Lösungen für das 6. Aufgabenblatt

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Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2017)
6. Aufgabenblatt
Lösungen
21. Aufgabe: Stelle in den folgenden Fällen den ggT von a und b mit Hilfe des EEA als
ganzzahlige Linearkombination von a und b dar:
Der EEA wird nur für c) ausführlich dargestellt, in den anderen Fällen wird nur das Ergebnis
angegeben.
a) a = 936 , b = 1 224:
ggT(a, b) = 72 = 4 · 936 + (−3) · 1 224
b) a = 851 460 , b = 56 764:
ggT(a, b) = b = 0 · a + 1 · b
c) a = 69 978 , b = −147 150
Führe den EEA für a und −b durch (die Zahlen müssen positiv sein; wenn b negativ ist, ist
−b positiv)
−b =
2·a
+ 7194
a = 9 · 7194 + 5232
7194 = 1 · 5232 + 1962
5232 = 2 · 1962 + 1308
1962 = 1 · 1308 +
1308 =
2 · 654
654
+ 0
654
= 1962 − 1308
= 1962 − (5232 − 2 · 1962) = −5232 + 3 · 1962
= −5232 + 3 · (7194 − 1 · 5232) = (−4) · 5232 + 3 · 7194
= (−4) · (a − 9 · 7194) + 3 · 7194 = (−4) · a + 39 · 7194
= (−4) · a + 39 · (−b − 2 · a) = (−82) · a + 39 · (−b)
Also 654 = (−82) · a + 39 · (−b) . Hieraus ist noch eine Linearkombination von a und b
herzustellen, so dass das endgültige Ergebnis lautet:
ggT(a, b) = 654 = (−82) · a + (−39) · b
22. Aufgabe: a) Stelle ggT(75, 55) mit Hilfe des Erweiterten Euklidischen Algorithmus als
Linearkombination von 75 und 55 dar.
ggT(75, 55) = 5 = 3 · 75 + (−4) · 55
b) Berechne für t = 2 den Ausdruck (3 + 11 · t) · 75 + (−4 − 15 · t) · 55 . Welche Bedeutung
haben in diesem Kontext das Ergebnis und die Zahlen 11 und 15 ?
(3 + 11 · 2) · 75 + (−4 − 15 · 2) · 55 = 25 · 75 − 34 · 55 = 5
Es ist 5 = ggT(75, 55) , 55 = 11 · 5 , 75 = 15 · 5 , d.h. 11 und 15 sind die zu 5
komplementären Teiler von 55 bzw. 75 .
c) Berechne für ein beliebiges t ∈ Z den Ausdruck (3 + 11 · t) · 75 + (−4 − 15 · t) · 55 .
Welche Folgerung lässt sich hieraus ziehen?
(3 + 11 · t) · 75 + (−4 − 15 · t) · 55 = 3 · 75 + 825 · t − 4 · 55 − 825 · t =
3 · 75 − 4 · 55 = 5 = ggT(75, 55)
Folgerung: Es gibt unendliche Möglichkeiten, den ggT von 75 und 55 als ganzzahlige Linearkombination von 75 und 55 darzustellen, für jedes t ∈ Z erhält man eine solche.
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d) Seien a, b ∈ Z \ {0} . Für g = ggT(a, b) gelte g = x0 · a + y0 · b mit x0 , y0 ∈ Z .
Es sei a′ der zu g komplementäre Teiler von a und b′ der zu g komplementäre Teiler von b .
Beweise:
(x0 + b′ · t) · a + (y0 − a′ · t) · b = g (für alle t ∈ Z) .
Es gilt a = a′ · g und b = b′ · g . Damit folgt
(x0 + b′ · t) · a + (y0 − a′ · t) · b
=
x 0 · a + b ′ · t · a + y 0 · b − a′ · t · b
=
x 0 · a + b ′ · t · a′ · g + y 0 · b − a′ · t · b ′ · g
=
x 0 · a + y0 · b
=
g
Fazit: Kennt man eine Linearkombination von a und b , die ggT(a, b) darstellt, so erhält
man daraus unendlich viele Möglichkeiten, ggT(a, b) als Linearkombination von a und b
darszustellen. Dies verallgemeinert die Erkenntnis aus Teil c) dieser Aufgabe.
