Kap. 12 weiter (Teil II): Statistische Hypothesen

!
"
Hypothesentests, die zur Untersuchung des unbekannten Mittelwerts µ mit aber
unbekannter Standardabweichung σ einer normalverteilten Grundgesamtheit eingesetzt
werden, bezeichnet man als t-Test.
Im vorigen Abschnitt war die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt. Wenn
aber σ einer normalverteilten Gesamtheit unbekannt ist, kann diese Größe für die
X − µ
standardisierte Zufallsvariable Z =
durch die Standardabweichung s der
σ
N
Stichprobe ersetzt werden. In diesem Fall gehorcht aber die Zufallsvariable T =
X −µ
S
N
nicht mehr der Standard-Normalverteilung, sondern der Studentschen-t-Verteilung.
(s. Kap. 10. Abschnitt 10.3.2)
Die Struktur des Hypothesentest (t-Test) für den unbekannten Mittelwert bei unbekannter
Varianz der Gesamt ist dem des Hypothesentest (z-Test) für den unbekannten Mittelwert bei
bekannter Varianz ähnlich.
# "
$
Statistische Untersuchungen haben gezeigt, wenn die Gesamtheit auch nicht normalverteilt
X − µ
ist, gehorcht die standardisierte Zufallsvariable
für Stichprobengrößen N > 30
S
N
in guter Näherung der Standard-Normalverteilung.
% $
Eine Abfüllanlage einer Firma füllt Flaschen mit Getränke ab, wobei die Füllmenge pro
Flasche gewisse Schwankungen unterliegt. Die Füllmenge X kann als eine normalverteilte
Zufallsvariable] angesehen werden. Der Hersteller behauptet, dass der Mittelwert µ für die
Füllmenge gleich dem Sollwert 3 [Deziliter] ist. (s. auch Bsp. 1) Eine Verbraucherorganisation möchte die Behauptung (Hypothese) des Herstellers überprüfen. Dafür entnahm
die Verbraucherorganisation eine Stichprobe aus 25 Flaschen und erhielt für die mittlere
Füllmenge in der Stichprobe den Stichproben-Mittelwert x = 2,8 [Deziliter] und die
Standardabweichung s = 0,4. Ist die mittlere Füllmenge geringer als dem Sollwert? Führen
Sie dafür einen Hypothesentest zu einem Signifikanzniveau von α = 2,5% durch.
&'
$
9
(
!
H0 :
Ha :
µ = µ0
µ < µ0
(µ
µ
µ0)
"
"
σ
Kritische Grenzen Testgröße für den
Graph der Verteilung der
für den Mittelwert
aufgrund der
Testfunktion für den Mittelwert X
Irrtumswahrx einer konkreten
von Stichproben der Größen N mit
scheinlichkeit α und Stichprobe der
Angabe der kritischen Bereiche
der GegenGröße N
und der Entscheidungsregel
hypothese Ha
Anzahl der Freiheitsgeraden: ν = N – 1
Einseitiger Test
mit unterer Grenze
tˆ =
#
fν ( t )
x − µo
s
N
(Linkseitiger Test)
T =
tα
#$
X – µ
S N
α
t
0
tα
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls:
tˆ < t α
µ = µ0
(µ
µ > µ0
µ0)
Einseitiger Test
mit oberer Grenze
tˆ =
x − µo
s
N
(Rechtseitiger
Test)
t 1–
#
fν ( t )
T =
#$
X – µ
S N
α
t
α
0
t1 – α
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls:
tˆ > t 1 − α
µ = µ0
µ ≠ µ0
Zweiseitiger Test
mit oberer und
unterer Grenze
tˆ =
#
fν ( t )
x − µo
s
N
T =
X – µ
S N
α/2
α/2
tα 2
t
tα / 2
und
t 1–
#$
α 2
0
t1 – α / 2
AblehnungsBereich
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls:
tˆ < t α
2
oder
tˆ > t 1
−α 2
10
)
*
χ
+
!
"
Hypothesentests, die zur Untersuchung der unbekannten Varainz σ 2 einer
normalverteilten Grundgesamtheit eingesetzt werden, bezeichnet man als den ChiQuadrat-Test oder χ 2-Test.
