Teil 1 - EAH Jena

BT/MT
WS 15
Mathematik I Klausurvorbereitung
www.eah-jena.de/~puhl
Thema: Aufgabensammlung zur Klausurvorbereitung MT/BT
Die folgende Aufgaben sind ehemalige Klausuraufgaben. Sie sollen Ihnen einen ungefähren Eindruck über die zu erwartenden Aufgabentypen vermitteln.
Hinweis: Da die Zusammenstellung der Aufgaben und Lösungen mit heißer Feder erfolgte, sind Druckfehler nicht auszuschließen! Informieren Sie mich bitte über gefundene
Fehler. Ich werde sie umgehend korrigieren.
Teil 2 wird Aufgaben zum noch zu behandelnden Stoff betreffen.
Teil 1
Elementare Grundlagen
Aufgabe 1
a) Berechnen Sie
r
ln
1
e−1
!
+
1
ln e2 − e
2
b) Bestimmen Sie alle x ∈ R, die folgende Gleichung erfüllen:
(x − 1) (x + 3) = |x − 1|
c) Bestimmen Sie alle Lösungen x ∈ R der Gleichung:
cos (3x) = 0
Aufgabe 2
a) Stellen Sie die Formel p = 10 lg
U
V
nach V um.
b) Geben Sie alle Lösungen der Gleichung sin (2x − 1) = 0 an.
c) Berechnen Sie z 4 , wobei z =
1 − 3ejπ/2
j + 2ejπ
Aufgabe 3
a) Berechnen Sie
r
ln
e
e−1
+
1
ln (e − 1) .
2
b) Lösen Sie folgende Ungleichung: |x − 2| > 3
c) Berechnen Sie:
1
(q − 1) ·
N
P
qk
k=0
Aufgabe 4
a) Für welche reellen Zahlen x gilt:
3
x − 2 = 5
2
2
b) Lösen Sie folgende Ungleichung:
ln (3x) − ln (2x) ≥ ln (x)
c) Lösen Sie die Gleichung
1 + λe∆t
=2
1 + e∆t
nach ∆t auf.
Aufgabe 5
Lösen Sie die folgenden Gleichungen bzw. Ungleichungen für x ∈ R
a) |x + 1| ≥ 2
b) cos (2x) = 0
c) log3 (x) = 4
Aufgabe 6
1. Stellen Sie die Formel E =
U
nach r2 um.
r ln (r1 − r2 )
2. Bestimmen Sie alle x ∈ R, die folgende Gleichung erfüllen
sin
x
2
=
1√
2
2
3. Für welche reellen Zahlen x ∈ R gilt:
x 1 < 1 + 2
Aufgabe 7
1. Lösen Sie folgende Gleichung:
ln(x − 1) + ln 3 = ln(x2 − 1)
2. Lösen Sie folgende Ungleichung:
x3 − x > 0
2
3. Lösen Sie folgende Gleichung nach n auf:
p n
K = K0 1 +
100
4. Lösen Sie folgende Gleichung nach n auf:
(1 − q n ) R = Kq n+1
Komplexe Zahlen
Aufgabe 8
a) Für welche λ, µ ∈ R gilt
8 − λj
= 2 + 3j ∈ C
µ − 2j
b) Lösen Sie die Gleichung
1
=j
z2
im Bereich der komplexen Zahlen.
c) Skizzieren Sie in der komplexen Ebene alle komplexen Zahlen z ∈ C, die sich in
der Form
z = 1 + 2ejϕ
darstellen lassen. (Begründung nicht vergessen!)
Aufgabe 9
a) Berechnen Sie
Im
z2
z1 + z2
1
wobei z1 = 1 − j und z2 = 2e 2 πj
b) Es sei z = −1 − j. Berechnen Sie im Bereich der komplexen Zahlen:
1
i) z̄ −
ii) z 20
z
c) Welche der beiden komplexen Zahlen z1 =
2+j
,
1−j
z2 = 2e4j hat den größeren
Betrag?
Aufgabe 10
a) Stellen Sie die komplexe Zahl j −
√ 8
3 in der Form a + jb dar.
b) Man löse im Bereich der komplexen Zahlen die Gleichung |z| = z · z̄
c) Stellen Sie die komplexen Zahlen z = −9j in trigonometrischer und exponentieller
√
Form dar. Berechnen Sie z und geben sie das Ergebnis in der kartesischer Form
a + jb an.
3
Vektorrechnung
Aufgabe 11
Gegeben sind die Punkte P0 = (−2, −1) und P1 = (2, 3) der Ebene. Bestimmen Sie
alle Punkte P = (x, y) der
−−Ebene,
die von P0 und P1 den gleichen Abstand haben, mit
→ −−→
anderen Worten, für die P0 P = P1 P gilt.
Aufgabe 12
(a) Wo liegt die Spitze S des Vektors, der im Punkt P (4; −2; 3) angreift, in Richtung
auf Q(1; 2; 3) zeigt und die Länge s = 10 hat?
(b) Die Gerade g sei durch die Punkte P und Q aus dem Aufgabenteil a) festgelegt.
Geben Sie die Parameterdarstellung aller Ebenen E an, in denen diese Gerade
liegt.
Aufgabe 13
Ermitteln Sie die Gleichung der Ebene, die durch
 den
 Punkt
 P (2,
 3, −1) geht und senk0
1
recht auf der Geraden g steht, wobei g : ~r =  −1  + λ  2  , λ ∈ R
1
3
Aufgabe 14
Durch die Punkte P (1, 2, 3) , Q (2, 3, 1) und R (3, 2, 1) wird eine Ebene festgelegt:
a) Beschreiben Sie die Ebene durch eine Parameterdarstellung.
b) Beschreiben Sie die Ebene in analytischer Form (d.h. Ax + By + Cz + D = 0)
c) Unter welchem Winkel (in Gradmaß) schneidet die Ebene die z-Achse.
d) Berechnen Sie den Flächeninhalt des durch die obigen Punkte P, Q, R erzeugten
räumlichen Dreiecks.
e) Bestimmen Sie Gleichung einer 2.Ebene, die parallel zur gegeben Ebene ist und
den Punkt T (1, 1, 1) enthält.
Welchen Abstand haben beide Ebenen?
Aufgabe 15


