matrix wird im Anhang A.2.5.4 berechnet und lautet
∂ξi ⊗ ∂ξ j F̃ = δi j hhsi , si ii − hhsi , si ii · Ji j · hhs j , s j ii.
(4.16)
Ein stationärer Punkt ξ̃ ist stabil, wenn die freie Energie an dieser Stelle ein lokales
Minimum einnimmt. Dies ist der Fall, wenn alle Eigenwerte der H ESSEmatrix (4.16)
positiv sind (vgl. Kapitel 3.1). Deshalb wird zur Stabilitätsanalyse der kleinste
Eigenwert der H ESSEmatrix bestimmt.
4.1.3 Die spezifische Wärme
Die spezifische Wärme C bei konstantem Magnetfeld ist die Ableitung der inneren
Energie am stationären Punkt Ũ nach der Temperatur
C = d T Ũ = d T hH̃i.
Wendet man hierauf Gleichung (A.19) mit A = H̃ an, erhält man
C = β2 hH̃ 2 i − hH̃i2 − β hd T H̃ H̃i − hd T H̃ihH̃i + hd T H̃i.
(4.17)
(4.18)
Da die stationäre H AMILTONfunktion H̃ = H(ξ̃ ) nur implizit über den stationären
Punkt ξ̃ ( T ) von der Temperatur abhängt, kann man diese Gleichung mit der Kettenregel
d T H̃ = ∂ξ H̃ · d Tξ̃
(4.19)
umformen. Für den Erwartungswert hiervon gilt
hdT H̃i = h∂ξ H̃i · d Tξ̃ = 0,
(4.20)
da am stationären Punkt h∂ξ H̃i = 0 ist (4.4, A.16). Also folgt für die spezifische
Wärme
2
2
2
C = β hH̃ i − hH̃i − βhH̃ ∂ξ H̃i · d Tξ̃ .
(4.21)
Nun muß noch die Änderung des stationären Punktes ξ̃ der Molekularfeldgleichungen bei einer Änderung der Temperatur bestimmt werden. Ein stationärer
Punkt ξ̃ ( T ) ist eine komplizierte Funktion der Temperatur, die im allgemeinen nicht
explizit dargestellt werden kann. Dennoch kann man die erste Ableitung d Tξ̃ ( T )
49
4 Molekularfeldtheorie
durch implizite Differentiation berechnen [z. B. B RONSTEIN und S EMENDJAJEW ,
1987, § 3.1.6.3]: Am stationären Punkt gilt stets
∂ξ F (ξ̃ ( T ), T ) = 0.
Für das totale Differential dieses Gradienten folgt deshalb mit der Kettenregel
d(∂ξ F̃ ) = ∂ξ2 F̃ · dξ̃ + ∂ T ∂ξ F̃ dT = 0.
(4.22)
Durch Umformung erhält man
∂ξ2 F̃ · d Tξ̃ = −∂ T ∂ξ F̃ ,
(4.23)
wobei ∂ξ2 F̃ die H ESSEmatrix (4.16) ist. Für die rechte Seite folgt unter Verwendung
von Gleichung (A.19) mit A = ∂ξ H̃
∂ T ∂ξ F̃ = ∂ T h∂ξ H̃i = β2 hH̃ ∂ξ H̃i − βh∂T H̃ ∂ξ H̃i + h∂ T ∂ξ H̃i.
(4.24)
Somit läßt sich durch lösen des Gleichungssystems (4.23) die Größe d Tξ̃ ( T ) aus
Gleichgewichts-Erwartungswerten bestimmen und durch Einsetzen der Lösung in
Gleichung (4.21) die spezifische Wärme C berechnen.
4.1.4 Die Suszeptibilität
Zur Berechnung des Suszeptibilitätstensors am Ort k
χαβ
k =
dm̃αk
dBβ
(4.25)
mit α , β ∈ { x, y, z} muß man die Änderung des stationären Punktes ξ̃ der Molekularfeldgleichungen bei einer Änderung einer Komponente α des angelegten
Magnetfeldes B bestimmen. Am feldabhängigen stationären Punkt ξ̃ ( B) gilt für die
Feldkomponente b = Bα wegen der Stationarität (4.4)
∂ξ F (ξ̃ (b), b) = 0.
Das totale Differential dieser Größe lautet analog zu (4.22)
d(∂ξ F̃ ) = ∂ξ2 F̃ · dξ̃ + ∂b ∂ξ F̃ · db = 0,
(4.26)
und durch Umformung erhält man
∂ξ2 F̃ · dbξ̃ = −∂b ∂ξ F̃ ,
50
(4.27)
4.2 Anwendung auf das Modellsystem
wobei ∂ξ2 F̃ die H ESSEmatrix (4.16) ist. Am stationären Punkt gilt wegen Gleichung
(4.14) in vektorieller Schreibweise die einfache Beziehung zwischen den Magnetisierungen und den Variationsparametern
J = ∂m ⊗ ξ̃
(4.28)
mit m = (m1 , m2 , . . .), und mit der Kettenregel folgt für d bξ̃ in (4.27)
dbξ̃ = db m̃ · (∂m ⊗ ξ̃ ) = J · χα .
(4.29)
Einsetzen in (4.27) ergibt das Ergebnis
∂ξ2 F̃ · J · χα = −∂b ∂ξ F̃
(4.30)
Mit den Formeln in Anhang A.2 kann man diese gemischten partiellen Ableitungen
berechnen und χ durch lösen des Gleichungssystems (4.30) bestimmen.
4.2 Anwendung auf das Modellsystem
4.2.1 Symmetrien
Die zugrundeliegende H AMILTONfunktion H aus (1.21) ist in der Filmebene translationsinvariant, da die lokalen Anisotropien nur vom Lagenindex λ abhängen (vgl.
Kapitel 1.2). Wenn man annimmt, daß die geordneten Phasen des Systems dieselbe
Symmetrie wie H haben (siehe hierzu Kapitel 3), dann sind in der Molekularfeldnäherung die Erwartungswerte hsi iξ und hs j iξ gleich, wenn sich die Spins i und j
in derselben Schicht befinden. Für ein System mit L x × L y × L Spins kann deshalb
das Problem auf ein System mit L Spins s λ reduzieren werden, die jeweils eine Lage
mit L x × L y Spins repräsentieren. Wegen der Rotationsinvarianz in der xy-Ebene
kann außerdem angenommen werden, daß die x-Komponenten ξ λx der Variationsparameter gleich null sind. Ein eventuell vorhandenes Magnetfeld B muß dann in
der yz-Ebene liegen. Die Variations-H AMILTON funktion (4.9) für ein System aus L
Schichten kann somit als Summe
L
H(ξ ) =
∑ Hλ (ξ )
(4.31a)
λ =1
von Einteilchen-H AMILTONfunktionen
1
Hλ (ξ ) = ξλ − hλ (ξ ) · hsλ iξ − ξλ · sλ + Hl,λ
2
(4.31b)
mit den lokalen Anteilen
Hl,λ = − Dλ (sλz )2 − Eλ (sλz )4 − B · sλ
(4.31c)
51
4 Molekularfeldtheorie
geschrieben werden. Das innere Molekularfeld h λ (ξ ) in Schicht λ besteht aus einem
Austauschanteil und einem Dipolanteil
(4.32a)
hλ (ξ ) = h0,λ (ξ ) + hω,λ (ξ )
mit
h0,λ (ξ ) = J
L
∑
µ =1
(4.32b)
z|λ −µ | hsµ iξ
hω,λ (ξ ) = −ωA ·
L
∑ Φ|λ−µ| hsµ iξ
(4.32c)
µ =1
sowie mit der effektiven Dipolcharakteristik A aus Gleichung (2.7) und den Konstanten zδ und Φδ aus Tabelle 4.
Für die freie Energie F (τ , ξ ), die von nun an explizit temperaturabhängig ist, gilt
dann
I L
L
−1
−βH(ξ )
F (τ , ξ ) = −β log
= ∑ Fλ (τ , ξ )
(4.33a)
∏ dsλ e
λ =1
λ =1
mit der freien Energie in Schicht λ
Fλ (τ , ξ ) = −β
−1
log
I
dsλ e−βHλ (ξ )
(4.33b)
und der inversen Temperatur β = 1/ T. Ab nun werden alle Temperaturen in
Einheiten der reduzierten Temperatur τ = T / Tc mit der C URIEtemperatur Tc des
Systems dargestellt.
4.2.2 Stationäre Punkte der freien Energie
An einem stationären Punkt ξ̃ lautet die H AMILTONfunktion in Schicht λ (4.31b)
gemäß Gleichung (4.15)
1
H̃λ ≡ Hλ (ξ̃ ) = Hl,λ − h̃λ · sλ − m̃λ .
(4.34)
2
Für diese H AMILTON funktion können einige generelle Aussagen über die Lage der
stationären Punkte gemacht werden.
Für verschwindendes äußeres Magnetfeld B = 0 ist ξ̃ (0) ≡ 0 immer ein stationärer Punkt, da bei ξ = 0 die lösbare H AMILTONfunktion H ? (0) = Hl aus (4.2) eine
?
gerade Funktion in sλ ist und deshalb hsλ i0 ∝ Sp (e−βH (0) sλ ) = 0 ist. Wegen Gleichung (4.32) verschwindet dann auch h(ξ ); dies ist konsistent, da am stationären
Punkt wegen Gleichung (4.14) ξ̃ = h̃ ist. Also ist mit (4.13) ∂ξ F (0) = 0.
52
4.2 Anwendung auf das Modellsystem
Weiterhin existiert für B k ẑ bzw. B = 0 immer ein stationärer Punkt ξ̃ k mit der
k
Eigenschaft ξ̃ λ k ẑ; ebenso gibt es immer einen stationären Punkt ξ̃ ⊥ mit ξ̃ ⊥
λ k ŷ für
B ⊥ ẑ bzw. B = 0 . Dies liegt daran, daß in diesen Fällen immer ξ λ k hsλ iξ k hλ (ξ )
ist und somit in Gleichung (4.13) auch der Gradient ∂ξ F (ξ ) parallel zu ξ ist.
Zu den hier gefundenen stationären Punkten kommen eventuell noch weitere
p
p
nichttriviale stationäre Punkte ξ̃ p hinzu, an denen die Molekularfelder h̃ λ = ξ̃ λ
weder zur y- noch zur z-Richtung parallel liegen. Mit Hilfe der Stabilitätsanalyse
aus Kapitel 4.1.2 werden diese stationären Punkte auf dem Rechner untersucht und
so der Punkt ξ̃ MF mit minimaler freier Energie F̃MF bestimmt. Eine an diesem Punkt
ξ̃ MF berechnete Größe ÃMF ≡ A(ξ̃ MF ) wird im folgenden einfach A genannt, so ist
insbesondere mλ die Magnetisierung von Schicht λ in Molekularfeldnäherung.
4.2.3 Anmerkungen zur Numerik
Das Variationsproblem wird durch Minimierung der freien Energie F (τ , ξ ) aus
(4.33) mit der Methode des konjugierten Gradienten unter Benutzung von numerischen Routinen aus der IMSL-Bibliothek gelöst. Diese Methode hat sich als deutlich
schneller herausgestellt als die einfache Iteration
ξ 7→ ξ 0 = h(ξ ),
(4.35)
die vor allem an kritischen Punkten, an denen der kleinste Eigenwert der H ESSEmatrix (4.16) null wird, sehr langsam wird. Dies liegt daran, daß die Schrittweite
der Iteration ∆ξ = ξ 0 − ξ wegen Gleichung (4.13) die Form
∆ξk = −hhsk , sk iiξ−1 · ∂ξk F (ξ )
(4.36)
hat und der Gradient ∂ξk F (ξ ) an einem kritischen Punkt schon in der Umgebung
des stationären Punktes klein wird.
An den so gefundenen stationären Punkten wird eine Stabilitätsanalyse gemäß
Anschnitt 4.1.2 durchgeführt. Wenn der gefundene stationäre Punkt sich als instabil
herausstellt, werden die Parameter ξ gemäß
ξ 7→ ξ 0 = ξ + δξ
(4.37)
gestört und dann ein neuer stationärer Punkt aufgesucht, wobei die Störung einer
Verkippung der Spins entspricht. Diese Methode führt im allgemeinen nach einmaliger Anwendung zu dem stationären Punkt ξ̃ MF mit minimaler freier Energie und
ist vor allem dann notwendig, wenn die Phase mit gekippter Magnetisierung FMϑ
stabil ist, die den nichttrivialen stationären Punkt ξ̃ ϑ hat.
Wenn eine Größe als Funktion eines variierenden Parameters x wie z. B. die
temperaturabhängige Magnetisierung m( T ) bestimmt werden soll, so kann von
53
4 Molekularfeldtheorie
einem bekannten stabilen stationären Punkt ξ̃ ( x) ausgehend der entsprechende
Parameter x geändert werden und der neue stationäre Punkt ξ̃ ( x + δ x) bestimmt
werden. Die Stabilitätsanalyse gewährleistet, daß die so berechneten Lösungen
immer stabil sind.
4.3 Die Bilage ohne äußeres Magnetfeld
In Kapitel 3.1 wurde gezeigt, daß man im Grundzustand der Bilage abhängig von
den Parametern des Modells eine schrägstehende Spinstellung erhalten kann, wenn
die lokalen uniaxialen Anisotropiekonstanten Dλ inhomogen sind. Die hieraus resultierende nichtkollineare Spinstellung stabilisiert die verkippte Orientierung der
Magnetisierung. Somit ist der Spinreorientierungsübergang in der Bilage bei T = 0
normalerweise von zweiter Ordnung, ohne daß in der H AMILTON funktion lokale
Anisotropien vierter Ordnung angenommen werden müssen. Wie sich im folgenden zeigt, findet man diesen Übergang zweiter Ordnung auch, wenn man bei festen
Parametern der H AMILTON funktion (1.21) die Temperatur variiert.
4.3.1 Magnetisierung
In Abbildung 11 sind die Magnetisierungskomponenten der Gesamtmagnetisierung pro Spin m z (τ ) und m xy (τ ) sowie der Betrag der Magnetisierung m(τ ) über
der reduzierten Temperatur τ dargestellt. Für die Rechnung wurde exemplarisch
Parametersatz PL=2 verwendet, bei dem der Grundzustand senkrecht zum Film
orientiert ist (m xy (0) = 0), diese Parameter entsprechen dem Kreis im Grundzustandsphasendiagramm Abbildung 10. Mit wachsender Temperatur bleibt zunächst
xy
diese ferromagnetische Phase FM z stabil, bei der Temperatur τ r tritt zusätzlich eine
planare Komponente m xy > 0 auf; diese gekippte Phase wird mit FMϑ bezeichnet.
Die Magnetisierung rotiert nun mit wachsender Temperatur kontinuierlich von der
senkrechten Richtung in die Ebene, bis bei τ rz die z-Komponente der Magnetisierung verschwindet und die Phase FM xy erreicht wird. Wenn die Temperatur weiter
ansteigt, durchläuft das System bei der C URIEtemperatur Tc ' 1,6744J einen Phasenübergang zweiter Ordnung in die paramagnetische Phase PM.
Der Einschub in Abbildung 11 zeigt die relative Differenz der Beträge der Schichtmagnetisierungen ∆m = (m2 − m1 )/m sowie den Winkelunterschied zwischen den
xy
Magnetisierungen ∆ϑ = ϑ2 − ϑ1 mit tan ϑλ = mλ /mλz . Da die Anisotropiekonstante
D1 > D2 ist, ist in der Phase FM z die senkrechte Spinstellung für Spins in der ersten
Lage günstiger und somit ∆m(τ ) < 0. Diese Abweichung ist allerdings selbst bei
xy
τr kleiner als 0,5%. Da beide Magnetisierungen parallel in z-Richtung zeigen, ist
54
4.3 Die Bilage ohne äußeres Magnetfeld
Magnetisierung m
1,0
m(τ)
z
m (τ)
xy
m (τ)
0,04
0,5
∆ϑ
0,02
2°
0,00
0°
0,0
0,0
0,0
xy
τr
4°
∆m
τ
z
τr
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
1,0
Abbildung 11: Für Parametersatz PL=2 durchläuft die Bilage einen kontinuierlichen temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang. Dargestellt sind die Komponenten m z (τ )
und m xy (τ ) sowie der Betrag m(τ ) der Gesamtmagnetisierung. Die Parameter entsprechen
dem Kreis in Abbildung 10 (S. 40). Der Einschub zeigt strichliert die relative Magnetisierungsdifferenz ∆m = (m 2 − m1 )/m der beiden Schichten sowie punktiert den Winkelunterschied ∆ϑ = ϑ2 − ϑ1 .
∆ϑ = 0. In der gekippten Phase FMϑ wird der Winkelunterschied ∆ϑ > 0, d. h.
Schicht 2 mit kleinerer uniaxialer Anisotropie ist stärker in die Ebene orientiert
als Schicht 1. Der maximale Unterschied von ∆ϑ ≈ 4°wird angenommen, wenn
die Gesamtmagnetisierung im Winkel von ϑ ≈ 45°gekippt ist, mit weiter wachsender Temperatur sinkt die Winkeldifferenz wieder und verschwindet bei τ rz . Die
Betragsdifferenz ∆m hat währenddessen einen Nulldurchgang und ist positiv geworden, da bei planarer Orientierung der Magnetisierungen die Spins in Schicht 1
wegen der größeren uniaxialen Anisotropie stärker in Richtung ± z fluktuieren, d. h.
xy
h(s1z )2 i > h(s2z )2 i ist, und deshalb der Erwartungswert m 1 stärker abgesenkt wird
xy
als m2 . Aufgrund dieses Effekts wird ∆m(τ ) in der planaren Phase FM xy noch größer und erreicht sein Maximum von ∆m ≈ 3% bei τ c . In der paramagnetischen
xy
Phase ist ∆m = mλ = 0. Die Breite der gekippten Phase ∆τ r = τrz − τr beträgt
für diese Parameter ∆τ r ' 14,67% der C URIEtemperatur und wird in Kapitel 6.3 im
Rahmen der dort beschriebenen Näherung berechnet.
55
4 Molekularfeldtheorie
4.3.2 Statische Nullfeld-Suszeptibilität
Um das kritische Verhalten des Systems besser zu verstehen, sind in Abbildung 12a
die Diagonalelemente des statischen Nullfeld-Suszeptibilitätstensors
dmα (τ ) αβ
χ0 (τ ) =
(4.38)
dBβ B=0
über der reduzierten Temperatur τ in halblogarithmischer Auftragung dargestellt.
Damit die Komponenten des Suszeptibilitätstensors eindeutig definiert sind, wird
angenommen, daß in den Phasen FMϑ und FM xy die Magnetisierung in y-Richtung
zeigt, also immer mλx = 0 ist.
zz
In der senkrechten Phase FM z ist die Komponente χ0 sehr klein, da die Spins
nur wenig durch ein longitudinales Magnetfeld B z auszulenken sind4 . Die Komxx
yy
ponenten χ0 = χ0 hingegen sind groß, da die Anisotropien, die die senkrechte
Orientierung favorisieren, klein gegen die Austauschwechselwirkung sind und bereits durch kleine Magnetfelder kompensiert werden. Mit wachsender Temperatur
4 “longitudinal”
bedeutet parallel zur Magnetisierung, “transversal” senkrecht dazu
4
10
xx
3
10
χ0 (τ)
(a)
yy
χ0 (τ)
2
10
zz
χ0 (τ)
1
10
Suszeptibilität χ0
0
10
−1
10
||
3
10
χ0(τ)
(b)
⊥
χ0 (τ)
2
10
1
10
0
10
−1
10
−2
10
0,0
xy
τr
z
τr
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 12: Komponenten des statischen Nullfeld-Suszeptibilitätstensors χ 0 (τ ) für Parametersatz PL=2 in halblogarithmischer Auftragung. In der oberen Grafik (a) sind die
Diagonalelemente χαα
0 (τ ) dargestellt, die untere Grafik (b) zeigt die beiden Eigenwerte
k
χ0 (τ ) und χ⊥
0 (τ ).
56
4.3 Die Bilage ohne äußeres Magnetfeld
werden diese Komponenten noch größer und divergieren bei der kritischen Tempexy
zz
ratur τr . Die senkrechte Komponente χ 0 vergrößert sich hier sprunghaft um über
drei Größenordnungen, dies wird in Abschnitt 4.4.1 diskutiert.
yy
zz
In der Phase FMϑ verhalten sich die Komponenten χ 0 und χ0 nahezu symmezz
yy
trisch, wobei χ0 anwächst und bei τrz singulär wird, während χ0 abfällt und sich
bei τrz sprunghaft um drei Größenordnungen verkleinert, da in der nun erreichten
planaren Phase m k ŷ ist und B y nun longitudinal wirkt.
yy
In der Phase FM xy steigt χ0 aufgrund von thermischen Fluktuationen an, um
zz
schließlich bei τc nochmals zu divergieren; χ0 hat hier nur einen Knick. Oberhalb von τc zeigen alle Komponenten paramagnetisches Verhalten gemäß dem C U RIE -W EISS-Gesetz.
xx
Die Komponente χ0 ist in den Phasen FMϑ und FM xy unendlich groß, da das
betrachtete Modell in der Molekularfeldnäherung rotationssymmetrisch in der Ebene ist und ein beliebig kleines Feld B k x̂ die Magnetisierung m sofort aus der
y-Richtung in die x-Richtung drehen würde.
In der Phase FMϑ treten zusätzlich negative nichtverschwindende Außerdiagoyz
zy
nalelemente χ0 = χ0 < 0 des Suszeptibilitätstensors auf. In dieser Phase ist somit
das benutzte Ortsraum-Koordinatensystem nicht das Eigensystem im Spinraum.
Deshalb wurden die Eigenwerte und Eigenvektoren von χ 0 bestimmt. Mit den drei
Eigenwertgleichungen
xx
χ0 · x̂ = χ0 x̂,
k
χ 0 · v̂k = χ0 v̂k ,
⊥
χ 0 · v̂⊥ = χ⊥
0 v̂
erhält man die Eigenwerte
yy,zz
χ
0zz,yy
⊥,k
χ0
χ0 =
q
1
yy
zz
yy
zz 2
yz 2
χ0 + χ0 ± (χ0 − χ0 ) + 4(χ0 )
2
(4.39)
xy
falls τ < τr
falls τ > τrz
(4.40)
sonst.
Der longitudinale Eigenvektor v̂k (τ ) ist in den Phasen FM z und FM xy jeweils parallel zur Magnetisierung m(τ ) und auch in der Phase FMϑ nahezu parallel zu m(τ ),
insbesondere vollführt er die gleiche Reorientierung wie m(τ ). In der paramagnetischen Phase PM bleibt v̂k (τ ) parallel zu ŷ. Der transversale Eigenvektor v̂ ⊥ (τ ) steht
senkrecht auf v̂k (τ ) und dem konstanten dritten Eigenvektor x̂.
k
Die Eigenwerte χ0 (τ ) und χ⊥
0 (τ ) sind in Abbildung 12b dargestellt, der longituk
dinale Eigenvektor v̂ (τ ) entspricht dabei etwa der skizzierten Magnetisierung. Das
Verhalten ist nun einfacher als in Abbildung 12a, und es wird ein qualitativer Unxy
terschied zwischen den kritischen Reorientierungtemperaturen τ r bzw. τrz und der
xy
C URIEtemperatur τc offensichtlich: Während bei τ r und τrz die transversale Komponente der Suszeptibilität χ⊥
0 divergiert und die longitudinale Komponente kein
57
4 Molekularfeldtheorie
k
kritisches Verhalten zeigt, divergiert bei τ c die longitudinale Komponente χ0 und
die transversale Komponente hat einen Knick. Neue Messungen von P ÜTTER et al.
[1999a] an Co/Au(111) zeigen, daß der Spinreorientierungsübergang tatsächlich in
der transversalen Suszeptibilität sichtbar ist. Die Ergebnisse lassen sich allerdings
nicht direkt aufeinander übertragen, da angenommen wird, daß der Übergang in
Co/Au(111) diskontinuierlich verläuft [O EPEN et al., 1997] und deshalb keine divergierende Suszeptibilität erwartet wird.
Die Singularitäten in der Nullfeld-Suszeptibilität verifizieren, daß es sich bei
dem Spinreorientierungsübergang um einen thermodynamischen Phasenübergang
handelt. Die Ordnungsparameter der verschiedenen Phasen sind die Komponenten
m z und m xy der spontanen Magnetisierung: In FM z ist m z 6= 0 und m xy = 0, in FM xy
ist m z = 0 und m xy 6= 0, und in FMϑ ist sowohl m z 6= 0 als auch m xy 6= 0. Bei der
xy
Temperatur τr bzw. τrz wird die Komponente m xy bzw. m z kritisch.
4.3.3 Das Phasendiagramm
Nun soll das Phasendiagramm der Bilage in der Anisotropie-Temperatur-Ebene
bestimmt werden [H UCHT und U SADEL, 1996]. Hierzu wird eine Stabilitätsanalyse
der freien Energie F (ξ̃ , τ ) aus (4.33) an den stationären Punkten ξ̃ k und ξ̃ ⊥ gemäß
Kapitel 4.1.2 durchgeführt. Definiert man analog zu Gleichung (3.6) die Funktion
η(ξ̃ , τ ) := ewmin ∂ξ2 F (ξ̃ , τ ) ,
(4.41)
so wird der stationäre Punkt ξ̃ (τ ) instabil, wenn η(ξ̃ , τ ) eine Nullstelle hat. Diese
Nullstellensuche wurde mit einem numerischen Verfahren durchgeführt.
Wenn man die mittlere Anisotropiekonstanten Dh auf J /8 fixiert und die Differenz
∆D = D1 − D2 variiert, erhält man das in Abbildung 13 dargestellte Phasendiagramm. Zusätzlich sind Skizzen der freien Energie als Funktion des Azimutwinkels
ϑ der Magnetisierung abgebildet, in denen die stabile Richtung durch einen Kreis
gekennzeichnet ist. Betrachtet man z. B. Parametersatz PL=2 mit ∆D /2Dh = 0,6
(strichpunktierte Linie), so ist die Phase FM z bei wachsender Temperatur so lange
stabil, wie η(ξ̃ ⊥ , τ ) > 0 ist. An der Phasengrenzlinie zweiter Ordnung zur Phase
xy
FMϑ wird η(ξ̃ ⊥ , τr ) negativ, und an der Grenze zwischen FMϑ und FM xy wird
η(ξ̃ k , τrz ) positiv. Innerhalb von FMϑ sind beide Eigenwerte negativ, da das stabile
Minimum nun bei einem nichttrivialen Fixpunkt ξ̃ ϑ mit gekippter Magnetisierung
liegt.
Mit sinkender Inhomogenität ∆D laufen die Phasengrenzlinien aufeinander zu
und treffen sich schließlich bei ∆DMKP in dem multikritischen Punkt MKP. Ab dort
findet man einen Phasenübergang erster Ordnung mit Hysterese, die Grenzen des
58
4.3 Die Bilage ohne äußeres Magnetfeld
0
ϑ
π/2
F(ϑ)
F(ϑ)
0,8
F(ϑ)
0
π/2
ϑ
0
ϑ
π/2
0,6
FMz
FMϑ
FMxy
0,4
z
0,2
0,0
0,0
2. Ordnung m → 0
xy
2. Ordnung m → 0
1. Ordnung
MKP
0,2
F(ϑ) × 20
Anisotropiedifferenz ∆D/ΣλDλ
1,0
0
Temperatur τ [T/Tc]
ϑ
π/2
0,4
Abbildung 13: ∆D-T Phasendiagramm der Bilage mit Skizzen der freien Energie für
Parametersatz PLD=λ 2 . Diese Parameter entsprechen der Linie in Abbildung 10 (S. 40). Die
strichpunktierte Linie entspricht Parametersatz PL=2 .
Hysteresebereiches sind wieder durch die Bedingungen η(ξ̃ ⊥,k , τ ) = 0 gegeben
und durch zwei dünne strichlierte Linien dargestellt. Die durchgezogene Linie
dazwischen ist die Phasengrenze τ r im thermodynamischen Gleichgewicht, an der
F (ξ̃ ⊥ , τr ) = F (ξ̃ k , τr ) ist. Dieser Hysteresebereich wird in Abschnitt 4.5 genauer
untersucht.
Dieses Phasendiagramm hat große Ähnlichkeit mit dem Grundzustandsphasendiagramm Abbildung 10, wenn man die Temperatur τ mit der Dipolenergie ω identifiziert. Beide Parameter führen bei einer Erhöhung zum Übergang, eine Erklärung
für diese Analogie liefert Kapitel 6. Der wesentliche Unterschied ist jedoch, daß hier
der Phasenübergang erster Ordnung bereits für |∆D | > 0 auftritt und ein Hysteresebereich hinzukommt, in dem die freie Energie zwei lokale Minima hat (vgl. die
Einschübe in Abbildung 13). Dieser schmale Bereich, der im homogenen System mit
∆D = 0 am ausgeprägtesten ist, entsteht, weil das System an der Phasengrenze
τr nicht mehr wie im Grundzustand isotrop ist: Bei endlichen Temperaturen haben
der Dipolanteil und der lokale uniaxiale Anteil der winkelabhängigen freien Energie F (ϑ) unterschiedliche Winkelabhängigkeit; diese waren im Grundzustand im
homogenen Fall beide proportional zu cos 2 ϑ. Dieser Effekt ist allerdings kleiner als
die Tendenz, bei inhomogener Verteilung der Anisotropiekonstanten D λ eine ge-
59
4 Molekularfeldtheorie
kippte Phase zu stabilisieren, und eine geringe Inhomogenität ∆D genügt, um den
Phasenübergang kontinuierlich sein zu lassen.
4.4 Die Bilage im äußeren Magnetfeld
In diesem Teil der Arbeit wird der Einfluß von äußeren magnetischen Feldern
auf den Spinreorientierungsübergang untersucht [H UCHT und U SADEL, 2000]. Als
Modellsystem wird die Bilage (L = 2) mit Parametersatz PL=2 verwendet.
4.4.1 Senkrechtes Magnetfeld
In Abbildung 14 sind die Magnetisierungskomponenten m xy ( B, τ ) und m z ( B, τ ) als
Funktion der Temperatur im senkrechten äußeren Magnetfeld B = 0,01J ẑ ' 0,6ω ẑ
abgebildet. Zum Vergleich ist zusätzlich der Verlauf dieser Größen im Nullfeld eingezeichnet. In einem senkrechten Magnetfeld mit B z > 0 ist die Magnetisierung
m z ( B, τ ) immer positiv, die Phasen FM z und FMϑ mit spontaner senkrechter Magnetisierungskomponente sind deshalb vollständig unterdrückt. Allerdings existiert
xy
xy
wie im feldfreien Fall oberhalb einer reduzierten Temperatur τ r ( B) > τr (0) die
Phase FM xy mit planarer spontaner Magnetisierung, die nicht durch das senkrechte
Magnetfeld unterdrückt wird. Dadurch hat man die ungewöhnliche Situation, daß
mit wachsender Temperatur ein Phasenübergang aus einer paramagnetischen Phase
PM in eine ferromagnetische Phase FM xy mit spontaner Magnetisierung auftritt. Bei
weiterer Temperaturerhöhung verläßt man FM xy bei einer feldabhängigen C URIEtemperatur τc ( B), die unterhalb der kritischen Temperatur τ c (0) ≡ 1 des feldfreien
Systems liegt, und erreicht wieder die Phase PM (sogenanntes reentrant-Verhalten).
Das korrespondierende Phasendiagramm im senkrechten Magnetfeld ist in Abbildung 15 dargestellt. Innerhalb des von der unterbrochenen Linie eingeschlossenen
Bereiches befindet sich die Phase FM xy mit einer spontanen planaren Magnetisierungskomponente m xy 6= 0. Die Magnetisierungsrichtungen sind wieder durch
Skizzen dargestellt.
An der Phasengrenzlinie der Phase FM xy tritt ein thermodynamischer Phasenübergang zweiter Ordnung mit kontinuierlich verschwindendem Ordnungsparameter m xy auf. Diese Phasengrenzlinie verbindet die kritischen Temperaturen
xy
τr ( B) und τc ( B) für alle senkrechten magnetischen Felder mit | B z | < Bcz , wobei
für die verwendeten Parameter Bcz /ω ' 1,81 ist. Da in der Molekularfeldnäherung keine multikritischen Punkte auf dieser Linie gefunden werden, sollte sich das
kritische Verhalten auf der gesamten Phasengrenze nicht ändern und zu der Universalitätsklasse des zweidimensionalen dipolaren H EISENBERGmodells gehören [z. B.
60
4.4 Die Bilage im äußeren Magnetfeld
Magnetisierung m
1,0
z
m (B,τ)
xy
m (B,τ)
z
m (0,τ)
xy
m (0,τ)
0,5
0,0
0,0
xy
τr (B)
0,5
Temperatur τ [T/Tc(0)]
1,0
Abbildung 14: Magnetisierungskomponenten m xy ( B, τ ) und m z ( B, τ ) als Funktion der
Temperatur für Parametersatz PL=2 im konstanten senkrechten äußeren Magnetfeld
B = 0,01J ẑ ' 0,6ω ẑ. Die dünnen Linien entsprechen dem System ohne Feld aus Abbildung 11.
PM
z
Magnetfeld B /ω
2,0
xy
0,0
z
τr (0)
τr(0)
FMxy
FMz FMϑ
−2,0
0,0
FMz (1. Ordnung)
FMϑ (1. Ordnung)
FMxy (2. Ordnung)
Temperatur τ [T/Tc(0)]
1,0
Abbildung 15: Phasendiagramm der Bilage für Parametersatz PL=2 im senkrechten äußeren Magnetfeld B = B z ẑ. Die Kurven in Abbildung 14 sind entlang der Linie B z /ω ' 0,6
berechnet.