Da die Verteilung der Stichproben-Varianzen aus einer normalverteilten Gesamtheit einer
Verteilung entspricht, die die Form der Chi-Quadrat-Verteilung besitzt, werden Test für die
Varianz einer Gesamtheit Chi-Quadrat-Test (χ 2-Test) genannt. (s. Kap. 10. Abschnitt 10.4)
Wird zur Aufstellung einer Nullhypothese für die Varianz σ 2 einer Grundgesamtheit ein
bestimmter Wert σ20 vermutet, so lässt sich anhand der Zufallsvariable für die Chi-Quadrat( N − 1) S 2
2
Verteilung Χ =
die Testgröße für eine konkrete Stichprobe der Größe N
2
σ
2
mit der Varianz s berechnen durch:
χˆ
2
=
( N − 1) s 2
σ 02
Für eine Nullhypothese H0 können nach Fragestellung folgende unterschiedliche
Gegenhypothesen Ha aufgestellt werden.
,
,,
H0 :
Ha :
2
σ =
σ2 <
σ20
σ20
2
H0 : σ =
Ha : σ 2 >
σ20
σ20
,,,
H0 : σ 2 = σ20
Ha : σ 2 ≠ σ20
#
Eine Abfüllanlage einer Firma füllt Flaschen mit Getränke ab, wobei die Füllmenge pro
Flasche gewisse Schwankungen unterliegt. Die Füllmenge kann als eine normalverteilte
Zufallsvariable angesehen werden. Der Hersteller möchte, dass die Standardabweichung für
die Füllmenge nicht mehr als 0,02 [Deziliter] ist. Dafür wird die Anlage geeicht. Um zu
überprüfen, ob die Anlage diese Vorgabe einhält, entnahm eine Ingenieurin aus der
laufenden Produktion eine zufällige Stichprobe aus 28 Flachen und erhielt für diese
Stichprobe eine Standardabweichung von 0,023 [dl]. Funktioniert die Anlage nicht
ordnungsgemäß, d.h. ist die Standardabweichung größer als dem Sollwert 0,02 [dl]? Führen
Sie dafür einen Hypothesentest zu einem Signifikanzniveau von α = 2,5% durch.
&'
$
,
-.
Nullhypothese: H0 :
σ 2 = 0,02 2
Gegenhypothese: Ha : σ 2 > 0,02 2
,,
(σ2
0,02 2 ) Anlage funktioniert richtig
Anlage funktioniert nicht richtig
/$
0
Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit: α = 0,025
11
,,,
1
N = 28
!
ν = N – 1 = 27
$
"
#$
& #'
%
f(s²)
f ν( χ ² )
Χ²=
N = 28
#$
ν = N – 1 = 27
(N – 1) S ²
²
α = 0,025
α = 0,025
χ²
s²
0
[dl ² ]
sG²
0
χ²1
– α
Kritische Grenze: χ 21 – α = 43,194
,
$ '2
χˆ 2 =
( N − 1) s 2
σ 02
=
( 28 − 1 ) 0 , 023 2
0 , 02 2
= 35,7
$
Hier liegt ein rechtseitiger Test vor (Test mit oberer Grenze). Da die Testgröße
χ̂ 2 = 35,7 kleiner als die kritische Grenze χ 21 – α = 43,194 ist, liegt χ
χ̂ 2 nicht im
χ
Ablehnungsbereich. Daher können wir die Nullhypothese H0 : σ 2 = 0,02 2 nicht
ablehnen. Also wir können annehmen, dass die Standardabweichung für die
Abfüllmenge nicht größer als 0,02 [dl] ist. Somit funktioniert die Anlage
ordnungsgemäß.
% $
)
Lösen Sie das vorige Beispiel, indem Sie die kritische Grenze für die Verteilung der
Stichproben-Varianzen bestimmen.
&'
$
12
χ3
$
%
! (
σ²
!
Kritische Grenzen Testgröße für die
Graph der Verteilung der
Varianz s 2 einer
Testfunktion für die Varianz von
aufgrund der
Irrtumswahrkonkreten
Stichproben der Größen N mit
Angabe der kritischen Bereiche
scheinlichkeit α und Stichproben der
und der Entscheidungsregel
Größen N
der Gegenhypothese Ha
Anzahl der Freiheitsgeraden: ν = N – 1
H0 :
Ha :
σ 2 = σ20
σ 2 < σ20 Einseitiger Test
& #'
(σ
σ
2
σ20
mit unterer Grenze
)
χˆ 2 =
(Linkseitiger Test)
( N − 1) s 2
σ 02
#$
f ν( χ ² )
ν =N – 1
2
Χ2 =
(N – 1)S
α
2
χ ²α
χ²
0
χ²α
Abl.
