Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

Fachwissenschaftliches Seminar
zur Zahlentheorie
Vortragsunterlagen zu:
„Eigenschaften der Fibonacci-Folge“
Die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . ., bei der jedes Folgenglied Summe seiner beiden Vorgänger ist, ist eine der einfachsten und gleichzeitig in Mathematik, Naturwissenschaften,
aber auch Kunst und Architektur prominentesten rekursiven Zahlenreihen. Wird werden
einige der wichtigsten arithmetischen Eigenschaften dieser Folge kennenlernen.
I.11 Die Folge der Fibonacci-Zahlen
Der euklidische Algorithmus zur Berechnung des ggT zweier natürlicher Zahlen
führt schnell zum Ergebnis, wenn ma^nin jedem Schritt ein recht großes Vielfaches des jeweiligen Divisors abspalten kann. Extrem ungirnstig ist also der Fall,
daß in jedem Schritt nur das 1-fache des jeweiligen Divisors abzuspalten ist, wo
also die Zahlen u; (0 ( i 1n - 1) in der Darstellung in I.6 alle 1 sind. Ftrr die
Reste gilt dann
r i : r i + l * r ; + z ( i : 1 ,. . . r n - 2 ) .
Dieser ungturstige Fall tritt z.B. beim euklidischenAlgorithmus für a : 2t, b:
13 ein:
2I:1
13:1
8:1
5:1
3-1
,-,
13+8
8+5
5+3
3+2
2 +1
1
Die zugehörigeKettenbruchentwicklungist
).1
2l
:
: [ 1 ,1 , 1 1
t , 1 ,r , 1 , , 2 )b z w .
, , 11
, ,1],
Lg [1,
fr
wobei in der zweiten Darstellung ausnahmsweisedie Zahl 1 als letzter Nenner
erlaubt sei. Hier ist der Anfang einer Folge natürlicher Zahlen aufgetreten, mit
welcher wir uns nun näher beschäiftigenwoilen.
Die Folge {ll"} mit Fl - F2 - 1 und Fn+2 :
FrsoNeccrFolge. Sie beginnt mit
F,+r * F'" für n € IN heißt
1 , , L , 2 , 3 , 5 ,183, r 2 r , 3 4 , 5859, , L 4 4 , 2 3 3 , , 3.7. .7 , .
Sie geht auf eine Aufgabe zurück, die FtsoNACCI im Liber abbaci unter der
Überschrift Quot paria coniculorum in uno anno er uno pario germinentur
gestelit hat; sie lautet sinngemäß: Wie viele Kaninchenpaare stammen am Ende
eines Jahres von einem Kaninchenpaar ab, wenn jedes Paar jeden Monat ein
neues Paar gebiert, welches selbst vom zweiten Monat an Nachkommen hat ?
(Einschließlich des ersten Paares gibt es nach einem Jahr 377 Kaninchenpaa,re.)
Die Definition der FtsoNlcct-Zahlen kann man auch mit Hilfe von Matrizen ausdrücken, wodurch sich diese Zahlen als die Zfiler und Nenner der
Näherungsbrüchedes Kettenbruchs [1,IJ zu erkennen geben (vgl. I.8):
(fi; f,.'):(i ä)(ä.'
?^_,),
setzt man noch lls :0,
3*
dann ist also für alle n € INo
(x::fr.'):
(i ä)".'
I T e i l b a r k e igt a n z e rZ a h l e n
68
Der folgende Satz ist der Schlüssel zur Untersuchung der Eigenschaften der
FtsoNnccl-Zahlen.
Satz 30: Für alle rn, n € IN mit rn > 1 gilt
F^+r:F*-rFn*F^Fn+r'
Beweis:
(F^*.*,
\F-*,*,
F'^+n*t\
F*+n
)
-:
(t
1\-*"*'
o)
\t
:
:
/ t t^ l\t-- : l/ r 1 \ " * '
l\10)
\101
/ F**, F^
\ i a*,
[ ,;
'r,-'\ rl'
r"*t
F^-,/\ CJ;
)
Satz 31: Für alle m, n € II'{ gilt:
a) F^. ist durch .tl, teilbar.
b) ggT(fl" tFn+r) : t.
c) Ist ggT(rn, n) : d, dann ist ggT(f'- , Fn) : Fa.