−1
Die Gerade g sei durch den Punkt P = (2, 1, 3) und den Richtungsvektor ~a =  1 
−1
festgelegt.
Bestimme Sie alle Punkte S auf der Geraden g, die vom Ursprung den Abstand d = 3
haben.
4
Aufgabe 16
a ) Eine Gerade g durch die Punkte A = (1, 1, 1) und B = (5, 4, −3) verlaufe senkrecht
zu einer Ebene E. Wie lautet die Gleichung dieser Ebene, wenn P = (2, 1, 5) ein
Punkt dieser Ebene ist?


−1
b ) Bestimmen Sie alle Einheitsvektoren ~e, die zum Vektor ~a =  1  senkrecht
−1
stehen.
c ) Für welche λ, µ ∈ R sind die Ebenen
E1 : λx − 3z + 1 = 0
i) parallel
und
E2 : x + µy + 2z − 3 = 0
ii) orthogonal
Aufgabe 17
Folgende Skizze beschreibt eine Ebene:
a) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene in der Form Ax + By + Cz + D = 0
b) Bestimmen Sie den Schnittwinkel mit der die x, y− Ebene (formelmäßig und Schätzwert)
Aufgabe 18
Der Punkte P liege auf der Geraden, die durch den Ursprung O und den Punkt Q festgelegt ist.
Bestimmen Sie die Lage des Punktes P so, daß die Seitenflächen AP C und P BC
senkrecht aufeinander stehen, wobei A = (2, 0, 0) B = (0, 1, 0) C = (0, 0, 3) und
Q = (1, 1, 0) sind.
5
Aufgabe 19
Berechnen Sie den Winkel unter dem die Seitenflächen einer geraden quadratischen Pyramide zusammenstoßen, wobei a = 2 und h = 1 ist.
Hinweis:
Schnittwinkel von Ebenen
Aufgabe 20
Ein rechteckiger Tisch der Breite b und der Länge l hat senkrecht zur Tischplatte montierte Tischbeine. Die Tischbeine haben die Längen hk .
Der Tisch stehe auf einer ebenen Fläche. Welche Länge h4 muß das 4.Tischbein in Abhängigkeit von den anderen 3 Tischbeinen haben, damit der Tisch nicht wackelt?
Aufgabe 21
Von einem Würfel mit der Kantenlänge 5m wurde ein Teil abgetrennt, so dass eine ebene
Schnittfläche entsteht. (Maße siehe Skizze.)
a) Berechnen Sie mittles der Vektorrechnung den Flächeninhalt der Schnittfläche.
b) Unter welchem Winkel schneidet die entsprechende Würfeldiagonale diese Schnittfläche?
(Es genügt den Ausdruck zur Berechnung mit den entsprechend eingesetzten Werten
anzugeben)
Aufgabe 22
Wir betrachten ein räumliches Dreieck mit den Eckpunkten
A = (1, 2, −1) , B = (−2, 1, 1) , C = (−1, 3, −2)
1. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC und den Flächeninhalt der
Projektion des Dreiecks in die y, z- Ebene.
6
2. Bestimmen Sie den Parameter x ∈ R so, dass obige Punkte A, B, C und der Punkt
D = (2, x, 2) in einer Ebene liegen.
3. Bestimmen Sie die Ebene E, auf der das Dreiecke ABC senkrecht steht und die
Dreiecksseite AB enthält. (vgl.Skizze)
Aufgabe 23
Wir betrachten das Dreick ABC mit den Eckpunkten
A = (2; 5) , B = (4; 1) und C = (6; 3)
Bestimmen Sie mittels der Methoden der Vektorrechnung den Schnittpunkt S der
beiden eingezeichnetem Seitenhalbierenden
Matrizen, Determinanten, LGS
Aufgabe 24
Lösen Sie folgende Gleichung XA =
Aufgabe 25
Gegeben seien die Matrizen