61
4 Molekularfeldtheorie
Magnetisierung m
z
1,0
0,5
0,0
0,0
xy
τ = 0,20 <
~ τr (0)
τ = 0,25
τ = 0,30
z
τ = τr(0) ≈ 0,36
τ = 0,50
1,0
z
Magnetfeld B /ω
Abbildung 16: Senkrechte Magnetisierung m z ( B z , τ ) als Funktion des senkrechten Magnetfeldes B z /ω für verschiedene konstante reduzierte Temperaturen τ = T / Tc (0) mit
Parametersatz PL=2.
A HARONY , 1976].
Die geordneten Phasen FM z und FMϑ , in der die senkrechte Komponente der Magnetisierung m z spontane Ordnung zeigt, existieren nur bei verschwindendem senkrechten Magnetfeld B z = 0 unterhalb des kritischen Punktes τ rz (0), der von zweiter
xy
Ordnung ist. Wenn man die Phase FM z bei konstanter Temperatur τ < τ r (0)
und anwachsendem senkrechten Feld durchquert, durchläuft das System einen
Phasenübergang erster Ordnung und die Magnetisierung springt von −m z (0, τ ) ẑ
nach +m z (0, τ ) ẑ. Durchquert man die gekippte Phase FMϑ in derselben Weise
xy
bei einer Temperatur τr (0) < τ < τrz (0), so springt die Magnetisierung von
(0, m y (0, τ ), −m z (0, τ )) nach (0, m y (0, τ ), +m z (0, τ )).
Die Phase FM z hat wegen der senkrechten uniaxialen Anisotropie Dλ die gleiche Symmetrie wie die geordnete Phase im zweidimensionalen ferromagnetischen
I SINGmodell [I SING, 1925; O NSAGER , 1944] und sollte deshalb zur selben Universalitätsklasse gehören.
Um das Verhalten der Magnetisierung im senkrechten Feld besser zu charakterisieren, ist in Abbildung 16 die Feldabhängigkeit der senkrechten Magnetisierungskomponente für verschiedene Temperaturen unterhalb der Temperatur τc (0) dargestellt. Das Diagramm ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da
62
4.4 Die Bilage im äußeren Magnetfeld
Magnetisierung m
1,0
z
m (B,τ)
xy
m (B,τ)
z
m (0,τ)
xy
m (0,τ)
0,5
0,0
0,0
z
τr(B)
0,5
Temperatur τ [T/Tc(0)]
1,0
Abbildung 17: Magnetisierungskomponenten m z ( B, τ ) und m xy ( B, τ ) als Funktion
der Temperatur für Parametersatz PL=2 im konstanten planaren äußeren Magnetfeld
B = 0,01J ŷ ' 0,6ω ŷ.
m z ( B z , τ ) = −m z (− B z , τ ) ist. Bei diesen Kurven durchläuft man das in Abbildung 15 dargestellte Phasendiagramm in senkrechter Richtung. Da die dargestellten Kurven im thermodynamischen Gleichgewicht, d. h. am absoluten Minimum
FMF (τ ) (4.5) der freien Energie bestimmt wurden, erhält man keine metastabilen
Hystereseeffekte. Diese werden in Abschnitt 4.5 exemplarisch an der Monolage untersucht.
xy
Für τ = 0,2 . τr (0) findet man in m z den bereits oben erwähnten Sprung
xy
bei B z = 0, da die Phase FM z durchquert wird. Für τr (0) < τ < τrz (0) ist das
System im Nullfeld in der Phase FMϑ und hat eine spontane verkippte Magnetisierung, die bei kleinen Feldern in der Phase FM xy verkippt bleibt, so daß die
xy
Magnetisierung erst ab einem endlichen kritischen Feld Br (τ ) parallel zum angelegten Feld steht. An dieser Stelle hat die Funktion m z ( B z , τ = const) einen Knick,
xy
der bei τ = τr (0) zu einem Sprung in der zz-Komponente der statischen Nullfeld-Suszeptibilität (4.38) führt (siehe auch Abbildung 12).
Bei der Temperatur τrz (0) verschwindet der Sprung in m z bei B z = 0, allerdings
divergiert dort die erste Ableitung χ zz = d B z m z (vgl. Abbildung 12). Für τ > τrz (0)
ist die senkrechte Remanenz null, man findet aber weiterhin einen Knick bei dem
xy
kritischen Feld Br (τ ). Bei τc (0) wird dieses kritische Feld null und die Suszeptibi-
63
4 Molekularfeldtheorie
PM
y
Magnetfeld B /ω
2,0
FMz
0,0
xy
τr (0)
z
τr(0)
FMϑ
−2,0
0,0
FMxy
FMz (2. Ordnung)
FMϑ (1. Ordnung)
FMxy (1. Ordnung)
Temperatur τ [T/Tc(0)]
1,0
Abbildung 18: Phasendiagramm der Bilage für Parametersatz PL=2 im parallelen äußeren
Magnetfeld B = B y ŷ. Die Kurven in der vorigen Abbildung sind entlang der Linie
B y /ω ' 0,6 berechnet.
lität zeigt das paramagnetische C URIE -W EISSverhalten.
4.4.2 Planares Magnetfeld
Ein ähnliches Verhalten zeigt das System in einem planaren magnetischen Feld
B = B y ŷ. In Abbildung 17 sind die entsprechenden Magnetisierungskomponenten
für das Feld B = 0,01J ŷ ' 0,6ω ŷ dargestellt. Da das planare magnetische Feld
die Phasen mit planarer Komponente FM xy und FMϑ vollständig unterdrückt, sind
xy
die kritischen Temperaturen τ r ( B) und τc ( B) sind nicht mehr definiert. Allerdings
zeigt nun die z-Komponente der Magnetisierung m z unterhalb einer Temperatur
τrz ( B), die kleiner als τrz (0) im Nullfeld ist, spontane Ordnung, die bei τ rz ( B) kontinuierlich verschwindet. Oberhalb von τ rz ( B) zeigt das System keine spontane Ordnung.
Das entsprechende Phasendiagramm ist in Abbildung 18 gezeigt. Links von der
durchgezogenen Linie befindet sich die ferromagnetisch geordnete Phase FM z mit
dem Ordnungsparameter m z 6= 0. Die Phasengrenze ist von zweiter Ordnung und
y
verläuft nahezu linear von τrz (0) zu den Punkten ( T, B) = (0, ± Bc ŷ ), wobei für die
y
hier verwendeten Parameter Bc /ω ' 2,24 ist.
Beim Durchlaufen der nur für B y = 0 stabilen Phasen FM xy und FMϑ durch Varia-
64
4.4 Die Bilage im äußeren Magnetfeld
tion von B y tritt ein Phasenübergang erster Ordnung auf, wobei die Magnetisierung
mit wachsendem Feld von −m y (0, τ ) ŷ nach +m y (0, τ ) ŷ springt.
4.4.3 Das dreidimensionale Phasendiagramm
Um diese Ergebnisse besser zu veranschaulichen, ist in Abbildung 19 das dreidimensionale Phasendiagramm im Parameterraum (τ , B y /ω, B z /ω) dargestellt. Die
zwei ferromagnetischen Phasen FM xy und FM z stehen senkrecht aufeinander und
Abbildung 19: Dreidimensionales Phasendiagramm im Parameterraum (τ , B y /ω, B z /ω)
für Parametersatz PL=2 . Die Phasen FM z mit spontaner senkrechter und FM xy mit spontaner planarer Magnetisierungskomponente stehen senkrecht aufeinander und durchdringen sich, auf ihrer Schnittlinie befindet sich die Phase FMϑ . Die Pfeile skizzieren eine
mögliche Richtung der spontanen Magnetisierung innerhalb der geordneten Phasen, die
anderen möglichen Orientierungen ergeben sich durch Spiegelung an den Phasenflächen.
Außerhalb der geordneten Phasen steht die Magnetisierung immer parallel zum angelegten Feld.
65
4 Molekularfeldtheorie
xy
durchdringen sich entlang der Linie B = 0, τ r (0) < τ < τrz (0). In diesem Bereich liegt die Phase FMϑ mit spontaner verkippter Magnetisierung. Außerhalb
der drei geordneten Phasen steht die Magnetisierung immer parallel zum angelegten Feld. Die Phasengrenzen von FM z und FM xy treffen beide mit einer endlichen Steigung auf die Temperaturachse, diese Steigung beträgt für Parametersatz
xy
PL=2 für senkrechtes Magnetfeld d Bz τr (0) ' 4,60ω und für planares Magnetfeld d B y τrz (0) ' 5,98ω, die Spinreorientierungstemperatur verschiebt sich also für
kleine Felder linear mit dem Magnetfeld. Dieser Effekt ist auch von M ILLEV et al.
[1998a,b,c] im Rahmen einer phänomenologischen L ANDAUtheorie beschrieben und
ist vor kurzem von P ÜTTER et al. [1999b] experimentell untersucht worden.
Wenn man diese Ergebnisse mit den Resultaten im Nullfeld aus Kapitel 4.3
und speziell mit dem ∆D-T Phasendiagramm in Abbildung 13 kombiniert, ergibt
sich das folgende Szenario: Die Breite der Phase FM ϑ und somit das Maß der
Durchdringung von FM z und FM xy hängt von der Inhomogenität ∆D = D1 − D2
ab. An dem multikritischen Punkt (τ , |∆D |/ω) MKP ≈ (0,3, 1) für Parametersatz
PLD=λ 2 wird der Spinreorientierungsübergang im Nullfeld diskontinuierlich (MKP in
Abbildung 13), für |∆D | < ∆DMKP durchdringen sich die Phasen FM z und FM xy
also nicht mehr, sondern berühren sich an einer Phasengrenze erster Ordnung. Dort
treten metastabile Phasen und Hystereseeffekte auf, die nun untersucht werden
sollen.
4.5 Die Monolage im äußeren Magnetfeld
In der Monolage ohne äußerem Magnetfeld ist der Spinreorientierungsübergang
immer diskontinuierlich [TAYLOR und G YÖRFFY, 1993; H UCHT et al., 1995]. Deshalb berühren sich die Phasenflächen FM z und FM xy im B-τ -Phasenraum nur und
durchdringen sich nicht wie in der Bilage im vorigen Abschnitt. In der unmittelbaren Umgebung dieses Berührungspunktes kommt es zu interessanten Hystereseeffekten, die in diesem Abschnitt behandelt und mit experimentellen Kurven von
B ERGER und H OPSTER [1996] verglichen werden.
4.5.1 Magnetisierung und Phasendiagramm
In Abbildung 20 sind Magnetisierungskurven der Monolage unter Verwendung
von Parametersatz PLa =1 für verschiedene senkrechte Magnetfelder B = B z ẑ dargestellt. Der Spinreorientierungsübergang erster Ordnung im feldfreien Fall wird
durch das angelegte Feld zu einem kontinuierlichen Übergang der planaren Maxy
gnetisierungskomponente m xy ( B, τ ) bei einer Temperatur τ r ( B) > τr (0), während
66
4.5 Die Monolage im äußeren Magnetfeld
1,0
z
Magnetisierung m
m (B,τ)
xy
m (B,τ)
z
B =0
z
B =0,7ω
z
B =1,4ω
z
B =2,1ω
0,5
0,0
0,0 τr(B=0)
1,0
Temperatur τ [T/Tc(0)]
Abbildung 20: Magnetisierungskomponenten der Monolage als Funktion der Temperatur
für Parametersatz PLa =1 und verschiedene senkrechte äußere Magnetfelder B z .
PM
z
Magnetfeld B /ω
2,0
0,0
τr(0)
FMxy
FMz
−2,0
0,0
FMz (1. Ordnung)
FMxy (2. Ordnung)
Temperatur τ [T/Tc(0)]
1,0
Abbildung 21: Phasendiagramm der Monolage für Parametersatz PLa =1 im senkrechten
äußeren Magnetfeld B z .
67
4 Molekularfeldtheorie
1
τ = 0,1463
(a)
τ = 0,1470
(b)
τ = 0,1500
(e)
τ = 0,1478
(c)
τ = 0,1538
(f)
xy
τ = τr = 0,1485
(d)
Magnetisierung m
0
−1
1
0
−1
1
0
xy
m
z
m
−1
−0,03
0,00
0,03 −0,03 z
Magnetfeld B /ω
0,00
0,03
Abbildung 22: Hysteresekurven für die Monolage für Parametersatz PLa =1 und verschiedene Temperaturen T. Die longitudinale Magnetisierungskomponente m z ( B z ) ist schwarz
und die transversale Komponente m xy ( B z ) grau dargestellt.
die senkrechte Phase wie im Fall der Bilage (Abschnitt 4.4.1) unterdrückt wird.
Die feldabhängige C URIEtemperatur sinkt mit wachsendem Feld und die beiden
xy
kritischen Temperaturen τr ( B) und τc ( B) fallen bei einem kritischen Magnetfeld
Bcz /ω ' 2,20ω zusammen, auch dieses Verhalten ist analog zur Bilage. Das resultierende Phasendiagramm in Abbildung 21 sieht demzufolge ähnlich aus wie das der
Bilage in Abbildung 15, allerdings ist die gekippte Phase FMϑ nun verschwunden.
4.5.2 Hysterese
Die Hysteresekurven sind im Rahmen der Molekularfeldtheorie berechnet worden.
Hystereseeffekte können in einen System nur dann auftreten, wenn metastabile
Zustände vorhanden sind. Um diese metastabilen Zustände zu finden, sind Feldschleifen berechnet worden, bei denen das Magnetfeld B k ẑ ausgehend von einem
negativen Wert sukzessive erhöht wird. Dies erfolgt solange, bis der Zustand des
Systems instabil wird, d. h. bis der kleinste Eigenwert der H ESSEmatrix (4.16) null
ist. Dann springt das System in einen neuen (meta)stabilen Zustand, bei dem mit
der Prozedur fortgefahren wird. Wenn schließlich die stabile paramagnetische Phase mit m k B erreicht ist, wird das Feld wieder erniedrigt, bis der Ausgangszustand
68
VOLUME 76, NUMBER 3
4.5 Die Monolage im äußeren Magnetfeld
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eines 3,8 MLorientation
dicken Fe/Ag(100)
Films
im
Ag(100) film with out-of-plane
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S. T. Chui, Phys. Rev. Lett.74, 3896 (19
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wieder erreicht ist. This
Die so
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Hysteresekurven
sind punktsymmetrisch
am B. T. Jonker, J. J. Kre
N. C. Koon, J. Phys. (Paris), Colloq.
49,
No. DMR 9500213. One of us (A. B.) also gratefully
Ursprung.
[19] Y. Yafet and E. M. Gyorgy, Phys. Rev
acknowledges support from the Alexander von Humboldtxy
[20] The anisotropy
τ r (0) constantK is define
Wenn man dieses
Verfahren in unmittelbarer Umgebung der Temperatur
Stiftung.
2KfcossQdg2 as an expression for th
anwendet, kommt es zu den in Abbildung 22 dargestellten Verläufen.
Analoge
free energy F with Q being the a
z
Ergebnisse erhält [1]
man,
manW.
nahe
0) ein
in y-Richtung
anlegt. Dieand the surface norm
magnetization
See,wenn
for example,
J. M. τ
der (Jonge,
P. J.Feld
H. Bloemen,
and
xy
anisotropy
constant for which the r
z
J. A. den
inUltrathinden
Magnetic
Structures
Temperaturen τr (0)F.und
τr (0Broeder
) entsprechen
Grenzen
des,I Hysteresebereiches
occurs.
edited by J. A. C. Bland and B. Heinrich (Springer, Berlin,
im Nullfeld aus Abbildung
FMA
FManalysis
detailed
of the curves in
z bzw.
xy
1994). 13, bei denen die metastabilen Phasen [21]
xy
z
remanent
magnetization does not e
[2] Myron
Banderwerden,
and D. L. es
Mills,
B
bei Temperaturvariation
instabil
giltPhys.
τ r (0Rev.
) <38,
τr 12
<015
τ r ( 0 ).
nential decay. Especially for small re
xy
(1988).
Unterhalb einer [3]
Temperatur
τ r< 'C.0,1474
nur
die Phasen
FM ±the
z metastabil,
decay is much slower than an ex
See, for example,
-J. Lin, sind
inHigh
Density
Digital
xy
by
only
one relaxation time
t.
edited
H. J. τBuschow,
Gary
J.
Long,
und die Kurven sindRecording,
rechteckig
(a,byb).K. Da
>
τ
ist,
wird
bemerkenswerterr
r<
weise die tatsächlich stabile Phase FM xy nicht durchlaufen, sie wird bei dem bei
z stattfindenden Sprung der Magnetisierung übersprungen. Dies
positivem Feld BK
z mit wachsender Temperatur soweit
ändert sich erst (c), wenn das Koerzitivfeld BK
abgesunken ist, daß die Phase FM xy dort stabil ist und eine planare Magnetisierung m xy (graue Kurven) auftritt. Erreicht man bei weiterer Temperaturerhöhung
xy
z = 0 und die Phase FM
τr (0) (d), so wird BK
± z im Nullfeld instabil, sie kann
69
522
4 Molekularfeldtheorie
allerdings durch ein Magnetfeld weiterhin stabilisiert werden (e, f). Erst bei einer
xy
Temperatur τr> ' 0,154 ist FM ± z auch im Feld nicht mehr stabil und es treten keine
Hystereseeffekte mehr auf. Dann dreht die Magnetisierung mit wachsendem Feld
kontinuierlich von −m ẑ durch die planare Phase nach +m ẑ (nicht dargestellt). Diese
Kurven können mit von B ERGER und H OPSTER [1996] an Fe/Ag(100) gemessenen
Hysteresekurven der longitudinalen Komponente m z ( B z ) verglichen werden, die in
Abbildung 23 dargestellt sind. Es zeigt sich, daß die Hysteresekurven qualitativ gut
übereinstimmen und daß speziell die doppelte Hysteresestruktur in den unteren
drei Kurven von Abbildung 23 durch die Rechnungen reproduziert werden können (Abbildung 22d-f). Allerdings ist die Interpretation der Kurven unterschiedlich:
Während B ERGER und H OPSTER diese Doppelstruktur auf senkrecht magnetisierte
Domänen zurückführen, zeigen die Ergebnisse dieses Abschnitts, daß diese Form
auch in einem homogen magnetisierten System erklärt werden können und daß
diese Kurvenform keine hinreichende Bedingung für das Auftreten von Domänen
ist. Vielmehr muß gleichzeitig die transversale Magnetisierungskomponente (also
m xy ( B z ) bei senkrechtem Feld) untersucht werden. Nur wenn diese Komponente
null ist, ist von einem Domänenzustand auszugehen.
4.6 Dickere diskrete Filme
In diesem Kapitel werden die Untersuchungen auf dickere ferromagnetische Filme
mit L > 2 ausgedehnt [H UCHT und U SADEL, 1997]. Dies geschieht exemplarisch an
einem Parametersatz PFe bzw. PNi für ein Fe- bzw. Ni-artiges System.
4.6.1 Effektive Anisotropien
Im folgenden wird die Methode beschrieben, mit der man die in der phänomenologischen L ANDAUtheorie eingeführten effektiven temperaturabhängigen Anisotropien Kn (τ ) im Rahmen des hier verwendeten Modells berechnen kann (vgl. Kapitel 1.3.5). Hierzu bestimmt man den Azimutwinkel ϑ der Gesamtmagnetisierung des
Systems
m(ξ ) =
1 L
hsλ iξ
L λ∑
=1
(4.42)
und minimiert numerisch die freie Energie F (τ , ξ ) aus Gleichung (4.33) unter der
Nebenbedingung, daß ϑ konstant ist. Man beachte, daß diese Nebenbedingung
trotzdem zuläßt, daß die Magnetisierungen m λ in den einzelnen Schichten unterschiedliche Ausrichtungen haben. Wenn man die Nebenbedingung verschärfen
70
4.6 Dickere diskrete Filme
0,2
f(τ,ϑ) − f(τ,π/2)
Energie/ω pro Spin
2
−K2(τ) cos ϑ
0,1
4
−K4(τ) cos ϑ
0,0
FMxy
FMϑ
FMz
−0,1
z
−0,2
z
τ < τr
0
π/4
xy
τr < τ < τr
π/2 0
π/4
π/2 0
Azimutwinkel ϑ
xy
τ > τr
π/4
π/2
Abbildung 24: Winkelabhängiger Anteil der freien Energie pro Spin f (τ , ϑ) − f (τ , π /2)
und die ersten zwei Anteile K2 (τ ) und K4 (τ ) der TAYLORreihe (4.44) für verschiedene
Temperaturen τ um τ r für Parametersatz PNi . Die Temperaturen betragen τ = 0,614
(FMxy ), τ = 0,678 (FMϑ ) und τ = 0,747 (FM z ). Der Gleichgewichtswinkel ist durch einen
Kreis markiert.
würde, indem man den Azimutwinkel ϑ λ aller Schichtmagnetisierungen auf ϑ fixierte, würde keine stabile Phase FMϑ mit gekippter Magnetisierung mehr existieren, da
diese nur durch die Nichtkollinearität stabilisiert wird (vgl. Kapitel 3.1).
Die resultierende winkelabhängige freie Energie pro Spin
f (τ , ϑ) =
1
F (τ , ϑ)
L
(4.43)
wird für eine Reihe von Winkeln ϑ ∈ [0, π /2] bestimmt und mit der Methode der
kleinsten Fehlerquadrate an eine TAYLORreihe in cos 2 ϑ von der Form
∞
f (τ , ϑ) = f (τ ,
π
2)−
∑ K2n (τ ) cos2n ϑ
(4.44)
n=1
angepaßt. Die ungeraden Terme verschwinden wegen der Inversionssymmetrie. Die
so bestimmten Koeffizienten sind die gesuchten temperaturabhängigen effektiven
Anisotropien Kn (τ ). Eine weitere Minimierung von f (τ , ϑ) nach ϑ liefert die freie
Energie pro Spin in Molekularfeldnäherung F MF (τ ) aus Gleichung (4.5).
Der so berechnete winkelabhängige Anteil f (τ , ϑ) − f (τ , π /2) der freie Energie
pro Spin ist zusammen mit den ersten zwei Entwicklungskoeffizienten K2 (τ ) und
71
4 Molekularfeldtheorie
K4 (τ ) in Abbildung 24 für drei Temperaturen um τr dargestellt. Die höheren Ordnungen K6 (τ ) und K8 (τ ) wurden ebenfalls bestimmt, sind jedoch im gesamten
Temperaturbereich zwei bzw. vier Größenordnungen kleiner als K4 (τ ) und können
deshalb vernachlässigt werden. In Abbildung 24 wurde der Parametersatz PNi verwendet, der an experimentell bestimmte Daten für Nickel angepaßt wurde (siehe
Abschnitt 4.6.3).
Der größte Beitrag zu f (τ , ϑ) − f (τ , π /2) wird vom quadratischen Term proportional zu K2 (τ ) geliefert, während K4 (τ ) etwa eine Größenordnung kleiner ist. Für
τ < τrz ist das Minimum von f (τ , ϑ) bei ϑ = π /2 und die Magnetisierung liegt in
xy
der Ebene. Wenn τrz < τ < τr ist, befindet sich das System in der gekippten Phase
xy
FMϑ , und für τ > τr steht die Magnetisierung senkrecht.
Die zwei Spinreorientierungstemperaturen können durch die effektiven Anisotropien Kn (τ ) ausgedrückt werden. Die Phase FM xy wird instabil, wenn die zweite
Ableitung der freien Energie nach dem Winkel ϑ an der Stelle π /2 verschwindet.
Dann tritt eine senkrechte Magnetisierung m z 6= 0 auf und das Minimum (der Kreis
in Abbildung 24) wandert nach links. Für die Phase FM z gilt entsprechendes. Also
folgt
xy
dϑ2 f (τrz , π2 ) = dϑ2 f (τr , 0) = 0.
(4.45)
Für die zweite Ableitung von (4.44) erhält man
dϑ2 f (τ , π2 ) = −2K2 (τ )
(4.46a)
dϑ2 f (τ , 0) = 2
(4.46b)
∞
∑ nK2n (τ )
n=1
und somit unter Vernachlässigung der höheren Ordnungen von Kn (τ ) die Bedingung
K2 (τrz ) = 0
(4.47a)
K2 (τr ) + 2K4 (τr ) = 0.
(4.47b)
xy
xy
Man kann analog zu der Berechnung der Phasengrenze im Grundzustand in
Kapitel 3.1 die effektive Anisotropie K2 (τ ) noch auf eine andere Weise berechnen
[H UCHT und U SADEL, 1999a]. Hierzu entwickelt man die Funktion F (τ , ϑ) in eine
TAYLORreihe um einen stationären Punkt ϑ̃p mit p =⊥, k und erhält
1
F (τ , ϑ̃p + δϑ) = F (τ , ϑ̃p ) + δϑ · C(τ , ϑ̃p ) · δϑ + O(|δϑ|)3
(4.48)
2
mit der H ESSEmatrix der freien Energie bezüglich der Winkel ϑ λ an einem stationären Punkt (vgl. Gleichung (3.4))
C(τ , ϑ̃p ) = ∂ϑ2 F (τ , ϑ̃p ).
72
(4.49)
4.6 Dickere diskrete Filme
Der lineare Term in der Entwicklung (4.48) tritt aufgrund der Stationarität nicht auf.
p
Der Eigenvektor u0 zum kleinsten Eigenwert
(4.50)
ηp (τ ) = ewmin C(τ , ϑ̃p )
beschreibt die Richtung, in die das System am leichtesten auszulenken ist; dies ist
p
die nahezu kohärente Rotation aller Spins, d. h. u 0 ≈ 1. Deshalb kann man ηp (τ )
mit den zweiten Ableitungen der freien Energie aus Gleichung (4.43) identifizieren
und analog zu den Gleichungen (4.46) schreiben
1
K2 (τ ) = − ηk (τ )
2
1
K2 (τ ) + 2K4 (τ ) = + η⊥ (τ ).
2
(4.51a)
(4.51b)
Beide Methoden wurden auf dem Rechner implementiert und ergeben übereinstimmende Ergebnisse für K2 (τ ). Während der Vorteil der ersten Methode ist, daß
man auch höhere Terme der TAYLORentwicklung (4.44) berechnen kann, kann mit
der zweiten Methode K2 (τ ) allein aus Größen am stationären Punkt ξ̃ k berechnet
werden. Die zweite Methode eignet sich deshalb auch für die störungstheoretische
Behandlung und wird in Kapitel 6.3 nochmals aufgegriffen.
4.6.2 Das Fe-artige System
In diesem Abschnitt werden zunächst die effektiven Anisotropien Kn (τ ) für ein System berechnet, das einen normalen Spinreorientierungsübergang von senkrechter
zu planarer Magnetisierung mit wachsender Temperatur durchläuft. Ein experimentelles Modellsystem hierfür ist Fe/Ag(100). Die verwendeten Energiekonstanten J,
ω und Dλ werden von Eisen abgeleitet, allerdings wird ein einfach kubisches Gitter
vorausgesetzt. Eine Erweiterung auf andere kubische Gitter erfolgt in Kapitel 7.3.
Die Austauschenergie J kann aus der C URIEtemperatur von kubisch raumzentriertem Eisen im Volumen TcFe ≈ 1044 K bestimmt werden [L ANDOLT-B ÖRNSTEIN ,
1986]. Mit der kritischen Temperatur des isotropen H EISENBERGmodells in Molekularfeldtheorie
Tc =
J z̃
3
(4.52)
und der Anzahl nächster Nachbarn auf dem einfach kubischen Gitter z̃ek = 6 erhält
man
J Fe ≈ 45,0 meV ≈ 2650ωFe .
(4.53a)
73
4 Molekularfeldtheorie
xy
m
z
m
K2
K4
3,0
2,0
Anisotropie Kn/ω
Magnetisierung m
1,0
0,5
1,0
0,0
0,0
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 25: Komponenten der Magnetisierung m xy (τ ) und m z (τ ) und effektive Anisotropien K2 (τ ) und K4 (τ ) über der Temperatur für ein Fe-artiges System mit den Parametern
PFe .
Diese Abschätzung der Austauschwechselwirkung ist für die folgende Betrachtung
ausreichend, da der genaue Wert von J nahezu keinen Einfluß auf die folgenden
Ergebnisse hat, solange J groß gegen die auftretenden Anisotropieenergien ist.
Zur Bestimmung der Dipolenergie ω Fe benötigt man das effektive magnetische
Moment von Eisen, welchen mit dem Wert im Volumen µ Fe ≈ 2,22µB angesetzt
wurde [z. B. B ABERSCHKE, 1996, Tab. 1]. Der nächste Nachbarabstand a nn von Eisen
beträgt etwa aFe
nn ≈ 0,25 nm [z. B. B ABERSCHKE , 1996, Tab. 2]. Somit erhält man mit
Gleichung (1.10)
ωFe ≈ 17 µeV
(4.53b)
D1Fe ≈ 650 µeV ' 37ωFe
(4.53c)
DvFe = 0.
(4.53d)
und somit J Fe ≈ 2650ωFe .
Die Oberflächenanisotropiekonstante hat in kubisch raumzentrierten Fe(001) Filmen bei Raumtemperatur den Wert K s ≈ 0,5 − 1,5 mJ /m2 [H EINRICH et al., 1991;
DE J ONGE et al., 1994], hieraus wurde für T = 0 der Wert
abgeleitet. Innerhalb der Filme wird wegen der kubischen Symmetrie keine uniaxiale Anisotropie gefunden (vgl. Kapitel 1.1.3), d. h.
74
4.6 Dickere diskrete Filme
Mit diesen Parametern erhält man in der Molekularfeldtheorie für einen Film der
Dicke L = 4 Monolagen eine kritische Temperatur von TcFe ' 1,8721J Fe .
Für diese Parameter sind in Abbildung 25 die Komponenten der Gesamtmagnetisierung m xy (τ ) und m z (τ ) sowie die effektiven Anisotropien K2 (τ ) und K4 (τ )
dargestellt. Die gekippte Phase FMϑ ist schmaler als für Parametersatz PL=2 und
hat eine Breite von ∆τr ' 3,1% der kritischen Temperatur. K2 (τ ) ist für tiefe Temperaturen zunächst positiv und hat eine Nullstelle bei τ rz , bei der m z (τ ) verschwindet.
Zwischen τrz und τc ist K2 (τ ) negativ. Die Anisotropie K4 (τ ) hat ein einfacheres Temperaturverhalten, es gilt in guter Näherung K4 (τ ) ∝ (1 − τ )2 . Es ist bemerkenswert,
daß schon im Grundzustand τ = 0 eine Anisotropie vierter Ordnung gefunden
wird, die bei diesen Parametern einen Anteil von 8,3% an der Gesamtanisotropie
K = K2 + K4 ausmacht. Dies zeigt, daß eine experimentell bestimmte Anisotropie
vierter Ordnung K4 (0) 6= 0 nicht notwendigerweise impliziert, daß in dem betrachteten System mikroskopische Anisotropien vierter Ordnung ∝ s 4z vorhanden sind.
Vielmehr muß die immer auftretende Nichtkollinearität der Magnetisierung bei der
Bestimmung mikroskopische Parameter berücksichtigt werden.
4.6.3 Das Ni-artige System
In diesem Abschnitt wird die Analyse für ein System mit den Eigenschaften von
Ni/Cu(001) durchgeführt, in dem ein umgekehrter dicken- [S CHULZ und B A BERSCHKE , 1994] und temperaturabhängiger [FARLE et al., 1997a,c] Spinreorientierungsübergang gefunden wird. Aus dem effektiven magnetischen Moment im
Volumen µ Ni ≈ 0,62µB [z. B. B ABERSCHKE, 1996, Tab. 1], dem nächste Nachbarabstand aNi
nn ≈ 0,25 nm [z. B. B ABERSCHKE , 1996, Tab. 2] und der C URIEtemperatur
von Nickel im Volumen TcNi ≈ 631 K [L ANDOLT-B ÖRNSTEIN , 1986] erhält man hier
ωNi ≈ 1,3 µeV
J Ni ≈ 27 meV ≈ 2 × 104ωNi .
(4.54a)
(4.54b)
Die lokale uniaxiale Volumenanisotropiekonstante Dv wurde aus dem Grenzwert
T → 0 der Größe K2v ( T ) in [B ABERSCHKE, 1996, Abb. 10] zu
DvNi = K2v (0) ≈ 40 µeV ' 30ωNi
(4.54c)
bestimmt. Für die mittlere Oberflächenanisotropiekonstante D s̄ = ( Ds + Di )/2
erhält man aus derselben Arbeit
Ds̄Ni = K2s (0) ≈ −100 µeV ' −75ωNi .
(4.54d)
75
4 Molekularfeldtheorie
1,0
0,5
Anisotropie Kn/ω
Magnetisierung m
1,0
0,0
0,0
xy
m
z
m
K2
K4
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
−1,0
1,0
Abbildung 26: Komponenten der Magnetisierung m xy (τ ) und m z (τ ) und effektive Anisotropien K2 (τ ) und K4 (τ ) über der Temperatur für ein Ni-artiges System mit den Parametern PNi .
Da keine genauen Daten über die Anteile Di der Grenzfläche Ni/Cu und Ds der
Oberfläche Ni/Vac zum Vakuum bekannt sind5 , wird der Einfachheit halber vorausgesetzt, daß die Grenzflächenlage die Volumenanisotropie trägt (D i = 0) und
somit
DsNi = 2Ds̄Ni ≈ −200 µeV ' −150ωNi
(4.54e)
ist.
In Ni/Cu(001) tritt der schichtdickenabhängige Spinreorientierungsübergang bei
etwa sieben Monolagen auf [S CHULZ und B ABERSCHKE, 1994], in der vorliegenden
Rechnung wird jedoch ein System mit L = 4 Schichten betrachtet. Berücksichtigt
man zusätzlich die unterschiedliche Gitterstruktur, reduziert sich D sNi auf etwa
−100ωNi und man erhält für die uniaxiale Anisotropiekonstante in der obersten
Lage
D1Ni = DvNi + DsNi ≈ −70ωNi .
