Universitt Konstanz - Universität Konstanz

Universität Konstanz
Lehrstuhl für Statistik
WS 2006/2007
Statistische Schätz- und Testtheorie
Übungsblatt 1
Einschubkapitel: Charakteristische Funktionen, ZGWS,
Transformation von Zufallsvariablen
Aufgabe 1.1
Die Zufallsvariable X sei poissonverteilt mit Parameter λ . Dann ist ϕ (t ) = e − λ e λe
it
die
zugehörige charakteristische Funktion. Berechnen sie mit Hilfe von ϕ (t ) Erwartungswert
und Varianz von X.
Aufgabe 1.2
[
]
Die Zufallsvariable X sei IB(n, p ) -verteilt. Dann ist ϕ (t ) = pe it + (1 − p )
n
die zugehörige
charakteristische Funktion. Berechnen sie mit Hilfe von ϕ (t ) die Dichte von X.
Aufgabe 1.3
Eine Näherei, die Oberhemden herstellt, bezieht die benötigten Knöpfe von einer Firma. Aus
langjähriger Erfahrung weiß man, dass ein Knopf mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.12
einen Defekt aufweist, d. h. zur Verarbeitung nicht verwendet werden kann.
a) In einem bestimmten Monat werden 4500 Knöpfe geliefert. Wie groß ist die approximative
Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter mindestens 4000 Knöpfe ohne Defekt befinden?
b) Wie viele Knöpfe müssen geordert werden, damit mit 95-prozentiger Sicherheit mehr als
4500 Knöpfe verarbeitet werden können?
Aufgabe 1.4
In einem Experiment mit 100 Kühlaggregaten aus einer Produktion wird festgestellt, dass die
mittlere Lebensdauer der Aggregate 4 Jahre beträgt. Berechnen Sie bei Annahme exponentialverteilter Lebensdauern die approximative Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Gesamtlebensdauer von 400 Kühlaggregaten aus derselben Produktion kleiner als 1500 Jahre ist.
Aufgabe 1.5
Die Zufallsvariablen U 1 und U 2 seien unabhängig gleichverteilt über dem Intervall (0, 1).
Berechnen Sie mit Hilfe des uni-/multivariaten Transformationssatzes
a) die Dichte von X = a U 1 + b mit a, b ∈ IR und a ≠ 0,
b) die Dichte von Y = − λ−1 lnU 2 mit λ > 0,
c) die gemeinsame Dichte von Z1 = U 1 + U 2 und Z 2 = U 1 − U 2 ,
d) die Dichte von Z 1 ,
e) die Dichte von Z 2 .