Magnetism and Superconductivity ¨Ubung 9

Magnetism and Superconductivity
Übung 9
SS2010 Universität Bonn
Abgabetermin: Mittwoch, 30.06.2010
Bitte in den Kasten neben Raum 206 im HISKP einwerfen.
Aufgabe 9.1: Kurzfragen (5 Punkte)
(a) Welche Energien bestimmen in einem Ferromagneten die Bildung und Größe von Domänen?
(b) Was passiert mit den Domänen, wenn man einen Ferromagenten sehr klein macht (≈ 100 nm)?
(c) Was ist die Ursache für die Hysterese von Ferromagneten?
(d) Was ist der Unterschied zwischen Néel- und Bloch-Wänden?
(e) Was ist ein Magnon?
Aufgabe 9.2: Landau-Theorie magnetischer Phasenübergänge (9 Punkte)
In der Umgebung eines Phasenübergangs kann man die freie Energie F nach dem Ordungsparameter
entwickeln. Im Falle eines Ferromagneten ist der Ordnungsparameter die Magnetisierung M . Ohne Anisotropie und externe Felder nimmt die freie Energie die folgende Form an:
F (M, T ) = F0 + a(T )M 2 + b(T )M 4
(1)
Dabei sind a(T ) und b(T ) temperaturabhängige Konstanten. Im Folgenden soll aus der Form der freien
Energie auf das Temperturverhalten der Magnetisierung geschlossen werden.
(a) Warum tauchen in der freien Energie keine ungeraden Potenzen von M auf?
(b) In der Nähe des Phasenübergangs kann man a(T ) und b(T ) um T entwickeln. In niedrigster Ordnung
ist a(T ) = a0 (T − TC ) und b(T ) = b0 , wobei TC die Temperatur des Übergangs in die ferromagnetische Ordnung beschriebt. Begründe jeweils, warum a0 > 0 und b0 > 0, wenn die Entwicklung in
Gleichung (1) ausreichen soll, um den Phasenübergang bei TC zu beschreiben.
(c) Berechne die Magnetisierung M (T ), welche die freie Energie minimiert und skizziere deren Temperatuverhalten.
(d) Skizziere die freie Energie F (M ) oberhalb, bei und unterhalb der Ordnungstemperatur TC . Wie
erhält man aus diesen die Magnetisierung M (T )?
(e) Transformiere F (M, T ) durch Ersetzen von M durch M (T ) in F (T ). Skizziere den Verlauf von
F (T ) und ∂F
∂T (T ). Was bedeutet dies für die Ordnung des Phasenübergangs?
Legt man ein Magnetfeld an, so gibt es einen zusätzlichen Beitrag −µ0 HM :
F = F0 + a0 (T − TC )M 2 + bM 4 − µ0 HM
(f) Zeige, dass dann in diesem Fall M 2 = u + vH/M gilt und bestimme die Konstanten u und v.
(g) Beim Arrott-Plot trägt man M 2 gegen H/M auf. Skizziere diesen Zusammenhang für Temperaturen
T > TC , T = TC und T < TC . Erkläre, wie man mit dieser Methode die Übergangstemperatur TC
bestimmen kann.
(h) Für kleine Felder H beobachtet man im Arrot-Plot für T < TC Abweichungen von M 2 = u+vM/H.
Was könnte der Grund hierfür sein?
Falls der Parameter b(TC ) < 0 reicht die Entwicklung (1) nicht aus und es müssen in der freien Energie
höhere Terme berücksichtigt werden. Im folgenden Fall ist die Entwicklung von F (M ) (ohne angelegtes
Feld) bis yur Ordnung M 6 unter-, bei und oberhalb der Übergangstemperatur dargestellt.
(i) Bestimme aus den Diagrammen das Temperaturverhalten von M (T ) und skizziere dieses. Welche
Ordnung hat dieser Phasenübergang?
Aufgabe 9.3: Domänenwände (6 Punkte)
Im Folgenden soll die Breite δ = N a einer Bloch-Wand abgeschätzt werden. Dazu nehmen wir an, dass
sich die Ausrichtung der magnetischen Momente über eine Kette von N Spins um 180◦ dreht.
(a) Die Austauschenergie zwischen zwei benachtbarten Spins ist Ei,j = −2JSi · Sj = −2JS 2 cos(θ).
Wenn N hinreichend groß ist, ist der Winkel θ klein und kann entsprechend genähert werden. Zeige,
2
2 2
dass die Energie der Spinkette durch die Spindrehung EAustausch = ΣN
i=1 (Ei,i+1 − (−2JS )) = JS π /N
ist.
(b) Anisotropie bestimmt die im Kristall bevorzugten
Richtungen für magnetische Ausrichtung und beeinflußt so auch die Energie einer Domänenwand. Betrachte den einfachsten Fall einer magnetisch einfachen Achse. Der Energiebeitrag durch die Anisotropie ist dann pro Spin EAniso = a3 K sin2 (φ) mit
K > 0 und φ dem Winkel zur leichten Achse.
3
Zeige, dass die Anisotropie-Energie der oben betrachteten Kette aus N Spins EAniso = N Ka
ist.
2
Hinweis: Da N hinreichend groß ist, kann die Summe über die Spins durch ein Intergral über φ
angenähert werden.
(c) Die Gesamtwandenergie pro Wandfläche σBW ist dann die Summe aus den beiden genannten Beiträgen:
E
π2
N Ka
σBW = 2 = EAustausch + EAniso = JS 2
+
2
a
Na
2
Was gilt für die Anzahl der Spins N und dementsprechend für die Wandbreite δ = N a, wenn jeweils
die Austausch- oder die Anisotropieenergie σBW dominieren?
(d) Bestimme die Größe von N und damit die Domänenbreite δ = N a in Abhängigkeit von Austausch
J und Anisotropie K durch Minimierung von σBW .