5 Für
(4.54f)
den Oberflächen- und Grenzflächenanteil von Ni/Cu(001) variieren die experimentellen
Daten von K2s (300 K) ≈ −73 µeV und K2i (300 K) ≈ −53 µeV [O’B RIEN et al., 1996] bis zu
K2s (300 K) ≈ −150 µeV und K2i (300 K) ≈ −80 µeV [ VAN D IJKEN et al., 1999]. Der Grund hierfür
ist wahrscheinlich die unterschiedliche Ober- und Grenzflächenbeschaffenheit der Proben.
76
4.6 Dickere diskrete Filme
Aus diesen Parametern ergibt sich in der Molekularfeldtheorie eine kritische Temperatur von TcNi ' 1,873J Ni . Ein Vergleich mit TcFe aus dem vorigen Abschnitt zeigt,
daß die hier verwendeten Anisotropien in der Molekularfeldtheorie nahezu keinen
Einfluß auf die C URIEtemperatur haben.
Die mit diesen Parameter berechneten Komponenten der Gesamtmagnetisierung
und die effektiven Anisotropien sind in Abbildung 26 gezeigt. Das System zeigt
einen Spinreorientierungsübergang von planarer Orientierung bei niedrigen Temperaturen zu senkrechter Orientierung bei höheren Temperaturen. Dies ist in Übereinstimmung mit den Messungen an Ni/Cu(001) von FARLE et al. [1997a,c]. Nun ist
K2 (τ ) bei tiefen Temperaturen negativ und wächst an, um bei τ rz einen Nulldurchgang zu haben. Die Größe ist dann positiv und verschwindet bei τ c . Die Anisotropie
K4 (τ ) ist wie im Fe-artigen System proportional zu (1 − τ ) 2 , das Temperaturverhalten wird also kaum von der Verteilung der Anisotropiekonstanten beeinflußt.
77
5 Monte Carlo-Simulation
In diesem Kapitel wird der Spinreorientierungsübergang bei endlichen Temperaturen mit Hilfe von Monte Carlo-Simulationen analysiert [H UCHT et al., 1995]. Insbesondere wird die Fragestellung untersucht, welche Systemeigenschaften Auswirkung auf die Ordnung des Spinreorientierungsübergangs haben und inwieweit die
Ergebnisse der Molekularfeldtheorie in Kapitel 4 mit Monte Carlo-Simulationen
übereinstimmen. In den Simulationen wird die H AMILTON funktion
H=−
J
ω
si · s j + ∑ si · W(ri j ) · s j − ∑ Dλi (siz )2
∑
2 hi j i
2 ij
i
(5.1)
betrachtet, d. h. äußere Magnetfelder B und Anisotropien vierter Ordnung E λ werden gegenüber (1.21) nicht berücksichtigt. Die Auswirkung dieser Anteile werden
in Kapitel 4 bzw. in Kapitel 7 im Rahmen einer Molekularfeldnäherung behandelt.
5.1 Verwendete Methoden
5.1.1 Mittelwerte
In diesem Kapitel werden verschiedene Mittelwertbildungen unterschieden, die am
Beispiel der Magnetisierung pro Spin m erläutert werden sollen. Aus einer Spinkonfiguration s = (s1 , . . . , s N ) eines Systems von N Spins kann der Systemmittelwert
der Magnetisierung
m(s) =
1
N
N
∑ si
(5.2)
i =1
berechnet werden. Während der Simulation wird zu jedem Zeitschritt t eine Spinkonfiguration st erzeugt, deren Generierungswahrscheinlichkeit der B OLTZMANN verteilung (1.1) genügt. Für den Systemmittelwert der Magnetisierung (5.2) erhält
man eine implizit temperaturabhängige Zeitreihe m t = m(st ) mit dem zeitlichen
Mittelwert
m( T ) = hmt it ( T ) = lim
1
ttot
∑ mt .
ttot →∞ ttot
t=1
78
(5.3)
5.1 Verwendete Methoden
Für den thermodynamischen Erwartungswert der Magnetisierung pro Spin im
Gleichgewicht gilt (vgl. Kapitel 1.1.1)
meq ( T ) = hm(s)ieq ( T ) =
1
Sp [e−βH(s) m(s)].
Z(T ) s
(5.4)
Thermodynamische Erwartungswerte werden in diesem Kapitel mit h · i eq bezeichnet, und bei zeitlichen Mittelwerten h · i t wird der Index t meist weggelassen.
Der verwendete Algorithmus heißt ergodisch, wenn das Zeitmittel (5.3) gleich
dem Scharmittel (5.4) ist [z. B. B INDER und H EERMANN, 1988]. Dies muß gewährleistet sein, damit die in der Simulation berechneten zeitlichen Mittelwerte mit den
gesuchten thermodynamischen Erwartungswerten übereinstimmen. So ist z. B. für
das I SINGmodell eine lokale Spinflipdynamik bei T = 0 nicht ergodisch, da sie auch
in endlichen Systemen nicht von einem Grundzustand in den anderen führt und
sich m(0) = ±1 ergibt, während m eq (0) = 0 ist.
Will man in einem endlichen System mit der Hilfe von Mittelwerten des Ordnungsparameters Aussagen über den Ordnungsparameter des unendlichen Systems
machen, muß man eine der Symmetrien des Systems brechen, da in endlichen Systemen im feldfreien Fall1 der Erwartungswert des Ordnungsparameters immer
verschwindet2 . So kann z. B. in einem Ferromagneten die Inversionssymmetrie der
H AMILTON funktion H(s) = H(−s) durch Anlegen eines Magnetfeldes oder die
Inversionsantisymmetrie des Ordnungsparameters m(s) = −m(−s) durch Betragsbildung gebrochen werden. In Simulationen wird üblicherweise letzteres verwendet
und der Betrag der Zeitreihe des Ordnungsparameters gemittelt. Wenn außerdem
die betrachtete H AMILTONfunktion rotationssymmetrisch in der xy-Ebene ist, erhält
man als Meßgrößen
m̃ z ( T ) := h|mtz |it ( T )
q
x 2
y 2
xy
(mt ) + (mt )
m̃ ( T ) :=
( T ).
t
(5.5a)
(5.5b)
Diese einfache Betrachtung ist allerdings nicht immer ausreichend, um das System richtig zu beschreiben. Speziell bei Phasenübergängen erster Ordnung kann
der Sprung im Ordnungsparameter durch die Mittelwertbildung verbreitert werden und wie ein kontinuierlicher Übergang aussehen. So wurde mit Hilfe dieser
Mittelwerte die Ordnung des Spinreorientierungsübergangs in der Monolage falsch
bestimmt [C HUI, 1994, 1995] (vgl. Kapitel 5.2). Eine zuverlässigere Auswertung ist
mit den nun beschriebenen Histogrammen möglich [H UCHT et al., 1995].
1 Mit
“Feld” ist das zum Ordnungsparameter konjugierte Feld gemeint, also im Ferromagneten das
äußere Magnetfeld.
2 Da H( s ) = H(− s ) und m ( s ) = − m (− s ), folgt m
eq = h m ( s ) + m (− s )i eq / 2 = 0
79
5 Monte Carlo-Simulation
5.1.2 Histogramme
Der größte Teil der Datenauswertung in diesem Teil der Arbeit basiert auf der
Analyse von Wahrscheinlichkeitsdichten der Zeitreihen von Meßgrößen A t bei der
Temperatur T
1
h( A, x, T ) = lim
ttot
∑ δ ( At − x),
ttot →∞ ttot
t=1
(5.6)
wobei δ ( x) die D IRACsche δ-Distribution ist. Wenn der verwendete Algorithmus
ergodisch ist, entspricht die Dichte (5.6) der gesuchten thermodynamischen Gleichgewichtsverteilung
peq ( A, x, T ) = hδ ( A(s) − x)i eq ( T )
(5.7)
der Größe A(s).
Die Wahrscheinlichkeitsdichte (5.6) kann bei endlicher Meßzeit ttot näherungsweise durch ein Histogramm mit diskreter Schrittweite ∆x
h∆x,ttot ( A, x, T ) =
1
∆x ttot
ttot
∑ δj ∆xAt m,j ∆xx m
(5.8)
t=1
mit dem K RONECKER symbol δi j ausdrückt werden. Hier bedeutet das Symbol b xe
Rundung auf die nächste ganze Zahl n gemäß
(5.9)
b xe = max n | n ∈ Z ∧ n ≤ x + 21 .
Die explizite Angabe der Schrittweite und der Meßzeit an h ∆x,ttot ( A, x, T ) wird im
folgenden weggelassen. Weiterhin wird von nun an die freie Variable x in h( A, x, T )
nicht mehr explizit angegeben und stattdessen h( A, T ) geschrieben. Man beachte,
daß mit dieser Konvention die Histogramme h( A, T ) und h( B, T ) unterschiedliche
Funktionen sind; h( A, T ) ist das Histogramm der Zeitreihe der Größe A t und h( B, T )
das von Bt , beide berechnet mit bei der Temperatur T erzeugten Zeitreihen.
Das Histogramm (5.8) ist wie die Wahrscheinlichkeitsdichten (5.6, 5.7) normiert,
also gilt
Z∞
dA h( A, T ) = 1.
(5.10)
−∞
Mit Hilfe des Histogramms h( A, T ) kann man das Zeitmittel h · i t ( T ) einer beliebigen Funktion f ( At ) der Größe At berechnen, da
f ( A, T ) = h f ( At )it ( T ) =
80
Z∞
−∞
dA f ( A) h( A, T ).
(5.11)
5.1 Verwendete Methoden
T<<Tc
T < Tc
T≈
Tc
T > Tc
T>>Tc
2. Ordnung
10
Histogramm h(m)
5
0
T<<Tc1.
10
Ordnung
T>>Tc
5
T>Tc
T≈Tc
0
−1,0
0,0
Magnetisierung m
1,0
Abbildung 27: Schematische Darstellung der Histogramme des Ordnungsparameters h(m)
für verschiedene Temperaturen um Tc bei einem Phasenübergang 2. Ordnung (oben) und
1. Ordnung (unten) in einem endlichen System. Die Pfeile deuten an, wie sich die Maxima
bei Tc mit wachsender Temperatur verschieben.
So ist z. B. der zeitliche Mittelwert der z-Komponente der Magnetisierung aus (5.3)
z
m (T ) =
hmtz it (T )
=
Z1
dm z m z h(m z , T ).
−1
Betrachten wir nun ein System mit skalarem Ordnungsparameter (OP) m in
der Nähe eines Phasenübergangs, bei dem die Spininversionssymmetrie gebrochen
wird, so ist der entscheidende Vorteil der Histogramme, daß man mit dem Histogramm h(m, T ) des OPs in der Nähe der Übergangstemperatur Tc die Ordnung des
Phasenübergangs bestimmen kann. Hierzu betrachten wir h(m, T ) für ein System
mit N Spins. In der Tieftemperaturphase (T < Tc ) hat der OP des unendlich ausgedehnten System (N → ∞) den Wert ±m( T ), während in endlichen Systemen kein
Phasenübergang auftritt und m = 0 ist. Trotzdem hat h(m, T ) im endlichen System
zwei Maxima nahe m = ±m( T ). In der Hochtemperaturphase (T > Tc ) verschwindet der OP im thermodynamischen Limes N → ∞, das Histogramm h(m, T ) des
endlichen Systems hat ein Maximum bei m = 0.
81
5 Monte Carlo-Simulation
Der Unterschied zwischen einem Phasenübergang erster und zweiter Ordnung
äußert sich in der Form der Histogramme und ihrem Temperaturverhalten in der
Nähe von Tc und ist in Abbildung 27 dargestellt. Bei einem Übergang zweiter
Ordnung verschwindet der OP kontinuierlich, in den Histogrammen verschieben
sich die zwei Maxima zur Mitte und verschmelzen dort bei T = Tc . Bei einem
Übergang erster Ordnung hingegen kann das System bei Tc sowohl in der Hochals auch in der Tieftemperaturphase sein, und der OP kann im thermodynamischen
Limes die drei Werte m( Tc ) = ±m∗ und m( Tc ) = 0 annehmen. Im endlichen System
hat das Histogramm h(m, T ) in der Nähe von Tc in diesem Fall drei Maxima, je eins
nahe m = ±m∗ und eins bei m = 0, wobei die Fläche unter dem Maximum bei null
mit wachsender Temperatur anwächst und die Fläche unter den beiden anderen
Maxima abnimmt.
Im folgenden werden Histogramme der z-Komponente der Magnetisierung h(m z )
sowie Histogramme des Azimutwinkels der Magnetisierung h(ϑ) betrachtet. Im isotropen H EISENBERGmodell können die entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen (5.7) analytisch berechnet werden. Da die Magnetisierung des Systems im
isotropen Fall keine Vorzugsrichtung hat, ist die z-Komponente im thermodynamischen Limes gleichverteilt im Intervall [−m( T ), m( T )], denn für die Wahrscheinlichkeitsverteilung (5.7) von m z gilt
1
peq (m , T ) =
2
z
=
Zπ
0
dϑ sin ϑ δ m z − m( T ) cos ϑ
1 Θ m z + m( T ) − Θ m z − m( T )
2m( T )
(5.12)
mit der H EAVYSIDEfunktion Θ( x) (vgl. Abbildung 32, Fall D1 = 0).
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung p eq (ϑ, T ) des Azimutwinkels ϑ der Magnetisierung lautet im isotropen Fall
1
peq (ϑ, T ) =
2
Zπ
0
dϑ0 sin ϑ0 δ ϑ − ϑ0
1
= sin ϑ Θ(π − ϑ) − Θ(−ϑ) .
2
(5.13)
Um die Auswertung dieser Größe zu vereinfachen, werden die Histogramme h(ϑ)
mit dem Faktor 1/ sin ϑ gewichtet, damit sich im isotropen Fall ebenfalls eine
konstante Verteilung ergibt.
Zusätzlich zu der Datenauswertung mit Histogrammen wurden verschiedene
Methoden implementiert, um die Simulation zu beschleunigen. Diese werden nun
82
5.1 Verwendete Methoden
beschrieben.
5.1.3 Die Methode der lokalen Felder
In der Monte Carlo-Simulation soll die langreichweitige Dipolwechselwirkung vollständig berücksichtigt werden, da das Abschneiden bei einem bestimmten Abstand
rmax schon im Grundzustand zu falschen Ergebnissen führen kann. So können die in
Kapitel 3.2 berechneten Streifendomänen nur dann in der Simulation gefunden werden, wenn die benutzte Reichweite der Dipolwechselwirkung mindestens so groß
ist wie die Breite der Domänen. Um die zeitaufwendige Berechnung der Dipolwechselwirkung zu optimieren, wurde folgendermaßen vorgegangen.
Bei einer lokalen Spinflipdynamik muß die Änderung der Gesamtenergie
H(s) 7→ H(s0 ) = H(s) + ∆H
(5.14)
unter der Änderung eines Spins am Platz k
sk 7→ s0k = sk + ∆sk
(5.15)
berechnet werden. Dann wird mit dem M ETROPOLIS algorithmus entschieden, ob
die Änderung angenommen wird [M ETROPOLIS et al., 1953]. Hierzu wird die Wahrscheinlichkeit
pM (∆H , T ) = min (1, e−β∆H )
(5.16)
berechnet, mit der die Änderung angenommen werden soll, sowie eine gleichverteilte Pseudozufallszahl r ∈ [0, 1[ auf dem Rechner erzeugt. Die Änderung (5.15)
wird genau dann akzeptiert, wenn r < p M (∆H , T ) ist.
Da die lokale uniaxiale Anisotropie quadratisch in si ist,
Di (siz )2 = Di (si · ẑ)( ẑ · si ) = Di si · ẑ 2 · si ,
(5.17)
kann man sie in die Diagonalelemente Jii der Wechselwirkungsmatrix (5.19) hineinziehen und die H AMILTON funktion (1.21) für ein System mit N = L x × L y × L Spins
formal in der Form
H=−
N
1 N
s
·
J
·
s
−
i
j
∑ B · si
ij
2 i,∑
j=1
i =1
(5.18)
mit der Wechselwirkungsmatrix
Ji j = Jbi j 1 − ωW̃( L, ri j ) + 2δi j Di ẑ 2
(5.19)
83
5 Monte Carlo-Simulation
schreiben. Dabei bezeichnet bi j die Anzahl der Bindungen zwischen den Spins si
und s j , und die effektive Dipolwechselwirkung W̃( L, ri j ) zweier Spins im Abstand
ri j in einem System mit Periodizitätsvolumen L aus Gleichung (2.39) wurde in Kapitel 2.2 berechnet. Die Bindungsanzahl bi j ist für nächste Nachbarn gleich 1 und sonst
gleich 0, kann jedoch in sehr kleinen Systemen (L x,y ≤ 2) wegen der periodischen
Randbedingungen in der xy-Ebene auch größer als 1 sein, falls zwei Spins über verschiedene Ränder miteinander wechselwirken. So ist in dem Extremfall L x = L y = 1
die Anzahl b11 = 4, da der (einzige) Spin s 1 in der xy-Ebene vier Bindungen mit sich
selbst hat.
Für die Energieänderung ∆H in Gleichung (5.14) folgt
N
∆H = −∆sk ·
1
∑ Jk j · s j − 2 ∆sk · Jkk · ∆sk − B · ∆sk ,
(5.20)
j=1
da Ji j = J ji . Der Aufwand für die Berechnung dieser Energieänderung ist von der
Ordnung O( N ) und kann erheblich beschleunigt werden, wenn man berücksichtigt,
daß speziell bei tiefen Temperaturen die Akzeptanzhäufigkeit
kflip =
Anzahl der Spinflips
Anzahl der Spinflipversuche
(5.21)
niedrig ist. Hierzu schreibt man den Einfluß der Wechselwirkung mit den Spins s j
und des äußeren Feldes B auf den Spin si als lokales Feld
hi = 2B +
N
∑ Ji j · s j ,
(5.22a)
j=1
wodurch die H AMILTONfunktion (5.18) die einfache Form
H=−
1 N
hi · si
2 i∑
=1
annimmt. Nun kann man die Energieänderung (5.20) als
1
∆H = B − hk − ∆sk · Jkk · ∆sk
2
(5.22b)
(5.23)
schreiben und mit O(1) Operationen berechnen, wenn das lokale Feld h k bekannt
ist. Wenn ein Spinflipversuch (SFV) akzeptiert wird, müssen allerdings alle lokalen
Felder hi gemäß
∀hi : hi 7→ hi0 = hi + Jik · ∆sk
(5.24)
aktualisiert werden. Dies sind O( N ) Operationen. Man benötigt also für einen Monte Carlo-Schritt (MCS), d. h. für einen Spinflipversuch pro Spin, n op = kflip ( T ) c1 N 2
84
5.1 Verwendete Methoden
0,7
Akzeptanzhäufigkeit
0,6
0,5
0,4
kflip
dTkflip
≈Tc
≈Tr
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
Temperatur T/J
0,8
1,0
Abbildung 28: Die Akzeptanzhäufigkeit der Spinflipversuche k flip ( T ) (5.21) steigt monoton
mit der Temperatur und beträgt am Spinreorientierungsübergang Tr etwa 3%, deren Temperaturableitung d T kflip ( T ) zeigt bei Tr und bei der C URIEtemperatur Tc ein Maximum.
Parametersatz PLb =1 mit Systemgröße Lk = 16.
anstatt nop = c2 N 2 Operationen und beschleunigt somit den Algorithmus durch
1
Verwendung von lokalen Feldern etwa um den Faktor k −
flip ( T ), da die beiden Proportionalitätskonstanten c1 und c2 von gleicher Größenordnung sind.
Die Akzeptanzhäufigkeit k flip ( T ) ist abhängig von der verwendeten Aktualisierungsregel. In dieser Arbeit wurde nur die Regel verwendet, daß bei einem SFV
der betreffende Spin eine zufällige neue Richtung erhält. Die für diese Regel erhaltene Akzeptanzhäufigkeit ist in Abbildung 28 dargestellt. Die Parameter dieser
Simulation stammen aus Parametersatz PLb =1 . Bei diesem Parametersatz tritt bei
Tr ≈ 0,135J ein Spinreorientierungsübergang von senkrechter zu paralleler Magnetisierung auf, der in Abschnitt 5.2 detailliert untersucht wird; die C URIEtemperatur
beträgt Tc ≈ 0,78J. Da kflip ( Tr ) ≈ 0,03 ist, beschleunigt die Verwendung lokaler
Felder die Simulation am Spinreorientierungsübergang etwa um den Faktor 30.
Interessanterweise kann man beide kritischen Temperaturen Tr und Tc in der Temperaturableitung d T kflip ( T ) der Akzeptanzhäufigkeit, die ebenfalls in Abbildung 28
abgebildet ist, als Maximum identifizieren, welches mit wachsender Systemgröße
immer ausgeprägter wird. Die Akzeptanzhäufigkeit verhält sich somit qualitativ
wie die innere Energie U und infolgedessen d T kflip wie die spezifische Wärme
85
5 Monte Carlo-Simulation
C = d T U . Diese Analogie wurde in dieser Arbeit jedoch nicht weiter untersucht.
5.1.4 Der globale Spinflip
Mit Hilfe der Monte Carlo-Simulation soll der Spinreorientierungsübergang untersucht werden, bei dem die Magnetisierung m( T ) des Systems mit wachsender
Temperatur die Richtung von senkrecht zur Filmebene m( T ) k ẑ nach parallel zur
Filmebene m( T ) ⊥ ẑ ändert. Molekularfeldrechnungen zeigen, daß der Übergang
in der Monolage (L = 1) von erster Ordnung ist [TAYLOR und G YÖRFFY , 1993; M O SCHEL und U SADEL , 1995a] (vgl. Kapitel 4.5).
Solche temperaturgetriebenen Phasenübergänge erster Ordnung sind im Rahmen
von Monte Carlo-Simulationen schwierig zu behandeln, da am Übergangspunkt Tc
sowohl die Hoch- als auch die Tieftemperaturphase metastabil sind und sich mit
wachsender Systemgröße immer seltener ineinander umwandeln. Ein ähnlicher Effekt tritt auch bei der Simulation des ferromagnetischen I SINGmodells mit lokaler
Spindynamik auf, wo die Phasengrenzlinie (B = 0, T < Tc ) ebenfalls von erster
Ordnung ist und Übergänge von dem Zustand mit positiver Magnetisierung in den
Zustand mit negativer Magnetisierung mit wachsender Systemgröße exponentiell
selten werden [z. B. B INDER und H EERMANN, 1988]. Im I SINGmodell ist dieser Übergang allerdings feldgetrieben und symmetrisch; die beiden Tieftemperaturphasen
resultieren aus der Spininversionssymmetrie der zugehörigen H AMILTONfunktion,
die auf der Phasengrenzlinie (B = 0, T < Tc ) gebrochen ist. Die lange Umwandlungszeit stellt deshalb in der Simulation kein Problem dar, da sich die zwei Phasen
nur durch das Vorzeichen der Magnetisierung voneinander unterscheiden.
In dem hier behandelten Modell ist der Übergang jedoch temperaturgetrieben
und nicht symmetrisch. Man muß also dafür sorgen, daß man in der Simulation
effizient zwischen der Tieftemperaturphase FM z mit senkrechter Magnetisierung
und der Hochtemperaturphase FM xy mit planarer Magnetisierung wechseln kann.
Dieses Problem wurde wie folgt gelöst: Der führende Energiebeitrag der H AMIL TONfunktion (5.1) stammt vom Austauschanteil H 0 (1.21b) und ist in der Simulation etwa eine Größenordnung größer als die anderen Beiträge. Es wäre deshalb
wünschenswert, einen globalen Spinflip durchzuführen, der das System von einem
n
Abbildung 29: Beim globalen Spinflip werden alle Spins an einer zufällig orientierten Ebene
(dünne Linie) mit dem Normalenvektor n gespiegelt.
86
5.1 Verwendete Methoden
Zustand in FM z in einen Zustand in FM xy transformiert, ohne H0 zu ändern.
Dies ist tatsächlich möglich, da H 0 isotrop bzw. rotationssymmetrisch ist und deshalb nur von der relativen Lage der Spins zueinander abhängt. Deshalb ändert sich
die Austauschenergie H0 nicht, wenn man alle Spins einer unitären Transformation unterwirft. Zu diesen Transformationen gehören unter anderem Rotationen und
Spiegelungen an einer beliebigen Ebene. Da bei Rotationen nur mit großem Aufwand erreicht werden kann, daß die Testzustände gleichverteilt ausgewählt werden,
wurde ein globaler Spinflip eingeführt, der alle Spins an einer Ebene mit zufällig
orientiertem normierten Normalenvektor n̂ spiegelt [H UCHT et al., 1995], d. h.
∀si : si 7→ si0 = S(n̂) · si
mit S (n̂ ) = 1 − 2 n̂ 2 .
(5.25)
Die durch diesen globalen Spinflipversuch hervorgerufene Energieänderung
∆H = H(s0 ) − H(s)
(5.26)
wird wie die lokalen Spinflipversuche (5.15) mit dem Algorithmus von M ETROPO LIS et al. [1953] (5.16) behandelt. Um in der Implementation zu vermeiden, daß bei
einer Verwerfung der neuen Spinkonfiguration s 0 die Spiegelung explizit wieder
rückgängig gemacht werden muß, werden zwei Kopien s (a) und s(i) des Systems
(i)
(a)
verwaltet und gemäß si = S(n̂ ) · si von der aktiven Kopie s(a) in die inaktive
Kopie s(i) gespiegelt. Wenn der Flipversuch angenommen wird, brauchen s (a) und
s(i) lediglich vertauscht zu werden.
Dieser globale Spinflip (GSF) ist ähnlich dem Cluster-Spinflip im Cluster-Algorithmus für das isotrope H EISENBERGmodell von W OLFF [1989], bei dem in jedem
Zeitschritt eine zusammenhängende Gruppe C von Spins gemäß (5.25) an einer zufälligen Ebene gespiegelt wird und wo ebenfalls die rotationsinvariant ausgenutzt
wird. Der W OLFFalgorithmus basiert wie der Algorithmus von S WENDSEN und
WANG [1987] auf einer Transformation von F ORTUIN und K ASTELEYN [1972], die
einen Zustand eines Spinsystems auf ein Perkolationsproblem [S TAUFFER , 1985] abbildet. Allerdings kann man den W OLFFalgorithmus aus zwei Gründen hier nur
schlecht verwenden: Zum einen sind wegen der langreichweitigen Dipolwechselwirkung alle Spins untereinander durch Bindungen gekoppelt. Der Rechenaufwand
für ein Cluster C mit c Spins steigt damit von cz Operationen auf cN Operationen,
wobei z die Anzahl der nächsten Nachbarn und N die Gesamtanzahl der Spins ist.
Zum anderen verletzen sowohl die uniaxiale Anisotropie als auch die Dipolwechselwirkung die Rotationsinvarianz der H AMILTONfunktion (5.18). Dies führt dazu,
daß selbst für ein erfolgreich bestimmtes Cluster C noch die Energiedifferenz der
inneren Cluster-Spins
∆HC = HC (s0 ) − HC (s)
(5.27a)
87
5 Monte Carlo-Simulation
Magnetisierung m
z
1
z
h(m )
Ohne globalen Spinflip
0
−1
1
0
2000
4000
Mit globalem Spinflip
6000
8000
0
6000
8000
z
h(m )
0
−1
2000
4000
MC−Zeit t
Abbildung 30: z-Komponente der Magnetisierung über der Zeit und Histogramm h(m z )
ohne und mit globalem Spinflip für Parametersatz PLb =1 mit Lk = 32 und T = 0,13J ≈ Tr .
Ein Zeitschritt entspricht einem globalen SFV und 256 MCS.
mit
HC (s) = −
1
si · Ji j · s j − ∑ B · si
2 i,∑
i ∈C
j∈C
(5.27b)
unter dem Cluster-Spinflip berechnet werden muß und dieser nur dann angenommen werden kann, wenn der M ETROPOLISalgorithmus (5.16) dies zuläßt.
Die Auswirkung des globalen Spinflips (5.25) auf die Äquilibrierung des Systems
am Spinreorientierungsübergang Tr ist in Abbildung 30 dargestellt. Das System gelangt ohne globalen SFV innerhalb der Simulationszeit nicht ins thermodynamische
Gleichgewicht, da das Histogramm h(m z ) noch deutlich asymmetrisch ist. Mit globalem SFV kann das System deutlich häufiger zwischen den zwei Tieftemperaturphasen FM + z bzw. FM − z und der planaren Hochtemperaturphase FM xy wechseln.
Für eine quantitative Analyse der verbesserten Äquilibrierung ist in Abbildung 31
die Autokorrelationsfunktion der z-Komponente der Magnetisierung
Γ zz (∆t) =
ttot −∆t
1
mtz mtz+∆t
ttot − ∆t t∑
=1
(5.28)
dargestellt. Hieraus läßt sich die Autokorrelationszeit τ der senkrechten Magnetisierung bestimmen, da für hinreichend große Zeiten gilt
Γ zz (t) ∝ e−t/τ .
88
(5.29)
5.1 Verwendete Methoden
zz
Autokorrelation Γ (∆t)
1,0
0,0
Ohne globalen Spinflip
Mit globalem Spinflip
∝ exp(−t/τo)
∝ exp(−t/τm)
−1,0
1
10
100
MC−Zeit ∆t
1000
10000
Abbildung 31: Der globale Spinflip reduziert die Autokorrelationsfunktion Γ zz (∆t) der
senkrechten Magnetisierung m tz aus Abbildung 30 etwa um den Faktor 200. Ohne GSF
gelangt das System innerhalb der Simulationszeit nicht ins thermodynamische Gleichgewicht. Für die dünnen Linien gilt τ o = 3000 und τm = 15.
Für die betrachteten Parameter erhält man aus Abbildung 31 für das Verhältnis der
Autokorrelationszeiten ohne und mit GSF den Wert τ o /τm ≈ 200, die Autokorrelationszeit τ wird also durch den globalen Spinflip etwa um den Faktor 200 verkürzt.
Man sieht an dem Verlauf von Γ zz (t) in der Simulation ohne globalem SFV auch
hier, daß das thermodynamische Gleichgewicht noch nicht erreicht ist, da Γ zz (t) innerhalb der Gesamtmeßzeit von t tot = 10000 Zeitschritten mit je einem GSF und 256
MCS nicht auf null abfällt, sondern sogar negativ wird. Das System befindet sich zu
lange in der Phase mit negativer Magnetisierung, was bereits an der Asymmetrie
des oberen Histogramms in Abbildung 30 zu erkennen war.
89
5 Monte Carlo-Simulation
5.2 Die Monolage
Für den Fall der Monolage ist die Frage zu klären, ob der Spinreorientierungsübergang in der Monte Carlo-Simulation überhaupt auftritt und ob er in Übereinstimmung mit der Molekularfeldtheorie [TAYLOR und G YÖRFFY, 1993; M OSCHEL und
U SADEL, 1995a] von erster Ordnung ist. Hierzu müssen zunächst sinnvolle Modellparameter gefunden werden.
5.2.1 Skalierung der Anisotropiekonstanten
Im Experiment beträgt das Verhältnis von uniaxialer Oberflächenanisotropieenergie
zur Austauschenergie etwa 1% (D1 / J ≈ 1,4 × 10−2 in Eisen, vgl. Kapitel 4.6). Dieser
große Unterschied in der Energieskala bereitet in der Molekularfeldnäherung keine Probleme, da die Lösung der Molekularfeldgleichungen mit hoher numerischer
Genauigkeit durchgeführt werden kann. In einer Monte Carlo-Simulation endlicher
Systeme treten jedoch verschiedene statistische und systematische Fehler auf. Während die statistischen Fehler durch die endliche Simulationszeit verursacht werden
und durch lange Simulationen verringert werden können, stammen die systematischen Fehler aus der endlichen Systemgröße und schränken die möglichen Parameter ein: Bei der Analyse der Histogramme h(m z ) der Magnetisierungskomponente
m z an einem Spinreorientierungsübergang erster Ordnung muß gewährleistet sein,
daß sich das System deutlich häufiger in Zuständen mit maximalem h(m z ), also
z )
m z = ±m z∗ und m z = 0, als in Zuständen mit minimalem h(m z ) (m z = mmin
befindet, damit man die Struktur des Histogramms noch auflösen kann. Eine Abz
z ) wird im folgenden beschrieben.
schätzung des Rauschabstandes h(m max
)/h(mmin
Im thermodynamischen Gleichgewicht tritt bei der Temperatur T ein Zustand der
Energie H = H0 + H mit der Wahrscheinlichkeit p( T ) = Z( T ) −1 e−H/ T (1.1) auf
(kB = 1). Hier wurden mit
H = Hω + Hl
(5.30)
alle anisotropen Beiträge der H AMILTON funktion (1.21a) zusammengefaßt und ein
formaler Störparameter eingeführt. Wir betrachten nun einen globalen Spinflipversuch bei T = Tr aus einem Zustand s a , der sich in einer der stabilen Phasen FM xy
z
oder FM ± z befinden soll, in einen Zustand s b mit Magnetisierung mmin
in keiner
der stabilen Phasen. Die Akzeptanzwahrscheinlichkeit in einem System mit N Spins
beträgt
p a7→b = e− Nδ a7→b / Tr
90
(5.31a)
5.2 Die Monolage
L=8
D1 = 0,0 J
D1 = 0,1 J
5
0
0
5
0
L = 16
0
L = 32
10
D1 = 0,2 J
1
z
Magnetisierung |m |
0
D1 = 0,4 J
10
5
1
z
L=4
h(|m |)
z
h(|m |)
5
0
z
Magnetisierung |m |
Abbildung 32: Einfluß der Systemgröße L (links) sowie der Stärke der Anisotropien D 1 und
ω mit konstantem D1 /ω ' 7,1 (rechts) auf die Histogramme des Betrags der senkrechten
Magnetisierung nahe Tr . Die Histogramme links sind bei T = 0,13J aus t = 2000
Zeitschritten bestimmt, rechts wurde bei T = 0,135J aus t = 8000 Messungen gemittelt.
Die Systeme wurden in allen Fällen mit mindestens 1000 Schritten äquilibriert. Parameter
wie in Abbildung 30.
mit der Energiedifferenz der beiden Zustände pro Spin
δ a7→b =
1
(H (sb ) − H (sa )) .
