[b, c] ⊂ R ,b<c definieren wir EI = I dEo . (62) EIprojiziert auf den

31
Für jedes Intervall I := [b, c] ⊂ R , b < c definieren wir
�
df
EI =
dEo .
(62)
(4) Sei M(O) nicht entartet. Dann ist mit obiger Notation
W (o ∈ I ⊂ M(O) , |ψ� ∈ Z)
�
=
do |�ψ|o�|2
I
EI projiziert auf den Unterraum von Z, in dem die
Zustände liegen, die zu Eigenwerten o ∈ I ⊂ M(O) der
Observablen O gehören. Die Wahrscheinlichkeit W(o ∈
I ⊂ M(O) , |ψ� ∈ Z), daß eine Messung von O am physikalischen System im Zustand |ψ� ∈ Z einen Meßwert
o ∈ I ⊂ M(O) im Intervall I liefert ist
W (o ∈ I ⊂ M(O) , |ψ� ∈ Z) = �ψ|EI |ψ� .
die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer Messung der
Observablen O an einem physikalischen System im
Zustand |ψ� einen Meßwert im Intervall I zu beobachten.
(63)
Für diese Konstruktion ist essentiell, daß I � b, c : b <
c, da keine Projektoren auf einzelne Zustände |o� , o ∈
M(O) existieren, noch schlimmer: �|o� ∈ Z : O|o� = o|o�.
Eine kreativere Charakterisierung unbeschränkter Observablen verdanken wir Dirac. Dirac hat hemmungslos
angenommen, daß Eigenzustände |o� in irgend einem Sinne existieren müssen. Diese mutige Annahme konnte im
Rahmen von sogenannten Gel� fand − Tripeln mathematisch konsistent realisiert werden, aber das ist Thema
einer anderen Vorlesung. Wir lassen uns von Dirac’s erfahrener Leichtigkeit anstecken und postulieren folgende
empirische Regeln:
Diese empirischen Regeln können als kontinuierliche Verallgemeinerung der diskreten Beschreibung aus Abschnitt
III C angesehen werden. Regel (1) ist natürlich mit Vorsicht zu genießen, da im Falle o� �= o dem Zustand |o�
ja keine vernünftige Norm zugeordnet werden kann. Von
Neumanns Konstruktion erlaubt folgende Meinung: im
Prinzip sollten wir mit einer kontinuierlichen Überlagerung von Zuständen arbeiten, deren zugehörigen Eigenwerte in einem abgeschlossenen Intervall liegen. Aber das
ist mühsam.
Der heuristische Anschluß an von Neumanns Beschreibung unbeschränkter Observablen ist folgendermaßen
gut einprägsam:
(1) Gibt es Zustände {|o�}o∈M(O) mit O|o� = o|o� für
o ∈ M(O), wobei M(O) = R möglich ist, so können
diese in folgendem verallgemeinerten Sinne orthonormiert werden:
�o� |o� = δ (o� − o) , o, o� ∈ M(O) .
VI.
M(O)
(3) Folgende Rechnung macht Sinn: Seien |ψ�, |φ� ∈ Z.
Dann ist
�
�
�ψ|φ� =
do
do�
�
M(O)
�
�ψ|o��o|o ��o |φ�
=
≡
�
�
M(O)
do �ψ|o��o|φ�
do ψ ∗ (o)φ(o) .
(66)
M(O)
Insbesondere gilt:
�
�|ψ��2 ≡ �ψ|ψ� =
do |�ψ|o�|2
M(O)
�
≡
do |ψ(o)|2 .
M(O)
dEo = do |o��o| .
(64)
(2) Jeder Zustand | z � ∈ Z kann nach den verallgemeinersten Eigenzuständen entwickelt werden:
�
| z� =
do |o��o | z � .
(65)
M(O)
(68)
I⊂M(O)
(67)
(69)
KONSTRUKTION VON OBSERVABLEN I
— ELEMENTARE OBSERVABLEN
Elementare Observablen heißen die Observablen,
die in einem bestimmten Sinne zu den klassischen Observablen korrespondieren, die den Phasenraum eines mechanischen Systems bilden, also Ort und Impuls. In der
Klassischen Mechanik lassen sich aus diesen dann alle
anderen Observablen in bekannter Weise konstruieren.