Beweis: a) Die Behauptung ist für n : 1 offensichtlich richtig. Wir schließen
induktiv, wobei n die Induktionsvariable sei: Nach Satz 30 giit
Fmln+t\: F^n+n : Fn -rF* + F^nF^+t,
wegen F^ | F*n (Induktionsvoraussetzung)ergibt sich also F^ | F^fu+t).
b ) E s g i l t g g T ( F ' l, F r ) : 1 . A u s g g T ( f ; ' F " + t ) : 1 f o l g t
BBT(fl+r , Fn+2;: ggT(f""+r, r',+r + 4)
c) Ist n 1-m und rn :un
Satz 30
F^:
*r
: ggT(F"+r, F') : 1.
mit 0 ( r < n (Divisonmit Rest),dann ist nach
Frn+, :
Frn-tF,
{
FrnFrlr'
: ggT(F,n-tF,,Fn).Nach
Wegen fi
I F,^ gilt ggT(F-,f-)
:
ggT(F""-r , Fu,.) 1, daher auch ggT(F,"-r , F,-) : 1 und somit
b) gilt also
sgT(f; , Fn): ggT(l+,,F.)'
Führt man den euklidischen Algorithmus zur Berechrrung von ggT(rn,n') : d
durch, dann ergibt sich also
ggT(tr;, F^):
g g T ( F d , 0 ): F a . C I
Aus Satz 31 erhdlt man sofort folgende Aussagen:
1 . 1 1D i e F o l g ed e r F i b o n a c c i - Z a h l e n
69
(1) Genau dann gilt f;
I Fr,, -"nn mlk gilt.
(2) Sind m und n teilerfremd, dann gilt F^F^ | F^n.
Satz 32: Für alle n e IN gilt:
a) In:Fn+z-
r
i=l
b)
I4'
: FnFn+r
z=l
c)
F n F n + z- F ] * r :
d)
r3 + FT+r: Fzn+t
e)
F3*, - F2 :
(-1;"+t
Fzn+z
Beweis:
a),F1*FzlF.+...+f;
: ]l1+ (rr - rr) + (Fn-rr) +... + (f; - Fn-z)* (4,*' - F,-t)
- -Fz + F. + Fn+t : Fn*z - I.
b) Wegen Fl : Fn(F.+t - Fn-t) :
FnFn+t - Fn-ttrl für n ) I ergibt sich
F? +F ; +F 3 + . .+ F :
: 1 * (FrF, - &Fz)+ (rrli _ FzFs)+... + (F.F,+r_ F^_rF.)
- 1 - FrFz 1- FnFn+t : FnFn+r.
c) Es gilt
FnFn+zF3*,:der
(?::
(_r;n+r
fr.' ):d", ( 1 ä)".':
d) Aus c) folgt für n ) 1 mit Hilfe von Satz 30
Fl + Fl*t
:
:
F n - ' t F n + r +( - 1 ) " * F n F n + z * ( - t ; " + t
Fn-t Fn+r * FnEn+z: Fn*(n+t): Fzn+t.
Für n : 1 ist die Behauptung offensichtlich auch richtig.
e) Diese Behauptung ergibt sich in gleicher Weise wie d).
Die Aussagein Satz 32 b) wircl für n:
n :2k - 1 liefert Satz 32 c) die Formel
F]*:
tr
6 durch Fig.1 veranschaulicht.Für
F z * - r F z * + r- 1 '
Auf dieser Formel beruht der bekannte geometrische Trugschluß, man könne
eine Quadrat der Kantenlänge 8 (allgemein .F.rt)ir ein flächeninhaltsgleiches
Rechteck mit den Kantenlängen 5 und 13 (allgemein Fr*-, und F2611)verwandeln (vgl. Fig.2).