23. Aufgabe: a) Bestimme V + (45) , V + (63) und GV + (45, 63) . Dabei sollen von den
Mengen V + (45) und V + (63) soviele Elemente angegeben werden, dass sich die ersten drei
Elemente von GV + (45, 63) bestimmen lassen. Lies daraus kgV(45, 63) ab.
V + (45) = {0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360, 405, 450, 495, 540, 585, 630, . . .}
V + (63) = {0, 63, 126, 189, 252, 315, 378, 441, 504, 567, 630, . . .}
GV + (45, 63) = V + (45) ∩ V + (63) = {0, 315, 630, . . .}
kgV(45, 63) = min(GV + (45, 63) \ {0}) = 315
b) Sei k = kgV(45, 63) . Beweise ohne Benutzung von (6.5) , dass
GV + (45, 63) ⊆ V + (k) gilt.
Hinweis: Es ist zu zeigen, dass jedes gemeinsame Vielfache von 45 und 63 eine Vielfaches von
k ist. Dafür könnte (5.13a) hilfreich sein!
Es ist zu zeigen: Jedes v ∈ GV + (4563) ist auch ein Vielfaches von k = 315 .
Es gilt 45 | v und 63 | v .
Aus 7 | 63 und 63 | v folgt mit (1.3b) 7 | v .
Mit dem EA berechnet man
ggT(45, 7) = 1 .
Aus 45 | v , 7 | v , ggT(45, 7) = 1 erhält man mit (5.13a) (45 · 7) | v .
Also ist 45 · 7 = 315 = k ein Teiler von v , d.h. v ist ein nichtnegatives Vielfaches von k
und damit ein Element von V + (k) .
c) Sei k = kgV(45, 63) . Beweise ohne Benutzung von (6.5) , dass
V + (k) ⊆ GV + (45, 63) gilt.
Hinweis: Es ist zu zeigen, dass jedes Vielfache von k auch ein gemeinsames Vielfaches von 45
und 63 ist.
Sei v ∈ V + (k) beliebig. Dann gilt k | v .
45 | k , k | v
63 | k , k | v
(1.3b)
=⇒
(1.3b)
=⇒
+
45 | v
=⇒ v ∈ V (45)
63 | v
=⇒ v ∈ V + (63)





=⇒ v ∈ V + (45)∩V + (63) = GV + (45, 63)
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Bemerkung: Ein allgemeiner Beweis von (6.5) könnte ähnlich wie in b) und c) geführt werden.
Um in b) k | v zu zeigen, könnte man indirekt vorgehen.
24. Aufgabe: Berechne kgV(4 458 442, 2 316 218) unter Benutzung von (6.7) . Dabei ist
die Rechnung so durchzuführen, dass sie mit einem Taschenrechner ausgeführt werden kann,
der nur 10 Stellen anzeigt, unabhängig davon, wieviele Stellen der Taschenrechner anzeigt, den
du benutzt. Die Rechnung ist zu dokumentieren.
Setze a := 4 458 442 und b := 2 316 218 . Nach (6.7) gilt
ggT(a, b) · kgV(a, b) = a · b
Berechne ggT(a, b) mit dem EA. Ergebnis: ggT(a, b) = 1234 .
Das Produkt a·b hat 14 Stellen und lässt sich daher mit unserem 10–stelligen Taschenrechner
nicht berechnen. Wir können aber den zu 1234 komplementären Teiler von a berechnen:
a = 1234 · 3613 . Damit folgt:
ggT(a, b) · kgV(a, b) = 1234 · kgV(a, b) = a · b = 1234 · 3613 · b
Wendet man die Kürzungsregel an, so folgt
kgV(a, b) = 3613 · b ,
und das Produkt 3613 · b = 8 368 495 634 lässt sich mit unserem Taschenrechner berechnen.
Also
kgV(a, b) = 8 368 495 634