A.
Ort als quantenmechanische Observable
Gegeben sei ein quantenmechanisches System im Zustand | z � ∈ Z. Zum Beispiel kann | z � den Zustand
eines freien Teilchens beschreiben, welches sich irgendwo
auf dem reellen Zahlenstrahl R1 befinde. Sicherlich ist es
legitim zu fragen, und diese Frage stellen wir uns klassisch gewohnheitsmäßig, wo sich das Teilchen im Zustand
| z � zum Zeitpunkt der Ortsmessung befindet?
Diese Frage ist der Anker unserer Konstruktion von
Observablen. In diesem Stadium brauchen wir empirische Erfahrungen, die wir klug in unsere mathematische Modellbildung einbeziehen. Da es sich um ein freies
Teilchen handelt, kann es a priori jeden Punkt im R1
als Ort einnehmen. Bezeichnen wir die Ortsobservable mit Oq , so gilt sicherlich M(Oq ) = R1 . Es handelt
sich also um eine unbeschränkte Observable. Es gibt nun
32
Zustände |x� , x ∈ M(Oq ), in denen Orte gespeichert werden können, und aus denen diese folgendermaßen ausgelesen werden können Oq |x� = x|x� , x ∈ M(Oq ). Diese Ortsspeicher sind verallgemeinerte Eigenzustände von
Oq , und wir erinnern uns, daß |x� ∈
/ Z.
Der Ausleseprozeß (die Ortsmessung) setzt voraus, daß
unser Meßgerät (Detektor) irgendwo auf R1 stationiert
wird. Sagen wir, der Detektor nehme das abgeschlossene
Intervall I ⊂ R1 ein. Ausschließlich im Detektorintervall
kann das Teilchen nachgewiesen werden, d.h. wenn gilt
�
�
dx |x��x | z � = | z � −
dx |x��x | z �
I⊂M(Oq )
M(Oq )/I
�= 0 .
(70)
Das Teilchen muß sich offenbar entweder im Detektorintervall befinden oder außerhalb davon:
�
| z� =
dx |x��x | z �
=
�
I∪(M(Oq )/I)
R
dx |x��x | z � .
(71)
Daraus folgt, daß die Wahrscheinlickeit dafür, das Teilchen im Detektor vorzufinden (also dafür, daß der Detektor das Teilchen nachweist) folgendermaßen gegeben
ist:
�
W (x ∈ I, | z � ∈ Z) =
dx |Z(x)|2
I
= 1 − W (x ∈ M(Oq )/I, | z � ∈ Z) .
(72)
wobei wir Z(x) := �x | z � gesetzt haben. In der Literatur wird W (x ∈ I, | z � ∈ Z) oft die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens im Detektor genannt, oder
auch
Der Erwartungswert E(Oq , | z �) := �z|Oq | z � für
den Ort des Teilchens im Zustand | z � ∈ Z ist
�
E(Oq , | z �) ≡ �z|Oq | z � =
dx |Z(x)|2 x . (73)
R
Die Interpretation dieses Ausdrucks ist klar: |Z(x)|2 ist
das Gewicht (die Wahrscheinlichkeit) dafür, das Teilchen
am Ort x ∈ R vorzufinden, und das Integral summiert
alle möglichen Aufenthaltsorte mit ihrer entsprechenden
Gewichtung auf. Die Gewichte sind wie üblich normiert:
E(id, | z �) = �z | z � = 1, wobei id | z � =| z � , | z � ∈
Z. Nun muß auch |z� � := Oq | z � normierbar sein, also
E(id, |z� �) < ∞. Dies führt auf
�
dx |Z(x)|2 x2 < ∞ .
(74)
R
Dies ist der Ausgangspunkt für eine anständige Definition
der Ortsobservablen:
Def. VI.1 (Ortsoperator) Sei Z = L2 (R) und D(Oq )
der Definitionsbereich von Oq ,
�
�
�
D(Oq ) = Z ∈ L2 (R) :
dx |Z(x)|2 x2 < ∞ .(75)
R
Für Z ∈ D(Oq ) setzen wir (Oq Z)(x) = xZ(x).