N
(5.31b)
Diese Größe kann für diese Diskussion als systemgrößenunabhängig angenommen
werden. An Gleichung (5.31a) sieht man, daß das Untergrundrauschen im Histogramm klein wird, wenn der Term N / Tr groß ist.
Um dies zu erreichen, wurde zunächst das Verhältnis D 1 /ω knapp oberhalb des
kritischen Verhältnisses gewählt, bei dem in der Monolage im Grundzustand der
Spinreorientierungsübergang auftritt, damit Tr möglichst klein ist. In Kapitel 3.1
wurde gezeigt, daß für L = 1 der Übergang bei der kritischen Anisotropiekonstan(1)
(1)
ten D1,r = 3ωΦ0 /4 ' 6,775ω (3.10) auftritt. Für D1 /ω & D1,r /ω befindet sich das
System deshalb für hinreichend tiefe Temperaturen in der Phase mit senkrechter
Magnetisierung. Aus diesem Grund ist der in den Parametersätzen der Monolage
PLa =1 und PLb =1 verwendete Wert D1 /ω ' 7,1 um 5,4% größer als der kritische
(1)
Wert D1,r .
Die Form der Histogramme für dieses Verhältnis sind für verschiedene lineare
Systemgrößen Lk sowie für verschiedene Anisotropiestärken D1 und ω in Abbil91
5 Monte Carlo-Simulation
1
z
h(m )
T = 0,120 J < Tr
0
Magnetisierung m
z
−1
1
0
1000
T = 0,132 J ≈ Tr
2000
3000
4000
0
1000
T = 0,150 J > Tr
2000
3000
4000
2000
3000
4000
z
h(m )
0
−1
1
z
h(m )
0
−1
0
1000
MC−Zeit t
Abbildung 33: Senkrechte Magnetisierung über der Zeit m tz und Histogramm h(m z ) für
verschiedene Temperaturen um Tr . Parameter wie in Abbildung 30.
dung 32 dargestellt. Da wegen der langreichweitigen Dipolwechselwirkung die
Simulationszeit für einen MCS von der Ordnung O( L) 4 ist, wurden Systeme mit
maximal N = 32 × 32 × 1 Spins simuliert. Somit wird die oben erläuterte Auflösung der Histogramme mit den Anisotropien D1 = 0,2J und ω = 0,028J erreicht,
dies entspricht Parametersatz PLb =1 .
5.2.2 Die Ordnung des Spinreorientierungsübergangs
In Abbildung 33 ist die senkrechte Magnetisierung über der Zeit m tz sowie deren Histogramm h(m z ) für drei Temperaturen um Tr dargestellt. Die Systemgröße beträgt
N = 32 × 32 × 1 Spins, ein Zeitschritt entspricht einem globalen SFV sowie 256
MCS. Im oberen Teil beträgt die Temperatur T = 0,12J < Tr , und man erkennt, daß
das System in der Tieftemperaturphase FM z mit senkrechter Magnetisierung ±m z
ist. Der globale Spinflip erlaubt es, effizient zwischen den beiden Phase wechseln. In
der mittleren Grafik beträgt die Temperatur T = 0,132J ≈ Tr . Hier treten zusätzlich
zu den Zuständen mit mtz ≈ ±m z∗ Zustände mit mtz ≈ 0 auf, die zu einem breiten
zentralen Maximum bei null im Histogramm h(m z ) führen. Aus dieser Form des
92
5
T = 0,120 J
T = 0,130 J
T = 0,131 J
0
5
T = 0,132 J
T = 0,133 J
T = 0,134 J
0
5
T = 0,140 J
T = 0,150 J
c (T)
z
h(|m |)
5.2 Die Monolage
0
0
10
xy
1 0,12
z
Magnetisierung |m |
T/J
1
0,15
0
Abbildung 34: Histogramme des Betrags der senkrechten Magnetisierung h(|m z |) für
verschiedene Temperaturen nahe Tr . Die untere rechte Grafik zeigt den Anteil der planaren
Phase ĉ xy ( T ) (5.36), die der Fläche unter dem Maximum bei m z = 0 entspricht. Die
Systeme wurden mit mindestens 1000 Zeitschritten äquilibriert, die Parameter sind wie
in Abbildung 30. Die Rechenzeit betrug pro Temperatur etwa 10 CPU-Stunden auf einer
Workstation vom Typ IBM RS/6000 Modell 590.
Histogramms folgt, daß der Phasenübergang in Übereinstimmung mit der Molekularfeldtheorie von erster Ordnung ist [H UCHT et al., 1995]. In der unteren Abbildung
hat die Temperatur den Wert T = 0,15J > Tr , die Magnetisierung mtz fluktuiert um
null und das System befindet sich in der Phase FM xy .
Um das Verhalten der Histogramme am Spinreorientierungsübergang besser zu
charakterisieren, sind in Abbildung 34 die Histogramme in der unmittelbaren Nähe der Übergangstemperatur Tr dargestellt. Da die Histogramme symmetrisch um
m = 0 sind, ist zur Verringerung des statistischen Fehlers h(|m z |) abgebildet. Die Histogramme ändern schon bei einer Temperaturänderung von 1/1000 deutlich ihre
Form, so daß Tr sehr genau bestimmt werden kann. Die Histogramme sind jeweils
aus etwa 8500 Zeitschritten mit je 256 MCS und einem globalen SFV bestimmt worden, wobei jeweils die ersten 1000 Messungen verworfen wurden; dies entspricht
etwa 2 × 106 MCS pro Temperatur. Die eingezeichneten Kurven sind Anpassungen
93
5 Monte Carlo-Simulation
der Histogramme an die Funktion
m z − mk m z + mk ĥ (m ) = c ĥ (m ) + c ĥ (m ) F
F
.
σk
σk
z
xy xy
z
z z
z
(5.32)
Dabei bezeichnet F ( x) eine geeignet zu wählende Funktion, die das Histogramm
bei einem Wert mk auf einem Intervall der Breite σ k abschneidet, da m z nicht
wesentlich größer als der Betrag der Magnetisierung werden kann, wobei σ k die
longitudinalen Fluktuationen der Magnetisierung beschreibt. Für die Anpassung
wurde die Funktion
1
F ( x) =
(5.33)
1 + ex
verwendet. Die Beiträge ĥ xy (m z ) und ĥ z (m z ) beschreiben die Maxima der Phasen
FM xy und FM z mit den Gewichten c xy und c z . Für ĥ xy (m z ) wird eine auf dem
Intervall [0, ∞] normierte G AUSSfunktionen angesetzt; allerdings wird nicht von
vornherein ausgeschlossen, daß das Maximum von null verschieden ist. Somit
ergibt sich
z z 2
z z 2
1 m +m0
1 m −m0
−
−
1
2
σ xy
e 2 σ xy
ĥ xy (m z ) = √
+e
(5.34)
xy
2πσ
mit den Zentren ±m0z und der Breite σ xy . Das zweite Maximum nahe m ist nicht
symmetrisch, da m z die Projektion der Gesamtmagnetisierung auf die z-Achse
ist. Als geeignet in Verbindung mit der Abschneidefunktion F (5.33) hat sich der
exponentielle Ansatz
mz
mz
1 mzz
(5.35)
ĥ z (m z ) =
e σ + e− σ z = cosh z
2
σ
mit der Breite σ z herausgestellt; die spezielle Wahl von ĥ (m z ) beeinflußt die Ergebnisse nur geringfügig. Da ĥ (m z ) normiert sein muß (5.10), verbleiben die sechs
Anpassungsparameter σ xy , σ z , σ k , c xy , m0z und mk . Hiervon ist besonders der Anteil
der planaren Phase c xy ( T ) interessant, der unten rechts in Abbildung 34 dargestellt
ist. Aus der ebenfalls eingezeichneten Approximation durch die Funktion
T − T
r
ĉ xy ( T ) = F
(5.36)
∆Tr
ergibt sich die kritische Temperatur Tr / J ≈ 0,132 ± 0,001 sowie eine Breite des
Übergangsbereiches von ∆Tr ≈ 0,003J. Der Parameter m 0z ist in allen Fällen kleiner
als 0,03, es liegt also eine reine planare Phase vor.
Die mittlere Magnetisierung m hz in den Phasen FM xy und FM z ergibt sich aus den
Schwerpunkten der entsprechenden Histogramme. Für FM xy folgt mhz = m0z . Der
94
5.2 Die Monolage
Schwerpunkt von FM z wird folgendermaßen aus den Parametern berechnet: Da
σ k σ z ist (σ z ≈ 0,1 und σ k ≈ 0,003 für PLb =1 ), gilt in guter Näherung
ĥ z (m z ) ≈ cosh
mz
Θ(m − m z )
σz
(5.37)
mit der H EAVYSIDE funktion Θ( x). Für die mittlere Magnetisierung m hz in der senkrechten Phase FM z erhält man
mhz ≈
Z 1
0
dm z m z ĥ z (m z )
Z 1
0
z
z
z
dm ĥ (m )
= mk − σ z tanh
mk
.
2σ z
(5.38)
Da die Breiten σ der Maxima des Histogramms proportional zur Suszeptibilität
in den beiden Phasen sind und da σ xy etwa dreimal größer als σ z ist, ergibt sich,
daß die Suszeptibilität χ zz = ∂ B z m z bei Tr mit wachsender Temperatur sprunghaft zunimmt. Dies entspricht dem Verhalten der Bilage in Kapitel 4.3.2 und liegt
darin begründet, daß die transversalen Fluktuationen größer sind als die longitudinalen Fluktuationen. Eine genauere Untersuchung der Suszeptibilität mit Monte
Carlo-Simulationen wurde von M ALY [1999] durchgeführt.
Eine analoge Auswertung kann für die planare Komponente der Magnetisierung
xy
xy
m durchgeführt werden. Diese so bestimmten Größen m hz ( T ) und mh ( T ) werden
nun mit einer herkömmlichen Berechnung durch Mittelwerte verglichen.
5.2.3 Vergleich mit anderen Arbeiten
Während man wie oben gezeigt aus den Histogrammen auf einen Phasenübergang
erster Ordnung schließen kann, interpretierte C HUI [1994, 1995] seine Ergebnisse im
gleichen Modell als einen kontinuierlichen Übergang. Dieses abweichende Ergebnis
muß aus folgenden Gründen stark in Zweifel gezogen werden: Zum einen waren
seine Simulationszeiten kürzer, C HUI verwendete typischerweise 4 × 10 5 MCS anstatt der in dieser Arbeit verwendeten 2 × 10 6 MCS, und er benutzte lediglich lokale
Spinflipdynamik. Deshalb ist seine effektive Gesamtsimulationszeit t tot etwa um
den Faktor 1000 kleiner, und er hat in seinen Simulationen wie vorangehend gezeigt
das thermodynamische Gleichgewicht nicht erreicht. Zum anderen betrachtete er
nur die Mittelwerte m̃ z ( T ) und m̃ xy ( T ) (5.5), ohne diese einer notwendigen finite size
scaling-Analyse [z. B. B INDER und H EERMANN , 1988] zu unterziehen.
Um die Auswirkungen einer solchen unzureichenden Analyse zu verdeutlichen,
sind in Abbildung 35 die Ergebnisse für die Komponenten der Gesamtmagnetisiexy
rung aus den Histogrammen mhz ( T ) und mh ( T ) mit einer üblichen Berechnung
durch Mittelwerte m̃ z ( T ) und m̃ xy ( T ) (5.5) verglichen. Die Daten wurden aus 2000
95
5 Monte Carlo-Simulation
1,0
xy
mh
z
Magnetisierung
mh
~ xy
m
~z
m
0,5
0,0
0,0
≈Tr
0,5
Temperatur T/J
≈Tc
1,0
Abbildung 35: Vergleich von Mittelwert der Magnetisierungskomponenten m̃ xy ( T ) und
xy
m̃ z ( T ) und den entsprechenden Werten m h ( T ) und mhz ( T ) aus den Histogrammen h(m xy )
und h(m z ) als Funktion der Temperatur für Parametersatz PLb =1 mit Lk = 16, gemittelt aus
2000 Zeitschritten mit je einem GSF und 256 MCS pro Temperatur. Die Rechenzeit betrug
60 CPU-Stunden auf einer Workstation vom Typ IBM RS/6000 Modell 590. Man beachte
xy
den Sprung in mh ( T ) und mhz ( T ) bei Tr (punktierte Linie).
Zeitschritten mit je einem GSF und 256 MCS pro Temperatur ermittelt. Obwohl für
diese Daten bereits der globale SFV verwendet wurde und das System deshalb im
thermodynamischen Gleichgewicht ist, kann man trotzdem an dem Verlauf von
m̃ z ( T ) und m̃ xy ( T ) nicht erkennen, daß es sich um einen Phasenübergang erster
Ordnung handelt.
M ALY [1999] untersuchte das anisotrope H EISENBERGmodell mit einer zusätzlichen kurzreichweitigen Wechselwirkung, die die Charakteristik A (2.7) der Dipolwechselwirkung hat und somit eine planare Orientierung bevorzugt. Sie fand in
Übereinstimmung mit dieser Arbeit in der Monolage einen Spinreorientierungsübergang erster Ordnung und bei dickeren Filmen kontinuierliche Übergänge. Die
Betrachtung einer zusätzlichen lateralen Inhomogenität in der uniaxialen Anisotropie zeigt, daß generell Inhomogenitäten den Spinreorientierungsübergang kontinuierlich werden lassen und der Übergang nur in Systemen mit hoher Symmetrie
diskontinuierlich verläuft.
96
5.3 Die Bilage
4
∆D/ΣλDλ = 0: 1. Ordnung
h(ϑ1)/sinϑ1
2
0
4
∆D/ΣλDλ = 0,6: 2. Ordnung
2
0
0
π/4
Azimutwinkel ϑ1
π/2
Abbildung 36: Das Histogramm h(ϑ 1 )/ sin ϑ1 des Magnetisierungswinkels ϑ 1 zeigt, daß
der Spinreorientierungsübergang bei homogener uniaxialer Anisotropie (∆D = 0, oben)
von erster und bei hinreichend inhomogener Anisotropie (∆D = 0,15J, unten) von zweiter
Ordnung ist. Die Simulationen dieses Systems mit Parametersatz PL=2 und 32 × 32 × 2
Spins benötigten bei T = 0,32J ≈ Tr je Histogramm etwa 120 CPU-Stunden auf einer IBM
RS/6000 590 Workstation, hierbei wurden jeweils etwa 7000 Zeitschritte von je einem GSF
und 256 MCS gemittelt.
5.3 Die Bilage
Um die Gültigkeit der Ergebnisse der Molekularfeldtheorie aus Kapitel 4.3 zu überprüfen, wurden Simulationen für die Bilage durchgeführt [H UCHT und U SADEL,
1996]. In der Molekularfeldnäherung ergab sich, daß für Parametersatz PL=2 in Abhängigkeit von ∆D = D1 − D2 sowohl ein Phasenübergang erster Ordnung (für
|∆D| . ω) als auch ein Phasenübergang zweiter Ordnung (sonst) auftritt (siehe
auch Abbildung 13). Deshalb wurden zwei Simulationen durchgeführt, eine bei
D1 = D2 = 0,125J (∆D = 0) und eine bei D1 = 0,2J und D2 = 0,05J (∆D = 0,15J).
Die Reorientierungstemperatur Tr wurde im ersten Fall zu Tr ≈ 0,32J bestimmt,
im zweiten Fall befindet man sich in Übereinstimmung mit der Molekularfeldtheorie innerhalb der gekippten Phase FMϑ . Um die Ordnung eindeutig bestimmen zu
können, ist in Abbildung 36 das Histogramm h(ϑ1 ) des Azimutwinkels der Gesamtmagnetisierung in Schicht 1 dargestellt. Für h(ϑ 2 ) ergibt sich ein ähnlicher Verlauf,
die Verkippungswinkel ϑ in den zwei Schichten unterscheiden sich jedoch in Über-
97
5 Monte Carlo-Simulation
einstimmung mit der Molekularfeldtheorie um einige Grad.
Aus den so gewonnenen Histogrammen können die Vorhersagen der Molekularfeldtheorie voll bestätigt werden. Während das Histogramm h(ϑ 1 ) für ∆D = 0 zwei
Maxima aufweist und der Übergang somit von erster Ordnung ist (Abbildung 36
oben), zeigt das System mit inhomogener Anisotropie eine gekippte Magnetisierung (Abbildung 36 unten). Sogar die Reorientierungstemperatur Tr stimmt gut mit
dem Wert aus der Molekularfeldtheorie überein, wenn man sie bezüglich der C U RIEtemperatur Tc reduziert: In der Molekularfeldtheorie liegt der Übergang erster
Ordnung bei Tr / Tc = 0,3 (siehe Abbildung 13). In der Simulation wurde zwar Tc
für die Bilage nicht bestimmt, sie kann aber aus den Ergebnissen der Monolage abgeschätzt werden: In der Monolage mit vier nächsten Nachbarn betrug Tc ≈ 0,78,
in der Bilage mit fünf nächsten Nachbarn würde man einen über 1/4 größeren Wert
von Tc & 1 erwarten, woraus sich Tr / Tc . 0,32 ergibt.
98
6 Störungstheorie
In diesem Kapitel wird der Spinreorientierungsübergang mit einer auf der Molekularfeldtheorie aufbauenden Störungstheorie untersucht [H UCHT und U SADEL,
1997]. Im Rahmen dieser Störungstheorie können analytische Ausdrücke für die
temperaturabhängigen effektiven Anisotropien Kn (τ ) (4.44) gefunden werden, mit
deren Hilfe die Ursachen des temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergangs
analysiert werden können.
Die Störungstheorie basiert auf der Tatsache, daß die anisotropen Beiträge der
H AMILTON funktion (1.21) in den in dieser Arbeit betrachteten Systemen sämtlich
klein gegen die isotrope Austauschwechselwirkung sind. Allerdings hat das ungestörte isotrope H EISENBERGmodell H 0 (1.21b) in dünnen Filmen bei endlichen
Temperaturen keine langreichweitige Ordnung [M ERMIN und WAGNER, 1966], diese wird erst durch Anisotropien induziert (vgl. Kapitel 1.3.1). Dabei reichen schon
sehr kleine Anisotropien aus, um die langreichweitige Ordnung bis zu relativ hohen Temperaturen zu stabilisieren, bei kleinen gilt typischerweise für die C URIEtemperatur
Tc
J
∝ log −1
J
(6.1)
mit ∝ ω [P ICH, 1994] oder ∝ D [B ANDER und M ILLS, 1988] [siehe auch B RUNO,
1992].
In der Molekularfeldnäherung ordnet hingegen auch das isotrope H EISENBERGmodell bei einer endlichen Temperatur; für ein System aus L Schichten gilt nach
W OLFRAM et al. [1971]
Tc ( L)
π
z
2z
= 0 + 1 cos
J
3
3
L+1
(6.2)
mit der Anzahl nächster Nachbarn zδ zwischen zwei Lagen mit Abstand δ aus Tabelle 4. Deshalb kann die Störungstheorie ausgehend von der Molekularfeldnäherung
des isotropen H EISENBERGmodells
L
H0 (ξ ) = −
∑ ξλ · sλ +
λ =1
1
2
h0,λ (ξ ) − ξλ · hsλ iξ
(6.3)
99
6 Störungstheorie
mit den Molekularfeldern h0,λ (ξ ) (4.32b) durchgeführt werden (vgl. Kapitel 4.2). Die
H AMILTON funktion Hλ (ξ ) in Schicht λ (4.31b) lautet nun
(6.4a)
Hλ (ξ ) = H0,λ (ξ ) + H,λ (ξ )
mit dem Störanteil
1
H,λ (ξ ) = Hl,λ − hω,λ (ξ ) · hsλ iξ ,
2
(6.4b)
hier ist hω,λ (ξ ) das dipolare Molekularfeld aus Gleichung (4.32c). Durch die Verwendung eines einzigen formalen Störparameters läßt sich die Störungsrechnung
einfacher formulieren. Dieser Parameter ist gleich dem Betrag der größten Störung
und wird formal aus allen Störungen herausgezogen, d. h.
= max{ω, | Dλ |, |Eλ |, B},
ω 7→ ω/, . . . , B 7→ B/.
(6.5)
Die gestörte lösbare Näherung (4.2) lautet nun
?
Hλ? (ξ ) = H0,
λ (ξ ) + Hl,λ = −ξλ · sλ + Hl,λ .
(6.6)
Ziel der Störungstheorie ist es, eine Näherung für die effektiven Anisotropien
Kn (τ ) aus Gleichung (4.44) zu erhalten. Wie sich zeigt, ist es zunächst einfacher,
die totale Anisotropie
∞
K (τ ) := f (τ , π2 ) − f (τ , 0) =
∑ K2n (τ )
(6.7)
n=1
zu berechnen, wobei f (τ , ϑ) die winkelabhängige freie Energie pro Spin des Systems
aus Gleichung (4.43) ist. K (τ ) ist somit die Differenz der freien Energien pro Spin der
beiden Phasen FM xy und FM z . Unter Vernachlässigung der gekippten Phase FMϑ
gilt am Spinreorientierungsübergang
K (τr ) = 0,
(6.8)
für K (τ ) > 0 ist das System in der Phase FM z und für K (τ ) < 0 in der Phase FM xy .
Diese Größe wird in den Abschnitten 6.1 und 6.2 betrachtet. In Abschnitt 6.3 wird
dann die Rechnung erweitert und K2 (τ ) sowie K4 (τ ) bestimmt, wodurch auch die
gekippte Phase FMϑ untersucht werden kann.
100
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung
Um die totale Anisotropie K (τ ) zu bestimmen, wird die freie Energie um die
stationären Punkte ξ̃ ⊥ und ξ̃ k nach entwickelt. Gesucht ist somit die gestörte freie
Energie F̃ (τ , ) ≡ F (τ , ξ̃ (), ) an einem gestörten stationären Punkt des Systems
ξ̃ () unter einer kleinen Störung . Man beachte, daß der stationäre Punkt ξ̃ ()
ebenfalls von abhängt. Eine TAYLORentwicklung um = 0 liefert
F (τ , ξ̃ (), ) = F (τ , ξ̃ (0), 0) + d F (τ , ξ̃ (0), 0) + O()2
(6.9)
d F (τ , ξ̃ (), ) = ∂ F (τ , ξ̃ (), ) + ∂ξ F (τ , ξ̃ (), ) · dξ̃ .
(6.10)
ω L
d F (τ , ξ̃ (0), 0) = hHl i0 +
Φ|λ −λ 0 | hsλ i0 · A · hsλ 0 i0 .
2 λ ,∑
λ 0 =1
(6.11)
mit der freien Energie des ungestörten Systems F (τ , ξ̃ (0), 0). Für die erste Ableitung in (6.9) gilt
Der zweite Summand in (6.10) fällt weg, da nach Voraussetzung an einem stationären Punkt ξ̃ () der Gradient ∂ξ F (τ , ξ̃ ) für beliebige verschwindet.
An einem stationären Punkt des ungestörten Systems ξ̃ (0) erhält man mit der
H AMILTON funktion (6.4) sowie mit der Ableitungsregel (A.15)
Mit dieser Näherung kann die totale Anisotropie pro Spin
1
K (τ ) =
F (τ , ξ̃ k (), ) − F (τ , ξ̃ ⊥ (), )
L
aus Gleichung (6.7) berechnet werden, es ist in linearer Ordnung
K (τ ) =
d F (τ , ξ̃ k (0), 0) − d F (τ , ξ̃ ⊥ (0), 0) .
L
Zerlegt man diese Größe gemäß
K (τ ) = KD (τ ) + KE (τ ) + KB (τ ) + Kω (τ )
(6.12)
(6.13)
(6.14a)
in den uniaxialen Anteil KD (τ ), den Anteil vierter Ordnung KE (τ ), den Feldanteil
KB (τ ) und den Dipolanteil Kω (τ ), so folgt
1 L
z 2 ⊥
z 2 k
D
h(
s
)
i
−
h(
s
)
i
λ
0
λ
λ
0
L λ∑
=1
1 L
z 4 ⊥
z 4 k
KE (τ ) =
E
h(
s
)
i
−
h(
s
)
i
λ
0
λ
λ
0
L λ∑
=1
1 L
k
⊥
−
h
s
B
·
h
s
i
i
KB (τ ) =
λ 0
λ 0
L λ∑
=1
ω L
k
k
⊥
⊥
0
0
−
h
s
Φ
·
A
·
A
i
i
Kω (τ ) = −
h
s
i
·
h
s
i
·
h
s
0
λ
λ
λ 0
λ 0 .
|λ −λ |
0
0
2L λ ,∑
λ 0 =1
KD (τ ) =
(6.14b)
(6.14c)
(6.14d)
(6.14e)
101
6 Störungstheorie
Hier wurde der Störparameter wieder in die Störungen ω, D λ , Eλ und B hineintransformiert, da er nun nicht mehr benötigt wird.
Das ungestörte System ist isotrop, also folgt mit den stationären ungestörten
Magnetisierungen mλ (τ )
k
hsλ i0 = mλ (τ ) ŷ,
hsλ i⊥
0 = mλ (τ ) ẑ.
(6.15)
Hier und im Rest des Kapitels wird der Übersicht halber an den stationären ungestörten Magnetisierungen mλ und den Molekularfeldern hλ der Index 0 weggelassen, da ab jetzt alle Größen im ungestörten System berechnet werden. Die ungestörten Erwartungswerte höherer Ordnung h(s λz )n i0 werden in Anhang A.2.2 berechnet.
Für die Anteile der totalen Anisotropie pro Spin ergibt sich das Ergebnis
1 L
mλ (τ ) Dλ 1 − 3T
KD (τ ) =
L λ∑
hλ (τ )
=1
1 L
Eλ
KE (τ ) =
L λ∑
=1
4mλ (τ )
3mλ (τ ) 5
1−
1−
+ 2 2
βhλ (τ ) β hλ (τ )
βhλ (τ )
KB (τ ) = B(cos γ − sin γ )m(τ )
Kω (τ ) = −
3ω L
mλ (τ )Φ|λ −λ 0 | mλ 0 (τ )
4L λ ,∑
λ 0 =1
(6.16a)
!
(6.16b)
(6.16c)
(6.16d)
mit der Dipolanisotropie A aus Gleichung (2.7), dem äußerem Magnetfeld
B = B(0, sin γ , cos γ ) sowie mit den ungestörten Molekularfeldern am stationären
Punkt des ungestörten Systems h λ (τ ) = J ∑µL=1 z|λ −µ | mµ (τ ) aus Gleichung (4.32b).
Die totale Anisotropie K (τ ) kann also aus den Schichtmagnetisierungen m λ (τ ) berechnet werden [H UCHT und U SADEL, 1997]. Dieses Ergebnis wurde unabhängig
von J ENSEN und B ENNEMANN [1996] gefunden.
In der folgenden Diskussion wird verwendet, daß eine notwendige Bedingung für einen Fe-artigen Spinreorientierungsübergang eine positive Krümmung
dτ2 K (τ ) > 0 der effektiven Anisotropie K (τ ) in einem endlichen Intervall [τ 1 , τ2 ] mit
τr < τ1 < τ2 < τc ist, da K (τr ) = 0 und ebenso K (τc ) = 0 ist und in diesem Fall die
Ableitung dτ K (τr ) negativ sein muß. Analog dazu ist eine negative Krümmung der
Anisotropie K (τ ) notwendige Bedingung für einen umgekehrten bzw. Ni-artigen
Spinreorientierungsübergang.
102
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung
6.1.1 Homogene Systeme
Nun werden die im vorigen Abschnitt gewonnenen Ausdrücke für typische Parameter analysiert. Der Dipolanteil Kω (τ ) ist immer negativ und bevorzugt deshalb
bei allen reduzierten Temperaturen τ unterhalb der C URIEtemperatur τ c die planare
Orientierung, da die Dipolkonstante ω positiv ist. Der uniaxiale Anteil K D (τ ) hingegen kann abhängig von den Konstanten Dλ sowohl positiv als auch negativ sein.
In der Mono- und in der Bilage kann man (6.16) vereinfachen, da hier das ungestörte System homogen ist, d. h. alle Spins dieselbe Umgebung mit insgesamt
z̃ = z0 + z1 nächsten Nachbarn (z1 = 0 für L = 1) haben. Deshalb ist m λ (τ ) = m(τ )
in allen Schichten gleich, und somit lautet das Molekularfeld h λ (τ ) = J z̃m(τ ). Da in
homogenen Systemen die C URIEtemperatur Tc = J z̃ /3 beträgt, erhält man
KD (τ ) = Dh (1 − τ )
4
5τ 2
KE (τ ) = Eh 1 − τ +
(1 − τ )
3
9m2
Kω (τ ) = −Ωm2 (τ )
(6.17a)
(6.17b)
(6.17c)
mit den mittleren Anisotropiekonstanten pro Spin
Dh =
1 L
Dλ
L λ∑
=1
(6.18a)
Eh =
1 L
Eλ
L λ∑
=1
(6.18b)
Ω=
3ω L
Φ|λ −λ 0 | .
4L λ ,∑
λ 0 =1
(6.18c)
Die Werte dieser Konstanten für die benutzten Parametersätze sind in Tabelle 5
aufgelistet.
Die so berechneten Anteile KD (τ ) und Kω (τ ) der totalen Anisotropie sind für Parametersatz PL=2 in Abbildung 37 gegenübergestellt, KE (τ ) ist dort null. Da das
Quadrat der Magnetisierung eines homogenen Systems in der Molekularfeldtheorie
eine negative Krümmung aufweist (dτ2 m2 (τ ) < 0), kann wegen des linearen Verlaufs von KD (τ ) nur ein Spinreorientierungsübergang von senkrechter zu planarer
Magnetisierung auftreten.
Die Ausdrücke für die effektiven Anisotropien (6.17) können noch vereinfacht
werden, wenn man das Magnetisierungsquadrat m 2 (τ ) des homogenen Systems in
Molekularfeldnäherung durch eine gebrochenrationale Funktion1 m̂2 (τ ) annähert.
1 Näherungsausdrücke
sind mit einem Dach versehen.
103
6 Störungstheorie
7,5
Anisotropie K/ω
KD(τ)
Kω(τ)
K(τ)
0,0
−7,5
0,0
τr
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 37: In der homogenen Mono- und Bilage kann wegen des linearen Verlaufs von
KD (τ ) nur ein Fe-artiger Spinreorientierungsübergang auftreten, da die Krümmung des
dipolaren Anteils Kω (τ ) und damit auch der Summe K (τ ) immer positiv ist (Parametersatz
PL=2 ).
Die einfachste Näherung, die den Randbedingungen m 2 (0) = 1 und m2 (1) = 0
genügt, ist die PADÉartige Approximation vom Grad2 (1, 1)
m̂2 (τ ) =
1−τ
1 − qτ
(6.19)
mit q < 1. Der freie Parameter q kann bestimmt werden, indem man fordert, daß
die Steigungen von m2 (τ ) und m̂2 (τ ) am kritischen Punkt τc gleich sind. Aus einer
Entwicklung der Selbstkonsistenzgleichung der Magnetisierung des ungestörten
τ
Modells (vgl. Anhang A.2.2) m = coth 3m
τ − 3m um τc ≡ 1 folgt
5
20
m2 (τ ) = − (τ − τc ) − (τ − τc )2 + O(τ − τc )3 .
3
21
(6.20)
Damit für die Ableitungen am kritischen Punkt dτ m2 (τc ) = dτ m̂2 (τc ) gilt, muß
der freie Parameter q auf den Wert 2/5 gesetzt werden. Die so erhaltene Näherung
m̂2 (τ ) weicht im gesamten Temperaturbereich 0 ≤ τ ≤ 1 um weniger als 1% von
2 ( p, q )
104
gibt den Grad des Zähler- und Nennerpolynoms an [z. B. W OLFRAM R ESEARCH , 1996, S. 67]
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung
der exakten Form m2 (τ ) ab, die nur numerisch bestimmt werden kann. Für die totale
Anisotropie (6.16) in homogenen Systemen folgt die Näherung
1
1
2 2
+ Eh 1 − τ + τ
,
(6.21)
K̂ (τ ) = (1 − τ ) Dh − Ω
1 − qτ
3
9
aus der man durch Nullsetzen die Reorientierungstemperatur bestimmen kann. Es
ergibt sich im Fall Eh = 0 die Lösung
5
Ω
τr =
1−
,
(6.22)
2
Dh
also eine lineare Abhängigkeit der Reorientierungstemperatur von dem Verhältnis
Ω/ Dh [H UCHT und U SADEL, 1999a].
6.1.2 Inhomogene Systeme
Filme mit L > 2 sind nicht mehr homogen, hier ist die Magnetisierung eine Funktion
des Lagenindexes λ. In Abbildung 38 ist die Magnetisierung ms (τ ) an der Oberfläche und mv (τ ) im Innern für das ungestörte Modell mit L = 4 Schichten abgebildet. Während die Volumenmagnetisierung m v (τ ) typisches Molekularfeldverhalten
Magnetisierung mλ
ms(τ)
mv(τ)
as(τ)
av(τ)
1−τ
0,5
0,5
1
ms/mv
as/av
0
0,0
0,0
0
τ
1
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
Anisotropiefaktor aλ
1,0
1,0
0,0
1,0
Abbildung 38: Die Magnetisierung m s (τ ) an der Oberfläche ist kleiner als m v (τ ) im
Volumen, dadurch ist der Anisotropiefaktor a s (τ ) abgesenkt. Zum Vergleich ist a(τ ) = 1 −
τ eines homogenen Systems dargestellt. Die Kurven wurden im ungestörten Modell mit
L = 4 Schichten berechnet.
