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Arbitrage Free Pricing
Beim CAPM wurde gezeigt, dass man Finanztitel basierend auf
der Verteilung ihres künftigen Preises bewerten kann. Dabei
haben wir [unter der Annahme gewisser Präferenzen des ETs]
den Preis eines Finanztitels basierend auf der Kovarianz seiner
Rendite mit der sog. Marktrendite ermittelt.
Nicht bei jedem Finanztitel, der am Markt gehandelt wird, ist aber
eine solche Bewertung sinnvoll.
Finanztitel, die sichere Auszahlungen zu je bestimmten künftigen
Zeitpunkten bzw. Naturzuständen aufweisen (Anleihen, Forward
Contracts etc.), sind primär basierend auf dem No-ArbitragePrinzip zu bewerten!
Quantitative BWL: Finanzwirtschaft
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Arbitrage Free Pricing
Arbitrage ist eine Transaktion, welche in keinem Zeitpunkt bzw.
Naturzustand eine negative Auszahlung liefert, und mindestens
in einem Zeitpunkt bzw. Naturzustand eine positive Auszahlung
bietet. In anderen Worten, eine Transaktion, die einen
risikolosen Gewinn ohne jegliche Anfangsinvestition (free lunch)
ermöglicht!
Das No-Arbitrage-Prinzip verlangt, dass es am Markt keine
Arbitrage-Möglichkeiten gibt.
Andernfalls wäre es theoretisch möglich, einen „unendlich“
hohen Gewinn ohne jegliche Anfangsinvestition zu erzielen!
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Arbitrage Free Pricing
Das No-Arbitrage Prinzip basiert grundsätzlich auf dem sog.
Gesetz von einem [einheitlichen] Preis (Law of one price).
Danach kann ein Finanztitel [bzw. allgemein ein VermögensGegenstand] zu einem Zeitpunkt nur einen einzigen [einheitlichen]
Preis haben!
Ist dies nicht der Fall, so kann ein Arbitrage-Gewinn erzielt werden;
durch den Kauf zum Preis p und Verkauf zum Preis p + c, wobei c
> 0, von einem Finanztitel zum gleichen Zeitpunkt t, solange der
Verkauf bereits beim Kauf gesichert werden kann.
Der Gewinn wird grundsätzlich nur durch die Kapazität des Marktes
[möglicher Umfang einer solchen Strategie] eingeschränkt.
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Arbitrage Free Pricing
Beispiel 1:
Anleihe mit Nominale von 100 € und Kupon von 10%, fällig in
genau in einem Jahr.
Aktueller Zinssatz liegt bei 5% p.a. (alternativ Bid/Ask =
4,9%/5,1% p.a. für Einlagen/Kredite).
Wie hoch muss der aktuelle Preis von der Anleihe sein, damit
Arbitrage ausgeschlossen ist?
Angenommen, der Preis von der Anleihe ist 101 €. Kann ein
Arbitragegewinn erzielt werden? Mit welcher Strategie?
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Arbitrage Free Pricing
Strategie
t=0
t=1
Kauf der Anleihe
-P
110
Kredit
110/(1+0,05)
-110
Summe
-P + 110/(1+0,05)
0
P=
110
A
oder allgemein P = T
1 + 0,05
1 + rT
wobei rT der für T Perioden angepassten risikolosen Verzinsung
entspricht.
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Arbitrage Free Pricing
No-Arbitrage und Replikation (= Nachbildung)
Falls es möglich ist, den Vektor der Auszahlungen von einem
Finanztitel genau zu replizieren, also aus anderen am Markt
gehandelten Finanztiteln ein Portfolio zu konstruieren, welches die
gleichen Auszahlungen wie der Finanztitel selbst aufweist, so muss
[laut dem Gesetz von einem Preis] der Preis des Finanztitels dem
Preis seines Replikationsportfolios entsprechen.
Werden bei der Replikation Finanztitel verwendet, welche sog. Price
Spreads aufweisen, so muss man zur Korrektheit immer den
entsprechenden Bid bzw. Ask Preis anwenden!