Offenbar ist Oq unbeschränkt, wir brauchen lediglich
Z ∈ L2 (R) mit Träger nahe bei ±∞ zu wählen. So
können wir �Oq Z� beliebig groß werden lassen, und
gleichzeitig �Z� = 1 haben. Natürlich macht der Ausdruck xZ(x) auch dann noch Sinn, wenn Z ∈
/ D(Oq ),
aber es ist dann halt xZ(x) ∈
/ L2 (R). Wir sehen jedoch,
daß es aus physikalischen Gründen unerläßlich ist, nur
Z ∈ D(Oq ) ⊂ L2 (R) zu erlauben, weswegen obige Einschränkung des Definitionsbereiches vorgenommen werden muß. Dabei ist D(Oq ) der größte Definitionsbereich,
für den Oq Z ∈ L2 (R) gilt.
Die Verallgemeinerung auf R3 als Ortsraum macht keine große Mühe. Allerdings lohnt es sich, auf eine konzeptionelle Überlegung hinzuweisen. Bezeichnen wir mit Oq1
die Ortsobservable, mit deren Hilfe die Ortsinformation
entlang der q1 –Richtung ausgelesen werden kann, und ensprechend mit Oq2 die Ortsinformation entlang der q2 –
Richtung. Das quantenmechanische System liege im Zustand | z � ∈ Z vor. Eine interessante Frage ist nun, ob
die Reihenfolge der Ortsmessungen eine Rolle spielt? Es
ist eine Erfahrungstatsache, daß auf den Längenskalen,
die uns in dieser Vorlesung interessieren, Ortsmessungen
kommutieren: [Oq1 , Oq2 ] | z � = 0 ∀ | z � ∈ Z, d.h. die
Reihenfolge der Ortsmessungen ist unerheblich, Ortsoperatoren kommutieren. Wir ahnen bereits, daß dies keine
Selbstverständlichkeit ist. Andererseits betrachten wir im
Moment nur quantenmechanische Systeme im Euklidischen Vektorraum, der mit einer klassischen Geometrie
ausgestattet ist. Die Fragestellung, ob diese Geometrie
quantisiert werden kann, liegt außerhalb dieses Vorlesungsrahmens.
B.
Impuls als quantenmechanische Observable
Gegeben sei eine klassische Observable B : P −→ R
auf dem Phasenraum P ∼
= T ∗M ∼
= R3 × R3 eines mechanischen Systems, und (q, p) ∈ P. Wir vergleichen jetzt
B(q + a, p) , a ∈ R3 mit B(q, p). Ohne große Bedenken
gilt formal: B(q + a, p) = (1 + ∇a + . . . )B(q, p), wobei
∇a ≡ a · ∇ die Richtungsableitung in Richtung a bezeichne. Also können wir in der Klassischen Mechanik
einen Translationsoperator einführen. Bezeichne O(P)
die Menge der Observablen auf P, so ist eine endliche
Translation in Richtung a ∈ R3 folgendermaßen gegeben: Ta : O(P) −→ O(P), definiert als B −→ Ta (B) :=
B ◦ Ta , wobei
df
(Ta (B))(q, p) = B(q + a, p)
= exp (∇a )B(q, p) .
(76)
Nun ist es oft zweckmäßiger direkt mit dem Generator
Gâ für Translationen in Richtung â ≡ a/�a�
df
Gâ =
lim dTa /d�a�
�a�→0
(77)
33
zu arbeiten, wobei die Abbildungsvorschrift klar sein sollte. Somit ist Gâ = ∇â der (infinitesimale) Generator für
Translationen in Richtung â. Offenbar handelt es sich bei
Translationen um eine Abelsche Gruppe, d.h. die Generatoren für Translationen kommutieren. Ist ein mechanisches System invariant unter räumlichen Translationen
(Homogenität des Raumes), so impliziert diese Symmetrie mittels eines Satzes von Noether die Erhaltung des
linearen Impulses.