105
6 Störungstheorie
10,0
Anisotropie K/ω
KD(τ)
Kω(τ)
K(τ)
0,0
τr
−10,0
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 39: Totale effektive Anisotropie K (τ ), ihr uniaxialer Anteil K D (τ ) und ihr
Dipolanteil Kω (τ ) über der Temperatur für ein Fe-artiges System.
zeigt, d. h. wurzelförmig nach null geht, ist die Oberflächenmagnetisierung m s (τ )
bei allen Temperaturen kleiner als m v (τ ) und hat einen nahezu linearen Verlauf, der
erst nahe τc wieder wurzelförmig wird. Für L → ∞ ändert sich sogar das kritische
Verhalten, da dann der lineare Verlauf bis τ c reicht und der kritische Exponent β = 1
ist3 [W OLFRAM et al., 1971]. Das veränderte Temperaturverhalten der Oberflächenmagnetisierung wirkt sich auf die Anisotropie KD (τ ) aus4 . Um dies zu erläutern,
sind in Abbildung 38 zusätzlich die Anisotropiefaktoren
aλ (τ ) := 1 − 3T
mλ (τ )
hλ (τ )
(6.23)
abgebildet, die die Temperaturabhängigkeit der Anisotropie K D (τ ) bestimmen, da
KD (τ ) = ∑ λL=1 Dλ aλ (τ )/ L ist. Es fällt auf, daß a s (τ ) deutlich schneller als linear nach
null geht und die Krümmung dτ2 as (τ ) > 0 ist, während av (τ ) langsamer als linear
abfällt und dτ2 av (τ ) < 0 ist. Der Verlauf von KD hängt somit wesentlich von der
Verteilung der uniaxialen Anisotropien Dλ ab.
3 Dieses
Verhalten ist analog zum zweidimensionalen I SINGmodell, wo der Exponent β im Innern
den Wert β = 1/8 [YANG, 1952] und an der Oberfläche den Wert β = 1/2 hat [M C C OY und W U,
1967].
4 Anisotropien vierter Ordnung sowie äußere Magnetfelder werden im Rest dieses Kapitels nicht
berücksichtigt.
106
6.1 Die totale Anisotropie K (τ ) in 1. Ordnung
7,5
Anisotropie K/ω
KD(τ)
Kω(τ)
K(τ)
0,0
−7,5
0,0
τr
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 40: Totale effektive Anisotropie K (τ ), ihr uniaxialer Anteil K D (τ ) und ihr
Dipolanteil Kω (τ ) über der Temperatur für ein Ni-artiges System.
Nun werden die Anisotropien KD (τ ) und Kω (τ ) für die Parametersätze PFe und
PNi berechnet. In Abbildung 39 sind die Anisotropieanteile KD (τ ) und Kω (τ ) sowie
deren Summe K (τ ) für ein Fe-artiges System mit Parametersatz PFe dargestellt. Da
hier die Oberflächenanisotropie Ds ' 36,8ω > 0 und im Volumen Dv = 0 ist,
bewirkt der Anisotropiefaktor as (τ ), daß dτ2 KD (τ ) ebenso wie dτ2 Kω (τ ) größer als
null ist und deshalb auch dτ2 K (τ ) > 0 ist. Somit kann nur ein Spinreorientierungsübergang von senkrechter nach planarer Magnetisierung auftreten kann. Dies gilt
jedoch nicht für das in Abbildung 40 dargestellte Ni-artige System mit Parametersatz PNi , bei dem die Oberflächenanisotropie Ds = −100ω < 0 und die Volumenanisotropie Dv = 30ω > 0 ist. In diesem Fall bewirkt der Oberflächenanisotropiefaktor as (τ ) eine negative Krümmung von KD (τ ), die die positive Krümmung von
Kω (τ ) überkompensieren kann und dann einen umgekehrten Spinreorientierungsübergang von planarer zu senkrechter Magnetisierung hervorruft. Diese wichtigen
Ergebnisse lassen sich so formulieren: Durch die reduzierte Oberflächenmagnetisierung ms (τ ) wird der Einfluß der Oberflächenanisotropiekonstanten Ds mit wachsender Temperatur kleiner als der Einfluß der Volumenanisotropiekonstanten D v
bzw. der Dipolkonstanten ω. Deswegen wirkt sowohl im Fe- als auch im Ni-artigen
System eine Erhöhung der Temperatur τ etwa wie eine Erhöhung der Filmdicke L
und führt zu dem temperaturgetriebenen Spinreorientierungsübergang.
107
6 Störungstheorie
Die hier dargestellte lineare Störungsrechnung wurde von H ERRMANN et al.
[1998] im Rahmen einer Spektraldichtenäherung (spectral-density approach, SDA) auf
das Ein-Band H UBBARDmodell [1963] übertragen, wo sie qualitativ gleiche Ergebnisse liefert. Allerdings wird bei dieser Methode der lokale uniaxiale Anteil D λi (σiz )2
im H AMILTON operator phänomenologisch durch die Kopplung an ein effektives
Anisotropiefeld Dλi hσλz iσiz genähert, da für die betrachteten quantenmechanischen
S = 1/2 Spinoperatoren die Komponente (σiz )2 unabhängig vom Zustand konstant
ist und eine uniaxiale Anisotropie erst ab Spin S = 1 einen nichttrivialen Beitrag
liefert [M OSCHEL, 1994; R EMPE, 1996]. Durch die Behandlung der lokalen Anisotropie als Austauschanisotropie haben jedoch in homogenen Filmen der Dicke L < 3
sowohl der lokale Anteil KD (τ ) als auch der dipolare Anteil Kω (τ ) der totalen Anisotropie K (τ ) identisches Temperaturverhalten KD (τ ) ∝ Kω (τ ) ∝ m2 (τ ). In dieser
Näherung kann erst für inhomogene Filme der Dicke L ≥ 3 ein temperaturgetriebener Spinreorientierungsübergang auftreten, wobei der Unterschied im Temperaturverhalten von KD (τ ) und Kω (τ ) dann allein aus der Dipolwechselwirkung
mλ Φλλ 0 mλ 0 zwischen unterschiedlichen Lagen des Films resultiert. Ein Vergleich mit
den Ergebnissen der vorliegenden Arbeit zeigt, daß dieser Effekt deutlich geringer
ist als die Auswirkungen der grundlegend unterschiedlichen Verläufe von K D (τ )
und Kω (τ ) in Gleichungen (6.16) auf die totale Anisotropie K (τ ).
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
In diesem Abschnitt soll ein Näherungsausdruck für die Anisotropiefaktoren a λ (τ )
aus Gleichung (6.23) für inhomogene Systeme mit L > 2 hergeleitet werden.
Mit diesem Ausdruck kann dann analog zu (6.21) eine Näherung für die totale
Anisotropie K (τ ) angegeben werden. Hierzu wird der Quotient
f λ (τ ) := J
mλ (τ )
hλ (τ )
(6.24)
betrachtet, für den an der Oberfläche und im Volumen die Grenzfälle
f s (0) =
1
,
z̃s
f v (0) =
1
,
z̃v
f λ (1) =
1
z̃eff ( L)
(6.25)
gelten. Hier ist z̃s = z0 + z1 die Oberflächenkoordinationszahl, z̃v = z0 + 2z1 die
Volumenkoordinationszahl und
z̃eff ( L) :=
3Tc ( L)
J
(6.26)
die effektive Anzahl nächster Nachbarn in einem Film der Dicke L. Für L > 1 gilt
immer z̃s < z̃eff ( L) < z̃v .
108
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
Analog zu (6.19) kann f λ (τ ) durch die PADÉapproximation vom Grad (1, 1)
1−τ
fˆλ (τ ) = f λ (1) + f λ (0) − f λ (1)
1 − pτ
(6.27)
mit der Konstanten p = z0 / z̃s angenähert werden, wobei die Grenzfälle (6.25) exakt
reproduziert werden (p = 4/5 in ek(001) und p = 1/2 in kfz(001)). Einsetzen von
(6.24) in die Anisotropiefaktoren (6.23) liefert die gesuchte Näherung
z̃ ( L)
τ eff
−1
.
(6.28)
âλ (τ ) = (1 − τ ) 1 −
1 − pτ
z̃λ
Aufgrund der Konstruktion ist aλ (0) = âλ (0) = 1 und aλ (1) = âλ (1) = 0
sowie die Steigung dτ aλ (0) = dτ âλ (0); der Fehler beträgt auf dem gesamten
Temperaturintervall maximal 1%.
Für den uniaxialen Anteil an der totalen Anisotropie KD (τ ) aus Gleichung (6.16a)
erhält man somit die Näherung
τ
(6.29)
K̂D (τ ) = (1 − τ ) Dh − Dih
1 − pτ
mit Dh aus Gleichung (6.18a) und der effektiven Konstanten
z̃eff ( L)
1 L
Dih = ∑ Dλ
−1 .
z̃λ
L λ =1
(6.30)
Dieser Anteil kann also in einen linearen homogenen Anteil und in einen nichtlinearen inhomogenen Anteil aufgespalten werden. Der Einfluß der Inhomogenität auf
das Temperaturverhalten des dipolaren Anteils Kω (τ ) (6.16d) ist geringer und kann
vernachlässigt werden, es wird deshalb wie im homogenen Fall (6.21) die Näherung
K̂ω (τ ) = −Ω
1−τ
1 − qτ
(6.31)
Satz
Dh /ω
Dih /ω
Ω/ω
PL=2
7,353
0
6,530
9,211
1,138
6,407
PNi
5
−2,191
6,407
PFe
Tabelle 5: Effektive Anisotropiekonstanten Dh , Dih und Ω aus Gleichungen (6.18, 6.30) für
verwendete Parametersätze.
109
6 Störungstheorie
mit q = 2/5 und Ω aus Gleichung (6.18c) verwendet. Die totale Anisotropie K (τ )
aus Gleichung (6.16) lautet mit diesen Näherungen
τ
1
K̂ (τ ) = (1 − τ ) Dh − Dih
−Ω
,
(6.32)
1 − pτ
1 − qτ
d. h. K̂ (τ ) kann in zwei Terme faktorisiert werden. Während der erste Term bei τ c
verschwindet, erhält man aus dem zweiten Term wegen der Bedingung K̂ (τr ) = 0
die Gleichung
Dh − Dih
τr
1
−Ω
=0
1 − pτr
1 − qτr
(6.33)
für die Reorientierungstemperatur τ r mit der Lösung
s
!
1
Dh q − Ωp 2
Dh q − Ωp
Ω − Dh
τr =
1+
±
1+
,
+ 4q
2q
Dh p + Dih
Dh p + Dih
Dh p + Dih
(6.34)
wobei das Vorzeichen der Wurzel so zu wählen ist, daß 0 ≤ τ r ≤ 1 gilt, d. h. “+” für
einen Fe-artigen und “−” für einen Ni-artigen Spinreorientierungsübergang.
6.2.1 Schichtdickenabhängigkeit der Anisotropie
In diesem Abschnitt wird die in Kapitel 1.3.5 beschriebene Schichtdickenabhängigkeit aus dem mikroskopischen Modell berechnet. Unter der Annahme, daß die
uniaxiale Anisotropie nur an einer Oberfläche vom Volumenwert D v abweicht, d. h.
D1 = Dv + Ds und Dλ >1 = Dv , kann man K̂ (τ ) aus (6.32) für eine feste reduzierte
Temperatur τ gemäß
K s (τ )
+ K HO ( L, τ )
mit K HO ( L, τ ) = O( L)−2
(6.35)
L
in eine TAYLORreihe in 1/ L entwickeln, wobei alle höheren als linearen Ordnungen
zu K HO ( L, τ ) zusammengefaßt wurden. Man beachte, daß τ = T / Tc ( L) noch
implizit dickenabhängig ist. Die totale Anisotropie K̂ (τ ) (6.32) hängt nur über die
effektiven Konstanten Dh , Dih und Ω explizit von L ab, deren L-Abhängigkeit lautet
nun
K ( L, τ ) = K v (τ ) +
Dh ( L ) = Dv +
1
Ds
L
(6.36a)
1
z̃ ( L)
L−2
z̃eff ( L)
−1 +
−1
( Ds + 2Dv ) eff
Dv
z̃s
z̃v
L
L
( Ds + 2Dv ) z1
Dv 2Dv z1 + Ds z̃v
π
2
=
− 4z1 sin
+
(6.36b)
2( L + 1)
z̃s L
z̃v
z̃s z̃v L
2
3ω
ΦΣ − Φ1 .
(6.36c)
Ω( L) =
4
L
Dih ( L) =
110
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
Dabei wurde Ω( L) unter Berücksichtigung von Gleichung (2.63) approximiert, da
die Konstanten Φλ >1 Φ1 sind. Für die Entwicklungskoeffizienten aus (6.35)
ergeben sich die Ausdrücke
3
1
v
K̂ (τ ) = (1 − τ ) Dv − ωΦΣ
(6.37a)
4
1 − qτ
z1
3
1
τ
s
+ ωΦ1
(6.37b)
K̂ (τ ) = (1 − τ ) Ds − ( Ds + 2Dv )
1 − pτ
2
1 − qτ
z̃s
Dv 2Dv z1 + Ds z̃v (1 − τ )τ
π
2
HO
. (6.37c)
K̂ ( L, τ ) = 4z1 sin
+
2( L + 1)
1 − pτ
z̃v
z̃s z̃v L
Die höheren Ordnungen K̂ HO ( L, τ ) resultieren daher, daß im inhomogenen Anteil
Dih ( L) die C URIEtemperatur des Films und somit auch z̃eff ( L) von der Dicke L
abhängen5 .
Mit diesen Ausdrücken kann durch Nullsetzen von K̂ ( L, τ ) unter Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung die schichtdickenabhängige Reorientierungstemperatur τ̂r ( L) berechnet werden. In homogenen Systemen ergibt sich mit Gleichung (6.22) [H UCHT und U SADEL, 1999a]
5
3ω ΦΣ L − 2Φ1
τ̂r ( L) =
1−
.
(6.38)
2
4 Dv L + Ds
In inhomogenen Systemen mit L > 2 ist τ̂ r ( L) Lösung einer Gleichung dritter Ordnung und wird nicht explizit angegeben, stattdessen wird die temperaturabhängige
Reorientierungsdicke L̂r (τ ) = −K̂ s (τ )/K̂ v (τ ) berechnet, man erhält
L̂r (τ ) =
1
3
2 ωΦ1 1−qτ
z1
τ
z̃s ( Ds + 2Dv ) 1− pτ
3
1
4 ωΦΣ 1−qτ − Dv
+ Ds −
.
(6.39)
Diese beiden Näherungsausdrücke für die schichtdicken- und temperaturabhängige
Phasengrenzlinie zwischen FM z und FM xy werden in Kapitel 7.2 mit den anderen in
dieser Arbeit berechneten Phasendiagrammen verglichen. Dort zeigt sich, daß L̂r (τ )
aus (6.39) keine gute Näherung für ultradünne Filme darstellt, da die Reduzierung
der C URIEtemperatur, die in K̂ HO ( L, τ ) eingeht, in diesen Systemen nicht vernachlässigt werden darf.
Die so berechneten filmdickenabhängigen Anteile der totalen Anisotropie K ( L, τ )
sind in den Abbildungen 41 und 42 dargestellt. Im Fe-artigen System ähneln die
Kurven K v (τ ) und K s (τ ) sehr den Kurven Kω (τ ) und KD (τ ) aus Abbildung 39.
Dies liegt daran, daß die Oberflächenanisotropie K s (τ ) aus Gleichung (6.37b) zum
5 Eine
2
weitere Entwickung ergibt K̂ HO (τ ) = Dv zz̃1 πL2 −
v
z1 π 2
z̃ s L 3
2Dv z̃zv0 − Ds + O( L)−4
( 1 −τ )τ
1 − pτ
111
6 Störungstheorie
Anisotropie K/ω
10,0
K(τ)
v
K (τ)
s
K (τ)
HO
K (τ)
0,0
τr
−10,0
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 41: Zerlegung der Anisotropie K ( L, τ ) in Volumenanteil K v (τ ), Oberflächenanteil K s (τ ) und Anteile höherer Ordnung K HO ( L, τ ) für Parametersatz PFe . Der Anteil
K HO ( L, τ ) wird nahe τ c relevant und beeinflussen dort den Spinreorientierungsübergang.
7,5
30
Anisotropie K/ω
0
−30
0,0
0
1
τr
K(τ)
v
K (τ)
s
K (τ)
HO
K (τ)
−7,5
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 42: Zerlegung wie in Abbildung 41 für Parametersatz PNi . Der Einfluß der
Terme höherer Ordnung ist geringer als im Fe-artigen System.
112
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
K(L, 0)
K(L, 0,4)
K(L, 0,8)
lin. Näherung
Anisotropie K/ω
10,0
5,0
0,0
−5,0
∞
20
10 8
6
5
4
3
Filmdicke L [ML]
2
Abbildung 43: Die Anisotropie K ( L, τ ) über 1/ L für PFe verläuft etwa linear, bei endlichen
Temperaturen weichen allerdings die Kurven von einer linearen Näherung (dünne Geraden) ab. Die Anteile höherer Ordnung können hier nicht vernachlässigt werden.
größten Teil durch Ds bestimmt wird, da Dv = 0 ist und ωΦ1 Ds ist. Deshalb ist
im Grundzustand K s (0) ≈ KD (0). Das Temperaturverhalten von K s (τ ) ist ebenso
dominiert von KD (τ ), wobei der lineare Anteil der Dipolanisotropie Kω (τ ) die
Krümmung in K s (τ ) noch etwas verstärkt. Die höheren Ordnungen K HO ( L, τ ) sind
zwar bei tiefen Temperaturen eine Größenordnung kleiner als K v (τ ) und K s (τ ),
werden aber nahe τc sogar größer als K s (τ ) und haben einen merklichen Einfluß
auf K ( L, τ ) und somit auf den Spinreorientierungsübergang.
Im Ni-artigen System hingegen besteht der Volumenanteil K v (τ ) hauptsächlich
aus der uniaxialen Volumenanisotropie, da hier Dv = 30ω etwa fünfmal größer ist
als der Dipolanteil 2πω (3ΦΣ /4 = 2π in einfach kubischen Gittern, vgl. Tabelle 3).
K v (τ ) wird nahezu kompensiert von K s (τ ), da nun die uniaxiale Oberflächenanisotropiekonstante Ds < 0 ist. Vergleicht man Abbildung 42 mit der Auftragung in
Abbildung 40, so wird deutlich, daß die Dipolwechselwirkung im Ni-artigen System
weniger wichtig für den Spinreorientierungsübergang ist, da sie durch die uniaxiale
Volumenanisotropie überkompensiert wird.
In den Abbildungen 43 und 44 ist die totale Anisotropie K ( L, τ ) über der reziproken Filmdicke L für verschiedene reduzierte Temperaturen τ unterhalb von τ c
113
6 Störungstheorie
K(L, 0)
K(L, 0,4)
K(L, 0,8)
lin. Näherung
Anisotropie K/ω
20,0
10,0
0,0
−10,0
−20,0
∞
20
10 8
6
5
4
3
Filmdicke L [ML]
2
Abbildung 44: Für den Parametersatz PNi ist die kritische Dicke L r (τ ) nahezu unabhängig
von der reduzierten Temperatur τ und beträgt etwa L r ≈ 4 ML.
dargestellt. Zusätzlich sind die Geraden
f (1/ L) = K v (τ ) + K s (τ )/ L
(6.40)
eingezeichnet, um die Auswirkung der höheren Anteile K HO ( L, τ ) zu verdeutlichen. Der Spinreorientierungsübergang tritt nun bei der Filmdicke L c auf, bei der
K ( Lc , τ ) = 0 wird, im Fe-artigen System (Abb. 43) variiert also die kritische Dicke
Lc von etwa sechs Monolagen bei τ = 0 bis etwa drei Monolagen bei τ = 0,8. Auch
hier sieht man, daß nahe der C URIEtemperatur die Korrekturen höherer Ordnung
relevant werden und daß sich bei Vernachlässigung dieser die kritische Dicke um
bis zu einer Monolage verändert. Im Ni-artigen System ist diese Variation der kritischen Dicke Lc deutlich geringer als im Fe-artigen System; L c beträgt hier etwa
3,5 − 4,5 Monolagen. Auf diesen Effekt wird in Kapitel 7 näher eingegangen.
Dennoch verlaufen die Kurven als Funktion der reziproken Filmdicke in guter
Näherung linear. Wenn man statt der reduzierten Temperatur τ die Temperatur T
konstant halten würde, hätte z. B. die Kurve für T = 0,8Tc (∞) einen Knick bei Lr ( T )
und wäre für L < Lr ( T ) null, da das System dort paramagnetisch wird. Durch die
Auftragung bei konstanter reduzierter Temperatur tritt dieser störende Effekt nicht
auf. Diese Auftragung wurde erstmals von der Arbeitsgruppe B ABERSCHKE [z. B.
1996] vorgeschlagen.
114
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
6.2.2 Das Entropieargument
In der Literatur wurde der temperaturgetriebene Fe-artige Spinreorientierungsübergang dadurch erklärt, daß die Entropie der planaren Phase FM xy größer sei, da die
Spins dort in der Ebene rotieren können und somit mehr Freiheitsgrade haben als
in der senkrechten Phase FM z [J ENSEN und B ENNEMANN , 1990]. In der Bilanz der
freien Energien der zwei Phasen
∆F = F k − F ⊥ = ∆U − T∆S
(6.41)
würde dann mit wachsender Temperatur der Term T∆S an Einfluß gewinnen und,
vorausgesetzt die Differenz der inneren Energie ∆U = U k − U ⊥ sowie die Differenz
der Entropie ∆S = Sk − S⊥ sind wenig temperaturabhängig, schließlich zu einem
Vorzeichenwechsel von ∆F und somit zum Übergang führen.
Diese Argumentation kann jedoch so nicht zutreffen, da auch die Hochtemperaturphase FM xy langreichweitige Ordnung besitzt und damit die mittlere Richtung
der einzelnen Spins durch die Magnetisierung festgelegt ist. Einzig die Magnetisierung kann eine beliebige Richtung in der Ebene einnehmen, dieser eine kontinuierliche Freiheitsgrad des Systems hat jedoch im thermodynamischen Limes keinen
Einfluß auf die Entropie pro Spin. Außerdem ist nicht klar, ob ∆U und ∆S tatsächlich
in etwa konstant sind.
Auch die Existenz des ebenfalls temperaturgetriebenen, aber umgekehrt ablaufenden Ni-artigen Spinreorientierungsübergangs [FARLE et al., 1997a,c] zeigt, daß
dieses Argument zumindest nicht immer zutrifft und keine Erklärung für den
Übergang liefern kann. Vielmehr konnten J ENSEN und B ENNEMANN [1996] sowie
H UCHT und U SADEL [1997] unabhängig voneinander zeigen, daß die Ursache des
temperaturgetriebenen Ni-artigen Spinreorientierungsübergang die im Vergleich
zum Volumen reduzierte Oberflächenmagnetisierung m s (τ ) ist. Diese Reduzierung
führt zu unterschiedlichen Temperaturabhängigkeiten der Oberflächen- und der Volumenanisotropie und somit zum Übergang (siehe hierzu Kapitel 6.1). Dennoch ist
es aufschlußreich, das Verhalten dieser thermodynamischen Größen am Spinreorientierungsübergang zu betrachten.
Deshalb sollen nun die Differenz der Entropie ∆S , der inneren Energie ∆U sowie
der spezifischen Wärme ∆C der Phasen FM xy und FM z berechnet werden. Da für
die Entropie die Gleichung
S(τ ) = −d T F (τ ) = −
1
dτ F (τ )
Tc
(6.42)
gilt, folgt für die Entropiedifferenz pro Spin der planaren und der senkrechten Phase
∆s(τ ) =
1
1
∆S(τ ) = − dτ K (τ ).
L
Tc
(6.43)
115
6 Störungstheorie
Mit der genäherten totalen Anisotropie (6.32) erhält man das Ergebnis
∆ŝ (τ ) =
Dh Dih 1 − 2τ + pτ 2
Ω 1−q
−
.
+
2
Tc
Tc (1 − pτ )
Tc (1 − qτ )2
(6.44)
Für die Differenz der inneren Energien pro Spin folgt mit (6.41)
(6.45)
∆u(τ ) = K (τ ) + T∆s(τ )
und somit der Näherungsausdruck
∆û (τ ) = Dh − Dih
1 − 2qτ + qτ 2
(1 − p)τ 2
−
Ω
.
(1 − pτ )2
(1 − qτ )2
(6.46)
Die Differenz der spezifischen Wärmen pro Spin errechnet sich aus
∆c(τ ) = d T ∆u(τ ) =
1
dτ ∆u(τ )
Tc
(6.47)
näherungsweise zu
2τ
∆ĉ(τ ) = −
Tc
q(1 − q)
1−p
Dih
+Ω
3
(1 − pτ )
(1 − qτ )3
.
(6.48)
Diese Ergebnisse sind in den Abbildungen 45 und 46 dargestellt.
Im Fe-artigen System (Abbildung 45) ist die Entropiedifferenz ∆s(τ ) positiv bis
zu der Temperatur τm , bei der K (τ ) minimal wird; es gilt τ r < τm < τc . Hieraus
folgt, daß die Entropie der planaren Phase FM xy unterhalb von τm größer ist als
die Entropie der senkrechten Phase FM z . Allerdings sieht man an dem Verlauf von
T∆s und ∆u in der Nähe von τr , daß die eingangs dargestellte Argumentation auf
der Basis dieser Größen nicht zutrifft: Bei τ r ist die Steigung d T ( T∆s) nahezu null,
man kann also nicht argumentieren, daß K = ∆u − T∆s hier abnimmt, weil ∆u
und ∆s nahezu konstant sind. Vielmehr ist T∆s annähernd konstant und ∆u nimmt
ab. Man kann diesen Sachverhalt auch anders ausdrücken: Zwar ist die Entropie
in der Hochtemperaturphase FM xy am Spinreorientierungsübergang τ r größer als
in der Tieftemperaturphase FM z (dies muß auch so sein, da die spezifische Wärme
C = Td T S immer positiv ist), die Entropiedifferenz ∆s nimmt allerdings so stark
ab, daß T∆s annähernd konstant ist. Bei der Temperatur τ m ist sogar ∆s(τm ) = 0,
hier wird die Hochtemperaturphase FM xy allein dadurch stabilisiert, daß die innere
Energie ∆u(τm ) = K (τm ) negativ ist, also in FM xy niedriger ist als in FM z .
Im Ni-artigen System (Abbildung 46) ist das Verhalten noch komplizierter. Hier
ist die Entropie ebenfalls in der Hochtemperaturphase – nun FM z – größer als in
der Tieftemperaturphase FM xy , die Differenz wächst jedoch bei tiefen Temperaturen
zunächst an, ∆s ist also negativ und wird kleiner. Das gleiche gilt für ∆u und
116
6.2 Näherung des inhomogenen Systems
Energie/ω
4,0
τr
τm
0,0
K(τ)
∆s(τ)
T∆s(τ)
∆u(τ)
∆c(τ)
−4,0
0,0
0,5
1,0
Temperatur τ [T/Tc]
Abbildung 45: Die totale Anisotropie K (τ ) und ihre Zerlegung in innere Energie ∆u(τ ) und
Entropie ∆s(τ ) für Parametersatz PFe .
2,0
Energie/ω
K(τ)
∆s(τ)
T∆s(τ)
∆u(τ)
∆c(τ)
τw
τr
τm
0,0
−2,0
0,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 46: Anisotropie K (τ ) und Zerlegung in innere Energie ∆u(τ ) und Entropie
∆s(τ ) für Parametersatz PNi .
117
6 Störungstheorie
liegt daran, daß hier ebenso wie im Fe-artigen System die Anisotropie K (τ ) positiv
gekrümmt ist, d. h. die Differenz der spezifischen Wärmen ∆c < 0 ist. Betrachtet
man die Zerlegung K (τ ) = KD (τ ) + Kω (τ ) (6.14), so sieht man, daß der Grund
hierfür das Tieftemperaturverhalten des dipolaren Anteils Kω (τ ) ∝ m2 (τ ) ist,
da KD (τ ) bei tiefen Temperaturen linear verläuft. Dies ändert sich erst bei der
Temperatur τw , bei der ∆c(τw ) = 0 ist, hier haben ∆u und ∆s ein Minimum und
K einen Wendepunkt. Oberhalb von τ w steigen ∆u und ∆s an, und wieder ist
bei τr die Größe T∆s nahezu konstant und die Änderung von ∆u induziert den
Spinreorientierungsübergang.
Der Vorzeichenwechsel von ∆c(τ ) bei τ w hat zusätzlich zur Folge, daß in diesem
Ni-artigen System zwei Spinreorientierungsübergänge bei konstanter Filmdicke
von FM z nach FM xy , und wieder nach FM z auftreten können, da K (τ ) wegen
des Wendepunktes bei τw S-förmig verläuft. Hierfür muß allerdings gewährleistet
sein, daß die gekippte Phase FMϑ so schmal bzw. K4 (τ ) so klein ist, daß dieses
reentrant-Verhalten nicht überdeckt wird.
Generell kann man durch Veränderung der Modellparameter die Reorientierungstemperatur zwischen τ = 0 und τ c verschieben und findet unterschiedliche Übergangsszenarien. Bei tiefen Temperaturen ist ∆u etwa konstant und K wird hauptsächlich von dem Anteil T∆s beeinflußt; bei Temperaturen nahe τ c sind hingegen
sowohl ∆u als auch ∆s stark temperaturabhängig. Deshalb können keine generellen
Aussagen auf Basis der Entropie und der inneren Energie gemacht werden.
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
In diesem Abschnitt soll ein Näherungsausdruck für die Beschreibung der Phase
mit gekippter Magnetisierung FMϑ hergeleitet werden, um die Ergebnisse aus Abschnitt 6.2 zu vervollständigen. Wie in Kapitel 4.6 gezeigt wurde, benötigt man zur
Beschreibung von FMϑ einen Ausdruck für die effektive Anisotropie vierter Ordnung K4 (τ ), falls höhere Ordnungen vernachlässigt werden können. Diese höheren
Ordnungen werden wichtig, wenn die Magnetisierung im Filminneren wesentlich
in eine andere Richtung weist als an der Filmoberfläche. Ein Kriterium
hierfür ist,
p
6
daß die charakteristische Breite einer B LOCHwand dBloch ∼ π J / D [L ILLEY, 1950]
groß gegen die Filmdicke L ist. Dies ist in den verwendeten Parametersätzen immer
gewährleistet.
Zur Berechung von K4 (τ ) muß der kleinste Eigenwert
ηp (τ ) = ewmin C(τ , ϑ̃p )
(6.49)
6 Für
118
eine Übersicht siehe [H UBERT und S CHÄFER, 1998, § 3.6]
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
der H ESSEmatrix der freien Energie (vgl. Gleichung (3.4))
C(τ , ϑ) = ∂ϑ2 F (τ , ϑ)
(6.50)
an den stationären Punkten der senkrechten Phase (p = ⊥) und und der planaren
Phase (p = k) bestimmt werden. Für die effektiven Anisotropien gilt mit Gleichungen (4.51, 6.7)
ηk (τ ) = −2 K (τ ) − K4 (τ ) = −2K2 (τ )
(6.51a)
η⊥ (τ ) = +2 K (τ ) + K4 (τ ) = +2K2 (τ ) + 4K4 (τ ),
(6.51b)
also folgt
K4 (τ ) =
1 k
η (τ ) + η⊥ (τ ) .
4
(6.52)
Allerdings kann K4 (τ ) nicht konsistent aus einer Störungstheorie erster Ordnung
der freien Energie bestimmt werden, sondern muß in zweiter Ordnung berechnet
werden. Der Grund hierfür ist, daß bei der Berechnung der Eigenwerte η p (τ ) (6.49)
Terme höherer Ordnung O()2 in das Resultat gelangen, man findet
ηk (τ ) = −2K (τ ) + O()2 ,
η⊥ (τ ) = 2K (τ ) + O()2
(6.53)
und deshalb mit (6.52)
K4 (τ ) = O()2 .
(6.54)
Die Berechnung der freien Energie in zweiter Ordnung wurde durchgeführt, die
Ergebnisse sind allerdings so kompliziert, daß dieser Weg nicht weiter verfolgt
wurde; die Rechnung ist im Anhang A.2.3 kurz skizziert. Stattdessen werden nun
die Korrekturen zweiter Ordnung im Grundzustand berechnet und daraus K4 (0)
bestimmt. Dieses Ergebnis wird dann näherungsweise zu endlichen Temperaturen
fortgesetzt.
6.3.1 Die Anisotropie K4 (0) in 2. Ordnung
Im Grundzustand wird nun eine Entwicklung des kleinsten Eigenwertes η p der
H ESSEmatrix Cp = ∂ϑ2 E(ϑp ) aus Gleichung (3.4) durchgeführt, wobei die Anisotropien wie in Abschnitt 6.1 formal zu einem Störparameter zusammengefaßt
werden, d. h.
η = η0 + η1 + 2 η2 + O()3 .
(6.55)
119
6 Störungstheorie
Die ungestörte H ESSEmatrix im Grundzustand aus (3.5) ist wegen der Isotropie in
beiden Phasen gleich und lautet
(C0 )µν = − Jz|µ −ν | + δµν
L
∑
λ =1
Jz|λ −µ | .
(6.56)
Da die Austauschwechselwirkung und die effektive Dipolwechselwirkung nur noch
innerhalb der Lagen und zwischen nächste Nachbarlagen berücksichtigt werden
sollen (zδ >1 = Φδ >1 = 0), erhält man z. B. für L = 4 die Matrix
1 −1
0
0
2 −1
0
−1
C0 = Jz1
.
