Mengen und Mengenoperationen

Mengenfamilien
Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Mengen und Mengenoperationen (Teil II)
Florian Fink
Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS)
2. Juni 2014
Florian Fink
Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik
Mengenfamilien
Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Table of Contents
1
Mengenfamilien
2
Operationen auf Mengenfamilien
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
3
Zusammenfassung
Florian Fink
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Mengenfamilien
Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Mengenfamilien
Definition Mengenfamilie
Eine Menge, deren sämtliche Elemente selbst wiederum Mengen
sind, heißt Mengenfamilie.
Mengenfamilien treten oft in einer Form auf, bei der die einzelnen
Elemente der Mengenfamilie durch einen geeigneten Index
durchnummeriert sind. Mengenfamilien werden somit oft in der
Form {Ai |i ∈ I } dargestellt.
Florian Fink
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Mengenfamilien
Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Beispiele
Es sei A1 = {4}, A2 = {2, 5}, A3 = {8, 9}. Dann kann die
Mengenfamilie M = {{4}, {2, 5}, {8, 9}} in der Form
{Ai |i ∈ {1, 2, 3}} dargestellt werden.
Für jedes n ∈ N sei An := {k ∈ N|k < n}. Dann ist
M := {An |n ∈ N} eine Mengenfamilie.
Wie sieht die Mengenfamilie M := {An |n ∈ N} aus?
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Mengenfamilien
Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Table of Contents
1
Mengenfamilien
2
Operationen auf Mengenfamilien
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
3
Zusammenfassung
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Mengenfamilien
Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Operationen auf Mengenfamilien
Auf Mengenfamilien sind spezielle Operationen definiert, die
wiederum an die einfachen Mengenoperationen der letzten Folien
erinnern.
Zur Definition dieser Operationen werden die Quantoren ∃ und ∀
benötigt. Somit können die Rechenregeln nicht mehr vollständig
auf aussagenlogische Tautologien zurückgeführt werden.
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Mengenfamilien
Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Vereinigung I
Definition Vereinigung
S
A sei eine Mengenfamilie. Die Menge A := {x|∃B ∈ A : x ∈ B}
heißt Vereinigung von A.
S
S
Hat A die Form A = {Ai |i ∈ I } wird A auch in der Form i∈I Ai
notiert.
Warum ist B in der Definition ein Großbuchstabe? Was soll das
andeuten?
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Mengenfamilien
Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Vereinigung II
Nochmals die Definition der Vereinigung:
[
A := {x|∃B ∈ A : x ∈ B}
Das kann man in etwa so paraphrasieren:
S
“Die Vereinigung über A ( A) ist definiert (:=) als die Menge ({)
der x mit der Eigenschaft (|) es existiert eine Menge B aus A
(∃B ∈ A) für die gilt (:) x ist Element von B (x ∈ B).”
Was sind die Elemente der Ergebnismenge? Wie sieht die
Ergebnismenge aus?
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Mengenfamilien
Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Beispiele
Sei A = {A1 , A2 } und A1S= {1, 3, 4}, A2 = {1, 2, 4, 9}. Die
Vereinigungsmenge von A = {1, 2, 3, 4, 9}.
Abbildung : Schachteldarstellung
Berechnen Sie
S
i∈{1,2,3,4} Ai
mit Ai = {x ∈ N|i ≤ x ≤ i + 1}!
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Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Durchschnitt I
Definition Durchschnitt
Sei A 6= ∅ eine Mengenfamilie. Die Menge
T
A := {x|∀B ∈ A : x ∈ B} heißt Durchschnitt von A.
T
T
Hat A die Form A = {Ai |i ∈ I } wird A auch in der Form i∈I Ai
notiert.
Warum ist B in der Definition ein Großbuchstabe? Was soll das
andeuten?
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Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Durchschnitt II
Nochmals die Definition des Durchschnitts:
\
A := {x|∀B ∈ A : x ∈ B}
Das kann man in etwa so paraphrasieren:
T
“Der Durchschnitt über A ( A) ist definiert (:=) als die Menge
({) der x mit der Eigenschaft (|) für alle Mengen B aus A
(∀B ∈ A) gilt (:) x ist Element von B (x ∈ B).”
Was sind die Elemente der Ergebnismenge? Was ist die
Eigenschaft der Elemente der Ergebnismenge?
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Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Beispiele
Sei
T A = {A1 , A2 } und A1 = {1, 3, 4}, A2 = {1, 2, 4, 9}. Dann ist
A = {1, 4}.
Abbildung : Schachteldarstellung
Berechnen Sie
T
i∈{1,2,3} Ai
mit Ai = {x ∈ N|x ≤ i 2 }!