Es ist instruktiv, eine algebraische Vorschrift für Translationen zu finden. Dazu betrachten wir die Fourier–
Transformierte von B(q, p), die wir folgendermaßen no� p)](q, p). Damit wird aus (76):
tieren: B(q, p) = FT [B(k,
� �
��
� p)] (q, p) =
Ta FT [B(k,
�
�
� p) (q, p)
FT exp (i�a, k�)B(k,
(78)
Der Generator für Translationen in Richtung â im
Fourier–Raum ist also gerade �â, ik�. Für den Spezialfall,
daß â mit einem Einheitsvektor unseres Koordinatensystems zusammenfällt, finden wir somit, daß der zugehörige Generator im Fourier–Raum gerade die entsprechende
Komponente des zu q Fourier–konjugierten Impulses ist.
Wir merken uns als wichtiges Resultat folgende Fourier–
Korrespondenz: ∇ =
� ik.
Noch ein Wort zu den Maßeinheiten: Eigentlich hat k
die Maßeinheit einer inversen Länge L, [k] = 1/L. Dies
garantiert, daß �a, k� frei von Maßeinheiten ist. Damit
trägt k aber nicht die Maßeinheit, die zu einem Impuls
gehört: [Impuls] = M L/T , wobei M für die Maßeinheit
von Masse steht, und T für die Maßeinheit in der Zeit
gemessen wird. Wir werden weiter unten sehen, daß k
mittels einer dimensionsbehafteten Konstante so reskaliert werden kann, daß k ∝ Impuls gilt.
Unsere Sichtweise ist jetzt folgende: In der Klassischen
Mechanik ist der Impuls definiert als der Generator
von räumlichen Translationen, wenn diese im Fourier–
Raum ausgewertet werden. Diese operationelle Sichtweise übertragen wir nun in die Quantenmechanik. Zunächst
einmal müssen wir das Konzept von Translationen in die
Quantenmechanik übertragen. Das prinzipiell (also nicht
nur für diesen Fall) geeignte Mittel zum Übertragen von
klassischen Konzepten ist Darstellungstheorie.
Def. VI.2 Sei G eine (Matrix–) Gruppe, Z ein komplexer Hilbert–Raum und U (Z) die unitäre Gruppe von Z.
Eine unitäre Darstellung von G in Z ist ein Gruppenhomomorphismus
U : G −→ U (Z) ,
(79)
der in folgendem Sinn stetig ist: Für alle konvergenten Folgen (gν ) in G und alle |ψ� ∈ Z gilt: Die Folge
(U (gν )|ψ�) konvergiert bezüglich der Norm in Z und es
gilt lim U (gν )|ψ� = U (lim gν )|ψ�.
Die Darstellung heißt treu, wenn U injektiv ist, also
wenn G isomorph zur Untergruppe U (G) ⊂ U(Z) ist.
Die Qualifikation unitär spielt eine wichtige Rolle, weil
sie grantiert, daß die Darstellung auf Z normerhaltend
operiert.
Betrachten wir einmal etwas umständlich für | z � ∈ Z,
Z ∈ D(Oq ), x, x� ∈ M(Oq ) und a ∈ R3 :
�
(U (Ta )Z)(x) ≡ �x|U (Ta ) | z � =
d3 x� �x|U (Ta )|x� ��x� | z �
R3
�
df
=
d3 x� �x|x� + a��x� | z �
R3
= Z(x − a)
= (exp (−∇a )Z) (x) .
(80)
Es fällt auf, daß U (Ta ) nicht manifest unitär ist. Das
bedeutet nicht, daß die Darstellung nicht unitär ist, sondern zunächst einmal lediglich, daß die Unitarität der
Darstellung nicht offenkundig ist. Aber dies bedeutet
auch, daß wir noch nicht davon ausgehen können, daß
U (Ta )|x� = |x + a� eine sinnvolle Vorschrift ist.
Wir beginnen ganz heuristisch ohne allzu große Bedenken technischer Natur. In Anlehnung an den klas�
sischen Fall betrachten wir Z(x) = FT [Z(k)](x)
�
und rechnen (U (Ta )Z)(x) = (U (Ta )FT [Z(k)])(x) =
�
FT [exp (i�a, k�)Z(k)](x).