1 1
1
A =  1 −1 1 
1 2
4
BT ,
1 −1
1 1
a 1 1
1 b −1
wobei A =
und B =
und B =
1 1 −1
−1 1 1
(a, b ∈ R)
a) Bestimmen Sie unter Verwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens A−1 .
b) Lösen Sie unter Verwendung der Umkehrmatrix A−1 die Matrizengleichung
XA = B
Aufgabe 26
Lösen Sie folgendes Gleichungssystem
2x + 2y − z = 3
x − y + 2z = 2
x + 3y − 3z = 1
7
Aufgabe 27


1 0 a
Wir betrachten die Matrix A =  0 1 0  (a ∈ R)
−a 0 1
a) Berechnen Sie AT A.
b) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A
c) Bestimmen Sie A−1 (falls möglich)


1 −1 1
d) Lösen Sie die Gleichung XA = B, wobei B =  −1 1 −1 
1 −1 1
Aufgabe 28
Zwei Geraden
sich durch
 lassen 

0
1
g1 : ~r =  1  + t ·  −1  , t ∈ R
2
0
 


a
0
g2 : ~r =  0  + s ·  b  , s, a, b ∈ R
2
−3
beschreiben.
a) Ist es möglich, a und b so zu wählen, dass die Geraden parallel sind?
b) Ist es möglich, a und b so zu wählen, dass sich die Geraden schneiden?
Aufgabe 29
Unter Verwendung des Gauß-Jordan-Verfahrens untersuche man, für welche Werte
a ∈ R das folgende Gleichungssystem.
ax + y + z =
1
2x − ay + z =
0
x − y − z = −1
lösbar ist und gebe die Lösung an.
Aufgabe 30




0 −1 1
a 1 1
1 0  gegebene Matrizen .
Seien A =  1 1 1  (a ∈ R) und B =  −1
0 −1 1
1 1 1
Für welche a ∈ R besitzt die Gleichung A~x = B~x nichttriviale Lösungen ~x ∈ R3 , ~x 6= ~0 ?
Man bestimme gegebenenfalls diese Lösungen.
Aufgabe 31
Wir betrachten
AX
die Matrizengleichung
= 2B + X,
2 −1
1 −1
wobei A =
,B=
2 λ
2 0
a) Stellen Sie die Matrizengleichung AX = 2B+X nach X um. Ist das immer möglich?
b) Bestimmen Sie X in Abhängigkeit von λ
Aufgabe 32
Wir betrachten
XA
die Matrizengleichung
= 3B + 2X,
λ −1
−1 1
wobei A =
,B=
1 2
1 2
a) Stellen Sie die Matrizengleichung XA = 3B + 2X nach X um. Ist das immer
möglich?
b) Bestimmen Sie X in Abhängigkeit von λ.
8
Aufgabe 33