2 −1
0 −1
0
0 −1
1
Die ungestörten Eigenwerte cλ und normierten ungestörten Eigenvektoren u λ von
C0 erfüllen die Eigenwertgleichung
C0 · uλ = cλ uλ
und lauten mit λ , k = 0, . . . , L − 1
λπ cλ = 4Jz1 sin 2
2L
1
u0,k = √
L
r
λπ
2
cos
(2k + 1) ,
uλ >0,k =
L
2L
(6.57)
(6.58a)
(6.58b)
(6.58c)
d. h. der kleinste ungestörte Eigenwert ist η 0 = c0 = 0. Der dazugehörige ungestörte
Eigenvektor u0 ∝ (1, . . . , 1) entspricht einer kohärenten Rotation aller Spins in den
L Schichten; der Eigenwert c 0 ist deswegen null, weil diese Rotation im isotropen
Fall keine Energie beansprucht.
p
Für die Korrekturen erster Ordnung η 1 an den beiden stationären Punkten ϑ p mit
p = ⊥, k folgt [vgl. M ESSIAH, 1990, § 16.1.2]
p
η1 = u0 · C p · u0
1 L
p
Cµν
=
∑
L µ ,ν =1
=±
120
2 L
3ω
Dµ δµν −
Φ
∑
L µ ,ν =1
4 |µ −ν |
(6.59)
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
wobei das Pluszeichen für den stationären Punkt ϑ ⊥ gilt. Hieraus folgt das bereits
in Abschnitt 6.1 ermittelte Ergebnis für die totale Anisotropie, nun allerdings im
Grundzustand,
K (0) =
1 k
1 L
3ω
1 ⊥
.
Φ
η1 = − η1 =
Dµ δµν −
∑
2
2
L µ ,ν =1
4 |µ −ν |
(6.60)
Die Korrekturen zweiter Ordnung können ebenfalls mit dieser Methode bestimmt
werden und lauten [vgl. M ESSIAH , 1990, § 16.1.5]
p
η2 =
(u0 · Cp · uλ )(uλ · Cp · u0 )
.
∑
cλ
λ =1
L−1
(6.61)
Mit Hilfe des Projektors [vgl. M ESSIAH, 1990, § 16.1.1]
Q0 = 1 − u02 = 1 −
1
L
(6.62)
kann dieser Ausdruck als Matrixprodukt geschrieben werden, wobei Q 0 den dann
auftretenden divergenten Anteil 1/c 0 unterdrückt; man erhält
p
η2 = u0 · C p · G · C p · u0 .
(6.63)
Für das sogenannte Pseudoinverse G von C 0 gilt7
G · C0 = Q0 = 1 −
1
,
L
(6.64)
G ist also “fast” die inverse Matrix zu C 0 . Dieses Gleichungssystem kann gelöst
werden, man erhält die Matrixelemente
1 L 1
1
µ2 + ν2 + µ + ν
Gµν =
(6.65)
− +
+
− max (µ , ν ) ,
Jz1 3 2 6L
2L
somit ist für das obengenannte Beispiel mit L = 4
7
1 −3 −5
1
3 −1 −3
1
G=
.
3
1
8Jz1 −3 −1
−5 −3
1
7
Aufgrund der Konstruktion ist u0 auch Eigenvektor von G mit Eigenwert null,
G · u0 = 0,
7G
entspricht dem Operator
S. 842]
(6.66)
Q0
a
in [M ESSIAH, 1990]; für Pseudoinverse siehe [z. B. W OLFRAM, 1996,
121
6 Störungstheorie
deshalb gilt
(6.67)
G · ( x + const 1) = G · x.
Da nach Voraussetzung die Anisotropiekonstanten Dλ und die Dipolsummen
L
Φ̃λ =
∑ Φ|λ−µ|
(6.68)
µ =1
nur an den Oberflächen λ = 1 und λ = L von dem Wert im Volumen abweichen,
werden im folgenden nur die vier Eckelemente der Matrix G
L
(1 − L−1 )(1 − 21 L−1 )
3Jz1
L
(1 − L−2 )
=−
6Jz1
G0,0 = GL−1,L−1 =
(6.69a)
G0,L−1 = GL−1,0
(6.69b)
benötigt. Mit der Abkürzung
v = v D + vω = C ⊥ · u0 = −C k · u0
2
3ω
⇒ vµD = √ Dµ , vµω = − √ Φ̃µ
L
2 L
(6.70a)
(6.70b)
kann die Korrektur in zweiter Ordnung (6.63) in uniaxiale und dipolare Anteile
zerlegt werden und lautet
p
η2 = v · G · v = v D · G · v D + 2vω · G · v D + vω · G · vω .
(6.71)
Für die effektive Anisotropie vierter Ordnung folgt wegen Gleichung (6.52)
1 p
K4 ( 0 ) = − η 2
2
(6.72)
und eine analoge Zerlegung ergibt
K4 (0) = K4DD (0) + K4Dω (0) + K4ωω (0).
(6.73)
Nun können die einzelnen Summanden berechnet werden. Da die uniaxiale Anisotropiekonstante Dλ nur an den Oberflächen von dem Volumenwert Dv abweicht,
kann in v D wegen (6.67) der konstante Anteil Dv weggelassen werden. Ebenso kann
in vω der in den Volumenlagen konstante Anteil Φ̃v = Φ0 + 2Φ1 aus (6.68) wegfallen, und man erhält
2
v D 7→ ṽ D = v D − √ Dv =
L
3ωΦ̃v
vω 7→ ṽω = vω + √ =
2 L
122
2
√ ( Ds , 0, . . . , 0, Di )
L
3ωΦ1
√ (1, 0, . . . , 0, 1).
2 L
(6.74a)
(6.74b)
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
Damit lautet die drei Anteile der Anisotropie K4 (0)
1
K4DD (0) = − ṽ D · G · ṽ D
2
2 2
2
=−
( Ds + Di )G0,0 + 2Ds Di G0,L−1
L
i
2 h 2
( Ds + Di2 )(1 − 21 L−1 ) − Ds Di (1 + L−1 ) (1 − L−1 ) (6.75a)
=−
3Jz1
Dω
K4 (0) = −ṽ D · G · ṽω
3ωΦ1
( Ds + Di )(G0,0 + G0,L−1 )
=−
L
ωΦ1
=−
( Ds + Di )(1 − L−1 )(1 − 2L−1 )
(6.75b)
2Jz1
1
K4ωω (0) = − ṽω · G · ṽω
2
9ω2 Φ21
=−
(G0,0 + G0,L−1 )
4L
3ω2 Φ21
(1 − L−1 )(1 − 2L−1 ).
(6.75c)
=−
8Jz1
Mit diesen Ergebnissen werden nun einige Spezialfälle für die Filmdicke L und
für die Verteilung der uniaxialen Oberflächenanisotropien D λ betrachtet:
L=1
In der Monolage erhält man wegen der fehlenden Inhomogenität in dieser
Näherung immer
K4 (0) = 0.
L=2
(6.76)
In der Bilage ist K4ωω (0) = K4Dω (0) = 0 und somit
K4 ( 0 ) = −
( D1 − D2 ) 2
∆D 2
=−
.
4Jz1
4Jz1
(6.77)
Dλ = Dv Wenn die uniaxialen Anisotropiekonstanten Dλ in allen Schichten gleich
Dv sind, dann verschwinden wegen Ds = Di = 0 die Beiträge K4DD (0)
und K4Dω (0) und es gilt
K4 (0) = K4ωω (0).
(6.78)
123
6 Störungstheorie
Di = 0
Wenn nur eine der Oberflächen (z. B. λ = s) eine vom Volumen verschiedene Anisotropie hat (Di = 0), erhält man
2Ds2
(1 − L−1 )(1 − 21 L−1 )
3Jz1
ω
Φ 1 Ds
K4Dω (0) = −
(1 − L−1 )(1 − 2L−1 ).
2Jz1
K4DD (0) = −
(6.79)
(6.80)
Dies entspricht den in dieser Arbeit verwendeten Parametersätzen.
Di = Ds Wenn beide Oberflächen die gleiche Anisotropie tragen (D i = Ds = Ds̄ ),
dann ist das gestörte System spiegelsymmetrisch bzgl. der xy-Ebene. In
diesem Fall haben alle drei Anteile von K4 (0) dieselbe L-Abhängigkeit
und können zu dem Ausdruck
K4 ( 0 ) = −
2
3
2 Ds̄ + ωΦ1 (1 − L−1 )(1 − 2L−1 )
3Jz1
4
(6.81)
zusammengefaßt werden.
Satz
K4ωω (0)/ω
K4Dω (0)/ω
K4DD (0)/ω
P La,b
=1
0
0
0
PL=2
0
0
PLD=λ 2
0
0
−0,331
PFe
−5,7 × 10−6
kfz
PNi
−1,1 × 10−5
PNi
−7,5 × 10−7
2
∆D
− 4Jz
1ω
8,6 × 10−4
−0,226
1,9 × 10−3
−0,445
−4,0 × 10−4
−0,370
Tabelle 6: Die Anteile der Anisotropie vierter Ordnung im Grundzustand K4 (0) aus Gleichungen (6.75) für die verwendeten Parametersätze P . Der Anteil K4DD (0) ist in allen Fällen
groß gegen die anderen Beiträge.
Setzt man die Parameter aus den verwendeten Parametersätzen in diese Ergebnisse
ein, erhält man die in Tabelle 6 dargestellten Werte. Da für alle betrachteten Parameter ωΦ1 Ds ist, werden im folgenden die Beiträge K4ωω und K4Dω vernachlässigt.
124
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
6.3.2 Die Breite von FMϑ im Grundzustand
Mit diesen Ausdrücken kann die Breite
xy
∆Lr (0) = Lrz (0) − Lr (0)
(6.82)
der gekippten Phase FMϑ im Grundzustand berechnet werden. Sei nun K4 ( L, 0)
explizit eine Funktion der Filmdicke L. Da die Näherungen aus Abschnitt 6.1 für
T = 0 exakt sind, gilt mit Gleichung (6.32) und mit p = xy bzw. p = z
p
p
p
Dh ( Lr (0)) − Ω( Lr (0)) ± K4 ( Lr (0), 0) = 0,
(6.83)
xy
wobei das Pluszeichen für Lr gilt. Mit der kritischen Dicke für T = 0 aus Gleichung (6.39) für ωΦ1 Ds
Lr (0) =
Ds
− Dv
3
4 ωΦΣ
ergibt eine Lösung dieses Gleichungssystems den Ausdruck
∆Lr (0) ≈ 34 Ds Lr (0) Lr (0) − 32 ,
(6.84)
(6.85)
die Breite ist also proportional zur Oberflächenanisotropiekonstanten D s . Hier wurde K4 ( L, 0) aus (6.79) gemäß
K4 ( L, 0) = −
Ds2 2
− L−1 + O( L)−2
Jz1 3
(6.86)
linear genähert, der relative Fehler dieser Näherung beträgt für L ≥ 4 weniger
als 5%. Für Parametersatz PFe ergeben Gleichungen (6.84) und (6.85) die Werte
Lr (0) ' 5,86 und ∆Lr (0) ' 0,48, und für Parametersatz PNi folgt Lr (0) ' 4,22
und ∆Lr (0) ' −0,076. Die Breite ist für PNi deutlich geringer als für PFe , da sowohl
die Oberflächenanisotropiekonstante Ds als auch die kritische Dicke L r (0) kleiner
ist, und negativ, da der Übergang umgekehrt abläuft.
6.3.3 Endliche Temperaturen
In Kapitel 4.6.1 wurde die temperaturabhängige Anisotropie K4 (τ ) für ein Fe- und
für ein Ni-artiges System mit den Parametersätzen PFe und PNi bestimmt. In beiden
Fällen ergab sich, daß K4 (τ ) näherungsweise proportional zu (1 − τ ) 2 ist. Deshalb
wird nun für die Näherung K̂4 (τ ) die Form
K̂4 (τ ) = K̂4 (0)(1 − τ )2
(6.87)
angenommen. Hiermit kann die gekippte Phase FMϑ bei endlichen Temperaturen
berechnet werden.
125
6 Störungstheorie
6.3.4 Die Bilage
Nun werden die Anisotropien K2 (τ ) und K4 (τ ) im Rahmen der beschriebenen Näherungen für die Bilage berechnet. Mit Dh = ( D1 + D2 )/2 und mit der Konstanten
V : = − K4 ( 0 )
(6.88)
(V > 0) sowie mit den Gleichungen (6.21, 6.77) erhält man
1
K̂2 (τ ) = (1 − τ ) Dh − Ω
+ V (1 − τ )
1 − qτ
K̂4 (τ ) = −V (1 − τ )2 .
(6.89a)
(6.89b)
Mit diesen Näherungen können die beiden genäherten Reorientierungstemperatuxy
ren τ̂r und τ̂rz berechnet werden, es ist mit Gleichung (4.47)
Dh − Ω
1
p
p ± V (1 − τ̂ r ) = 0,
1 − qτ̂r
(6.90)
p
wobei das Pluszeichen für τ̂r = τ̂rz gilt. Die Lösung dieser quadratischen Gleichung
lautet mit q = 2/5
r
7 Dh 1 Dh 3 2 10Ω
z xy
∓
∓
(6.91)
±
τ̂r , τ̂r = ±
4 2V 2
V
2
V
xy
Für die Breite der gekippten Phase ∆τ̂ r = τ̂rz − τ̂r folgt
!
r
r
D
D
3 2 10Ω
3 2 10Ω
Dh 1
h
h
−
−
+
+
+
−
∆τ̂r =
V
2
V
2
V
V
2
V
(6.92)
sowie für kleine V in linearer Näherung
∆τ̂rlin =
5Ω(5Ω − 3Dh )
V + O(V )3 .
2Dh3
(6.93)
Ein Vergleich dieser Näherungen mit den Ergebnissen aus Kapitel 4 zeigt, daß
die Näherung das System gut beschreibt: Für Parametersatz PL=2 erhält man mit
dieser Näherung ∆τ̂r ' 14,70% sowie in linearer Ordnung ∆τ̂ r ' 14,39% +
O(V )3 , während sich in der numerischen Lösung der Molekularfeldgleichungen
in Kapitel 4.3 ∆τr ' 14,67% ergab (siehe Tabelle 7). Ein mit dieser Näherung
berechnetes Phasendiagramm ist nahezu identisch mit dem numerisch bestimmten
Diagramm in Abbildung 13 und deshalb hier nicht dargestellt. Allerdings tritt in
dieser Näherung der Übergang erster Ordnung nur bei V = 0, also bei D 1 = D2 auf.
Die Näherung für die Temperaturabhängigkeit von K4 (τ ) (6.87) reicht nicht aus, um
den Phasenübergang mit Hysterese zu beschreiben sowie um den multikritischen
Punkt MKP in Abbildung 13 zu charakterisieren.
126
6.3 Approximation der gekippten Phase FMϑ
6.3.5 Dickere Filme
Für Filme mit L > 2 muß die Inhomogenität des Systems berücksichtigt werden
(Dih > 0), man erhält nun
1
τ
−Ω
± V (1 − τ ) .
(6.94)
K̂ (τ ) ∓ K̂4 (τ ) = (1 − τ ) Dh − Dih
1 − pτ
1 − qτ
Für die Reorientierungstemperaturen ergibt sich somit
p
Dh − Dih
τ̂r
1
p
p −Ω
p ± V (1 − τ̂ r ) = 0,
1 − pτ̂r
1 − qτ̂r
(6.95)
p
das Pluszeichen gilt für τ̂r = τ̂rz . Diese Gleichung dritter Ordnung wird nicht
p
p
explizit nach τ̂r aufgelöst, stattdessen sind in Tabelle 7 die Werte von τ̂r für PFe und
PNi angegeben. Näherungsweise gilt für kleine V in linearer Ordnung nach dem
Satz über implizite Funktionen [z. B. B RONSTEIN und S EMENDJAJEW , 1987, § 3.1.6.3]
für die Breite der gekippten Phase FMϑ
∆τ̂rlin =
2V (1 − τ̂r )
−2K̂4 (τ̂r )
+ O(V )2
+ O(V )2 = qΩ
D
ih
|dτ K̂ (τ̂r )|
(1− pτ̂r )2 + (1−qτ̂r )2 (6.96)
mit τ̂r für V = 0 aus Gleichung (6.34). Ein Vergleich hiervon mit den numerischen
Ergebnissen aus Kapitel 4.6 ist ebenfalls in Tabelle 7 dargestellt. In allen Fällen ist
die lineare Näherung für ∆τ̂ r ausreichend. Für Parametersatz PFe stimmt der Wert
von ∆τ̂r besser mit dem numerisch bestimmten Wert ∆τ r überein als für PNi , da
für PFe beide Summanden im Nenner von (6.96) positiv sind und eventuelle Fehler in den Näherungen keine wesentlichen Probleme bereiten, während D ih für PNi
xy
negativ ist. Die absoluten Werte der Reorientierungstemperaturen τ r und τrz sind
ebenfalls für PFe genauer wiedergegeben als für PNi , da für PNi die Temperaturen
höher sind und die Näherung nahe τ c schlechter wird. Dennoch kann mit diesen
Satz
xy
τr
τrz
∆τr
xy
τ̂r
τ̂rz
∆τ̂r
∆τ̂rlin
PL=2
0,216
0,363
0,147
0,197
0,344
0,147
0,144
0,541
0,571
0,030
0,520
0,548
0,028
0,028
PNi
0,668
0,690
0,022
0,749
0,761
0,012
0,012
PFe
Tabelle 7: Vergleich der genäherten Reorientierungstemperaturen sowie der Breite der
gekippten Phase mit den in Kapitel 4 numerisch bestimmten Werten.
127
6 Störungstheorie
Ausdrücken das Verhalten quantitativ beschrieben und die Auswirkungen der mikroskopischen Parameter auf die Lage der Phasengrenzlinien analysiert werden.
Das aus Gleichung (6.95) bestimmte Phasendiagramm für das Fe-artige System wird
im nächsten Kapitel mit anderen Näherungsmethoden verglichen.
128
7 Kontinuierliche Filmdicken
Der filmdickenabhängige Spinreorientierungsübergang wird im Experiment in einem schmalen Dickenintervall ∆L r durchlaufen; so ist z. B. in dünnen Ni/Cu(001)
Filmen bei Raumtemperatur ∆Lr ≈ 1 ML [B ABERSCHKE und FARLE, 1997] (vgl.
Abbildung 4). Um diese Dickenabhängigkeit theoretisch beschreiben zu können,
wird in diesem Kapitel die Molekularfeldtheorie aus Kapitel 4 auf Systeme mit
kontinuierlicher Filmdicke L ∈ R erweitert [H UCHT und U SADEL, 1999b]. Diese
Erweiterung basiert auf der Feststellung, daß in einem Film der Dicke L die Magnetisierung zwar von dem Lagenindex λ abhängt, jedoch innerhalb des Films in den
Lagen λ = 2, . . . L − 1 nur wenig variiert. Um dies zu veranschaulichen, ist in Abbildung 47 der Betrag der Magnetisierung über der Temperatur m λ (τ ) des isotropen
H EISENBERGmodells (Gleichung (1.21b)) für variierenden Lagenindex λ dargestellt.
Die Kurven wurden im Rahmen der Molekularfeldtheorie für einen L = 7 Lagen
dicken Film auf einfach kubischem Gitter in (001)-Orientierung berechnet. Der Einschub zeigt die Abweichung ∆mλ = |mλ − mv | der Magnetisierung pro Spin vom
Mittelwert der inneren Filmlagen
mv =
1
L−2
L−1
∑ mλ .
(7.1)
λ =2
Da das ungestörte System im Ortsraum eine Spiegelsymmetrie an der xy-Ebene
aufweist, gilt für die Schichtmagnetisierungen m λ = m L+1−λ ; in Abbildung 47 sind
deshalb nur die Kurven für 1 ≤ λ ≤ 4 dargestellt. Während die Magnetisierung
mλ (τ ) für λ > 1 bei allen Temperaturen τ etwa gleich ist und die Abweichung ∆m λ
selbst nahe τc kleiner als 3% ist, zeigt die Oberflächenmagnetisierung eine deutliche
Abweichung bei allen Temperaturen, die in der Nähe von τ c bis auf 15% anwächst.
Der Grund für dieses abweichende Verhalten im gesamten Temperaturbereich ist,
daß die Koordinationszahl z̃λ an der Oberfläche kleiner als im Volumen ist; es gilt
z̃1 = z̃v − z1 mit der Bindungsanzahl zwischen benachbarten Lagen z 1 aus Tabelle 4.
129
7 Kontinuierliche Filmdicken
Magnetisierung mλ
1,0
m1(τ)
m2(τ)
m3(τ)
m4(τ)
0,5
0,1
∆mλ
0,0
−0,1
−0,2
0,0
0,0
0,0
τ
1,0
0,5
Temperatur τ [T/Tc]
1,0
Abbildung 47: Die schichtabhängige Magnetisierung m λ (τ ) weicht nur an der Oberfläche
(λ = 1) wesentlich von dem Mittelwert im Inneren m v (τ ) ab, diese Abweichung ist im
Einschub dargestellt. Die Kurven wurden in der Molekularfeldnäherung des isotropen
H EISENBERGmodells mit L = 7 Schichten berechnet.
7.1 Die zusätzliche Symmetrie
Da die Schichtmagnetisierungen m λ innerhalb des Films in Bezug auf λ etwa konstant sind, nehmen wir nun zusätzlich zur Translationsinvarianz in der xy-Ebene
(vgl. Kapitel 4.2) an, daß die Magnetisierung in den inneren Lagen nicht vom Lagenindex λ abhängt und nur an den Oberflächen vom Volumenwert m v abweicht.
Die dieser Annahme zugrundeliegende Symmetrie vertauscht eine Volumenlage
1 < λ < L mit einer anderen Volumenlage 1 < µ < L. Die betrachtete H AMIL TONfunktion (1.21) erfüllt ebenfalls diese Symmetrie. Für den Erwartungswert hs i iξ
gilt also
wenn si in Oberflächenlage λ = 1
hss iξ
hsi iξ =
(7.2)
hs i
wenn si in Grenzflächenlage λ = L
i ξ
hsv iξ
sonst.
Für die folgende Überlegung werden weiterhin nur nächste Nachbarwechselwirkungen zwischen den Schichten berücksichtigt, d. h. z λ >1 = Φλ >1 = 0. Dies ist ausreichend, da die Dipolwechselwirkung exponentiell mit dem Lagenabstand abfällt
(vgl. Kapitel 2.3); man kann die Herleitung aber auch mit beliebigen langreichweiti-
130
7.1 Die zusätzliche Symmetrie
(a)
s1
z1
s2
z1
z1
z0
Lv
s3
z1
z1
z0
s4
z1
z1
z0
(b)
s5
ss
z1
z0
z0
zss
zsv sv
zvi si
zvs
ziv
zvv
zii
Abbildung 48: Schematische Darstellung der Wirkungen auf einen Spin (einlaufende Pfeile) für L = 5 Schichten (a) und für das Modell mit kontinuierlicher Schichtdicke (b). z |µ −ν |
bzw. z̃µν ist die Anzahl der nächsten Nachbarn, die ein Spin sµ in Schicht ν hat. In Abbildung (b) ist der Volumenspin s v größer gezeichnet, da er das größere Teilsystem mit der
Dicke Lv repräsentiert.
gen Kopplungen durchführen. In Abbildung 48a sind die durch das Molekularfeld
vermittelten Wirkungen der Spins aufeinander für das Beispiel der Austauschwechselwirkung Jz|µ −ν | mit J = 1 in einem System mit L = 5 Schichten abgebildet. Das
von einer Schicht ν auf einen Spin sµ wirkende Molekularfeld Jz|µ −ν | hsν iξ wird
durch einen einlaufenden Pfeil dargestellt. Wenn wir nun die Spins s 2 bis s L−1 zu
einem Volumenspin sv zusammenfassen und den Oberflächenspin (λ = 1) bzw. den
Grenzflächenspin (λ = L) mit ss bzw. si bezeichnen, erhalten wir für dieses Beispiel
mit L = 5 die Molekularfelder
hs (ξ )
z0
z1
0
hss iξ
hv (ξ ) = J 1 z1 z0 + 4 z1 1 z1 · hsv iξ .
3
3
3
hi (ξ )
hsi iξ
0
z1
z0
Das resultierende System mit drei Spins ist in Abbildung 48b skizziert. Der Faktor
1/3 in der mittleren Zeile der Matrix tritt auf, da der Spin s v in Bild 48a dreimal
vertreten ist und da man die in den Bereich L v einlaufenden Felder gleichmäßig auf
diese drei Spins aufteilen muß.
Für beliebige Filmdicken L mit den Teilsystemdicken L s = Li = 1 und Lv = L − 2
gilt für die Matrix z der effektiven Anzahl nächster Nachbarn allgemein
z0
z1
0
1
−1
−1
.
z = L−
(7.3)
v z1 z0 + 2(1 − Lv ) z1 Lv z1
0
z1
z0
Die Matrix der effektiven Dipolsummen Φ erhält man analog, indem man in (7.3) zδ
durch Φδ ersetzt, die Konstanten zδ und Φδ entnimmt man Tabelle 1. Man beachte,
daß die resultierende effektive Wechselwirkung zwischen dem Volumenspin s v und
den Oberflächenspins ss und si asymmetrisch ist, da zsv = Lv zvs . Die Oberflächenspins haben also einen um den Faktor L v geringeren Einfluß auf den Volumenspin
als umgekehrt.
131
7 Kontinuierliche Filmdicken
In dem Ausdruck für das Molekularfeld in Schicht λ (4.32) muß zδ und Φδ durch
zλµ und Φλµ ersetzt werden, und es gilt nun
hλ (ξ ) =
∑
µ =s,v,i
Jzλµ hsµ iξ − ωΦλµ A · hsµ iξ .
(7.4)
Zusätzlich müssen noch die Formeln zur Berechnung extensiver Größen wie der Gesamtmagnetisierung m(τ ) modifiziert werden, da der Volumenspin s v ein größeres
Teilsystem repräsentiert als der Oberflächen- bzw. Grenzflächenspin. Für die freie
Energie des Systems und den Erwartungswert pro Spin einer Größe A gelten nun
die Formeln
F (τ , ξ ) =
A(τ ) =
∑
Lλ Fλ (τ , ξ )
(7.5a)
1
Lλ Aλ (τ ),
L λ =∑
s,v,i
(7.5b)
λ =s,v,i
d. h. die drei Teilsysteme müssen gemäß ihres Volumens L λ gewichtet werden.
Mit diesem Modell ist man nicht mehr auf ganzzahlige Werte der Filmdicke L
beschränkt.
Die kritische Temperatur des isotropen H EISENBERG modells H 0 im Rahmen dieser Näherung wird aus dem größten Eigenwert z̃eff ( L) der Matrix z (7.3) berechnet
und lautet
q
Tc ( L)
z̃eff ( L)
z0
z1
−1
−
2
.
(7.6)
=
=
+
1 − ( L − 2) + 1 + ( L − 2)
J
3
3
3
Vergleicht man diese Formel mit dem entsprechendem Ergebnis des diskreten Modells [W OLFRAM et al., 1971] aus Gleichung (6.2)
Tc ( L)
z
2z
π
z̃ ( L)
= eff
= 0 + 1 cos
,
J
3
3
3
L+1
so zeigt sich, daß die kritischen Temperaturen für L = 2, 3, 4 und für L → ∞
identisch sind. Die maximale relative Abweichung beträgt für das einfach kubische
Gitter etwa −0,6% bei L ' 11,5. Für L = 3 und L = 4 sind das diskrete und das
kontinuierliche Modell identisch, da in diesen beiden Fällen auch im diskreten Modell alle inneren Lagen gleiche Magnetisierung haben. Im Grenzfall L → ∞ sind die
kritischen Temperaturen in beiden Modellen ebenfalls gleich, da sie vom Volumen
bestimmt werden; an den Oberflächen ergeben sich allerdings unterschiedliche Ergebnisse. So ist für L → ∞ der kritische Exponent der Oberflächenmagnetisierung
β = 1 im diskreten Modell [W OLFRAM et al., 1971] und β = 1/2 im hier vorgestellten
kontinuierlichen Modell. Zur Beschreibung des Grenzfalls L → ∞ ist dieses Modell
deshalb weniger gut geeignet.
132
7.2 Vergleich der Methoden
7.2 Vergleich der Methoden
Der Vergleich der entwickelten Methoden am Phasendiagramm des Fe-artigen Systems in Abbildung 49 zeigt, daß die Näherungsmethode aus Kapitel 6.2 (Gleichung 6.95) sowie die Rechnungen aus diesem Kapitel in guter quantitativer Übereinstimmung mit den Lösungen der Molekularfeldgleichungen des diskreten Modells auf Kapitel 4.6 sind. Da die Lage der gekippten Phase FMϑ in der Störungstheorie im Grundzustand bestimmt wurde und die in Kapitel 6.2 gemachten Näherungen bei tiefen Temperaturen sehr gut sind, wird das System bei tiefen Temperaturen besser durch diese Näherung beschrieben. Bei Temperaturen nahe der
C URIEtemperatur wird diese Näherung allerdings schlechter, da die Fehler in den
Näherungslösungen für die Anteile der Anisotropien Kn (τ ) dort größer werden und
gleichzeitig die Anisotropien Kn (τ ) dort einen sehr flachen Verlauf haben.
1,0
Temperatur τ [T/Tc(∞)]
PM
0,8
FMxy
0,6
FMz
0,4
τc(L)
diskretes Modell
kontinuierliches Modell
Störungstheorie
τr(L) aus Gleichung (6.38)
Lr(τ) aus Gleichung (6.39)
0,2
0,0
1
2
3
4
FMϑ
5
Filmdicke L [ML]
6
7
Abbildung 49: Vergleich der entwickelten Methoden am Phasendiagramm des Fe-artigen
Systems mit PFe . Die dicke durchgezogene Linie entspricht der C URIEtemperatur Tc ( L)
des Films; die unterbrochene sowie die strichpunktierte Linie sind die Näherungen aus
Gleichungen (6.38, 6.39). Die Kreise und die verbleibenden dünnen Linien sind die Phasengrenzen der gekippten Phase FMϑ , wobei die Kreise die numerischen Lösungen der
Molekularfeldgleichungen des diskreten Modells sind. Die punktierten Linien wurden mit
der Approximation (6.95) aus Kapitel 6.2 berechnet, und die dünnen durchgezogenen Linien sind mit dem in diesem Kapitel beschriebenen Modell mit kontinuierlicher Schichtdicke
bestimmt worden.
133
7 Kontinuierliche Filmdicken
In diesem Temperaturbereich ist die in diesem Kapitel entwickelte Fortsetzung
auf nichtganzzahlige Filmdicken genauer. Hier wird jedoch die Breite der Phase
FMϑ zu klein bestimmt, da diese Phase allein durch die nichtkollineare Spinstellung
in den verschiedenen Lagen stabilisiert wird. Da alle Volumenspins zu einem Spin
sv zusammengefaßt wurden, hat das System weniger Möglichkeiten, eine nichtkollineare Spinstruktur auszubilden.
Die expliziten Näherungsformeln (6.38, 6.39) stellen sich als nicht ausreichend zur
quantitativen Beschreibung der Phasengrenzlinie heraus. Während die homogene
Näherung (6.38) zu steil verläuft, erreicht die Näherung unter Vernachlässigung
der Schichtdickenabhängigkeit der C URIEtemperatur (6.39) die kritische Linie Tc ( L)
nicht.
7.3 Nickel auf Kupfer (001)
In diesem Abschnitt wird mit dem kontinuierlichen Modell das Temperatur-Filmdicke-Phasendiagramm dünner Nickelfilme auf Kupfer in (001)-Orientierung berechnet [H UCHT und U SADEL, 1999b] und mit dem von B ABERSCHKE und
FARLE [1997] experimentell bestimmten Phasendiagramm (Abbildung 4) verglichen. Insbesondere wird untersucht, ob die in Ni/Cu(001) gefundene stabile gekippte Phase FMϑ mit dem in dieser Arbeit beschriebenen Mechanismus erklärt werden
kann oder ob zusätzlich lokale Anisotropien vierter Ordnung E λ in der H AMILTON funktion berücksichtigt werden müssen.
Im Gegensatz zu Kapitel 4.6.3 wird nun die kubisch flächenzentrierte Gitterstruktur der Nickelfilme zugrunde gelegt. Mit der C URIEtemperatur von Nickel im Volumen [L ANDOLT-B ÖRNSTEIN , 1986] Tc ≈ 631 K und der Koordinationszahl z̃kfz = 12
ergibt sich analog zu (4.54b)
J ≈ 13,6 meV.
(7.7)
Die Dipolenergie sowie die lokalen uniaxialen Anisotropien betragen wie in Kapitel 4.6.3
ω
Dv
Ds̄
Ds
≈
1,3 µeV
≈
40 µeV
≈ −60 µeV
≈ −160 µeV
≈
'
'
'
10−4 J
31ω
−47ω
−125ω.
Die mit diesen Parametern berechneten Phasengrenzen entsprechen den dünnen
Linien in Abbildung 50, während die dicke durchgezogene Linie die schichtdickenabhängige C URIEtemperatur Tc ( L) (6.2) ist. Da die Molekularfeldnäherung in nied-
134
7.3 Nickel auf Kupfer (001)
Temperatur τ [T/Tc(7ML)]
1,0
PM
0,8
FMxy
0,6
FMz
τc(L)
xy
τr (L)
z
τr (L)
Exp. parallel
Exp. verkippt
Exp. senkrecht
0,4
0,2
0,0
1
2
3
4
5
FMϑ
6
FMϑ
7
Filmdicke L [ML]
8
9
10
Abbildung 50: Vergleich des berechneten Phasendiagramms mit experimentellen Daten für
Ni/Cu(001). Die durchgezogene Linie entspricht der C URIEtemperatur Tc ( L) des Films, die
punktierten und die strichlierten Linien sind die Reorientierungstemperaturen Trz ( L) und
xy
Tr ( L). Die Symbole sind experimentelle Messungen an Ni/Cu(001) von B ABERSCHKE
kfz
und FARLE [1997]. Die dünn dargestellten Phasengrenzen sind mit Parametersatz PNi ohne
Anisotropie vierter Ordnung berechnet. Für die dick gezeichneten Phasengrenzen wurden
zusätzlich Anisotropiekonstanten vierter Ordnung E λ berücksichtigt und die Konstanten
exp
Dλ leicht modifiziert; dies entspricht Parametersatz PNi .
rigdimensionalen Systemen generell zu hohe Werte für Tc liefert, wurden alle Temperaturen auf die C URIEtemperatur eines Films der Dicke L = 7 ML normiert.