Dabei haben wir benutzt, daß
∇ exp (i�k, x�) = ik exp (i�k, x�) .
(81)
Dies suggeriert, daß ∇/i ein unbeschränkter Operator ist
mit ebenen Wellen als Eigenfunktionen zu Eigenwerten
k ∈ R3 , M(∇/i) = R3 . Damit ist ∇/i ein guter Kandidat
für eine Observable. Außerdem ist seine Interpretation
evident: Modulo dem oben angesprochenen Problem mit
den Maßeinheiten ist ∇/i ∝ Op , dem Impulsoperator (der
Observable Impuls in der Quantenmechanik).
Lassen Sie uns das Problem mit den Maßeinheiten ein
für alle Mal aus der Welt schaffen, bevor wir mit der
Konstruktion fortfahren. De Broglie hatte 1924 eine ungemein revolutionäre Idee. Er fand es angebracht (wir
folgen hier nicht der historischen Entwicklung und halten uns eher bedeckt, was wellenmechanische Ideengeschichte betrifft, da dies aus heutiger Sicht nicht mehr
so relevant zu sein scheint), Teilchen Welleneigenschaften zuzusprechen. Für ein Teilchen der Masse m mit
einer Geschwindigkeit v � c soll nach de Broglie folgende Beziehung zwischen dem Impuls p dieses Teilchens im Laborsystem und der diesem Teilchen über seine
Welleneigenschaft zugeordnete Wellenlänge λ bestehen:
λ = h/p, dabei ist h eine dimensionsbehaftete Konstante mit [h] = [Wirkung] = M T . Es stellte sich heraus,
daß h gerade die Planck–Konstante (auch Plancksches
Wirkungsquantum). Nach de Broglie vermittelt das Wirkungsquantum gerade die Konversion zwischen Teilchen–
und Welleneigenschaften der Materie. Für uns ist wichtig, daß Op = �∇/i, wobei � := h/2π.
Bei unserer heuristischen Untersuchung haben wir also folgendes gefunden: Generator für räumliche Translationen von quantenmechanischen Zuständen ist der Impulsoperator Op = �∇/i mit M(Op ) = R3 , und
Op N exp (i�p, x�/�) = p N exp (i�p, x�/�) , (82)
34
wobei N eine Konstante bezeichnet. Offenbar liegen die
Eigenfunktionen von Op nicht in Z. Eine rigorose Untersuchung bezüglich der Fragestellung, ob Op selbstadjungiert ist oder eine selbstadjungierte Erweiterung besitzt
wird hier nicht gegeben und ist Gegenstand der Theorie Linearer Operatoren in Hilbert–Räumen. Wir halten
fest:
Die Konstante N bestimmt sich aus der Rechnung
(p, p� ∈ M(Op ))
�
�p|p� � =
d3 x �p|x��x|p� �
R3
�
2
= |N |
d3 x exp (i�x, p − p� �/�)
R3
2
Def. VI.3 (Impulsoperator) Sei AC(R) die Menge
der absolut stetigen Funktionen auf R. Der Impulsoperator Op ist definiert durch: D(Op ) = AC(R) und
(Op Z)(x) = −i�Z � (x) , Z ∈ AC(R).
Bemerken Sie, daß die Definition für eine Komponente
der Impulsobservablen gegeben wurde. Wichtig ist nun
der
Satz VI.1 Es gilt Op = Op† , d.h. der Impulsoperator ist
selbstadjungiert.
Weiter oben, Gleichung (80), haben wir gefunden, daß
U (Ta ) = exp (−∇a ) ist. Dies können wir aber auch so
notieren: U (Ta ) = exp (−ia Op /�). Da Op selbstadjungiert ist, ist U (Ta ) unitär (nach einem Satz von Stone). Wir müssen hier natürlich vorsichtig sein mit dem
Verständnis von U (Ta ) als Exponentialfunktion, da Op
unbeschränkt und selbstadjungiert ist.
