Datensicherheit

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Wintersemester 2012/13
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Datensicherheit
1. Aufgabe
Abgabeschluss für dieses Blatt ist Mittwoch, der 17. Oktober 2012, um
15:00 Uhr im Briefkasten vor Raum 1/266 oder direkt zu Beginn der
Übung beim Tutor. Bis auf weiteres sind nur Einzelabgaben erlaubt.
Aufgabe 1a [5 Punkte] Für ganze Zahlen a, n mit n ≥ 1 ist der Rest von a bei
Division durch n, bezeichnet mit a modulo n, definiert als
a mod n := a − ba/nc · n.
Zeigen Sie: ab mod n = a · (b mod n) mod n.
Aufgabe 1b [5 Punkte] Rechnen Sie in Restklassenringen
• Addition/Subtraktion:
12 + 18 mod 21
12 − 18 mod 21
• Multiplikation:
4 · 3 mod 12
−4 · 8 mod 12
4 · 9 mod 12
17 · 5 · 21 mod 12
• Ermittlung der Inversen bzgl. Multiplikation, falls diese existiert, von:
12 mod 13
7 mod 21
• Potenzieren:
461 mod 9
542 mod 11
Aufgabe 1c [5 Punkte] Zeigen Sie: Für eine natürliche Zahl n und ganze Zahlen a
und b gilt a mod n ≡ b mod n genau dann, wenn n | (a − b).
Aufgabe 1d [5 Punkte] Sei ggT(a, b) ∈ N der größte gemeinsame Teiler zweier
natürlicher Zahlen a und b.
Zeigen Sie:
1. Aus ggT(a, m) = 1 und ggT(b, m) = 1 folgt ggT(a · b, m) = 1.
2. Aus ggT(a, m) = 1 folgt a · i 6≡ a · j mod m für 0 ≤ i < j < m.
3. Seien a, b ∈ Z und d, m ∈ N mit dm und a ≡ b mod m, so gilt auch a ≡
b mod d.
4. Für ggT(a, m) = 1 gilt: es existiert ein x ∈ Zm , so dass a · x ≡ 1 mod m.