(Informatik B.Sc. und LA Regelschule) WS 2015/2016, FSU Jena 4

Stochastik/Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
(Informatik B.Sc. und LA Regelschule)
WS 2015/2016, FSU Jena
Prof. Dr. Ilya Pavlyukevich
Lena-Susanne Boltz, Markus Böhm, Jannis Koberstein, Alexandra Neamţu
Ausgabetermin:
Abgabetermin:
12.11.2015
26.11.2015
4. Übungsblatt
Aufgabe 31. Es sei Ω = R und F = P(Ω). Für ein festes x0 ∈ R sei die Mengenfunktion P : F → R
gegeben durch
(
0, falls x0 ∈
/A
P(A) =
1, falls x0 ∈ A.
Ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, F )? Begründen Sie Ihre Aussage!
Aufgabe 32. Sei (Ω, F , P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und P(A) > 0 für ein A ∈ F . Zeigen Sie, dass
P(A| · ) kein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, F ) ist.
Aufgabe 33. 1. Beweisen Sie, dass
a) P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = P(A1 )P(A2 |A1 ) · · · P(An |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 ),
b) P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An |C) = P(A1 |C)P(A2 |A1 ∩ C) · · · P(An |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 ∩ C),
gegeben, dass alle bedingten Wahrscheinlichkeiten wohldefiniert sind.
2. Seien A und B zwei Ereignisse, so dass P(A) > 0, P(B) > 0 und P(A|B) > P(B|A). Stimmt es, dass
P(A) > P(B)?
Aufgabe 34. Eine Urne enthält 3 weiße und 2 schwarze Kugeln. Man zieht drei Kugeln nacheinander und
ohne Zurücklegen. Bestimmen Sie mit Hilfe der Formel a) aus der Aufgabe 33 die Wahrscheinlichkeit der
Folge {weiß, weiß, schwarz}.
Aufgabe 35. Von drei Maschinen gleichen Typs werden von der ersten 20%, von der zweiten 30% und von
der dritten 50% der Gesamtproduktion hergestellt. Erfahrungsgemäß entstehen bei der ersten Maschine 5%,
bei der zweiten 4% und bei der dritten 2% Ausschuss.
1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein der Gesamtproduktion zufällig entnommenes Teil Ausschuss?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gefundenes Ausschussteil auf der zweiten Maschine
gefertigt wurde?
3. Um die Qualität zu verbessern, soll die erste Maschine gegen eine neue ausgetauscht werden. Welche
Ausschussquote darf die neue Maschine höchstens haben, damit die Gesamtausschusswahrscheinlichkeit
(siehe 1.) 2,5% nicht übersteigt?
Aufgabe 36. Aus 10 Karten mit Zahlen 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6 werden 2 Karten ausgewählt. Die Zahl auf der
1. Karte ist der Zähler eines Bruchs, die Zahl auf der 2. Karte ist der Nenner. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
ist dieser Bruch echt (d.h. Zähler < Nenner)?
Aufgabe 37. Bewerber an einer Hochschule müssen eine Aufnahmeprüfung absolvieren, um aufgenommen
zu werden. Es ist bekannt, dass von den fähigen Bewerbern 80% die Prüfung bestehen, von den unfähigen
25%. Es bewerben sich 40% fähige Kandidaten.
1. Wie viel Prozent aller Bewerber werden aufgenommen?
2. Wie groß ist der Anteil der fähigen Studenten unter den Aufgenommenen?
Aufgabe 38 (4 Punkte). Sei Ω = N0 = {0, 1, 2, . . . }, F = P(Ω). Betrachte die Mengenfunktion
P(A) : F → R+ ,
P(A) = c ·
X
n : n∈A
1
.
3n
Bestimmen Sie c ∈ R, sodass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, F ) ist. (Zeigen Sie dafür, dass P für
passendes c alle Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes erfüllt!) Berechnen Sie dann P(A) für
A = {0, . . . , N }, N ∈ N0 , und A = {0, 2, 4, . . . }.
Aufgabe 39 (4 Punkte). Eine Urne enthält 2 weiße und 3 schwarze Kugeln. Zwei Spieler ziehen Kugeln
nacheinander und ohne Zurücklegen. Der Spieler, der als erster eine weiße Kugel gezogen hat, gewinnt.
Bestimmen Sie mit Hilfe der Formel a) aus der Aufgabe 33 die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler, der den
ersten Zug macht, gewinnt.
Aufgabe 40 (4 Punkte). Bei der Analyse von Motorausfällen ergab sich, dass in 60% aller Fälle eine
Störung der Zündanlage, in 30% aller Fälle ein Fehler an der Kraftstoffzufuhr und in den restlichen Fällen
eine sonstige Störung vorlag. Ein Pannendienst kann bei der jeweiligen Ursache im Durchschnitt in 50%,
30% bzw. 10% aller Fälle helfen.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Pannendienst beim Ausfall des Motors helfen kann?
2. Beim Ausfall eines Motors konnte der Pannendienst helfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
keine Störung der Zündanlage vorlag?
Abgabetermin: Die mit
gekennzeichneten Aufgaben sind zu bearbeiten und am 26.11.15 vor der
Vorlesung abzugeben. In begründeten Ausnahmefällen können die Serien donnerstags bis 14.15 Uhr per
E-mail an die Übungsleiter geschickt werden.
[email protected], [email protected], [email protected],
[email protected]
Zulassungsvoraussetzungen für die Klausur: 50% der Hausaufgaben und mindestens zweimaliges Vorrechnen an der Tafel.
Klausurtermin: Montag, 22.02.2016, 10-12 Uhr, Hörsaal 024 UHG, Fürstengraben 1
Nachklausurtermin: Montag, 21.03.2016, 10-12 Uhr, Domaschk-HS, August-Bebel-Str. 4, 1. OG
Die Übungsserien finden Sie unter:
http://www.stochastik.uni-jena.de/Mitarbeiter/Prof_+Dr_+I_+Pavlyukevich/Teaching.html
Termine für das Tutorium:
SR 3 IAAC, Humboldtstr. 8, 16-18 Uhr
Mi, 18.11.
Mi, 02.12.
SR 003, AB 4, 18-20 Uhr
Di, 24.11.
Di, 08.12.