Ber.
H0 verwerfen, falls:
χ̂ 2 < χ ²α
χ
& #'
σ 2 = σ20
(σ
σ
2
σ20
σ 2 > σ20 Einseitiger Test
mit oberer Grenze
)
χˆ 2 =
(Rechtseitiger
Test)
( N − 1) s
2
σ 02
#$
f ν( χ ² )
ν =N – 1
2
Χ2 =
(N – 1)S
2
α
χ²
χ ²1 –
α
0
χ²1
– α
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls:
χ̂ 2 > χ ²1 –
χ
α
& #'
σ 2 = σ20
σ 2 ≠ σ20
Zweiseitiger Test
mit unterer und
oberer Grenze
χˆ 2 =
( N − 1) s 2
σ 02
f ν( χ ² )
#$
ν =N – 1
2
Χ2 =
(N – 1)S
α/2
2
χ ²α 2
α/2
χ²
0
und
χ ²1 –
α 2
χ²1
χ²α / 2
Ab
Be
– α/2
Ablehn
Bereich
H0 verwerfen, falls:
χ̂ 2 < χ ²α 2
χ
oder
χ̂
χ
2
> χ ²1 –
α 2
13
4
5
#
!
%
"
"
Hypothesentests, die zur Untersuchung des unbekannten Anteilswerts p für eine
Eigenschaft A einer Grundgesamtheit eingesetzt werden, bezeichnet man als den
Binomial-Test.
Da die Verteilung der Stichproben-Treffer X für die Anzahl der Elemente mit einer
Eigenschaft A in Stichproben vom jeweiligen Umfang N aus einer Gesamtheit und
∧
X
Binomialdementsprechend die Verteilung der Stichproben-Anteilswerte P =
N
Verteilungen gehorchen, werden Test für den Anteilswert einer Gesamtheit Binomial-Test
genannt. (s. Kap. 10. Abschnitt 10.5)
Die kritische Grenze xG = kG erhält man für eine vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit
α aus der Binomialverteilung.
Die Testgröße für eine konkrete Stichprobe der Größe N mit x = k Erfolge für das
Eintreten des Ereignisses A ist x̂ = k̂
Für eine Nullhypothese H0 können nach Fragestellung folgende unterschiedliche
Gegenhypothesen Ha aufgestellt werden.
,
,,
H0 :
Ha :
p = p0
p < p0
H0 : p = p0
Ha : p > p0
,,,
H0 : p = p0
Ha : p ≠ p0
#
)
Ein Hersteller von Bolzen behauptet, dass 25% von ihm produzierten Bolzen defekt sind. Ein
Käufer entnimmt eine Stichprobe von 20 Bolzen und erhielt dabei 6 defekte Bolzen. D.h. er
erhielt einem Anteil von 6 20 = 30% defekte Bolzen. Ist der wahre Anteil für defekte Bolzen
der Serienproduktion höher als 25%? Führen Sie dafür einen Hypothesentest zu einem
Signifikanzniveau von α = 5% durch.
&'
$
,
-.
Nullhypothese: H0 :
p = 0,25
Gegenhypothese: Ha :
p > 0,25
(p
0,25) Anteil der defekten Bolzen ist 0,25%
(oder kleiner als 25%)
Anteil der defekten Bolzen ist größer als 0,25%
,,
/$
0
Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit: α = 0,05
,,,
1
!
Da der Anteilswert in der Gegenhypothese Ha : p > 0,25 ist, liegt ein rechtseitiger
Test vor.
P ( X > kG ) = α
14
Die Nullhypothese H0 wird dann verworfen, wenn die kritische Grenze xG
überschritten wird. Für die Anzahl der Treffer X gilt:
X : Anzahl der defekte Bolzen in der Stichprobe
X ist binomialverteilt mit N = 20 und p = 0,25.
P ( X > kG ) = 0,05
1 – P(X
kG ) = 0,05
P(X
kG ) = 0,95
Da X binomialverteilt und somit eine diskrete Zufallsvariable ist, suchen wir in der
Tabelle der kumulierten Biniomilal-Verteilungen die kritische Grenze (den
kritischen Wert), bei der die kumulierte Wahrscheinlichkeit leicht über 0,95 liegt.