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Arbitrage Free Pricing
In einem solchen Fall ermittelt man jedoch nicht einen einheitlichen
arbitrage-freien Preis für den Finanztitel, sondern ein Intervall, in
dem der Preis liegen muss, so dass auf dem Markt keine
Arbitragemöglichkeiten entstehen.
Entsprechend müsste in dem vorigen Beispiel der Preis der Anleihe
folgende Bedingungen erfüllen:
100
100
AT
AT
≤P≤
oder allgemein
≤P≤
ask
1 + 0,051
1 + 0,049
1 + rT
1 + rTbid
Was wären die entsprechenden Arbitrage-Strategien, wenn der
Preis unterhalb bzw. oberhalb des Intervalls liegen würde?
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Arbitrage Free Pricing
Oft liefert eine Anleihe nicht nur eine sondern mehrere Zahlungen in
der Zukunft, wie etwa eine 10-Jahres-Kuponanleihe mit 7 Jahren
Restlaufzeit.
In einem solchen Fall kann man den arbitrage-freien Preis der
Anleihe, bzw. das arbitrage-freie Intervall des Preises, analog
ermitteln, indem man alle künftigen Zahlungsströme mit den
entsprechenden Zinssätzen (für die entsprechenden Laufzeiten)
abzinst und summiert. Formal also
T
T
At
At
≤P≤∑
∑
ask
bid
t =1 1 + rt
t =1 1 + rt
Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so können durch Anwendung einer
geeigneten Strategie Arbitragegewinne erwirtschaftet werden.
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Arbitrage Free Pricing
Beispiel 2:
Forward zum Kauf von 100 Barrel Erdöl zu einem Forward Price
F mit Fälligkeitsdatum in sechs Monaten.
Aktueller Zinssatz von Bankeinlagen 5% p.a. (bzw. Bid/Ask =
4,9%/5,1% p.a.). Aktueller Preis von 100 Barrel Erdöl beträgt
11.000 €.
Wie hoch muss der Forward Preis F sein, damit ArbitrageMöglichkeiten ausgeschlossen sind?
Angenommen, der Forward Preis betrage 11.100 €. Kann ein
Arbitragegewinn erzielt werden? Mit welcher Strategie?
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Arbitrage Free Pricing
Strategie
t=0
t=½
Long Forward
0
- F + S1/2
Erdöl Short selling
+ 11.000
- S1/2
Bankeinlage
- 11.000
11.000 * 1,025
Summe
0
- F + 11.000 * 1,025
F = 11.000 ⋅ (1 + 0,025) oder allgemein F = S 0 ⋅ (1 + rT )
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Arbitrage Free Pricing
Würde man den entsprechenden Bid/Ask Spread in Betracht ziehen,
so würde man wiederum statt eines einheitlichen Preises ein
Intervall ermitteln, in dem der Forward Preis liegen müsste, um
Arbitrage auszuschließen. In diesem Fall müsste also gelten:
10.000 ⋅ (1 + 0,0245) ≤ F ≤ 10.000 ⋅ (1 + 0,0255)
oder allgemein
(
)
(
S 0 ⋅ 1 + rTbid ≤ F ≤ S 0 ⋅ 1 + rTask
)
Was wären die entsprechenden Arbitrage-Strategien, wenn der
Forward Preis unterhalb bzw. oberhalb des Intervalls liegen würde?
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Arbitrage Free Pricing
Beispiel 3:
Aktueller Kurs EUR/USD beträgt 1,310 (bzw. 1,300/1,320).
Aktueller Zinssatz in EUR liegt bei 2% p.a. (bzw. 1,8%/2,2%).
Aktueller Zinssatz in USD liegt bei 1% p.a. (bzw. 0,9%/1,1%).
Wie hoch muss der EUR/USD Forward Preis F mit Stichtag in
genau einem Jahr sein, damit Arbitrage-Möglichkeiten
ausgeschlossen sind?
Angenommen, der Forward Preis betrage 1,300 €. Kann ein
Arbitragegewinn erzielt werden? Mit welcher Strategie?
