Einführung in die Topologie (SS 14) - math.uni

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
07.04.2013
Bernhard Hanke
1/7
Information zur Vorlesung
Übungsgruppen:
I
Di 08:15–09:45 1010/L1 (Alagalingam)
I
Mi 14:00–15:30 1010/L1 (Wulff)
I
Fr 08:15–09:45 1010/L1 (Wulff)
Bernhard Hanke
2/7
Metrische Räume und topologische Räume
Definition
Ein metrischer Raum ist ein Paar (X , d) bestehend aus einer Menge X und
einer Abbildung
d : X × X → R≥0
mit den folgenden Eigenschaften: Für alle x, y , z ∈ X gilt
I
d(x, y ) = d(y , x),
I
d(x, y ) = 0 ⇔ x = y ,
I
d(x, z) ≤ d(x, y ) + d(y , z) (Dreiecksungleichung).
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
3/7
Beispiele
I
Der euklidische Raum (Rn , d) mit der euklidischen Metrik
d(x, y ) := kx − y k.
I
Funktionenräume wie (C ([0, 1], R), d), die Menge der stetigen
Abbildungen [0, 1] → R versehen mit der Metrik
d(f , g ) := max |f (t) − g (t)| .
t∈[0,1]
I
Ist (X , d) ein metrischer Raum, so trägt jede Teilmenge A ⊂ X eine
(durch Einschränkung von d gegebene) induzierte Metrik.
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
4/7
Beispiele
I
Der euklidische Raum (Rn , d) mit der euklidischen Metrik
d(x, y ) := kx − y k.
I
Funktionenräume wie (C ([0, 1], R), d), die Menge der stetigen
Abbildungen [0, 1] → R versehen mit der Metrik
d(f , g ) := max |f (t) − g (t)| .
t∈[0,1]
I
Ist (X , d) ein metrischer Raum, so trägt jede Teilmenge A ⊂ X eine
(durch Einschränkung von d gegebene) induzierte Metrik.
Definition
Es seien (X , dX ), (Y , dY ) metrische Räume. Eine Abbildung f : X → Y
heißt stetig, falls für jedes x ∈ X und jedes > 0 ein δ > 0 existiert mit
dX (x, x 0 ) < δ ⇒ dY (f (x 0 ), f (x)) < .
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
4/7
Ist (X , d) ein metrischer Raum und x ∈ X , so definieren wir für alle > 0
die offene Kugel um x mit Radius B (x) := {p ∈ X | d(p, x) < } .
Definition
Eine Teilmenge U ⊂ X eines metrischen Raumes heißt offen, falls für alle
x ∈ U ein > 0 existiert mit
B (x) ⊂ U .
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
5/7
Ist (X , d) ein metrischer Raum und x ∈ X , so definieren wir für alle > 0
die offene Kugel um x mit Radius B (x) := {p ∈ X | d(p, x) < } .
Definition
Eine Teilmenge U ⊂ X eines metrischen Raumes heißt offen, falls für alle
x ∈ U ein > 0 existiert mit
B (x) ⊂ U .
Lemma
Ist (X , d) ein metrischer Raum, x ∈ X und > 0, so ist die offene Kugel
B (x) ⊂ X eine offene Teilmenge des metrischen Raumes (X , d) im Sinne
obiger Definition.
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
5/7
Proposition
Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen ist genau dann
stetig, falls für alle offenen Teilmengen U ⊂ Y das Urbild
f −1 (U) ⊂ X
offen ist.
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
6/7
Proposition
Eine Abbildung f : X → Y zwischen metrischen Räumen ist genau dann
stetig, falls für alle offenen Teilmengen U ⊂ Y das Urbild
f −1 (U) ⊂ X
offen ist.
Definition
Ein topologischer Raum ist ein Paar (X , T ) bestehend aus einer Menge X
und einer Menge T ⊂ P(X ) von Teilmengen von X mit den folgenden
Eigenschaften.
I
∅ ∈ T ,X ∈ T ,
I
U, V ∈ T ⇒ U ∩ V ∈ T ,
S
S ⊂ T ⇒ U∈S U ∈ T .
I
Die Elemente von T werden offene Teilmengen von X genannt. Eine
Teilmenge A ⊂ X heißt abgeschlossen, falls X \ A offen ist.
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
6/7
Beispiele
I
Die diskreten Topologie auf einer Menge X ist T = P(X )
(jede Teilmenge von X ist offen).
I
Die Klumpentopologie auf einer Menge X ist T = {∅, X }.
I
Die Menge der offenen Teilmengen in einem metrischen Raum (X , d)
ist die von der Metrik induzierte Topologie.
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
7/7
Beispiele
I
Die diskreten Topologie auf einer Menge X ist T = P(X )
(jede Teilmenge von X ist offen).
I
Die Klumpentopologie auf einer Menge X ist T = {∅, X }.
I
Die Menge der offenen Teilmengen in einem metrischen Raum (X , d)
ist die von der Metrik induzierte Topologie.
Definition
Es sei (X , T ) ein topologischer Raum und A ⊂ X eine Teilmenge. Die
Menge der Schnitte U ∩ A ⊂ A, wobei U ⊂ X offen ist, bildet eine
Topologie auf A, die Unterraumtopologie, oder von T induzierte Topologie.
Bernhard Hanke
Metrische Räume und topologische Räume
7/7