$
"
#
)
* %
P(X=k)=f(k)
0.2
N
p = 0,25
0.05
)
f(p)
α = 5%
0.1
0.05
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
xG
X=k
Anzahl defekter Bolzen
Kritische Grenze:
,
#+
0.15
α = 5%
0.1
"
0.2
N = 20
0.15
$
* %
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920
20
20 20
pG
Anteil defekter Bolzen
p
xG = kG =8
$ '2
x̂ = k̂ = 6
$
Hier liegt ein rechtseitiger Test vor (Test mit oberer Grenze). Da die Testgröße x̂ = 6
kleiner als die kritische Grenze xG = 8 ist, liegt x̂ nicht im Ablehnungsbereich. Daher
können wir die Nullhypothese H0 : p = 0,25 nicht ablehnen. Also wir können
annehmen, dass der Anteilswert für defekte Bolzen in der Serienproduktion nicht
größer als 25% ist.
% $
4
Lösen Sie das vorige Beispiel, indem Sie die kritische Grenze für die Verteilung der
Stichproben-Anteilswerte bestimmen.
&'
$
15
6
%
%
5"
!
0 #
"
"
Die Verteilung der Stichproben-Treffer X (bzw. die Verteilung der Stichproben∧
X
) für eine Eigenschaft A aus Stichproben der jeweiligen Größen N
Anteilswerte P =
N
von einer Gesamtheit mit dem Anteilswert p für die Eigenschaft A gehorcht einer
Binomilaverteilung mit p und N. (s. vorigen Abschnitt und Kap. 10. Abschnitt 10.5).
Für eine Binomialverteilung gelten folgende Formeln für den Erwartungswert bzw. die
Standardabweichung:
bzw.
σ =
N pq
µ = Np
Für sehr große N kann die Binomial-Verteilung durch die Normal-Vertetilung angenähert
werden. (s. Kap. 7)
Somit gehorcht dann in guter Näherung für große N - und p -Werte, die sich deutlich von 0
und 1 unterscheiden, die standardisierte Zufallsvariable
∧
Z =
X − N⋅p
N⋅ p⋅ q
bzw.
Z =
N ⋅P − N ⋅ p
N⋅ p⋅q
der Standard-Normal-Verteilung.
Wird zur Aufstellung einer Nullhypothese für den wahren Anteilswert p einer
Grundgesamtheit ein bestimmter Wert p0 vermutet, so lässt sich anhand der Zufallsvariable
X − N⋅p
für die Standard-Normal-Verteilung Z =
die Testgröße für eine konkrete
N⋅ p⋅ q
Stichprobe der Größe N mit x Treffer für die Eigenschaft A (bzw. mit dem Anteilswert
pˆ = x
N ) berechnen durch:
x − N ⋅ p0
N ⋅ pˆ − N ⋅ p 0
zˆ =
zˆ =
bzw.
N ⋅ p0 ⋅ q0
N ⋅ p0 ⋅ q0
% $
4
Ein Hersteller von Bolzen behauptet, dass 25% von ihm produzierten Bolzen defekt sind. Ein
Käufer entnimmt eine Stichprobe von 200 Bolzen und erhielt dabei 60 defekte Bolzen. D.h. er
erhielt einem Anteil von 60 200 = 30% defekte Bolzen. Ist der wahre Anteil für defekte
Bolzen der Serienproduktion höher als 25%? Führen Sie dafür einen Hypothesentest zu
einem Signifikanzniveau von α = 5% durch.
&'
$
16
5
#
!
"
-.
+
Testgröße für die Anzahl der Treffer k̂ einer Eigenschaft A in einer konkreten
H0 :
Ha :
p = p0
p < p0
(p
Stichprobe der Größe N : x̂ = k̂
Kritische Grenzen xG = kG aufgrund
der Stichprobenverteilung der Treffer
(Binomial-Verteilung mit N , p0 und
q0 = 1 – p0 ) , der Irrtumswahrscheinlichkeit α und der Gegenhypothese Ha
Einseitiger Test mit unterer Grenze
(Linkseitiger Test)
α
p0)
P ( X < kG
=
P ( X ≤ k G − 1)
kG − 1
(p
p > p0
p ok q oN − k
k
kG
P ( X > kG
=
= 1 −
kG
1 − α =
N
H0 verwerfen, falls k̂ < kG
p ≠ p0
=
k = 0
N
k
α
kG
1 − α 2 =
k = 0
k
p ok
X=k
Ablehn.