I T e i l b a r k e igt a n z e rZ a h l e n
70
1
r
g2
22
82
8
b'
13
Fig.1
Fig.2
Wir haben die Betrachtung der FrsoNacct-Zahlerr zu Anfang dieses Abschnitts mit der Feststellung begonnen, daß der euklidische Algorithmus offenbar besonders lange dauert, wenn er auf benachbarte FtsoNaCCl-Zahlen
angewandt wird. Nun wollen wir untersuchen, wie die Anzahl der Schritte in
euklidischen Algorithmus für a, ä e IN abzuschätzenist. Der folgende Satz geht
auf G.q.sRIBl Lnuf (1795-1870) zurück (vgl. auch [Heaslet/Uspensky1939],
[Lüneburg 1987]).
Satz 33: Für a,b e IN mit a > b sei u.r(c,ö) die Anzahl der benötigten Divisionen
mit Rest im euklidischen Algorithmus, ferner habe ö im Zehnersystem s(b)
Stellen. Dann gilt
u(a,b) < 5's(b).
Beweis: Zunächst zeigen wir, daß für jedes k g IN mindestens vier und höchstens fünf ft-stellige FTnoNACCI-Zahlenexistieren. Dies ist für k : 1 richtig,
wenn man die einzige doppelt auftretende FtsoNncCr-ZahI1 nur einfach zählt
1,2,3,5,8sind alle einstelligenFtSONeCCI-Zahlen.Es sei nun k > 1 und die
Behauptung gelte frir k. Es sei .tl die kleinste FtsoNacct-Zahl mit mehr als k
Stellen. Dann ist
1 . 1 1D i e F o l gede r F i bo n a cci - Z a h l e n
77
F,.:F,.-r+Fn-z
Fr,+r:Fn+Fn-r
Fn+2:Fn+r+Fn
F"+a:Fn+2+F*+r
Folglich sind "FL, Fn1rt Fn+2t F"+s (k * 1)-stellig, es gibt also mindestens vier
(fr + l)-stellige FtnoNACCI-Zahlen. Andererseits gilt wegen 10k < Fn : F,-r *
Fn-z 12Fn-t die Beziehung F,.-r t ä . f O*. Es folgt
1o r + ä . t o o :
.F"+r:F,-+.F"-r
i.too +
Fn+z:Fn+t+Fn
1 0 f r:
i. t o * ,
;.10*,
i.tot + 3.to* : 3.to*,
;'10* + i.to* :1u.too,
f.10* + 3.to* : T.tor.
F"+t:Fn+2+Fn+r
Fn+q:F'+s+Fn*2
Fn+s:Fn+a+Fr+s
Also ist F*+s ) 1ga+t, so daß .t',,15mindestens (fr + 2)-stellig ist. Damit ist gezeigt, daß es auch mindestensvier und höchstensfrinf (/c+1)-stellige FtnoNacctZahlen gibt.
Ist nun tri ,t-stellig, dann ist n ( 5fr + 1, wie wir jetzt zeigen wollen: Die
Aussage ist wahr für k : 1, denn ,t'6 - 8 und Fz - 13. Wir nehmen an, die
Aussage sei für k > I wahr. Ist .tl-. nun (h * 1)-stellig: so ist ,Fl"-s höchstens
ß-stellig,also gilt n -5 < 5k + 1. Daraus folgt dann n I 5k*6 : 5(,b+ 1) + 1.
Es sei nun F]" < b < F,,+r.Wir zeigenmit Hilfe vollständiger Induktion über
ä, daß dann w(a,,b) ( n gilt. Für ö : 1 ist das richtig. Für b > 1 sei r der Rest
von d bei Divison durch b. Dann ist
w(a,b):w(b,r)+i.
Ist r ( ,F|, dann ist nach Induktionsannahme w(b,r) L n - 1, es ergibt sich in
diesem Fall also ut(a,b) ( n. Ist F^ 3 r < b ( F"+r, dann betrachten wir den
Rest s, den ä bei Division durch r läßt: Es gilt s ( F,-r, denn wäre s ) Fn-t,
dann wäre
F"+r ) b: Qr*s ) r+s > f], + F,.-r: I,,+r,
also s : F''-:.,t r : fl und b :
u(r,s) 1n- 2unddamit
Fn+r. Folglich ist nach Induktionsannahme
w(a,b):w(r,s)+2(n.
Gilt also Fn 1ö ( F,+t und ist fl" ,t-stellig, dann gilt
w(a,b)(n(5fr<5."(b).
Damit ist der Beweis von Satz 33 abgeschlossen. D