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Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Mengenfamilien
Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Eigenschaften
S
{{{∅}}} = {{∅}}
S
{∅, {∅}} = {∅}
Sei An = {0, 1, n}. Dann ist
S
n∈N An
= N.
Sei An = {0, 1, n}. Dann ist
T
n∈N An
= {0, 1}.
Die Beispiele sollen verdeutlichen, dass im Falle von endlichen
S
Mengenfamilien A = {A1 , A2 , . . . , An } die Vereinigung A
identisch mit der Vereinigung der Elemente A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ist.
Dasselbe gilt für den Durchschnitt.
Die Bedeutung der Definitionen von Durchschnitt und Vereinigung
über Mengenfamilien liegt darin, dass es möglich ist, die
Operatoren auf unendlichen Mengen anzuwenden.
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Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Partitionen von Mengen
Definition Partition
Sei M eine Menge. Eine Mengenfamilie P heißt eine Partition oder
Zerlegung von M genau dann, wenn gilt:
2
Jedes Element von P ist eine nichtleere Teilmenge von M.
S
P=M
3
Je zwei verschiedene Elemente von P sind disjunkt.
1
Geben Sie eine mathematischere Definition von Punkt 1 an!
Geben Sie eine mathematischere Definition von Punkt 3 an!
Was ist die Intuition der Partitionsmenge?
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Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Beispiele
Für jede nichtleere Menge M sind u.A. {M} und {{m}|m ∈ M}
stets Partitionen von M.
{{1, 3, 4}, {2, 6}, {5}} ist eine Partition von {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Es sei An = {n, n + 1}. Dann ist Q := {An |n ∈ N} keine Zerlegung
von N. P := {A2n |n ∈ N} dagegen ist eine Zerlegung von N:
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Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Potenzmenge
Definition Potenzmenge
Eine Menge P := {M|M ⊆ A} heißt die Potenzmenge von A.
In der Potenzmenge P(A) einer Menge A liegen also alle
Teilmengen der Menge A. Für die Potenzmenge einer Menge A
wird oft auch das Symbol 2A verwendet1 .
Die Potenzmenge einer Menge A enthält also immer:
die leere Menge ∅
die Menge A selbst
alle anderen möglichen Teilmengen dieser Menge
1
Eine Erklärung für diese Schreibweise kommt später.
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Operationen auf Mengenfamilien
Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Potenzmengen I
P(∅) = {∅}
P({1}) ={∅, {1}}
P({1, 2}) ={∅, {1}, {2}, {1, 2}}
P({1, 2, 3}) ={∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
P({∅}) = {∅, {∅}}
Wie viele Mengen enthält die Potenzmenge einer Menge mit n
Elementen?
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Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Potenzmengen II
Lemma über die Anzahl der Elemente einer Potenzmenge
Es sei A eine endliche Menge mit n Elementen. Dann hat P(A)
genau 2n Elemente.
Beweis: Um das Lemma zu beweisen, benötigen wir das
Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
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Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Wenn man eine Eigenschaft ϕ, die für eine beliebige Anzahl von
n ∈ N gilt, beweisen will, reicht es folgende Aussagen zu
verifizieren:
1
Die Eigenschaft ϕ gilt für n = 0 (Induktionsanfang).
2
Falls die Eigenschaft ϕ auf eine beliebige natürliche Zahl
k ≥ 0 zutrifft (Induktionsannahme), so auch auf k + 1
(Induktionsschritt).
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Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Beispiel für vollständigen Induktion I
Zu beweisen
P sei, dass für die Summe der ersten n natürlichen
Zahlen ni=1 i gilt:
n
X
n(n + 1)
i=
2
(1)
i=1
1(1+1)
2
Induktionsanfang: n = 1; es gilt: 1 =
2
Induktionsschritt: (1) gilt für beliebiges n; beweise für
P
(n+1)(n+2)
n + 1 : n+1
.
i=1 =
2
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=
2
2
1
= 1.
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Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Beispiel für vollständigen Induktion II
n+1
X
i = 1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =
(2)
=
n(n + 1)
+ (n + 1) =
2
(3)
=
n(n + 1) + 2(n + 1)
=
2
(4)
=
(n + 1)(n + 2) X
=
2
i=1
n+1
(5)
i=1
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Zusammenfassung
Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Beispiel für vollständigen Induktion III
Zu beweisen sei, dass für n > 0 der Ausdruck 7n − 1 stets durch 6
teilbar ist (ohne Rest). Es gilt somit 7n − 1 = 6k.
1
2
Induktionsanfang: n = 1; 71 − 1 = 6; 6 ist teilbar durch 6.