Bereich
H0 verwerfen, falls k̂ > kG
*
! #$
" #
P(X=k)=f(k)
N
p = p0
p ok q oN − k
N
#
)
P ( X ≤ k Go
k Go
"
P(X=k)=f(k)
)
obere Grenze:
α
(
)
2 = P X > k Go
= 1 − P ( X ≤ k Go
1 − α
=
2
#$
p = p0
Verteilung ablesen.
Zweiseitiger Test:
untere Grenze:
α
(
)
2 = P X < k Gu
= P ( X ≤ k Gu − 1 )
k Gu − 1
!
N
kG aus der Tabelle der Binomialp = p0
*
p ok q oN − k
k
k = 0
X=k
Ablehn.
Bereich
)
P ( X ≤ kG
P ( X ≤ kG
1 − α =
" #
P(X=k)=f(k)
p = p0
Einseitiger Test mit oberer Grenze
(Rechtseitiger Test)
α
p0)
#$
)
kG aus der Tabelle der BinomialVerteilung ablesen.
p = p0
!
α
N
k = 0
*
N
=
=
Diagramm der Verteilung der
Testfunktion für die Treffer X einer
Eigenschaft A von Stichproben der
Größen N mit Angabe der
kritischen Bereiche
und der Entscheidungsregel
α/2
α/2
kGu
)
)
Ablehn.
Bereich
kGo
X=k
Ablehn.
Bereich
H0 verwerfen, falls
k̂ < kGu
oder
k̂ > kGo
q oN − k
kGu und kGo aus der Tabelle der
Binomial-Verteilung ablesen.
17
%
5"
0
#
"
-.
+
!
Falls die Bedingung N · p0· q0 > 9 mit q0 = 1 – p0 erfüllt ist, kann die Binomial- durch die NormalVerteilung approximiert werden.
H0 :
p = p0
(p
Ha :
Kritische Grenzen
aufgrund der
Irrtumswahrscheinlichkeit α und
der Gegenhypothese Ha
p < p0
Einseitiger Test
mit unterer Grenze
Testgröße für die
Anzahl der Treffer
x einer konkreten
Stichprobe der
Größe N
zˆ =
#, ! #$
(z)
x − N po
N po qo
p0)
Graph der Verteilung der
Testfunktion für die Treffer X einer
Eigenschaft A von Stichproben der
Größe N mit Angabe der
kritischen Bereiche
und der Entscheidungsregel
Z =
(Linkseitiger Test)
X – Np
Npq
α
zα
z
0
zα
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls
zˆ < z α
p = p0
(p
p > p0
Einseitiger Test
mit oberer Grenze
zˆ =
N po qo
p0)
#, ! #$
(z)
x − N po
Z =
(Rechtseitiger
Test)
X – Np
Npq
α
z
z1 – α
0
z1 – α
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls
ẑ > z 1
p = p0
p ≠ p0
Zweiseitiger Test
mit oberer und
unterer Grenze
zˆ =
−α
#, ! #$
(z)
x − N po
N po qo
Z =
X – Np
Npq
α/2
α/2
zα 2
und
z
zα / 2
AblehnungsBereich
0
z1 – α / 2
AblehnungsBereich
z1 – α 2
H0 verwerfen, falls
zˆ < z α 2 oder ẑ > z 1 − α 2
18
)
In den vorigen Abschnitten wurden für vorgegebene Wahrscheinlichkeiten des Fehlers
erster Art α Entscheidungsregeln bei verschiedenen Hypothesentests vorgestellt. Hier
werden wir uns mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Fehlers zweiter Art β
beschäftigen.
Man begeht einen Fehler 1. Art , wenn man in einem Test H0 ablehnt, obwohl H0
tatsächlich aber richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art: α wird auch
als das Fehlerrisiko, die Irrtumswahrscheinlichkeit oder das Signifikanzniveau des
Tests bezeichnet.
Einen Fehler 2. Art begeht man dann, wenn man in einem Test H0 nicht ablehnt,
obwohl H0 tatsächlich aber falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art wird
als das Fehlerrisiko β bezeichnet.
