Mathematik II für Informatiker — Sommer 2017 ¨Ubungsblatt 9

Mathematik II für Informatiker — Sommer 2017
Übungsblatt 9
PD Dr. Markus Junker.
Verantwortlich für die Übungen: Dr. Andrea Korsch ([email protected])
Aufgabe 1
(4 Punkte)
Betrachte die (nicht kommutative) Gruppe D4 der Symmetrien des Quadrats mit Eckpunkten
(1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1) im R2 . (Rotationen und Spiegelungen, welche das Quadrat in sich
überführen). Das Gruppengesetz ist wiederum durch die Hintereinanderausführung von Abbildungen gegeben. Sei σ die Rotation um 90 Grad (gegen den Uhrzeigersinn) und τ die Spiegelung an
der x-Achse. Diese Elemente erzeugen D4 :
1
Identität
σ
Rotation um 90 Grad
2
σ
Rotation um 180 Grad
σ3
Rotation um 270 Grad
τ
Spiegelung um die x-Achse
στ
Spiegelung an der Hauptdiagonalen
σ 2 τ Spiegelung an der y-Achse
σ 3 τ Spiegelung an der Nebendiagonalen
Hier haben wir z.B. ”‘ στ ”’ für die Hintereinanderausführung σ ◦ τ geschrieben. Dies bedeutet,
dass zuerst τ und dann σ ausgeführt wird.
Es gelten die Relationen σ 4 = 1, τ 2 = 1 und τ στ = σ 3 . Mit Hilfe dieser Relationen lassen sich alle
Ausdrücke in σ und τ wieder auf eine der 8 Formen in der Tabelle bringen.
Bestimmen Sie alle 10 Untergruppen von D4 und geben Sie die Ordnungen aller 8 Elemente an.
Aufgabe 2
(6 Punkte)
Der euklidische Algorithmus
Für gegebene a, b ∈ N mit a > b > 0, suchen wir ggT(a, b). Seien r0 := a, r1 := b. Im Schritt i + 1
des induktiven Algorithmus seien ri , ri−1 ∈ N bereits bekannt und wir berechnen ri+1 ∈ N durch
ri−1 = qi · ri + ri+1 ,
wobei qi ∈ N das Ergebnis und ri+1 der Rest der Division von ri−1 durch ri ist.
In jedem Schritt i + 1 gilt entweder ri+1 = 0, oder 0 < ri+1 < ri , also kommt dieser Algorithmus in
endlich viele Schritten bei 0 an. Sei N ∈ N der größte Index mit rN > 0. Dann gilt rN |rN −1 .
(a) Zeigen Sie, dass ggT(ri , ri−1 ) = ggT(ri−1 , ri−2 ) für alle i ∈ N mit i ≤ N gilt, und dass
rN = ggT(a, b).
(b) Zeigen Sie, dass man aus den Konstanten qi und ri durch Rückwärts-Einsetzen eine Darstellung ggT (a, b) = k · a + l · b erhält mit k, l ∈ Z.
(c) Beweisen Sie, dass ggT (a, b) definiert werden kann, als die kleinste positive natürliche Zahl
n ∈ N, s.d. es zwei ganze Zahlen k, l ∈ Z gibt, mit n = k · a + l · b.
(d) Wenden Sie den euklidischen Algorithmus auf die Zahlen 26 und 42 an, und finden Sie eine
Darstellung
k · 26 + l · 42 = ggT(26, 42).
mit ganzen Zahlen k und l. Geben Sie alle Zwischenschritte an.
Aufgabe 3
Betrachten Sie die Gruppe (Z, +). Zeigen Sie, dass für k, l ∈ Z gilt:
(a) hk, li = hggT(k, l)i,
(b) hki ∩ hli = hkgV(k, l)i.
Dabei bezeichnet hx1 , ..., xn i die von {x1 , ..., xn } erzeugte Untergruppe von (Z, +).
Abgabe 05.07.17 vor der Vorlesung.
(2 Punkte)