Induktionsschritt: Beweise für n + 1 :
7n+1 − 1 = (7n · 7) − 1
(7n · 7) − 1 = (7(7n )) − 1
7n − 1 ist durch 6 teilbar (IA); Es gilt somit: 7n = 6k + 1;
(7(7n )) − 1 = (7(6k + 1)) − 1
(7(6k + 1)) − 1 = 42k + 7 − 1
42k + 7 − 1 = 42k + 6
42k + 6 = 6(7k + 1)
6(7k + 1) ist immer durch 6 teilbar.
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Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Vollständige Induktion I
Warum können wir mittels des Induktionanfangs und des
Induktionsschritt schließen, dass alle natürlichen Zahlen eine
Eigenschaft ϕ haben?
Wir wissen, dass man jede beliebige natürliche Zahl n
ausgehend von der 0 durch eine endliche Zahl von
Nachfolgerschritten erreichen kann:
0 → 1, 1 → 2, . . . , n − 1 → n, n → n + 1 . . .
Wir müssen also die Annahme für 0 nachprüfen.
Dann für 1.
Dann für 2.
...
Dann für n
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Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
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Potenzmenge
Vollständige Induktion II
Das in der vorigen Folie dargestellte explizite Hochangeln von Zahl
zu Zahl ist offenkundig überflüssig. Mit dem Beweis für die
Richtigkeit einer Eigenschaft ϕ für n + 1 kann man zeigen, dass die
gewählte Strategie immer klappt.
Unter Annahme der Prämisse, dass die Eigenschaft ϕ für n bereits
gilt, können wir dann ϕ für n + 1 zeigen.
Warum kann man die Prämisse so einfach annehmen?
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Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
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Potenzmenge
Vollständige Induktion III
Dieses Vorgehen wird oftmals auch als sog. Leiterprinzip
veranschaulicht:
Leiterprinzip
Wenn man die unterste Stufe einer Leiter erreichen kann und wenn
der Sprossenabstand so eingerichtet ist, dass man von jeder
beliebigen Sprosse eine weitere, höhergelegene Sprosse erreichen
kann, dann ist klar, dass man jede Sprosse der Leiter erreichen
kann.
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Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Potenzmengen III
Lemma über die Anzahl der Elemente einer Potenzmenge
Es sei A eine endliche Menge mit n Elementen. Dann hat P(A)
genau 2n Elemente.
Beweis:
Induktionsanfang: n = 0. In diesem Fall gilt A = ∅ und es folgt
P(A) = {∅}. Somit gilt 1 = 20 = 2n
Induktionsschritt: Ist etwas komplizierter. Wichtig für den Beweis
ist:
Es gilt trivialerweise immer n + 1 ≥ 1 für n ∈ N.
Damit ist jede Menge mit n + 1 Elementen nicht leer.
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Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Potenzmengen IV
Induktionsschritt: Es sei A eine Menge mit n + 1 Elementen.
Wir nehmen irgendein beliebiges Element a ∈ A aus A heraus
und erhalten A0 := A \ {a}.
A0 enthält somit genau n Elemente.
Wir teilen A in zwei Mengen P1 und P2 auf:
P1 := {M ⊆ A|a 6∈ M}.
P2 := {M ⊆ A|a ∈ M}.
Es gilt für P1 und P2 :
P1 und P2 sind disjunkt: P1 ∩ P2 = ∅
P1 ∪ P2 = P(A)
P1 = P(A0 )
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Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
Exkurs: Vollständige Induktion
Potenzmenge
Potenzmengen V
P1 und P2 sind disjunkt und ihre Vereinigung entspricht
wiederum der Potenzmenge von A.
Somit entspricht die Größe von P(A) der Summe der beiden
Mengen P1 und P2 .
A0 enthält genau n Elemente.
Somit gilt: P(A0 ) = P1 hat genau 2n Elemente
(Induktionsannahme).
P1 und P2 enthalten beide die selbe Anzahl von Elementen.
Somit gilt dass P(A) genau 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 Elemente
enthält.
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1
Mengenfamilien
2
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Vereinigung
Durchschnitt
Partition
Potenzmenge
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Potenzmenge
3
Zusammenfassung
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Zusammenfassung
tl;dr
Mengenfamilien sind Mengen, die selbst wiederum aus
Mengen bestehen.
Die Vereinigung einer Mengenfamilie M ist die Menge aller
Elemente, die Element einer der Submengen von M sind.
Der Durchschnitt einer Mengenfamilie M ist die Menge aller
Elemente, die Element aller Submengen von M sind.
Partitionen einer Menge stellen Mengenfamilien dar, deren
Elemente allesamt paarweise disjunkt sind.
Die Potenzmenge einer Menge ist eine Mengenfamilie, die alle
Teilemengen der ursprünglichen Menge enthalten.
Vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweismittel um
Eigenschaften zu beweisen die für beliebige Anzahlen von
(natürlichen) Zahlen gelten sollen.
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