 
1 1 1
−1 1 −1
2
Gegeben seien A =  1 2 −1  , B =  1 −1 1  und ~b =  0 
2 a 1
−2 1 −1
4
Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Parameters a alle Lösungen ~x des Gleichungssystems
A~x = B~x + ~b
Aufgabe 34
Sei A eine quadratische (n, n) −Matrix mit A3 = 0, wobei 0 die Nullmatrix bezeichnet.
Zeigen Sie,daß
(E − A)−1 = E + A + A2
gilt.
Aufgabe 35
x y 1 a) Berechnen Sie D (x, y) = x1 y1 1 x 2 y2 1 b) Begründen Sie, warum die Gleichung D (x, y) = 0 eine Gerade der Ebene beschreibt, die durch die Punkte (x1, y1 ) und (x2, y2 ) geht,
Aufgabe 36
Zeigen Sie:
Drei Geraden Ak x + Bk y + Ck = 0 (k
genau einem Punkt (x0 , y0 ) wenn
A1 B1
A2 B2
A3 B3
= 1, 2, 3) der x, y - Ebene schneiden sich in
C1
C2
C3
=0
Aufgabe 37
Für welche
Werte 
von a, b, c ist



−1 5
3
2 a
3
1
0 die inverse Matrix von B =  −1 7
3 ?
A= b 1
2
3 −2 c
1 −1 −1
Aufgabe 38
Das lineare
A~x = ~b habe die beiden Lösungen
 Gleichungssystem


1
1
~x1 =  3  und ~x2 =  −3 
2
4
Geben Sie weitere Lösungen an.
Aufgabe 39




1
−4
a) Seien ~a =  2  , ~b =  −4  gegebene Vektoren. Bestimmen Sie alle Vektor
3
4
~x, die die Beziehung
~a × ~x = ~b
erfüllen.
b) Welche Bedingung müssen ~a, ~b erfüllen, damit es überhaupt eine Lösung von ~a ×
~x = ~b geben kann?
9
Aufgabe 40
Welche Werte müssen die Elemente a und b der Matrix X =
diese Matrix eine Lösung der Matrizengleichung
XT · X = B
17 11
ist?
11 13
Aufgabe 41
Für welche Wert von λ ∈ R besitzt die Matrix

1
0
 −1 0
A=
 1 −5
λ
0
mit B =
keine Inverse A−1 .
10

−2 λ
2
4 

−2 −4 
1
2
1 a
b 2
haben, damit
Lösungen
1 a) 12 b) x1 = 1, x2 = −4
2 a) V = U · 10−p/10
c) xk =
b) xk =
kπ + 1
2
π
6
+ k π3 , k ∈ Z
k∈Z
c) z 4 = −4
1
b) (−∞, −1) ∪ (5, ∞) c) q N +1 − q N
2
4 a) x1 = 3, x2 = − 31 b) 0 < x ≤ 23 c) ∆t = − ln(λ − 2)
π
5 a) (−∞, −3] ∪ [1, ∞) b) x ∈ (2n + 1) , mit n ∈ Z c) x = 81
4
U
π
3π
b) xn =
6 a) r = r1 − e rE
+ 4nπ, bzw. xn =
+ 4nπ, wobei n ∈ Z
2
2
x ∈ (−∞, −4) ∪ (0, ∞)
3 a)
b) x ∈ (−1, 0) ∪ (1, ∞)
7 a) x = 2
c) n =
c)
ln(K/K0 )
ln(1 + p/100)
8 a) λ = µ = 1 b) z0 = e3πj/4 , z1 = −e3πj/4 c) Keis mit Radius 2 um (1, 0)
√
5
j
π
1
9 a) 4 b) i) − 2 + 2 ii) −1024 c) |z1 | =
< |z2 | = 2
2
√
3π
3π
10 a) −128+128· 3j b) z = 0 oder z = ejϕ c) z = 9ej 2 = 9 cos( 3π
2 ) + j sin( 2 ) , w1,2 =
±3ej
3π
4
√
= ±3 ·
2
2 (−1
+ j)
11 P = (−t, 1 + t), t ∈ R, beliebig
12
(a) S = (−2; 6; 3)