Man erhält mit diesen Parametern wie im Experiment einen umgekehrten Spinreorientierungsübergang, der jedoch um etwa zwei Monolagen zu dünneren Filmen
hin verschoben ist. Die Phasengrenzlinien zwischen FM xy und FMϑ bzw. FMϑ und
FM z weisen die korrekte Steigung auf und der Übergang tritt wie im Experiment
in einem etwa 3,5 Monolagen breiten Bereich auf. Bei einem sieben Monolagen
dicken Film ist Tr ( L) ≈ 0, bei 4,5 Monolagen ist Tr ( L) ≈ Tc ( L). Die Breite der
Phase FMϑ ist allerdings etwa eine Größenordnung geringer als im Experiment.
Dies läßt darauf schließen, daß zur korrekten Beschreibung von Ni/Cu(001) eine
mikroskopische lokale Anisotropie vierter Ordnung von der Form − E λi (siz )4 in der
H AMILTON funktion angenommen werden muß (1.21d). Hierfür wurden die lagenabhängigen Werte von Eλ entsprechend zu Messungen von B ABERSCHKE [1996] auf
Eλ ≈ − Dλ /4 gesetzt. Da die Position der Phasengrenzlinien sehr empfindlich von
135
7 Kontinuierliche Filmdicken
den Parametern Dλ abhängt, wurden diese leicht modifiziert, um die Phasengrenzen
zu dickeren Filmen zu verschieben, wobei die Parameter D λ noch innerhalb der experimentellen Fehlerbalken liegen. Die so ermittelten Phasengrenzen sind als dicke
strichlierte bzw. punktierte Linien in Abbildung 50 eingezeichnet.
Das so gewonnene Phasendiagramm zeigt eine gute Übereinstimmung mit dem
experimentell bestimmten Phasendiagramm von B ABERSCHKE und FARLE [1997]
(siehe auch Abbildung 4). Die Steigung der Phasengrenzlinien wird richtig wiedergegeben, und in Übereinstimmung mit dem Experiment wird die gekippte Phase
mit wachsender Temperatur immer schmaler, bis schließlich bei etwa 6,5 Monolagen
xy
gilt Tr ( L) = Trz ( L) = Tc ( L). Der Grund für dieses Zusammenlaufen ist, daß die
effektive Anisotropie vierter Ordnung K4 ( T ) bei Tc null wird, mit Gleichung (6.96)
folgt daraus ∆Tr = 0.
7.4 Störungstheorie
Nun werden die Methoden der Störungstheorie aus Kapitel 6.1 sowie die darauf
basierende Näherung aus Kapitel 6.2 auf das kontinuierliche Modell angewandt
[H UCHT und U SADEL, 1999a]. mλ bezeichnet wieder die Magnetisierung des ungestörten Systems. Da im ungestörten System die beiden Oberflächenmagnetisierungen ms und mi gleich sind, können die entsprechenden Anisotropien und Dipolsummen zu mittleren Oberflächentermen zusammengefaßt werden. Es gilt somit
Ds̄ = ( Ds + Dv )/2 und Ls̄ = 2 sowie wie bisher Lv = L − 2. Die Matrix Φ der
effektiven Dipolsummen Φλλ 0 lautet dann
Φ0
Φ1
Φ=
,
(7.8)
1 Φ + 2(1 − L−1 )Φ
2Φ1 L−
0
1
v
v
und die Matrix der effektiven Anzahl nächster Nachbarn z folgt analog durch
Ersetzung von Φδ durch zδ . Für die totale Anisotropie (6.16) erhält man unter
Berücksichtigung der unterschiedlichen Volumina L λ der Teilsysteme
mλ ( L, T )
Lλ
Dλ 1 − 3T
K ( L, T ) = ∑
hλ ( L, T )
λ =s̄,v L
−
3ω
mλ ( L, T )Φλλ 0 Lλ 0 mλ 0 ( L, T )
4L λ ,λ∑
0 = s̄,v
(7.9a)
mit dem Molekularfeld in Teilsystem λ
hλ ( L, T ) = J
∑
λ 0 =s̄,v
136
zλλ 0 mλ 0 ( L, T ).
(7.9b)
7.4 Störungstheorie
Die Magnetisierungen mλ ( L, T ) sind nun über die Kopplungsmatrix z L-abhängig.
Unter Vernachlässigung der Phase FMϑ gilt am Spinreorientierungsübergang
( Lr , Tr ) wieder K ( Lr , Tr ) = 0.
Das so berechnete Phasendiagramm für ein kubisch flächenzentriertes System
ist in Abbildung 51 gezeigt. Die Oberflächenanisotropiekonstante Ds wurde so
gewählt, daß der Spinreorientierungsübergang im Grundzustand immer bei L = 6
auftritt; man erhält durch Nullsetzen von Gleichung (6.22) die Bedingung Dh = Ω
bzw. durch Einsetzen
3ω
Ds =
(7.10)
Φ0 L + 2Φ1 ( L − 1) − Dv ( L − 1) ' 51ω − 5Dv ,
4
die verwendeten Wertepaare sind in Tabelle 8 angegeben. Es können drei verschiedene Szenarien unterschieden werden:
• Wenn für die Größen Dv und ω gilt
√
3
Dv
< (Φ0 + 2Φ1 ) ' 8π ' 8,89,
ω
4
(7.11)
dann überwiegt die Dipol- die Volumenanisotropie und man findet einen normalen Fe-artigen Spinreorientierungsübergang von senkrechter zu planarer
Magnetisierung mit wachsender Filmdicke L und Temperatur T. Dies sind die
durchgezogenen Linien in Abbildung 51.
• Für hinreichend große Anisotropien Dv & 20ω tritt ein umgekehrter Ni-artiger
Spinreorientierungsübergang auf, bei dem die Magnetisierung mit wachsender Dicke und Temperatur von planarer zu senkrechter Orientierung wechselt.
Dies sind die strichlierten Linien in Abbildung 51.
• In dem Zwischenbereich hat die Phasengrenzlinie positive Steigung. Hier findet man bei wachsender Filmdicke L und konstanter Temperatur T einen
Ni-artigen Übergang, während bei wachsender Temperatur T und konstanter Dicke L ein Fe-artiger Übergang auftritt. Dies sind die strichpunktierten
Linien in Abbildung 51. Diese Phasengrenze erreicht für große L nicht notwendigerweise Tc ( L) (dies gilt z. B. für Dv /ω = 12), d. h. es kann selbst bei
großen Schichtdicken ein dann dickenunabhängiger Spinreorientierungsübergang auftreten, der allein von einer Konkurrenz der uniaxialen Volumenanisotropie Dv mit der Dipolanisotropie stammt. Dieses Ergebnis gilt allerdings
weiterhin nur in der Geometrie dünner Filme.
Die Grenze zwischen dem Ni-artigen Übergang und dem Zwischenbereich kann
mit Hilfe der Näherung von Kapitel 6.2 berechnet werden. Hierzu fordert man,
137
7 Kontinuierliche Filmdicken
Temperatur τ [T/Tc(∞)]
1,0
0,8
5
0,6
16
−20
0
14
7
0,4
8
12
τc(L)
Fe−artig
"neuartig"
Ni−artig
ω→0
0,2
0,0
18
20
30
1
2
3
10
9
4
5
6
7
Filmdicke L [ML]
8
9
10
Abbildung 51: Die möglichen Spinreorientierungsszenarien in dünnen Filmen für verschiedene Werte der lokalen uniaxialen Volumenanisotropiekonstanten D v . Die Werte von
Dv /ω sind an den Phasengrenzen angegeben und die Oberflächenanisotropiekonstante
Ds wurde so gewählt, daß der Spinreorientierungsübergang im Grundzustand immer bei
L = 6 auftritt (die Wertepaare sind in Tabelle 8 angegeben). Die dicke durchgezogene Linie ist die C URIEtemperatur Tc ( L) (6.2), die dünnen durchgezogenen Linien sind Fe-artige
und die strichlierten Linien Ni-artige Grenzen. Die strichpunktierten Linien sind bisher
nicht experimentell beobachtete Phasengrenzen mit positiver Steigung, hier verläuft der
Spinreorientierungsübergang für T = const wie in Ni und für L = const wie in Fe, wobei
die Phasengrenze nicht notwendigerweise Tc erreicht. Die punktierte Linie ist die Phasengrenze für Dv /ω → ±∞, d. h. hier tritt der Spinreorientierungsübergang für ω → 0 auf.
Dv /ω
Ds /ω
−20
151
0
51
5
26
7
16
8
11
9
6
Dv /ω
Ds /ω
12
−9
14
−19
16
−29
18
−39
20
−49
30
−99
Tabelle 8: In Abbildung 51 verwendete Parameter Dv und Ds .
138
10
1
7.4 Störungstheorie
daß an dieser Grenze die Phasengrenzlinie bei T = 0 senkrecht verläuft und
somit der Spinreorientierungsübergang bei tiefen Temperaturen unabhängig von
der Temperatur ist. Dies ist der Fall, wenn K ( L, 0) = 0 und ∂ T K ( L, 0) = 0 ist, also
bei tiefen Temperaturen die Entropiedifferenz der Phasen FM z und FM xy
∆s( L, T ) = −∂ T K ( L, T )
verschwindet, d. h. ∆s( L, 0) = 0 ist. Hieraus kann die Volumenanisotropie D v
berechnet werden, bei der die Grenzlinie bei T = 0 senkrecht verläuft, es ergibt
sich
Dv∆s=0
3 z̃v Φ0 L + 2Φ1 ( L − 1)
3 z̃s̄
=
1−
(7.12)
ω
4z1
L−2
5 z̃eff ( L)
mit z̃eff ( L) aus (6.2). Für die hier betrachteten Parameter erhält man D v∆s=0 ' 22,0ω.
Wenn Dv > Dv∆s=0 ist, kann ein Ni-artiger Spinreorientierungsübergang auftreten.
Tatsächlich beträgt in Ni/Cu(001) die Volumenanisotropie D v /ω ≈ 30. Durch eine
Verminderung von Dv auf etwa die Hälfte z. B. durch Verwendung einer Legierung
oder eines anderen Substrats sowie durch eine Anpassung der Oberflächenanisotropie Ds̄ durch Bedeckung mit einem geeigneten Material könnte dieser Übergang
experimentell beobachtet werden. Weiterhin wäre interessant, im Rahmen eines solchen Experimentes die Änderung der Steigung der Phasengrenzlinie zu untersuchen.
Durch das Phasendiagramm in Abbildung 51 werden die Fe- und Ni-artigen
filmdicken- und temperaturabhängigen Spinreorientierungsübergänge in einen einheitlichen Rahmen gesetzt: Durch Erhöhung der Volumenanisotropiekonstanten
Dv = −20ω, . . . , 8ω verläuft
√ die Phasengrenze K ( L r , Tr ) = 0 immer flacher. Bei einem kritischen Wert Dv ' 8 πω tritt ein neuartiger Typ von Übergang auf und die
Phasengrenze hat eine positive Steigung. Durch weitere Erhöhung von D v nimmt
diese Steigung immer mehr zu, bis die Linie bei Dv ≈ 20ω etwa senkrecht verläuft,
dort beginnt der Ni-artige Bereich. Bei weiterer Erhöhung von Dv konvergiert die
Phasengrenze von oben gegen die Grenze für ω → 0 (punktierte Linie in Abbildung 51).
139
8 Zusammenfassung
In dieser Arbeit ist der Einfluß von magnetischen Anisotropien auf die Orientierung der Magnetisierung ultradünner ferromagnetischer Filme untersucht worden. Als Modell wird das klassische H EISENBERG modell mit lokalen Anisotropien
und langreichweitiger Dipolwechselwirkung zugrundegelegt. Insbesondere wird
die Temperaturabhängigkeit der resultierenden effektiven Anisotropien bestimmt
und der daraus resultierende temperaturgetriebene Spinreorientierungsübergang
untersucht.
In Kapitel 2 wurden zunächst mit zahlentheoretischen Methoden analytische Ausdrücke für Dipolsummen auf verschiedenen zweidimensionalen Gittern hergeleitet.
Weiterhin sind Formeln für dickere Filme angegeben worden, mit denen die Dipolsummen numerisch bestimmt werden können.
Eine Untersuchung des Systems im Grundzustand (Kapitel 3) lieferte Kriterien für
den Spinreorientierungsübergang sowie für dessen Ordnung. Hier stellte sich heraus, daß ein kontinuierlicher Übergang auch dann auftreten kann, wenn lediglich
uniaxiale Anisotropien zweiter Ordnung in der H AMILTON funktion zugrundegelegt werden. Nur in der Monolage ist der Übergang immer diskontinuierlich, in
dickeren Filmen genügt eine beliebig kleine Inhomogenität der Anisotropien, damit
der Übergang kontinuierlich wird. Die gekippte Phase wird durch eine nichtkollineare Spinstruktur stabilisiert.
Weiterhin wurde im Grundzustand untersucht, ob die langreichweitige Dipolwechselwirkung zu Domänen führt und die Domänenbreite NGS im Rahmen einer
1/ N-Entwicklung analytisch berechnet. Obwohl in der Phase FM z mit senkrechter
z für die
Magnetisierung im Prinzip immer Domänen auftreten, wird die Breite NGS
betrachteten Parameter so groß, daß man effektiv einen ferromagnetischen Grundzustand erhält. Auch in der planaren Phase FM xy treten in einem sehr schmalen
Parameterbereich Streifendomänen auf, die durch die Streufelder des diskreten Gitters stabilisiert werden.
Die Untersuchung des Spinreorientierungsübergangs wurde in Kapitel 4 mit Hilfe einer Molekularfeldtheorie auf endliche Temperaturen ausgedehnt. In der Bilage
mit L = 2 Lagen wurde exemplarisch für dickere Filme der Einfluß der Verteilung
der uniaxialen Anisotropien sowie das Verhalten des Systems in äußeren Magnetfel-
140
dern untersucht. Es stellte sich heraus, daß der temperaturgetriebene Spinreorientierungsübergang ein thermodynamischer Phasenübergang mit divergierender transversaler Suszeptibilität ist. Wie im Grundzustand ist der Übergang im allgemeinen
kontinuierlich mit einer intermediären Phase FMϑ mit gekippter Magnetisierung.
Die Ordnungsparameter sind die senkrechte und die planare Komponente der spontanen Gesamtmagnetisierung m z ( T ) und m xy ( T ), wobei m z ( T ) bei Trz und m xy ( T )
xy
bei Tr kritisch wird. Es gibt also zwei kritische Reorientierungstemperaturen. Bei
Verringerung der Inhomogenität der uniaxialen Anisotropie tritt ein multikritischer
xy
Punkt auf, bei dem Tr = Trz ist und der Übergang diskontinuierlich wird.
Ein äußeres Magnetfeld B unterdrückt lediglich die spontane Ordnung in den
konjugierten Komponenten der Magnetisierung. So kann z. B. in einem senkrechten
Feld B k ẑ die planare Phase FM xy weiterhin existieren und verschwindet erst
bei einem kritischen Feld Bcz ( T ). Die berechneten Phasendiagramme zeigen bei
senkrechtem Feld ein reentrant-Verhalten der paramagnetischen Phase PM, d. h. das
System wechselt mit wachsender Temperatur von PM nach FM xy und wieder nach
PM.
In einem System mit vier Lagen konnte sowohl der Fe-artige Spinreorientierungsübergang, wie er in Fe/Ag(100) auftritt, als auch der umgekehrt ablaufende
Ni-artige Übergang wie in Ni/Cu(001) reproduziert werden. Für den Ni-artigen
Fall muß entsprechend dem Experiment eine negative uniaxiale Anisotropie an der
Filmoberfläche sowie eine positive Anisotropie im Innern des Films angenommen
werden. Weiterhin sind in Kapitel 4 die in der phänomenologischen L ANDAUtheorie
eingeführten effektiven Anisotropien Kn ( T ) numerisch aus dem mikroskopischen
Modell berechnet worden. An diesen Größen kann der Spinreorientierungsübergang quantitativ diskutiert werden. Wie sich herausstellte, wird schon im Grundzustand eine Anisotropie vierter Ordnung K4 gefunden, die z. B. für Eisen einen Anteil
von etwa 8% an der Gesamtanisotropie K = K2 + K4 ausmacht. Dies zeigt, daß eine experimentell bestimmte endliche Anisotropie vierter Ordnung K4 (0) 6= 0 nicht
notwendigerweise impliziert, daß in dem betrachteten System mikroskopische Anisotropien vierter Ordnung ∝ s4z vorhanden sind. Vielmehr muß die immer auftretende Nichtkollinearität der Magnetisierung bei der Bestimmung mikroskopischer
Parameter berücksichtigt werden. Generell kann gesagt werden, daß Inhomogenitäten in den Anisotropien den Spinreorientierungsübergang kontinuierlich werden
lassen und daß der Übergang nur in Systemen mit hoher Symmetrie diskontinuierlich verläuft.
In Kapitel 5 ist eine Methode zur Monte Carlo-Simulation des Spinreorientierungsübergangs entwickelt worden. Es zeigte sich, daß der temperaturgetriebene
Spinreorientierungsübergang in der Monolage entgegen anderen Arbeiten auch in
der Simulation diskontinuierlich ist, während in der Bilage bei inhomogener Vertei-
141
8 Zusammenfassung
lung der uniaxialen Anisotropien ein kontinuierlicher Übergang gefunden wird. Somit stimmen Molekularfeldtheorie und Monte Carlo-Simulationen qualitativ überein.
Mit Hilfe einer Störungstheorie wurden in Kapitel 6 analytische Ausdrücke für die
Abhängigkeit der Größen Kn ( T ) von den Parametern des Modells hergeleitet, die
zu einem tieferen Verständnis des Spinreorientierungsübergangs führen. Hiernach
resultiert dieser aus dem unterschiedlichen Temperaturverhalten der dipolaren und
der lokalen Beiträge der effektiven Anisotropien Kn ( T ). Zusätzlich spielt die im Vergleich zum Innern des Films reduzierte Oberflächenmagnetisierung eine wichtige
Rolle, da hierdurch der Einfluß der Oberflächenanisotropie mit wachsender Temperatur kleiner wird als der Einfluß der Volumenanisotropien. Deswegen wirkt sowohl
im Fe- als auch im Ni-artigen System eine Erhöhung der Temperatur etwa wie eine
Erhöhung der Filmdicke. Dies erklärt, warum in beiden Fällen die Phasengrenzlinie
des Spinreorientierungsübergangs im Temperatur-Filmdicke-Phasendiagramm eine
negative Steigung hat, also die Reorientierungstemperatur mit wachsender Filmdicke abnimmt.
Mit einer Näherung der Magnetisierung des ungestörten isotropen H EISENBERGmodells in Molekularfeldnäherung konnten geschlossene Darstellungen für die
temperatur- und filmdickenabhängigen effektiven Anisotropien Kn ( L, T ) abgeleitet
werden, mit denen die Phasengrenzlinien direkt berechnet werden können. Außerdem wurde eine Zerlegung der effektiven Anisotropie K ( L, T ) in Volumen- und
Oberflächenanteil K v ( T ) bzw. K s ( T ) vorgenommen, wobei ebenfalls die nichtlinearen Anteile K HO ( T ) bestimmt wurden. Zusätzlich werden diese Formeln benutzt,
um zu untersuchen, welche Rolle die Entropie bei dem Übergang einnimmt. Es
zeigte sich, daß weder das Temperaturverhalten der Entropie noch das der inneren Energie Ursache für den Spinreorientierungsübergang ist, sondern alleine das
unterschiedliche Temperaturverhalten der konkurrierenden lokalen und dipolaren
Anteile ausschlaggebend ist.
Schließlich wurde das Modell in Kapitel 7 auf kontinuierliche Filmdicken erweitert, da der Spinreorientierungsübergang im Experiment empfindlich von
der Filmdicke abhängt. Die verschiedenen Ergebnisse wurden am Temperatur-Filmdicke-Phasendiagramm des Fe-artigen Systems diskutiert. Mit dem erweiterten Modell kann das Temperatur-Filmdicke-Phasendiagramm von dünnen
Nickelfilmen auf Kupfer (001) gut reproduziert werden. Allerdings muß eine zusätzliche lokale Anisotropie vierter Ordnung in die H AMILTON funktion aufgenommen
werden, da sonst die gekippte Phase FMϑ etwa eine Größenordnung zu schmal ist.
Eine abschließende systematische Untersuchung der möglichen Reorientierungsszenarien gibt ein einheitliches Bild des Spinreorientierungsübergangs. Bei Erhöhung der lokalen Volumenanisotropiekonstanten Dv von null aufwärts und gleich-
142
zeitiger Verkleinerung der Oberflächenanisotropie verläuft die Phasengrenze des
Spinreorientierungsübergangs immer flacher. Bei einem kritischen Wert tritt ein neuartiger Typ von Übergang auf und die Phasengrenze hat nun eine positive Steigung.
Hier findet man bei wachsender Filmdicke L und konstanter Temperatur T einen
Ni-artigen Übergang, während bei wachsender Temperatur T und konstanter Dicke
L ein Fe-artiger Übergang auftritt. Durch weitere Erhöhung von D v nimmt diese
Steigung immer mehr zu, bis schließlich der Ni-artige Bereich erreicht wird.
Durch eine Verminderung von Dv auf etwa die Hälfte z. B. durch Verwendung
einer Legierung oder eines anderen Substrats sowie durch eine Anpassung der
Oberflächenanisotropie durch Bedeckung mit einem geeigneten Material könnte
dieser Übergang experimentell in Nickelfilmen beobachtet werden. Weiterhin wäre
interessant, im Rahmen eines solchen Experimentes die Änderung der Steigung der
Phasengrenzlinie zu untersuchen.
143
Anhang
A.1 Berechnung der Dipolsummen
Zur Berechnung der Summe (2.42) benutzt man die Integral-Identität [B ENSON und
M ILLS, 1969]
a
−5
4
= √
3 π
Z∞
3
2
dt t 2 e− a t .
(A.1)
0
Verwendet man die Abkürzung R̃ = LR + r und setzt (A.1) für a = | R̃| in Gleichung
(2.42) ein, erhält man
Sµν ( L, r ) =
∑
0
R ∈Z2
=
R̃µ R̃ν | R̃|
δ +δ Z∞
4r z zµ zν
√
3 π
4
= √
3 π
−5
3
Z∞
0
∑
2
∑
R x =−∞
R̃µ R̃ν e−t| R̃|
2
(A.2)
R ∈Z2
∞
dt t 2 e−tr z
0
3
dt t 2
δ
R̃ xxµ
∞
+δ xν −t R̃2x
e
∑
R y =−∞
δ yµ +δ yν −t R̃2y
R̃ y
e
,
wobei formal δ xµ = 1 ⇔ µ = x und δ xµ = 0 ⇔ µ 6= x gelten soll. Außerdem
benötigt man die F OURIERtransformation
∞
∑
n −t R̃2
R̃ e
R=−∞
1 ∞ −2π ikr/ L
=
∑ e
L k=−
∞
Z∞
d R̃ R̃n e2π ik R̃/ L e−t R̃
2
(A.3)
−∞
für n = 0, 1, 2. Man erhält mit κ = k/ L
∞
∑
2
e−t R̃ =
R=−∞
∞
∑
R=−∞
∞
∑
R=−∞
144
2
R̃e−t R̃ =
2 −t R̃2
R̃ e
1 π 12
L t
i π 3
2
L
t
1 π 52
=
L t
∞
∑
e−2π iκ r e−π
∑
κ e−2π iκr e−π
k=−∞
∞
k=−∞
∞ ∑
k=−∞
2κ 2 / t
2κ 2 / t
2 2
t
2
− κ e−2π iκr e−π κ /t .
2
2π
(A.4a)
(A.4b)
(A.4c)
A.1 Berechnung der Dipolsummen
Ebenfalls benötigt wird das Integral
Z∞
n − a2 t −b2 /t
dt t e
e
0
n+1
b
Kn+1 ( 2| ab|)
= 2 a
(A.5a)
mit der modifizierten B ESSELfunktion Kn ( x) [z. B. A BRAMOWITZ und S TEGUN , 1972,
§ 9], für die die Symmetrie
(A.5b)
K− n ( x ) = K n ( x )
sowie für n = 1/2 die Identität
r
π −x
K 1 ( x) =
e
2
2x
(A.5c)
gilt.
A.1.1 Summen innerhalb der Ebene
A.1.1.1 S xx ( L, r ) und S yy ( L, r )
Für r z = 0 ergibt (A.2) durch F OURIER transformation der Summe über R y mit der
Abkürzung κ = k/ L
S xx ( L, r )
=
4
√
3 π
(A.4a) 4
=
3L y
=
(A.5a)
=
4
3L y
Z∞
0
Z∞
∑
∑
dt t
R x =−∞
∞
∞
∑
∑
∞
∑
2
R x =−∞
∞
0
R̃2x e−t R̃ x
2
R̃2x e−t R̃ x
2
e−t R̃ y
R y =−∞
∞
∑
e−2π iκ y r y e−π
2κ 2 / t
y
k y =−∞
Z∞
e−2π iκ y r y
R x =−∞ k y =−∞
8π 2
3L y
∞
3
dt t 2
2
dt t R̃2x e−t R̃ x e−π
2κ 2 / t
y
0
∞
∞
∑
k y =−∞
κ 2y e−2π iκ yr y
∑
0
R x =−∞
K2 (2π |κ y R̃ x |).
Weiterhin gilt für den Grenzwert
lim κ 2y K2 (2π |κ y R̃ x |) =
k y →0
1
2π 2 R̃2x
,
und die resultierende Summe
∞
rx
1 ±
−2
∑ R̃x = L2 ζ 2, Lx
x
R x =−∞
145
Anhang
kann mit der symmetrisierten H URWITZschen Zetafunktion
ζ ± (2, a) = ζ (2, a) + ζ (2, 1 − a)
∞
∑
=
0
(k + a)−2
k=−∞
=
π 2 /3
π 2 sin −2 (π a)
für a = 0
sonst.
berechnet werden (siehe Gleichung (2.15)). Als Ergebnis erhält man
4ζ ± (2,
S xx ( L, r ) =
rx
Lx )
3L2x L y
+
16π 2
3L y
∞
∞
∑
k y =1
κ 2y cos (2πκ y r y )
∑
0
R x =−∞
K2 (2πκ y | R̃ x |). (A.6)
Um das Element S yy ( L, r ) zu erhalten, muß man lediglich x und y in (A.6) vertauschen.
A.1.1.2 S xy ( L, r )
Das Außerdiagonalelement S xy ( L, r ) liefert durch Transformation von R y
S xy ( L, r )
=
4
√
3 π
(A.4b) 4π i
=
3L y
=
(A.5a)
=
Z∞
4π i
3L y
0
Z∞
∞
3
∑
dt t 2
R x =−∞
∞
dt
∑
R x =−∞
0
∞
∑
R x =−∞ k y =−∞
8π 2 i
3L y
∞
∑
k y =−∞
κy e
2
R y =−∞
∞
∑
2
R̃ x e−t R̃ x
∞
∑
∞
∑
2
R̃ x e−t R̃ x
k y =−∞
−2π iκ y r y
Z∞
R̃ y e−t R̃ y
κ y e−2π iκ yr y e−π
2
dt R̃ x e−t R̃ x e−π
2κ 2 / t
y
2κ 2 / t
y
0
∞
κ y |κ y |e−2π iκ yr y
∑
0
R x =−∞
sgn ( R̃ x )K1 (2π |κ y R̃ x |).
Da für k y → 0 weiterhin gilt
lim κ 2y K1(2π |κ y R̃ x |) = 0,
k y →0
folgt als Ergebnis
16π 2
S xy ( L, r ) =
3L y
∞
∑
k y =1
∞
κ 2y
sin (2πκ y r y )
∑
0
R x =−∞
sgn ( R̃ x )K1 (2π |κ y R̃ x |).
Da S( L, r ) symmetrisch ist, ist S xy ( L, r ) = S yx ( L, r ).
146
(A.7)
A.1 Berechnung der Dipolsummen
A.1.1.3 Sµ z ( L, r )
Für r z = 0 ergibt (A.2)
Sµ z ( L, r ) = S zµ ( L, r ) = 0
(A.8)
für µ ∈ { x, y, z}, da R z immer gleich null ist.
A.1.2 Summen zwischen den Ebenen
Für r z 6= 0 lassen sich die Elemente von (A.2) einfacher berechnen, da nun der
Ursprung (0, 0, 0) nicht aus den Summen ausgenommen werden muß. Man kann
nun beide Summen in (A.2) FOURIERtransformieren.
A.1.2.1 S xx ( L, r ) und S yy ( L, r )
Man erhält mit (A.4a) und (A.4c) sowie mit Gleichung (A.5a) für n = −1/2 und
n = −3/2, wobei wieder κ = k/ L ist,
S xx ( L, r )
=
4
√
3 π
Z∞
3
∞
∑
2
dt t 2 e−tr z
R x =−∞
0
∞
∑
2
R̃2x e−t R̃ x
2
e−t R̃ y
R y =−∞
√ Z∞
(A.4) 4 π
2 2
t
− 32 −tr2z
2 2
=
dt t e
− π κx e−2π iκ ·r e−π κ /t
∑
3L x L y
2
k ∈Z
=
(A.5)
=
√
4 π
3L x L y
4π 2
3L x L y
2
0
∑
e
∑
−2π iκ ·r
k ∈Z2
k ∈Z2
Z∞
dt t
− 32 −tr2z
e
0
1
κ2
− x
2 π |r z |
κ
2 2
t
2 2
− π κ x e−π κ /t
2
e−2π (iκ ·r +κ |r z |) .
(A.9)
Der Ausdruck für S yy ( L, r ) folgt hieraus durch Vertauschung aller x und y.
A.1.2.2 S zz ( L, r )
Für dieses Element ergibt sich mit (A.4a) sowie (A.5a) für n = 1/2
S zz ( L, r )
=
4r2z
√
3 π
Z∞
3
2
dt t 2 e−tr z
0
∞
∑
2
e−t R̃ x
R x =−∞
∞
∑
2
e−t R̃ y
R y =−∞
√
Z∞
1
(A.4a) 4 π r2z
2
2 2
=
dt t 2 e−tr z ∑ e−2π iκ ·r e−π κ /t
3L x L y
k ∈Z
0
2
147
Anhang
=
(A.5)
=
√
4 π r2z
3L x L y
4π 2
3L x L y
∑
e
−2π iκ ·r
k ∈Z2
∑
k ∈Z2
Z∞
1
2
dt t 2 e−tr z e−π
2κ 2 / t
0
1
+ κ e−2π (iκ ·r +κ |r z |) .
2 π |r z |
(A.10)
A.1.2.3 S xy ( L, r ) und S yx ( L, r )
Diese Außerdiagonalelemente lauten mit (A.4b) sowie mit (A.5a) für n = −3/2
S xy ( L, r )
=
4
√
3 π
(A.4a)
= −
=
Z∞
3
Z∞
5
4
π2
3L x L y
4π 2
3L x L y
∑
∞
3
R̃ x e−t R̃ x
∑
2
dt t− 2 e−tr z
2
∑
2
R x =−∞
0
R y =−∞
R̃ y e−t R̃ y
κxκ y e−2π iκ ·r e−π
∑
k ∈Z2
κ xκ y e
−2π iκ ·r
Z∞
3
2
dt t− 2 e−tr z e−π
k ∈Z2
2κ 2 / t
0
κxκ y −2π (iκ ·r +κ |r z|)
.
e
κ
∑
2κ 2 / t
k ∈Z2
0
5
4
π2
−
3L x L y
(A.5)
= −
∞
2
dt t 2 e−tr z
(A.11)
Es ist S yx ( L, r ) = S xy ( L, r ).
A.1.2.4 Sµ z ( L, r ) und S zµ ( L, r )
Hier ist mit Gleichung (A.4b) sowie mit (A.5a) für n = −1/2
S xz ( L, r )
=
4r z
√
3 π
Z∞
(A.5)
=
4ir z 3
π2
3L x L y
4π 2 i
3L x L y
∞
∑
2
2
R x =−∞
0
(A.4) 4ir z 3
=
π2
3L x L y
=
3
dt t 2 e−tr z
Z∞
1
2
dt t− 2 e−tr z
κx e
−2π iκ ·r
k ∈Z2
sgn (r z )
∞
∑
2
e−t R̃ y
R y =−∞
∑
κx e−2π iκ ·r e−π
Z∞
dt t− 2 e−tr z e−π
k ∈Z2
0
∑
R̃ x e−t R̃ x
1
2
2κ 2 / t
2κ 2 / t
0
∑
k ∈Z2
κx e−2π (iκ ·r +κ |r z|) .
(A.12)
Wieder ist Sµ z ( L, r ) = S zµ ( L, r ), und S yz ( L, r ) ergibt sich, wenn man in (A.12) alle x
mit y vertauscht.
148
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie
A.1.2.5 Kompakte Schreibweise
Man kann die Ergebnisse für r z 6= 0 aus Abschnitt A.1.2 in eine kompaktere Form
bringen: Für den komplexwertigen Vektor
K = (κ x , κ y , −iκ sgn r z )
lautet das äußere Produkt
κx2
κ xκ y
−iκxκ sgn (r z )
−iκ yκ sgn (r z ) ,
κ xκ y
κ 2y
K2 =
−iκxκ sgn (r z ) −iκ yκ sgn (r z )
−κ 2
hiermit erhält man das Ergebnis
4π 2
K2
1
e−2π (iκ ·r +κ |r z |) .
S( L, r ) =
−
3L x L y k∑
2
π
|
r
|
κ
z
∈Z
(A.13)
2
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie
A.2.1 Ableitungsregeln
Für die freie Energie gilt
e−βF = Z = Sp [e−βH ].
Sei nun die H AMILTON funktion H Funktion der Variablen x und y, dann gilt für die
Ableitung der freien Energie nach x
∂ x F = −β−1 ∂ x log Sp [e−βH ]
1
=
Sp [e−βH ∂ x H].