Anders als die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art: α, die wir selbst festlegen können,
hängt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art: β von der Differenz zwischen dem
Parameterwert in der Nullhypothese H0 und dem tatsächlichen in der Gesamtheit ab. Je
größer diese Differenz ist, umso kleiner ist β .
# "
$
β ist nicht die Komplementwahrscheinlichkeit (Gegenwahrscheinlichkeit) von α.
Die Güte, Mächtigkeit oder Macht eines Tests ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
man H0 ablehnt, wenn diese auch tatsächlich falsch ist.
Bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau α führt eine Erhöhung der Stichproben-Größe
zu einer Verringerung des Fehlerrisiko β und somit zu einer Erhöhung der Mächtigkeit
des statistischen Test.
H0
H0
H0 ist wahr
Entscheidung: falsch
H0 ist falsch
Entscheidung: richtig
P (Fehler 1. Art) = α
Güte = 1 – β
Entscheidung: falsch
abgelehnt
nicht abgelehnt
Entscheidung: richtig
P (Fehler 2. Art) = β
In statistischen Tests sind beide Fehler unvermeidlich. Das Risiko α für den Fehler 1. Art
wählt man daher möglichst klein, z.B. α = 1% , 5% oder 10%. Die Wahl des
Signifikanzniveaus α hängt in der Praxis auch von den Kosten ab, die das Ablehnen der
Nullhypothese H0 verursachen würde. Falls die Kosten beim Ablehnen einer Nullhypothese
H0 zu hoch sind, wählt man ein kleines Fehlerrisiko α. Andererseits muss man bei einem
kleinen Fehlerrisiko α ein großes Fehlerrisiko β in Kauf nehmen. Will man sowohl ein
kleines Fehlerrisiko für α als auch für β haben, wenn z.B. die Fehler-Kosten für β auch
hoch sind, dann muss man den Stichprobenumfang erhöhen.
19
#
4
Ein Hersteller von Bolzen behauptet, dass 25% von ihm produzierten Bolzen defekt sind. Ein
Käufer entnimmt eine Stichprobe von 20 Bolzen.
Falls mehr als 8 defekte Bolzen dabei sind, verwirft der Käufer die Behauptung des
Herstellers. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (des Fehler erster Art α), Gesucht ist
also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Behauptung (Nullhypothese H0) verworfen
wird?
Falls der wahrer Anteil von defekten Bolzen der Serienproduktion pa = 0,5 beträgt, wie
groß ist dann die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art β ? Gesucht ist also die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese H0 angenommen (d.h. nicht
verworfen) wird, falls sie tatsächlich falsch ist?
&'
$
,
-.
Nullhypothese:
Gegenhypothese:
,,
H0 : p = 0,25
Ha : p > 0,25
1
!
Kritische Grenze: X = 8
Dabei ist X binomialverteilt mit N = 20 und p = 0,25
,,,
7
%
/$
0
Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art (Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit): α = ?
α = P ( Fehler erster Art)
α = P ( X > 8 | p = 0 , 25 )
= 1 − P(X ≤8
8
=
1−
k=0
&'
)
20
0 , 25 k 0 , 75
k
20 − k
= 0 , 0409
$
β = P ( Fehler zweiter Art)
β = P ( X ≤ 8 | pa = 0 ,5
= P(X ≤8
8
=
k=0
20
k
)
)
0 ,5 k 0 ,5
20 − k
= 0 , 2517
20
% $
6
Eine Abfüllanlage einer Firma füllt Flaschen mit Getränke ab, wobei die Füllmenge pro
Flasche gewisse Schwankungen unterliegt. Die Füllmenge X kann als eine normalverteilte
Zufallsvariable mit der bekannten Standarbweichung = 0,5 [Deziliter] angesehen werden.
Der Hersteller behauptet, dass der Mittelwert µ für die Füllmenge gleich dem Sollwert 3
[Deziliter] ist. (s. Bsp. 1)
Eine Verbraucherorganisation möchte die Behauptung (Hypothese) des Herstellers
überprüfen. Dafür entnahm die Verbraucherorganisation eine Stichprobe aus 25 Flaschen
und erhielt für die mittlere Füllmenge in der Stichprobe den Stichproben-Mittelwert
x = 2,8 [Deziliter]. Ist die mittlere Füllmenge geringer als dem Sollwert? Führen Sie dafür
einen Hypothesentest zu einem Signifikanzniveau von α = 2,5% durch.