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Arbitrage Free Pricing
Strategie
t=0
t=1
Kredit in USD
+ 1,310 USD
- 1,310*1,01 USD
Kauf von EUR für USD
- 1,310 USD
-
(Spot)
+ 1 EUR
-
Bankeinlage in EUR
- 1 EUR
+ 1,02 EUR
Verkauf von EUR für USD
-
-1,02 EUR
(Forward)
-
+ 1,02*F USD
Summe
0 USD
1,02*F- 1,310*1,01 USD
0 EUR
0 EUR
1,01
1 + rTUSD
F = 1,310 ⋅
oder allgemein F = S 0 ⋅
1,02
1 + rTEUR
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Arbitrage Free Pricing
Würde man die entsprechenden Bid/Ask Spreads in Betracht ziehen,
so würde man wiederum statt eines einheitlichen Preises ein
Intervall ermitteln, in dem der Forward Preis liegen müsste, um
Arbitrage auszuschließen. In diesem Fall müsste also gelten:
1,300 ⋅
1,009
1,011
≤ F ≤ 1,320 ⋅
1,022
1,018
oder allgemein
USD , ask
USD ,bid
1
r
1
r
+
+
ask
T
T
S 0bid ⋅
F
S
≤
≤
⋅
0
1 + rTEUR ,ask
1 + rTEUR ,bid
Was wären die entsprechenden Arbitrage-Strategien, wenn der
Forward Preis unterhalb bzw. oberhalb des Intervalls liegen würde?
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Arbitrage Free Pricing
Falls auf einem Markt [bzw. auf einem Marktteil] mit n möglichen
Auszahlungsperioden bzw. –Naturzuständen mind. n Finanztitel
mit unabhängigen Auszahlungsvektoren gehandelt werden,
so kann jeder beliebige Vektor von Auszahlungen durch eine
lineare Kombination der n existierenden unabhängigen
Finanztitel repliziert werden. => sog. vollkommener Markt!
Bezeichnen wir mit A die nxn Matrix, welche die Auszahlungen
von n Finanztiteln (Spalten) in n möglichen Zeitpunkten bzw.
Naturzuständen (Zeilen) enthält, wobei alle enthaltenen
Auszahlungsvektoren linear unabhängig sind, d.h. Rang(A) = n.
Der Auszahlungsvektor des Finanztitels i entspricht der i-ten
Spalte der Matrix A.
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Arbitrage Free Pricing
Ein Finanztitel j, der in A nicht enthalten ist und dessen
Auszahlungen durch den Vektor vj charakterisiert sind, lässt sich
durch ein Portfolio xj replizieren, wobei xj den Vektor der Mengen
(in Stück) aller in A enthaltenen Finanztitel in dem Portfolio
bezeichnet. Formal muss also gelten:
Α⋅ xj = vj
Nun, falls A vollen Rang hat, so muss auch eine Inverse der
Matrix A existieren, daher lässt sich xj leicht ermitteln als
x j = Α −1 ⋅ v j
Entsprechend kann xj als Replikationsportfolio von Finanztitel j
bezeichnet werden.
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Arbitrage Free Pricing
Bezeichnen wir nun mit p den Vektor der aktuellen Preise aller
Finanztitel, deren Auszahlungsvektoren in A enthalten sind.
Um Arbitragemöglichkeiten auszuschließen, muss der arbitragefreie Preis von dem Finanztitel j, mit Auszahlungsvektor vj, dem
Preis seines Replikationsportfolios, xj, entsprechen. Formal
muss also für den Preis von Finanztitel j, Pj, Folgendes gelten:
Pj = xTj ⋅ p
Ist der aktuelle Preis von Finanztitel j ungleich Pj, so können
durch eine geeignete Strategie Arbitragegewinne erwirtschaftet
werden.
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Arbitrage Free Pricing
Man kann Strategien (Investitionsportfolios), welche einen
möglichen Arbitragegewinn bieten, leicht finden, indem man
folgendes Optimierungsproblem löst:
{
T
}
min x ⋅ p
x
s.t.
Α⋅ x ≥ 0
Falls der optimale Wert der Zielfunktion negativ ist, d.h. es
existiert ein Portfolio mit einem negativen Preis, welches in
Zukunft keine negativen Auszahlungen aufweist, so können am
Markt Arbitragegewinne erwirtschaftet werden.
Damit der Zielfunktionswert in solchen Fällen nicht gegen
unendlich strömt, kann man realistischerweise Schranken für die
Werte von x setzen.
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