Z
Da für den thermodynamischen Erwartungswert h Ai einer Größe A gilt
h Ai =
folgt
1
Sp [e−βH A],
Z
∂ x F = h∂ x Hi
(A.14)
(A.15)
und analog für den Gradienten
∂ x F = h∂ x Hi.
(A.16)
149
Anhang
Für die zweite Ableitung folgt
1
−βH
∂x ∂ y F = ∂x
Sp [e
∂ y H]
Z
1
1
Sp [∂ x (e−βH ∂ y H)] − 2 ∂ x Sp [e−βH ] Sp [e−βH ∂ y H]
=
Z
Z
1
= −β Sp[e−βH ∂x H∂ y H] + h∂ x ∂ y Hi + βh∂ x Hih∂ y Hi.
Z
Nochmaliges Einsetzen von (A.14) ergibt das Resultat
∂ x ∂ y F = h∂ x ∂ y Hi − β h∂ x H ∂ y Hi − h∂ x Hih∂ y Hi
oder vektoriell für die H ESSEmatrix von F
∂ x ⊗ ∂ y F = h∂ x ⊗ ∂ y Hi − β h∂ x H ⊗ ∂ y Hi − h∂ x Hi ⊗ h∂ y Hi .
(A.17)
(A.18)
In der Molekularfeldtheorie ist die stationäre H AMILTON funktion H̃ = H(ξ̃ ( T ))
implizit über den stationären Punkt ξ̃ ( T ) temperaturabhängig. Die Temperaturableitung des Erwartungswertes einer Größe A lautet dann
Mit
1
−βH̃
Sp [e
d T h Ai = d T
A]
Z
1
1
Sp [d T (e−βH̃ A)] − 2 Sp [e−βH̃ A] Sp [d T e−βH̃ ].
=
Z
Z
d T e−βH̃ = e−βH̃ (β2 H̃ − βdT H̃)
folgt
d T h Ai = hd T Ai + h(β2 H̃ − βd T H̃) Ai − hβ2 H̃ − βd T H̃ih Ai
= hdT Ai + β2 hH̃ Ai − hH̃ih Ai − β hdT H̃ Ai − hd T H̃ih Ai
= hdT Ai + βhhH̃ , Aii − hhd T H̃, Aii.
(A.19)
A.2.2 Lösung des ungestörten Systems
Die ungestörte lösbare Näherung der H AMILTON funktion an einem stationären
Punkt lautet
H̃0? = −h0 · s
150
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie
mit dem ungestörten Molekularfeld aus Gleichung (4.32). Die Zustandssumme
lautet dann in Kugelkoordinaten
Z̃0?
=
Z2π
dϕ
0
Zπ
dϑ sin ϑ eβ h0 ·s .
0
Da das System isotrop ist, sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit h 0 = h ẑ. Dann
folgt unter Einführung von Kugelkoordinaten s = (cos ϕ sin ϑ, sin ϕ sin ϑ, cos ϑ) für
die Zustandssumme
Z̃0?
=
Z2π
dϕ
0
Zπ
dϑ sin ϑ eβh cos ϑ =
0
4π
sinh (βh).
βh
Für den Erwartungswert h · i⊥
0 einer Größe A(ϕ, ϑ) gilt
h Ai⊥
0
1
= ?
Z̃0
Z2π
dϕ
0
Zπ
dϑ A(ϕ, ϑ) sin ϑ eβh cos ϑ .
0
Man erhält für die Potenzen von s z die Erwartungswerte
m = hs z i⊥
0 = coth (βh) −
1
βh
2m
βh
4m
8
3m
= 1−
+
1−
.
βh β2 h2
βh
(A.20a)
hs2z i⊥
0 = 1−
(A.20b)
hs4z i⊥
0
(A.20c)
k
Die Erwartungswerte h · i0 mit planarem Molekularfeld h k ŷ können durch Drehung des Spinraums aus Erwartungswerten h · i ⊥
0 mit senkrechtem Molekularfeld
berechnet werden, da gilt
k
hsnz i0 = hsny i⊥
0 .
Man erhält
k
m
βh
3m
3
.
= 2 2 1−
βh
β h
hs2z i0 = hs2y i⊥
0 =
(A.21a)
hs4z i0 = hs4y i⊥
0
(A.21b)
k
k
n
Für die Differenzen hsnz i⊥
0 − hs z i0 in Gleichungen (6.14) ergibt sich schließlich
k
2
hs2z i⊥
0 − hs z i0 = 1 −
3m
βh
(A.22a)
151
Anhang
hs4z i⊥
0
k
− hs4z i0
4m
5
= 1−
+ 2 2
βh β h
3m
1−
βh
.
(A.22b)
A.2.3 Die Störungstheorie zweiter Ordnung
Nun wird kurz die Störungstheorie zweiter Ordnung der freien Energie skizziert,
die jedoch nicht weiter verfolgt wurde. In zweiter Ordnung gilt analog zu Kapitel 6.1
mit F̃0 = F (ξ̃ (0), 0)
F (ξ̃ (), ) = F̃0 + d F̃0 +
2 2
d F̃0 + O()3 .
2 (A.23)
Man erhält für die Korrekturen zweiter Ordnung
d2 F̃ = ∂2 F̃ + 2 ∂ ∂ξ F̃ · dξ̃ + dξ̃ · ∂ξ2 F̃ · dξ̃
= ∂2 F̃ − dξ̃ · ∂ξ2 F̃ · dξ̃ ,
(A.24)
da ∂ ∂ξ F̃ d = −∂ξ2 F̃ · dξ̃ , und muß somit im Gegensatz zur linearen Näherung
auch die Änderung des stationären Punktes ξ̃ () unter der Störung berücksichtigen. Mit dem Satz über implizite Funktionen (vgl. Kapitel 4.1.3) erhält man
d2 F (ξ̃ (), ) = ∂2 F̃ − ∂ ∂ξ F̃ · (∂ξ2 F̃ )−1 · ∂ ∂ξ F̃ .
(A.25)
Die benötigten Ableitungen sind in den nächsten Abschnitten angegeben, die Auswertung der resultierenden Ausdrücke wurde jedoch nicht vorgenommen, vor allem weil das Inverse (∂ξ2 F̃ )−1 nicht weiter vereinfacht werden konnte.
A.2.4 Ableitungen der lösbaren freien Energie F ? (ξ )
In diesem Abschnitt werden häufig benötigte partielle Ableitungen der lösbaren
freien Energie F ? (ξ ) aus Gleichung (4.3) berechnet.
A.2.4.1 ∂ F ?
Mit Gleichung (A.15) ist
∂ F ? = h∂ H ? iξ = hHl iξ
= − ∑ Di h(siz )2 iξ + B · hsi iξ .
(A.26a)
i
Am stationären Punkt folgt
∂ F̃ ? = − ∑ Di h(siz )2 i + B · mi .
i
152
(A.26b)
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie
A.2.4.2 ∂2 F ?
Mit Gleichung (A.17) ist
∂2 F ? = h∂2 H ? iξ − β h(∂ H ? )2 iξ − h∂ H ? iξ2
= −β hHl2 iξ − hHl iξ2
= −hhHl , Hl iiξ ,
(A.27a)
da ∂2 H ? = 0. Am stationären Punkt ist
∂2 F̃ ? = −hhHl , Hl ii.
(A.27b)
A.2.4.3 ∂ξk F ?
Mit Gleichung (A.16) ist
∂ξk F ? = h∂ξk H ? iξ = −hsk iξ
(A.28a)
und am stationären Punkt
∂ξk F̃ ? = −mk .
(A.28b)
A.2.4.4 ∂ξ2 F ?
k
Mit Gleichung (A.18) ergibt sich
∂ξ2 F ? = h∂ξ2 H ? iξ − β h(∂ξk H ? ) 2 iξ − h∂ξk H ? iξ2
k
k
= −β hsk2 iξ − hsk iξ2
= −hhsk , sk iiξ ,
(A.29a)
da ∂ξk H ? = −sk gilt und deshalb die H ESSEmatrix ∂ξ2 H ? = 0 ist. Somit folgt
k
∂ξ2 F̃ ? = −hhsk , sk ii.
k
(A.29b)
A.2.4.5 ∂ ∂ξk F ?
Mit Gleichung (A.17) erhält man
∂ ∂ξk F ? = h∂ ∂ξk H ? iξ − β h∂ H ? ∂ξk H ? iξ − h∂ H ? iξ h∂ξk H ? iξ .
Da ∂ ∂ξk H ? = 0 sowie ∂ H ? = Hl und ∂ξk H ? = −sk , folgt
∂ ∂ξk F ? = β (hHl sk iξ − hHl iξ hsk iξ ) .
(A.30a)
153
Anhang
Am stationären Punkt ist
∂ ∂ξk F̃ ? = β (hHl sk i − hHl ihsk i) = hhHl , sk ii.
(A.30b)
A.2.5 Ableitungen der freien Energie F (ξ )
A.2.5.1 ∂ F
Für den Erwartungswert D := hH − H ? (ξ )iξ gilt mit Ji j = J ji
1
∂ D = − ∑ ∂ ∂ξi F ? · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ?
2 j
i
−
!
1
∂ξ j F ? · ∑(∂ J ji · ∂ξi F ? + J ji · ∂ ∂ξi F ? )
2∑
i
j
= − ∑ ∂ ∂ξi F ? · ξi +
i
1
∂ ∂ξi F ? · Ji j · ∂ξ j F ?
2∑
ij
1
∂ξ j F ? · (ωW(ri j ) · ∂ξi F ? − J ji · ∂ ∂ξi F ? )
∑
2 ij
!
ω
= − ∑ ∂ ∂ξi F ? · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ? + ∑ ∂ξi F ? · W(ri j ) · ∂ξ j F ?(A.31)
2 ij
i
j
+
und deshalb am stationären Punkt
ω
∂ξi F̃ ? · W(ri j ) · ∂ξ j F̃ ?
2 ∑
ij
ω
= ∑ mi · W (ri j ) · m j .
2 ij
∂ D̃ =
(A.32)
Für die Ableitung ∂ F̃ ergibt sich dann
∂ F̃ = ∂ F̃ ? + ∂ D̃
= − ∑ Di h(siz )2 i + Ei h(siz )4 i + B · mi +
i
A.2.5.2 ∂2 F
Hier ergibt sich
∂2 D = − ∑ ∂2 ∂ξi F ? · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ?
i
154
j
!
ω
mi · W (ri j ) · m j .
2 ∑
ij
(A.33)
A.2 Formeln für die Molekularfeldtheorie
+ ∑ ∂ ∂ξi F ? · ∑ ωW(ri j ) · ∂ξ j F ? − Ji j · ∂ ∂ξ j F ?
i
j
+ω ∑ ∂ ∂ξi F · W(ri j ) · ∂ξ j F ? ,
?
ij
also folgt am stationären Punkt mit Gleichung (A.30b) und dem dipolaren Molekularfeld h̃ω,i = ω ∑ j W(ri j ) · m j
∂2 D̃ = − ∑ hhHl , si ii · 2h̃ω,i + ∑ Ji j · hhHl , s j ii
i
j
und somit für ∂2 F̃ = ∂2 F̃ ? + ∂2 D̃
∂2 F̃ = − ∑ hhsi , si ii + 2hhHl , si ii · h̃ω,i + ∑ hhHl , si ii · Ji j · hhHl , s j ii.
i
(A.34)
j
A.2.5.3 ∂ξk F
Der Gradient von D lautet
1
∂ξk D = − ∑ ∂ξk ⊗ ∂ξi F ? · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ?
2 j
i
!
1
+ ∂ξi F ? · ∂ξk ξi + ∑ Ji j · ∂ξk ⊗ ∂ξ j F ?
2 j
!
1
2 ?
= − ∑ δik ∂ξk F · ξi + ∑ Ji j · ∂ξ j F ?
2 j
i
!
1
+ ∂ξi F ? · δik + ∑ Ji j · δk j ∂ξ2k F ?
2 j
!
1
= −∂ξk F ? − ∂ξ2k F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
2 j
!
−
1
∂ξi F ? · Jik · ∂ξ2 F ?
∑
k
2 i
= −∂ξk F ? − ∂ξ2k F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
j
!
.
Also folgt
∂ξk F = ∂ξk F ? + ∂ξk D = −∂ξ2 F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
k
j
!
.
(A.35)
Diese Größe verschwindet am stationären Punkt nach Definition.
155
Anhang
A.2.5.4 ∂ξi ⊗ ∂ξk F
Mit der Definition x 3 = x ⊗ x ⊗ x erhält man
∂ξi ⊗ ∂ξk F = −∂ξi ⊗ ∂ξ2 F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
k
j
!
− ∂ξ2k F ? · ∂ξi ⊗ ξk + ∑ Jk j · ∂ξi ⊗ ∂ξ j F ?
j
=
−δik ∂ξ3k F ?
· ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
j
!
− ∂ξ2k F ? · δik 1 + ∑ Jk j · δi j ∂ξ2i F ?
j
=
−δik ∂ξ3k F ?
· ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F
j
?
!
!
!
− ∂ξ2k F ?
2 ?
· δik 1 + Jki · ∂ξi F .
Am stationären Punkt verschwindet der erste Summand, und man erhält
∂ξi ⊗ ∂ξk F̃ = −∂ξ2 F̃ ? · δik 1 + J ki · ∂ξ2 F̃ ?
i
k
= hhsk , sk ii · δik 1 − J ki · hhsi , si ii .
(A.36)
A.2.5.5 ∂ ∂ξk F
Hier ist
∂ ∂ξk F = −∂ ∂ξ2 F ? · ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F ?
k
− ∂ξ2k F ? ·
=
−∂ ∂ξ2k F ?
+ ∂ξ2k F ? ·
j
!
∑ ∂ Jk j · ∂ξ j F ? + Jk j · ∂ ∂ξ j F ?
j
· ξk + ∑ Jk j · ∂ξ j F
j
?
!
!
∑ ωW(rk j ) · ∂ξ j F ? − Jk j · ∂ ∂ξ j F ?
j
!
.
Am stationären Punkt verschwindet der erste Summand, es folgt
!
∂ ∂ξk F̃ = hhsk , sk ii ·
156
h̃ω,k + ∑ Jk j · hhHl , s j ii
j
.
(A.37)
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J. M. Yeomans, 1992, Statistical Mechanics of Phase Transitions, Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford. → S. 2
165
Notationsverzeichnis
Â
Näherungsausdruck für die Größe A
A0
Die Größe A im ungestörten System
Ã
Größe A(ξ ) an einem stationären Punkt ξ̃ des Systems: Ã ≡ A(ξ̃ )
h Aiξ
h Ai
h Ai
hh A, Biiξ
Erwartungswert von A berechnet mit H ? (ξ )
In der Molekularfeldtheorie: Erwartungswert von A berechnet mit H̃ ? an einem
stationären Punkt ξ̃ des Systems: h Ai ≡ h Aiξ̃
In der Monte Carlo-Simulation: zeitlicher Mittelwert h Ai t von A
Abkürzung für hh A, Biiξ = β(h ABiξ − h Aiξ h Biξ )
hh A, Bii
die Größe hh A, Biiξ an einem stationären Punkt ξ̃
∂x f
partielle Ableitung ∂ f /∂x
O( f ( x))
g( x) = O( f ( x)) ⇔ lim x→∞ | g( x)|/ f ( x) ∈ R>0
dx f
Ableitung d f /dx
xµ
µ -te Element von Vektor x
x
Betrag x = | x| von x
x̂
Einheitsvektor x̂ := x/ x
x·y
inneres oder Skalarprodukt x · y := ∑µ xµ yµ
x⊗y
äußeres Produkt ( x ⊗ y)µν = xµ yν
xy
x2
direktes Produkt ( xy)µ = xµ yµ
äußeres Produkt x 2 = x ⊗ x, Projektor auf x, da x 2 · y = x( x · y)
A
Dipolcharakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
ann
nächster Nachbarabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
a0
Gitterkonstante der Einheitszelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
aλ (τ )
Anisotropiefaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
B
Magnetfeld B = ( B x , B y , B z ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
β
inverse Temperatur β = 1/k B T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
β
kritischer Exponent der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
C
spezifische Wärme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
166
cλ
Eigenwerte der H ESSEmatrix C 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
∆c
Differenz der spezifischen Wärme pro Spin ∆c = c k − c⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Cp
H ESSEmatrix ∂ϑ2 E(ϑp ) am stationären Punkt ϑ p bei T = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
C(τ , ϑ̃p )
H ESSEmatrix ∂ϑ2 F (τ , ϑ̃p ) am stationären Punkt ϑ̃ p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Dλ
Anisotropiekonstante in Schicht λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
∆D
Inhomogenität ∆D = D1 − D2 in der Bilage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ds , Di
Ober- & Grenzflächenanisotropiekonstanten, D 1,L = Dv + Ds,i . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ds̄
mittlere Oberflächenanisotropiekonstante D s̄ = ( Ds + Di )/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dv
Volumenanisotropiekonstante, D 1<λ < L = Dv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Dh ( L )
homogene effektive Anisotropie zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Dih ( L)
inhomogene effektive Anisotropie zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Dλ ,r
( L)
kritische Anisotropiekonstanten, bei denen der Übergang bei T = 0 diskontinuierlich ist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Eλ
Anisotropiekonstante vierter Ordnung in Schicht λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Es , Ei
Ober- & Grenzflächenanisotropiekonstanten, E 1,L = Ev + Es,i . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Es̄
mittlere Oberflächenanisotropiekonstante E s̄ = ( Es + Ei )/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ev
Volumenanisotropiekonstante, E 1<λ < L = Ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Eh ( L)
homogene effektive Anisotropie vierter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Eω
ij
Dipolenergie zweier Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
E0i j
isotrope Austauschenergie zweier Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Eai j
anisotroper Anteil der Austauschenergie zweier Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Störparameter, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
EGS
Grundzustandsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Ex ( N )
Energie eines planaren Streifenzustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Ez ( N )
Energie einessenkrechten Streifenzustandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
E(s)
Energie bei T = 0, auch E(ϑ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
η
kleinster Eigenwert der H ESSEmatrix C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
F̃
stationäre freie Energie, δξ F̃ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
FM xy
Phase mit spontaner Magnetisierung m xy 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
FMF
FM z
FMϑ
G
freie Energie in Molekularfeldnäherung F MF = minξ F (ξ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Phase mit spontaner Magnetisierung m z 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Phase mit spontaner gekippter Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
167
Notationsverzeichnis
G
Pseudoinverse von C 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Γ zz (∆t)
Autokorrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
H
vollständige H AMILTONfunktion H = H 0 + (Hω + Hl ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Hω
Dipolanteil von H, Hω =
H
Störanteil von H, H = Hω + Hl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
H0
Hl
ungestörte H AMILTONfunktion bzw. Austauschanteil H 0 = − 2J ∑hi ji si · s j . . . . 7
ω
2
∑ i j s i · W (r i j ) · s j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Ein-Spin Anteil von H, H l = − ∑i Di (siz )2 + Ei (siz )4 + B · si . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
H ? (ξ )
gestörte lösbare Näherung H ? (ξ ) = Hl − ∑i ξi · si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
H(ξ )
Variations-H AMILTONfunktion H(ξ ) = H ? (ξ ) + hH − H ? (ξ )iξ . . . . . . . . . . . . . 48
h(ξ )
Molekularfeld h(ξ ) = J · hsiξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
H0? (ξ )
H̃
h0 (ξ )
ungestörte lösbare Näherung H 0? (ξ ) = − ∑i ξi · si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
stationäre H AMILTONfunktion H̃ = H(ξ̃ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
ungestörtes Molekularfeld bzw. Austauschanteil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
hω (ξ )
Dipolanteil des Molekularfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
h( A, T )
Histogramm der Größe A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
hi
lokales Feld in der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
H
ds f (s)
Integral der Funktion f (s) über die Oberfläche der Einheitskugel . . . . . . . . . . . . 3
J
Austauschkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
kflip
Akzeptanzhäufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
K ( L, τ )
totale effektive Anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
KD ( L, τ )
uniaxialer Anteil an K ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
KE ( L, τ )
Anteil vierter Ordnung an K ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Kω ( L, τ )
Dipolanteil an K ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
KB ( L, τ )
Feldanteil an K ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
K v (τ )
totale effektive Volumenanisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Knv (τ )
effektive Volumenanisotropien n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
K s (τ )
totale effektive Oberflächenanisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Kns (τ )
effektive Oberflächenanisotropien n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
K HO ( L, τ )
nichtlineare Anteile in 1/ L an K ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Kn ( L, τ )
effektive Anisotropien n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
K4DD ( L, τ )
uniaxialer Anteil an K4 ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
K4Dω ( L, τ )
gemischter Anteil an K4 ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
K4ωω ( L, τ )
dipolarer Anteil an K4 ( L, τ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
168
L
Filmdicke bzw. Anzahl der Lagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
∆Lr (τ )
Breite von FMϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Lx , L y
laterale Systemgröße in der Monte Carlo-Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Lv
Volumenanteil des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Ls , Li
Ober- & Grenzflächenanteil des Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
L
Periodizitätsvolumen von W̃( L, r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
mλ
mt
Magnetisierung pro Spin in Schicht λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
q
x
y
planare Komponente m xy = (mλ )2 + (mλ )2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
m z∗
Magnetisierung der Phase FM z bei Tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
m̃ xy
Erwartungswert hm t i aus der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
m xy
m̃ z
Zeitreihe der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
xy
Erwartungswert h|m tz |i aus der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
mv (τ )
Magnetisierung pro Spin der inneren Lagen 1 < λ < L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
ms (τ )
Magnetisierung pro Spin an der Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
N
Systemgröße N = L x × L y × L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
x
NGS
Breite der planaren Streifendomänen im Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
z
NGS
Breite der senkrechten Streifendomänen im Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
P
Parametersatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
p
Konstante in K̂D (τ ), p = 4/5 in ek(001) und p = 1/2 in kfz(001) . . . . . . . . . . . . 109
p
Bezeichnung für stationäre Punkte oder Phasen, p =⊥, k bzw. p = xy, z . . . . 37
PM
paramagnetische Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
ΦG (s)
Gittersumme von G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Φδ
Gittersumme eines Spins in Lage λ mit der Lage λ ± δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
φG (n)
Koeffizienten der D IRICHLETschen Reihe zu Φ G (s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
ΦK
Gittersumme in Kontinuumsnäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
ΦΣ
Gittersumme in dünnen Filmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Φ̃λ
Gittersumme Φ̃λ = ∑µL =1 Φ|λ −µ | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Φ
Matrix der effektiven Dipolsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Q0
Projektor Q 0 = 1 − u02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
q
Konstante in K̂ω (τ ), q = 2/5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
ρ
Anzahl der Atome pro Einheitszelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
si
Spinvariable s i = (si , si , si ) am Platz i, |s i | = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
x
y
z
169
Notationsverzeichnis
S( L, r )
ein Anteil an W̃( L, r ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
∆s
Entropiedifferenz pro Spin ∆s = s k − s⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
kritische oder C URIEtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Tc
t
Simulationszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
ttot
Gesamtsimulationszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
τ
Autokorrelationszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
τ
reduzierte Temperatur τ = T / Tc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
τc
reduzierte kritische Temperatur τ c ≡ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
τr , Tr
reduzierte Reorientierungstemperatur, K (τ r ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
τrz , Trz
reduzierte Reorientierungstemperatur, bei der m z kritisch ist . . . . . . . . . . . . . . . . 55
xy
xy
τr , Tr
reduzierte Reorientierungstemperatur, bei der m xy kritisch ist . . . . . . . . . . . . . . . 55
∆τr
reduzierte Breite von FMϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
τm
reduzierte Temperatur, bei der ∆s(τ m ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
τw
reduzierte Temperatur, bei der ∆c(τ w ) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
U
innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
∆u
uλ
V ( L)
v
Differenz der inneren Energie pro Spin ∆u = u k − u⊥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Eigenvektoren der H ESSEmatrix C 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Abkürzung für V ( L) = −K4 ( L, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Abkürzung für v = C ⊥ · u0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
W (r )
Dipoltensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
W̃G
über die Plätze von G summierter effektiver Dipoltensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
W̃( L, r )
über ein periodisches System summierter effektiver Dipoltensor . . . . . . . . . . . . 29
ω
Dipolkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Ω( L)
effektive Dipolsumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
ξ
Vektorieller Variationsparameter ξ = (ξ 1 , ξ2 , . . .) mit ξ i = (ξi , ξi , ξi ) . . . . . . . 46
ξ̃
ein stationärer Punkt des gestörten Systems, auch explizit ξ̃ () . . . . . . . . . . . . . . 47
ξ̃ 0
ein stationärer Punkt des ungestörten Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
zδ
Anzahl nächster Nachbarn, die ein Spin in Schicht λ in der Schicht λ 0 = λ + δ
hat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
z̃λ
Koordinationszahl der Spins in Schicht λ, z̃λ = ∑µ z|µ −λ | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
x
y
z
z
Matrix der effektiven Anzahl nächster Nachbarn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
z̃eff ( L)
effektive Anzahl nächster Nachbarn z̃eff ( L) = 3Tc ( L)/ J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Z( T )
Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
170
Stichwortverzeichnis
Äquilibrierung, 88, 91, 93
Akzeptanzhäufigkeit, 84, 85, 90
Algorithmus
Cluster-, 87
M ETROPOLIS-, 83, 87
S WENDSEN -WANG-, 87
W OLFF-, 87
Anisotropie
-faktor aλ (τ ), 106
Form-, 2
Oberflächen-, 6, 14
totale – K (τ ), 16, 100
Volumen-, 6
Austauschwechselwirkung, 5, 8
Autokorrelationsfunktion Γ zz (t), 88
Autokorrelationszeit τ , 88
Conjugate Gradient-Verfahren, 53
C URIEtemperatur, 11, 12, 85, 99, 103,
111, 133
C URIE -W EISS-Gesetz, 57, 64
Basisvektor, 25
B ERNOULLIzahlen Bk , 43
B ESSELfunktion, modifizierte – Kn ( x),
30, 42, 145
B LOCHwand, 118
B OGOLIUBOVungleichung, 46
B OLTZMANN
-konstante kB , 3
-verteilung, 2
Eigenvektor, 57, 73
Eigenwert, 5, 37, 49, 53, 57, 58, 68, 73
Elektronenbeugung, 1
Elektronenmikroskop, Rastertunnel-,
1
Elektronenspektroskopie, spinpolarisierte,
14
Elementarzelle, 34
Energie
freie, 3
innere, 116
Entropie, 115
ergodisch, 79, 80
Cluster
-Algorithmus, 87
-Spinflip, 87
Co/Au(111), 15, 58
Dipol
-charakteristik, 20, 36
-konstanten, 4
-summen, 144
-tensor, 4, 8
-wechselwirkung, 2, 4
D IRICHLETsche Reihe, 21
Dispersionsrelation ω(k), 10
Divisorfunktion σk (n), 21, 42
Domänen, 2, 16
Streifen-, 13, 36, 41
171
Stichwortverzeichnis
Erwartungswert, thermodynamischer,
79
erzeugende Funktion, 21
E ULER
-M ACLAURIN sche Summenformel,
42
-sche Konstante γ , 43
Fe-artig, 14
Fe/Ag(100), 15, 69, 70, 73
Fe/Cr(001), 17
Fe/Cu(100), 14
ferromagnetische Resonanz, 1, 16
finite size scaling, 95
FMR, 1, 16
F ORTUIN -K ASTELEYN -Transformation,
87
F OURIER transformation, 42, 144
freie Energie, 3
Frustration, 28
G AUSSfunktion, 94
G IBBSsche freie Energie, 3
Gitter
-konstante a0 , 4
-summe ΦG (s), 20
-vektor, 24
Dreieck- G4 , 24
Honigwaben- G , 24
K AGOMÉ- G , 26
Quadrat- G , 23, 41
Unter-, 25, 26
globaler Spinflip, 87
GMR, 1
G OLDSTONEmoden, 10
Gradientenverfahren, 53
Grundzustand, 36
-energie, 38, 43, 45
GSF, 87
172
H AMILTON
-funktion, 3, 7
-operator, 108
H EISENBERG modell
klassisches, 7
quantenmechanisches, 12
H ESSEmatrix, 37, 49, 53, 68, 72, 153
Histogramm, 80
homogenes System, 39, 103
H UBBARDmodell, 108
Hysterese, 58, 63, 68
inkommensurabel, 17
I SINGmodell, 79, 86, 106
K ERReffekt, 1, 2, 15
KKR, 16
Koerzitivfeld, 69
kohärente Rotation, 120
konjugiertes Feld, 79
Kontinuumstheorie, 33
Koordinationszahl, 6
Korrelationslänge, 11
K ORRINGA -K OHN -R OSTOKER-Methode,
16
kritischer Exponent β, 106, 132
L ANDAUtheorie, phänomenologische,
13
Laser, 2
LDA, 6, 16
LEED, 1
L EGENDREpolynome Pn ( x), 5
lokale Dichtenäherung, 6, 16
Magnetometrie, 1
MBE, 1
MCS, 84
M ERMIN -WAGNER -Theorem, 10
metastabil, 69
Stichwortverzeichnis
M ETROPOLISalgorithmus, 83, 87
Mittelwerte, benutzte, 78
M ÖSSBAUER spektroskopie, 1, 16
MOKE, 1
Molekularstrahlepitaxie, 1
Monolage, 38, 41
Monte Carlo
-Schritt, 84
-Simulation, 12, 78
multikritischer Punkt MKP, 66
Multilagen, 1
Periodizitätsvolumen L, 28, 84
Perkolation, 87
P LANCKsches Wirkungsquantum h̄, 10
Produkt
äußeres, 166
direktes, 29, 166
inneres, 166
Skalar-, 166
Projektor, 166
Pseudoinverse, 121
Pseudozufallszahl, 83
nächster Nachbarabstand a nn , 4
Neutronenstreuung, 17
Ni-artig, 16
Ni/Cu(001), 16, 17, 75, 129, 134, 135,
139
Nichtkollinearität, 134
Rauhigkeit, 1
Oberflächen-, 14
Rechenzeit, 93, 96
reentrant-Verhalten, 60, 118
Renormierungsgruppentheorie, 11
RHEED, 1
Riesen
-groß, 44
-magnetowiderstand, 1
Rotationsinvarianz, 87
Ordnung
-parameter, 79, 81
langreichweitige, 10
Ortsraum, 9, 57, 129
Packungsdichte, 33
PADÉapproximation, 104, 109
Parametersätze P , 9
Parametersatz
PL=2 , 9, 40, 54–56, 58–66, 75, 97,
103, 104, 109, 124, 126, 127
Dλ
PL=2 , 9, 39, 40, 59, 66, 124
PFe , 9, 44, 70, 74, 107, 109, 112, 113,
117, 124, 125, 127, 133
a
PL=1 , 9, 66–68, 91
PLb =1 , 9, 85, 88, 91, 92, 95, 96
PNi , 9, 44, 70–72, 76, 107, 109, 112,
114, 117, 124, 125, 127
exp
PNi , 9, 135
kfz
PNi , 9, 124, 135
PAULIprinzip, 8
Scharmittel, 79
SEMPA, 16
SFV, 84
SMOKE, 15
spectral-density approach, 108
Spektraldichtenäherung, 108
spezifische Wärme, 13, 116
Spin
-operator, 108
-raum, 57
-variable, 4
Spindichtewelle, 17
Spinflip
-dynamik, 79, 83, 86, 95
-versuch, 84
Spinraum, 9
Spinwellentheorie, 10
173
Stichwortverzeichnis
SQUID, 1
Störparameter , 90, 100, 119
stationärer Punkt ξ̃ , 37, 47, 52
STM, 1
Streifendomänen, 13, 36, 41
Streufeld, 2
Suszeptibilität χ, 50, 63
S WENDSEN -WANG-Algorithmus, 87
Symmetrie, 36, 51, 130
-brechung, 79
Inversions-, 71, 79
kubische, 6
Spiegel-, 19, 129
Spininversions-, 81, 86
TAYLORentwicklung, 101, 110
[Tb/Fe]n , 16
Temperatur
C URIE– Tc , 52
inverse – β, 3, 52
reduzierte – τ , 52
tetragonale Verzerrung, 6, 16
totales Differential, 50
Translationsinvarianz, 36
Ultrahochvakuum, 1
Universalitätsklasse, 60, 62
Vakuumpermeabilität µ0 , 4
W OLFFalgorithmus, 87
Workstation, 93, 96
Zeitmittel, 79, 80
Zetafunktion
H URWITZ sche – ζ (s, a), 22, 30
R IEMANN sche – ζ (s), 21
Zustandssumme, 3, 151
174
Danksagung
Zunächst danke ich Prof. Dr. K. D. Usadel für die Unterstützung und die vielen
fruchtvollen Diskussionen, die mit zum Entstehen dieser Arbeit beigetragen haben.
“Danke!” auch an Dr. Sven Werner Helmut Lübeck, Dr. Ralf Meyer, Dipl.-Phys.
Michael Staats und Dr. Marianne Schröter für viele spannende und hilfreiche
Diskussionen.
Mein besonderer Dank geht an Prof. Dr. Michael Farle und Prof. Dr. K. Baberschke
für viele interessante Impulse aus dem Reich der Experimentalphysik.
Den Mitarbeitern der theoretischen Tieftemperaturphysik danke ich für die abwechslungsreiche Arbeitsatmosphäre.
Der Deutschen Forschungsgemeinschaft danke ich für die teilweise Förderung der
Arbeit im Rahmen des Sonderforschungsbereiches 166.
SvenC, Kristine und Janne quälten sich durch diverse Rohfassungen dieser Arbeit
und sprechen trotzdem noch mit mir. Tack.
Weiterhin geht mein anonymer Dank an die unzähligen Leute, die durch die Entwicklung von frei verfügbarer Software wie der Programmiersprache perl, dem
Textsatzsystem TEX/LATEX/LYX mit GhostScript oder dem Grafikprogramm XMgr
zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben.
Meinen Eltern Lilli und Alfred Hucht danke ich für ihre Unterstützung.
Schließlich danke ich Kristine und Lennart für alles.
Duisburg, im August 1999
175
