Einführung in Quantitative Methoden
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Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Mai 2011 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 1/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Poisson-Verteilung I Diese Verteilung beschreibt ZV, die alle natürliche Zahlen und 0 annehmen können I Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) = λk e −λ k! für k = 0, 1, · · · , ∞ I λ ist der Parameter der Poisson-Verteilung und kann jede reelle positive Zahl sein I Erwartungswert und Varianz E [X ] = λ Waldherr / Christodoulides σ2 = λ Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 2/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Poisson-Verteilung I Poisson-Verteilung ist Grenzverteilung der Binomialverteilung bei n → ∞ und p → 0 unter der Nebenbedingung, dass np = λ beschränkt bleibt I Poisson-Verteilung kann als gute Approximation für die Binomialverteilung bei großem n und kleinem p verwendet werden I Poisson-Verteilung beschreibt seltene Ereignisse I Anwendung bei binomialverteilter ZV mit unbekanntem oder großem n (leichtere Berechnung) und kleinem p Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 3/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Poisson-Verteilung Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 4/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Poisson-Verteilung I Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient die Injektion eines Serums nicht verträgt sei 0.001. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 200 Patienten mehr als 1 die Injektion nicht vertragen? I Wahrscheinlichkeiten (Poisson-Verteilung) I E [X ] = λ = (200)(0.001) = 0.2 P(X = 0) = 0.20 e −0.2 = 0.818731, P(X = 1) = 0.163746 0! P(X > 1) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 0.017523 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 5/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Poisson-Verteilung I Wahrscheinlichkeiten (Binomialverteilung B(200, 0.001)) 200 P(X = 0) = (0.001)0 (1 − 0.001)(200−0) = 0.818649 0 P(X = 1) = 0.163894 P(X > 1) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 0.017458 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 6/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Poisson-Verteilung I Beispiel: In einer Telefonzentrale kommen in einer Minute durchschnittlich 3 Gespräche an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen in einer Minute mehr als 3 Gespräche an? I Denkt man sich eine Minute in n gleiche Zeitabschnitte zerlegt, die so klein sind, dass in jedem Abschnitt höchstens ein Gespräch ankommen kann, so liegt eine Binomialverteilung B(n, n3 ) vor I n ist unbekannt ⇒ Poissonverteilung mit λ = 3 P(X > 3) = 1−P(X = 0)−P(X = 1)−P(X = 2)−P(X = 3) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 7/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Poisson-Verteilung I P(X = 0) = 30 e −3 = 0.0498 0! P(X = 1) = 31 e −3 = 0.1494 1! P(X = 2) = 32 e −3 = 0.2240 2! P(X = 3) = 33 e −3 = 0.2240 3! I I I I P(X > 3) = 1 − 0.0498 − 0.1494 − 0.2240 − 0.2240 = 0.3528 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 8/40 Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Geometrische Verteilung I Wir führen eine Serie von Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen, ’Erfolg (1)’ und ’Misserfolg (0)’, so lange durch bis wir den ersten Erfolg haben I Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p I Variante 1: Unsere ZV X erfasst die Anzahl der Durchführungen bis zum ersten Erfolg (Anzahl der Versuche, die notwendig sind, bis zum Erfolg) P(X = k) = p(1 − p)k−1 E [X ] = Waldherr / Christodoulides 1 ; p für k = 1, 2, · · · , ∞ σ2 = 1−p p2 Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 9/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Geometrische Verteilung I Beispiel: Würfeln einer 6, p = 1/6 I P(6 beim 1. Wurf): P(X = 1) = p = 1/6 P(6 beim 2. Wurf): P(X = 2) =? I I I I 1. Wurf keine 6: P(keine 6 beim 1.Wurf) = (1 − p) = 5/6 P(6 beim 2.Wurf) = p = 1/6 P(X = 2) = p(1 − p) = 1/6 × 5/6 = 5/36 = 0.14 I allgemein: P(X = k) = p(1 − p)k−1 I E (X ) = 1/ 61 = 6 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 10/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Geometrische Verteilung I Variante 2: Unsere ZV Y erfasst die Anzahl der Misserfolge bis zum ersten Erfolg (Anzahl der Fehlversuche vor dem Erfolg) P(Y = k) = p(1 − p)k E [Y ] = E (X ) − 1 = Waldherr / Christodoulides für k = 0, 1, 2, · · · , ∞ 1−p ; p σ2 = 1−p p2 Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 11/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Geometrische Verteilung I Anwendung bei der Analyse