Bestimmen Sie aus der Teilaufgabe a) die kritische Grenze x G
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art β , falls die tatsächliche
mittlere Füllmenge µ a = 2,6 [dl] beträgt.
Wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art β größer oder kleiner, falls die
tatsächliche mittlere Füllmenge µ a = 2,7 [dl] beträgt?
&'
$
,
-.
Nullhypothese: H0 :
Gegenhypothese: Ha :
,,
8
7
% α
Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit:
,,,
α=
1
!
Kritische Grenze: z α =
#,
(z)
Z =
! #$
X – µ
N
σ
α
z
zα
0
AblehnungsBereich
,
$ '2
ẑ =
$
$
21
&'
$
1
!
$
"
#,
#
! #$
(z)
σ x = 0,1
f(x)
Z =
X – µ
σ
N
α = 0,025
α = 0,025
x
z
0
xG
[dl]
µ =3
zα = – 1,96
Kritische Grenze:
&'
0
xG =
$
8
7
$
%
"
β
#
σ
f(x)
Nullhypothese: H0 : µ = 3 [dl]
= 0,1
x
Ho
α
x
0
xG
[dl]
µ=3
Gegenhypothese: Ha: µ a = 2,6 [dl]
f(x)
Ha
σ
x
= 0,1
β
x
0
[dl]
µa = 2,6
β = P (X > xG )
&'
$
8
7
$
%
"
β
#
σ
f(x)
x
=
Nullhypothese: H0 : µ = 3 [dl]
0,1
Ho
α
x
0
xG
f(x)
[dl]
µ=3
Gegenhypothese: Ha: µ a = 2,7 [dl]
Ha
β
σ x = 0,1
x
0
µa = 2,7
[dl]
22
% $
6
Berechnen Sie bei einem Signifikanzniveau von α = 2,5% für die vorige Aufgabe die
Wahrscheinlichkeiten für den Fehler 2. Art β in folgenden Fällen:
N = 25 ; H0 : µ = 3 [dl]
Ha : µ a = 2,6 [dl]
Ha : µ a = 2,7 [dl]
Ha : µ a = 2,75 [dl]
N = 50 ; H0 : µ = 3 [dl]
Ha : µ a = 2,6 [dl]
Ha : µ a = 2,7 [dl]
Ha : µ a = 2,75 [dl]
In welchen der beiden Fälle a) und b), sind die jeweiligen Fehlerrisiken β kleiner?
Begründen Sie es!
Die letzten beiden Abb. zeigen die Kurven für die Mächtigkeit der beiden Tests a) bei
Stichprobengrößen N = 25 bzw. b) bei Stichprobengrößen N = 50. Auf der Ordinate sind
die verschieden Werte für die Mächtigkeit 1 – β aufgetragen und auf der Abszisse
verschiedene Werte für µ a. Welche der beiden Kurven ist steiler? Begründen Sie es!
&'
$
$
"
f(x)
$
#
"
#
N = 25
Ho : µ = 3
f(x)
σ x = 0,1
N = 50
Ho : µ = 3
σ x = 0,07
α = 0,025
α = 0,025
x
x
0
[dl]
µ=3
xG = 2,804
0
N = 25
f(x)
β = 0,0207
[dl]
xG = 2,86 µ = 3
N = 50
f(x)
σ x = 0,1
σ x = 0,07
β = 0,0001
Ha : µa = 2,6
Ha : µa = 2,6
x
0
x
[dl]
µa = 2,6
µa = 2,6
0
[dl]
N = 25
f(x)
β = 0,1492
N = 50
f(x)
σ x = 0,1
β = 0,0113
Ha : µa = 2,7
σ x = 0,07
Ha : µa = 2,7
x
µa = 2,7
0
x
[dl]
µa = 2,7
0
[dl]
N = 25
f(x)
β = 0,2946
N = 50
f(x)
σ x = 0,1
σ x = 0,07
β = 0,0582
Ha : µa = 2,75
Ha : µa = 2,75
x
µa = 2,75
0
1–β
x
[dl]
)
µa = 2,75
0
1–β
(
)
[dl]
(
1
1
β = 0,2946
N = 50
N = 25
β = 0,0582
1 – β = 0,9418
1 – β = 0,7054
[dl]
[dl]
0
2,4
2,6
2,8
2,75
3
3,2
µa
0
2,4
2,6
2,8
2,75
3
3,2
µa
23