So einsichtig diese Konstruktion der quantenmechanischen Impulsobservablen analog zur operationellen Vorschrift in der Klassischen Mechanik verläuft, so bricht sie
doch mit einer modernen Einsicht, nämlich, daß essentielle Informationen des quantenmechanischen Systems
immer von den Zustandsvektoren | z � ∈ Z getragen
werden und Wellenfunktionen wie Z(x) ≡ �x | z � oder
Z(p) ≡ �p | z � lediglich wegen ihres anschaulichen Charakters Einzug finden. Mathematisch könnten wir an dieser Stelle entgegnen, daß Wellenfunktionen wenigstens in
einem Hilbert–Raum liegen, aber das ist nur auf der formalen Ebene von einer gewissen strukturellen Relevanz.
Mit Dirac fordern wir die Existenz von Eigenzuständen
{|p�}p∈M(Op ) zu Op :
Op |p� = p|p� ,
(83)
auch wenn diese nicht normierbar sind, wichtig zur Naturbeschreibung ist ja vielmehr
�
Z � Op | z � =
d3 x |x��x|Op | z �
R3
�
=
d3 x |x� (Op Z) (x) ,
(84)
R3
woraus folgt, daß �x|Op | z � = Op Z(x). Insbesondere
erhalten wir daraus die nützliche Beziehung �x|Op |p� =
Op �x|p�. Die Eigenwertgleichung (83) lautet dann ausgedrückt durch Wellenfunktionen: Op �x|p� = p�x|p�. Ein
Vergleich mit (82) liefert:
�x|p� = N exp (i�x, p�/�) .
(85)
3
= |N | (2π�) δ (3) (p − p� ) .
(86)
!
Wir wählen in Einklang �
mit �p|p� � = δ (3) (p − p� ) die Kon+
stante als R � N = 1/ (2π�)3 .
Es ist zwar fast schon offensichtlich, aber trotzdem instruktiv: Den Zusammenhang zwischen den Wellenfunktionen Z(x) und Z(p) erhalten wir ganz zwanglos:
�
Z(x) ≡ �x | z � =
d3 p �x|p��p | z �
=
�
R3
R3
�
d3 p
(2π�)3
Z(p) ≡ �p | z � =
=
�
R3
�
�
R3
d3 x
(2π�)3
exp (i�x, p�/�)Z(p) ,
d3 x �p|x��x | z �
exp (−i�x, p�/�)Z(x) , (87)
was noch einmal die Praktikabilität von Diracs Notation eindrucksvoll unterstreicht, insbesondere, wenn wir
uns auch noch zu einer Verallgemeinerung der Einsteinschen Summenkonvention durchringen könnten. Dann
wären die Fourier–Transformationen kurz und bündig
wie folgt notiert: Z(x) ≡ �x | z � = �x|p��p | z � und
Z(p) ≡ �p | z � = �p|x��x | z �, wobei |p��p| = id und
|x��x| = id benutzt wurde in dieser Schreibweise. Sie
verlangt eine gewisse Erfahrung, denn zum Beispiel ist
(Op Z)(x) ≡ �x|Op | z � = �x|Op |p��p | z � = p�x|p��p |
z � �= p�x | z � = pZ(x) wenn | z � kein Eigenzustand von
Op ist.
C.
Verträglichkeit
Die sich aufdrängende Frage ist nun, ob sich ein Analogon zum Phasenraum der Klassischen Mechanik finden läßt. Dies setzt voraus, daß Ort und Impuls an einem quantenmechanischen System im Zustand | z � ∈
Z quasi simultan gemessen werden können, d.h., daß
Orts– und Impulsmessung sich nicht beeinflussen dürfen.
Dies können wir sofort überprüfen: Bezeichne Oq =
{Oq1 , Oq2 , Oq3 }, wobei q a ≡ �ea , q� , a ∈ {1, 2, 3}, und
Op = {Op1 , Op2 , Op3 }, mit pb ≡ �eb , p� , b ∈ {1, 2, 3},
usw. Dann ist
[Oqa , Opb ] | z � = (Oqa ◦ Opb − Opb ◦ Oqa ) | z � ,
Oqa ◦ Opb | z � = xa pb |x��x|p��p | z � ,
Opb ◦ Oqa | z � = −i�δba | z � + pb xa |p��p|x��x | z � (88)
.