von Wartezeiten bis zum Eintreffen eines bestimmten Ereignisses I Lebensdauerbestimmung von Geräten und Bauteilen, d.h. dem Warten bis zum ersten Ausfall I Rückfälle bei Suchterkrankungen I Bestimmung der Anzahl häufiger Ereignisse zwischen unmittelbar aufeinanderfolgenden seltenen Ereignissen wie z.B. Fehlern I Bestimmung der Zuverlässigkeit von Geräten Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 12/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung I Aus einer Gesamtheit von N Elementen, wobei A (A ≤ N) markiert sind, wird zufällig eine Stichprobe von n (n ≤ N) Elementen ohne Zurücklegen entnommen I Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl a von markierten Elementen vor? A N−A P(X = a) = A E [X ] = n N Waldherr / Christodoulides A σ =n N 2 a n−a N n N −n A 1− N N −1 Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 13/40 Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Hypergeometrische Verteilung I Beispiel: Lotto 6 aus 45 N = 45 Kugeln (=Zahlen) insgesamt, A = 6 Kugeln sind ’markiert’ (d.h. am Lottoschein angekreuzt), n = 6 Kugeln werden gezogen (ohne Zurücklegen). Die einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch die Hypergeometrische Verteilung 6 39 20 · 9139 = 0.022 P(X = 3) = 3 453 = 8145060 6 P(X = 6) = Waldherr / Christodoulides 6 6 39 0 45 6 = 1 = 0.000000123 8145060 Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 14/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion Beispiel Lotto Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 15/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Hypergeometrische und Binomialverteilung I A Hypergeometrische Verteilung kann durch B(n, N ) angenähert n werden, wenn N ≤ 0.05 I Beispiel: In der Population der Personen mit Adipositas, die sich einer Magenbypass-Operation unterzogen haben, haben 10% einige Jahre nach der Operation (noch) eine Binge-Eating Störung (BED). In einer spezialisierten Klinik wurden in den letzten Jahren 1500 Personen operiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in einer Stichprobe von n = 50 Personen maximal eine Person mit BED zu finden? Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 16/40 Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Hypergeometrische und Binomialverteilung I Binomialverteilung B(50, 0.10) 50 P(X = 0) = 0.100 (1 − 0.10)50 = 0.005154 0 P(X = 1) = 0.028632, ⇒ P(X = 0) + P(X = 1) = 0.033786 I Hypergeometrische Verteilung, N = 1500, A = 150, n = 50 150 1350 P(X = 0) = 0 50 1500 50 = 0.004697 P(X = 1) = 0.027075 ⇒ P(X = 0) + P(X = 1) = 0.031771 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 17/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Normalverteilung (NV) I Die NV ist eine stetige Verteilung, die durch 2 Parameter µ und σ charakterisiert ist I Es sei X eine ZV die N(µ, σ 2 ) verteilt ist; X kann Werte zwischen −∞ und +∞ annehmen I Die Dichtefunktion φ(x) 1 φ(x) = √ σ 2π 1 − e 2 x −µ σ 2 I Geht x → ±∞ strebt φ(x) gegen 0 I φ(x) ist symmetrisch um µ, d.h. µ + a = µ − a (a = Konstante) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 18/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Normalverteilung (NV) I σ gibt den Abstand zwischen µ und den Wendepunkten der Dichtefunktion an I Wendepunkte an den Stellen µ ± σ I Wenn σ groß ist, ist die Verteilung breit und niedrig, wenn σ klein ist, ist die Verteilung schmal und hoch I Fläche unter φ(x) zwischen −∞ und +∞ ist gleich 1 I Die Fläche µ ± σ umfasst ca. 68% aller Fälle I Die Fläche µ ± 2σ umfasst ca. 95% aller Fälle I Es existieren unendlich viele NV durch beliebige Auswahl von µ und σ Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 19/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Normalverteilung (NV) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 20/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Standardnormalverteilung N(0, 1) I Spezielle NV für µ = 0 und σ = 1 (Gauß’sche Glockenkurve) I Verteilung der N(0,1) ist tabelliert; Fläche zwischen µ = 0 und einem beliebigen Wert z ist ablesbar (Tabelle 1c) Quantile der NV (Tabelle 1b) I I I 1 - Fläche rechts von einem Wert z, Fläche links von −z Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 21/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Standardnormalverteilung N(0, 1) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 22/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Standardnormalverteilung - Beispiel 1 P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0.3413 (Tabelle 1c) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 23/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Standardnormalverteilung - Beispiel 2 P(−1 ≤ Z ≤ 1) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 24/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Waldherr / Christodoulides Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 25/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung I Tabelle 1c: P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 2 × 0.3413 = 0.6826 I Tabelle 1b: P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 1 − 2 × 0.1587 = 0.6826 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 26/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Standardnormalverteilung N(0, 1) X −µ σ I Ist X N(µ, σ 2 ) verteilt dann führt die Transformation eine N(0, 1) Verteilung I Vorteil, da Quantile ablesbar (Tabelle 1b) I Beispiel: X ∼ N(11, 5.53). Wie hoch ist P(X ≥ 14.5)? z= auf 14.5 − 11 = 1.49 2.35 P(Z ≥ 1.49) = 0.0681 (Tabelle 1b) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 27/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Waldherr / Christodoulides Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 28/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Zentraler Grenzwertsatz I Große Zahl voneinander unabhängiger ZV Xi mit beliebiger, identischer Verteilung mit gleichem E (Xi ) = µ und Varianz Var(Xi ) = σ 2 I Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg & Levy (1922): Die Summe Y = X1 + X2 + . . . Xn ist asymptotisch normalverteilt mit E (Y ) = E (X1 ) + E (X2 ) + . . . E (Xn ) = nµ und Varianz σ 2 (Y ) = nσ 2 . I Für B(n, p) Satz von de Moivre und Laplace: Summe vieler Xi mit Bernoulli-Verteilung B(1, p) ist asymptotisch normalverteilt mit µ = np und σ 2 = np(1 − p). Voraussetzung: np ≥ 5 und n(1 − p) ≥ 5. Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 29/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Binomialverteilung Experiment mit zwei Ausgängen, z.B. Erfolg und Misserfolg. Die ZV K , Anzahl der Erfolge bei n Versuchen, ist binomialverteilt mit Parametern n und p, K v B(n, p) n k P(K = k) = p (1 − p)n−k für k = 0, 1, · · · , n k Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 30/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Beispiel: n = 10 Versuche, p(Erfolg) = 0.5, µ = 5, σ = 1.58 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 31/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung I I I Vorteil: Verwendung der Standardnormalverteilung N(0,1), da tabelliert p Berechnen von E (K ) = np und σ = np(1 − p), und überprüfen ob np ≥ 5 und n(1 − p) ≥ 5 Standardisieren der Variable (d.h. Berechnung des Standardmesswertes), auch z-Transformation genannt Z= I k −µ σ Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle der N(0,1) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 32/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung - Beispiel 1 I I I I n = 10 Versuche, p(Erfolg) = 0.5, µ = 5, σ = 1.58 Beispiel P(k ≥ 7) k = 7: Dem diskreten Wert 7 entspricht bei der stetigen NV das Intervall [6.5,7.5]. Stetigkeitskorrektur (Kontinuitätskorrektur) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 33/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II z= Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung 6.5 − 5 = 0.95 1.58 Tab. 1b: P(Z ≥ 0.95) = 0.1711 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 34/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Beispiel 2 n = 10 Versuche, p(Erfolg) = 0.5, µ = 5, σ = 1.58 Beispiel P(K ≤ 7): 1 − P(k ≥ 7) = 1 − 0.1711 = 0.829 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 35/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Beispiel 3 n = 10 Versuche, p(Erfolg) = 0.5, µ = 5, σ = 1.58 Beispiel P(K ≤ 3): Dem diskreten Wert 3 entspricht bei der stetigen NV das Intervall [2.5,3.5]. 3.5 − 5 = −0.95 1.58 Tab. 1b: P(Z ≤ −0.95) = P(Z ≥ 0.95) = 0.1711 z= Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 36/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Beispiel 4 n = 10 Versuche, p(Erfolg) = 0.5, µ = 5, σ = 1.58 P(4 ≤ K ≤ 6): Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 37/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Beispiel 4 - Tabelle 1b z1 : z1 = 3.5 − 5 = −0.95 1.58 z2 : z2 = 6.5 − 5 = 0.95 1.58 Tab. 1b: P(−0.95 ≤ Z ≤ 0.95)] = 1 − P(Z ≤ −0.95) − P(Z ≥ 0.95) = 1 − 2 × 0.1711 = 0.6578 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 38/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung Beispiel 4 - Tabelle 1c Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 39/40 Wahrscheinlichkeitsverteilungen II Fortsetzung Spezielle Diskrete Verteilungen Spezielle Stetige Verteilungen - Normalverteilung NV-Approximation der Binomialverteilung P(−0.95 ≤ Z ≤ 0.95) = 0.3289 + 0.3289 = 0.6578 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 40/40