 



a
−3
4
(b) ~r =  −2  + t  4  + s  b  ,
c
0
3
a, b, c beliebig
13 x + 2y + 3z = 5
14





1
2
1
a) ~r =  2  + s  1  + t  0 
−2
−2
3

b) x + y + z − 6 = 0
√
c) arccos(1/ 3) = 54, 74◦ (damals war Taschenrechner noch erlaubt)
√
d) A = 3
√
e) x + y + z − 3 = 0, d = 3
15 S1 = (1/3, 8/3, 4/3) S2 = (1, 2, 2)
16
a ) 4x + 3y − 4z + 9 = 0

b ) ~a =
√
1
2u2 +2uw+2w2

u
 u+w 
w
11
c)
i)λ = −3/2, µ = 0
ii) λ = 6, µ beliebig
17 a) 6x + 3y + 2z − 6 = 0 b) ϕ = arccos(2/7) ≈ 730
18 P = (0, 0, 0) oder P = ( 32 , 32 , 0)
1
19 arccos(ϕ) =
1+
2h 2
a
=
1
2
=⇒ ϕ = 600
20 h4 = h1 + h3 − h2
√
40
21 a) 544 m b) arcsin √ √
3 544
√
22 a) 12 51, Projektion: 12 b) x = 20
7
c) 3(x + 2) − (y − 1) + 4(z − 1) = 0
23 S = (4; 3)


1 0
24 X =  0 1 
−1 0


1
1
− 13
1
3
a
a − 13 − 31 a + 13
1
1
−1
3


−2 0
b) 1
25 a) A =
3
1
1
2
− 32
1
1
2b + 2 −2b + 6
− 12
6
3



  
−3/4
7/4
x
26  y  =  −1/4  + t  5/4 
1
0
z

 2
a +1 0
0
 b) λ1 = 1, λ2 = 1 − ja, λ3 = 1 + ja
0
1
0
27 a) 
2
0
0 a +1
 1

 1+a

−1 a1−a
0 − a2a+1
2 +1
a2 +1
a2 +1
 , d) X =  − 1+a

1 aa−1
1
0
c) A−1 =  0
2 +1
a2 +1
1
a
1+a
1−a
0 a2 +1
−1 a2 +1
a2 +1
a2 +1
28 a) nein b) ja, a = 1, b beliebig
1
a
,z =
a+1
a+1
1
2
Für a = −1 : x = − , y = − t, z = t, wobei t ∈ R, beliebig
3
3


−2
30 Für a = 1, ~x = t ·  1 , t ∈ R, beliebig
4
29 Für a 6= −1 : x = 0, y =
−1
31 a) X = 2 (A − E)
B, falls det (A − E) 6= 0
2λ+2
λ−1
−2 λ+1
λ+1
b) für λ 6= −1 : X =
4
0
λ+1
für λ = −1 keine Lösung.
32
−1
a)] X = 3B
(A − 2E) falls
det (A − 2E) 6= 0
−1 λ − 3
b)] X = 3
−2 2λ − 3
33
1.Fall a 6= 4


1
~x =  0 
0
12


1−t
2.Fall a = 4
~x =  2t/3  , t ∈ R
t
34 Es gilt E + A + A2 (E − A) = E
35
a) x (y1 − y2 ) + y (x2 − x1 ) + (x1 y2 − x2 y1 )
b) x (y1 − y2 ) + y (x2 − x1 ) + (x1 y2 − x2 y1 ) = 0 ist eine Geradengleichung
Für (x1, y1 ) und (x2, y2 ) gilt D (x, y) = 0, da in Determinante 2 Zeilen gleich oder
nachrechnen
36

A1 B1
 A2 B2
A3 B3
nur möglich
   
C1
x
0
C2   y  =  0  homogenes LGS mit Lösung ~x 6= ~0
C3
1
0
,wenn det(A) = 0
37 a = −1, b = −1, c = 1
38 ~x (t) = ~x1 + t (~x2 − ~x1 ) ist Lösung. z.B. t =
39

a)

 
0
1
~x =  4  + t  2 
4
3
b) notwendige Bedingung: ~a ⊥ ~b
40
Lösung: a = 3, b = 4
41 λ1,2 = −4, − 12
13
1
=⇒ ~x = (~x1 + ~x2 ) = (1, 0, 3)T
2